2025-2026学年下学期广西省玉林高三数学4月模拟试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期广西省玉林高三数学4月模拟试卷含答案，共3页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知集合 A={−2,0,2,4},B=x∣x2≤15 ,则 A∩B=
A. {−2,2} B. {0,2,4} C. {−2,0,2} D. {−2,0,2,4}
2. 已知复数 z=41−i−3i ,则 z=
A. 26 B. 5 C. 26 D. 5
3. 已知向量 a=m,−1,b=2,−3 ，且 a+b⊥b ，则 m=
A. -8 B. -4 C. -2 D. 2
4. 若函数 fx=8x−2xaxa>0且a≠1 是奇函数，则 a=
A. 4 B. 2
C. 12 D. 14
5. 已知曲线 C:x2+y2=4 ，从 C 上任意一点 P 向 y 轴作垂线 PP′ ， P′ 为垂足，则 PP′ 的中点 M 所在曲线的方程为
A. x24+y2=1 B. x2+y24=1
C. y2+x22=1 D. y22+x2=1
6. 记等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 2S3+S1=3S2 ,则 a4a2=
A. 14 B. 12 C. 2 D. 4
7. x−1x−1x21−x7 展开式中的常数项为
A. -13 B. -28 C. -14 D. 14
8. 若 α∈0,π2,2csα−sinα=1 ,则 tanα2 的值为
A. 4+22 B. 4−22
C. 3+22 D. 3−22
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. O2O 是指线上引流、线下消费的商业模式, 近年来随着 AI 技术的渗透, 特别是智能配送使得配送时效显著提升，为消费者提供了“沉浸式购物”新体验. 已知 2020 年到 2024 年我国 O2O 到家市场规模(单位:千亿元)依次为7,3,10.4,13.7,15.6,17.7,则这 5 个数据的
A. 极差是 10.4 B. 中位数是 13.7
C. 60%分位数是 13.7 D. 平均数是 12.94
10. 已知函数 fx=xcsx−sinx+1 的导函数为 f′x ,则
A. 曲线 y=fx 是中心对称图形
B. fx 在 −π,π 上单调递减
C. 曲线 y=f′x 是中心对称图形
D. 存在常数 M ,使 f′x≤Mx 对 x∈R 成立
11. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线方程为 3x±y=0,A,B 分别为 C 的左、右顶点, C 的右焦点为 F2,0,P 为 C 上在第一象限内的一点,过点 P 作 C 的两条渐近线的垂线,垂足分别为 M , N ,则
A. C 的离心率为 3
B. PF>1
C. 直线 PA,PB 的斜率之积为定值
D. MN 的取值范围为 32,+∞
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 曲线 y=exsinx 在点 0,0 处的切线方程为_____.
13. 已知 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,若 S2=5,S8=S4+30 ,则 S4= _____.
14. 如图,在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中, AB=AA1=2 ,与平面 AA1B1B 平行的平面截三棱柱 ABC−A1B1C1 得到截面 DEE1D1 ,若几何体 ABDE−A1B1D1E1 的体积为 1538 ,且几何体 ABDE−A1B1D1E1 的所有顶点均在同一个球面上,则该球的表面积为_____.

四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 fx=csx+π3−csx−π3−csπ−x .
(1)化简 fx 的表达式并求 f7π6 的值；
(2)在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 fA=−2,b+c=9 ， △ABC 的面积为 53 ， 求 a .
16.(本小题满分 15 分)
在某次运动会期间，有学生 10 人为运动员服务. 由于 5000 米跑，跳远，铅球比赛是同时进行的，所以他们 10 人分成了三组分别服务这 3 个赛项. 4 人服务于 5000 米赛跑, 3 人服务于铅球比赛. 赛后从这 10 人中随机选出 3 人作为代表参加座谈会.
(1)设 A 为事件“选出的 3 人服务的赛项互不相同”,求事件 A 发生的概率；
(2)设 X 为选出的 3 人中服务的赛项是 5000 米跑的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
17. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA⊥ 平面 ABCD ， PA=2,AB=2,AD=1 ，点 E 是棱 CD 的中点,点 F 是棱 PB 上的一点.

(1)求证: PC⊥BE ；
(2)求平面 PBE 与平面 PCD 夹角的余弦值.
18. (本小题满分 17 分)
设点 F 为抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点,过点 F 且与 x 轴垂直的直线交 C 于 M,N 两点, MN=4 .
(1)求 C 的方程；
(2)圆 x−12+y2=r2r>1 与 x 轴的正、负半轴分别交于 A ， B 两点，与 C 在第一象限交于点 P .
(1)若直线 BP 的倾斜角为 π4 ，求 r 的值；
(ii)若直线 PA ， PF 与 C 的另一个交点分别为 D ， E ，直线 DE 与直线 PB 相交于点 G ，求 △PDG 的面积取得最小值时， r 的值.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=ax−ex−e2 .
(1)当 a=1 时，求 fx 的极值；
(2)当 a>e2 时，
( i ) 证明: fx 恰有两个零点 x1,x2x1e2a−1 ，且 x20 且 a≠1 ，所以 a=14 ，当 a=14 时， fx =2x−2−x 是奇函数，满足题意. 故选 D.
5. B 设 Px1,y1,Mx,y ,则 x1=2x,y1=y ,因为 x12+y12=4 ,所以 4x2+y2=4 ,所以 x2+y24=1 . 故选 B.
6. A 由条件得 2a1+a2+a3+a1=3a1+a2 ,整理得 2a3=a2 ,所以 an 的公比 q=a3a2=12 ,则 a4a2=q2=14 . 故选 A.
7. C 因为 1−x7 的二项展开式中,通项公式是 C7−xr,r=0,1,2,⋯,7 ,所以 x−1x−1x21−x7 展开式中的常数项为 −1xC71−x−1x2C72−x2=7−21=−14 . 故选 C.
8. D 由 2csα−sinα=1 得 2csα=1+sinα ,两边平方得 2cs2α=1+2sinα+sin2α,3sin2α+2sinα−1=0 ,解得 sinα= 13 或 sinα=−1 ,又 α∈0,π2 ,所以 sinα=13,csα=1−sin2α=223 ,所以 tanα2=1−csαsinα=1−22313=3−22 . 故选 D.
9. ABD 极差为 17.7−7.3=10.4 ,故 A 正确; 中位数是13.7,故 B 正确; 5×60%=3,60% 分位数是 13.7 与 15.6 的平均数 14.65,故 C 错误; 7.3+10.4+13.7+15.6+17.75=12.94 ,故 D 正确. 故选 ABD.
10. ABD 因为 y=fx−1=xcsx−sinx 是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数 fx=xcsx−sinx+1 的图象关于点 0,1 对称, A 正确; f′x=csx−xsinx−csx=−xsinx,f′0=0,−π1 的方程可化为 x−12+y2=n2+12 ,
所以 An2+2,0,B−n2,0 . 7 分
设直线 PF 的方程为 x=ty+1 ,联立 x=ty+1,y2=4x, 得 y2−4ty−4=0 ,所以 yP⋅yE=−4 .
因为 Pn2,2n ,所以 E1n2,−2n . 8 分
又直线 PA 的方程为 y=−nx−n2−2 ,

联立 y2=4x,y=−nx−n2−2, 得 y2+4ny−4n2−8=0 ,
所以 yP⋅yD=−4n2−8 .
因为 Pn2,2n ,所以 Dn2+4n2+4,−2n−4n . 9 分
过点 E 作 EH⊥PB ,垂足为 H ,则 HE//PD ,
直线 HE 的方程为 y=−nx−1n2−2n ,①
又直线 PB 的方程为 y=1nx+n2 ,②
联立①②，得点 H−1,n−1n ， 11 分
所以 HE=1n2+1,−n−1n,PD=4n2+4,−4n−4n ,
所以 PD=4HE ,由相似三角形性质可得 GD=4GE,GP=4GH ,
所以 S△PDG=4S△PEG=4×43S△PEH=163S△PEH , 13 分
因为 HP=n2+1,n+1n,HE=1n2+1,−n−1n ,
则 HP2=n4+3n2+1n2+3=n6+3n4+3n2+1n2=n2+13n2,HE2=n2+13n4 , 15 分
所以 S△PEH=12HP⋅HE=n2+132n3=12n+1n3≥4 ,当且仅当 n=1 时,等号成立,
故 S△PDG=163S△PEH≥643 ,即 △PDG 的面积的最小值为 643 ,此时 r=n2+1=2 . 17 分
19.(1)解:当 a=1 时， fx=x−ex−e2 ，则 f′x=1−ex ， 1 分
当 x0 ,当 x>0 时, f′xe2 时，
(i) f′x=a−ex ,令 a−ex=0 ,得 x=lna ,易知 fx 在 −∞,lna 上单调递增,在 lna,+∞ 上单调递减; 故 fxmax=flna=alna−a−e2 . 5 分
令 ga=alna−a−e2a>e2 ,则 g′a=lna ,因为 a>e2 ,所以 g′a=lna>2>0 ,
所以 ga 在 e2,+∞ 上单调递增, ga>ge2=2e2−e2−e2=0 , 6 分
因为 f0=−1−e2