2025-2026学年下学期江苏省镇江中学高二数学4月期中试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期江苏省镇江中学高二数学4月期中试卷含答案，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. C72= ( )
A. 14 B. 21 C. 42 D. 49
2. 100×99×98×…×86 可以表示为( )
A. A10013 B. A10014 C. A10015 D. A10016
3. 5 名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有( )
A. A32 A33 种 B. 2A42A33 种 C. C31 A44 种 D. C42 A44 种
4. 5 名运动员争夺 4 项比赛冠军(每项比赛无并列冠军)，获得冠军的可能种数为( )
A. C54 B. A54 C. 4 55 D. 54
5. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批商品，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的 70%，30%，甲、乙车间的优品率分别为90%，85%. 现从该厂这批产品中任取一件， 则取到优品的概率为( )
A. 86.5% B. 88.5% C. 90% D. 93%
6. 1+x1−2x5 的展开式中 x2 的系数为( )
A. -40 B. -10 C. 30 D. 40
7. 镇江西津渡元宵节灯展后，悬挂的 2 串(7 盏)不同的花灯需要取下，如图所示，每次取 1 点,第一串最下面的花灯标记为 a ,第二串最下面的花灯标记为 x ,若 7 盏等都需要取下,则花灯 a 与花灯 x 被相邻取下的概率为 ( )
A. 47 B. 37 C. 45 D. 35

8. 已知 1+x2026=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a2026x2026 ,则
a2025+2a2024+3a2023+4a2022+⋯+2025a1+2026a0= ( )
A. 2026×22026 B. 2025×22025
C. 2025×22026 D. 2025×22025
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知一组数据如下:2023，2024，2025，2025，2026，2027，则()
A. 这组数据的极差为 4
B. 这组数据的方差为 2
C. 这组数据的众数等于平均数
D. 这组数据的第 70 百分位数为 2026
10. 已知事件 A,B,C 满足 PA=0.6,PB=0.3 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 如果 PA∪B∪C=1 ,那么 PC=0.1
B. 如果 A 与 B 相互独立,那么 PA⋅B=0.28
C. 如果 A 与 B 互斥,那么 PA∪B=0.9
D. 如果 B⊆A ,那么 PA∪B=0.6,PB∣A=0.25
11. 若 Cn+1n−1=36 ，则( )
A. Cn1+Cn2+Cn3+⋯+Cnn=255 B. Cn3+Cn4+Cn+15+Cn+26+Cn+37=C127
C. 1!+2⋅2!+3⋅3!+⋯+n⋅n!=9! D. n+17n 被 n−1 除的余数为 4
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 某班学号1-8 的学生铅球测试成绩如下表:
可以估计这 8 名学生铅球测试成绩的第 25 百分位数为_____.
13. 已知多项式 x−18=a0+a1x+1+a2x+12+⋯+a8x+18 , 则 a1+a2+⋯+a8 的值为_____.
14. 镇江中学教学区含有三个年级的教学楼与养德楼共四座楼, 有学生建议在这 4 座楼的第五层位置建 3 个连廊，将这 4 座楼宇连接起来。若采纳建议的话，则共有_____种不同的方案.

四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. (13 分) 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动, 现从中抽取 200 名学生, 记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题:

(1)若从成绩不高于 60 分的同学中按分层抽样方法抽取 5 人成绩，求 5 人中成绩不高于 50 分的人数:
(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
(3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为 45 ，乙复赛获优秀等级的概率为 34 ,甲、乙是否获优秀等级互不影响,求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.
16. (15分)镇江某商场开展购物抽奖活动，在袋中装有标有数字 1 到 6 的六个大小、形状相同的小球, 从袋中任取 3 个小球, 每个小球被取出的可能性都相等, 用 ξ 表示取出的 3 个小球上的最大数字,奖励的金额为三个小球上的最大数字的 50 倍人民币,用 η 表示获得的奖金数额.
(1)求取出的三个球的标号和为奇数的概率；
(2)在已知取出的三个小球的标号和为奇数的条件下，求 ξ=5 的概率；
(3)计算随机变量 η 的分布列与数学期望.
17. (15 分) 已知在 x−12yn 的展开式中,只有第 6 项的二项式系数最大.
(1)求 n ；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.
18. (17分)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32 ，且过点 3,12 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过椭圆 C 上异于椭圆顶点的点 P 作两条直线，分别与椭圆 C 相交于异于点 P 的点 A、B ,若四边形 OAPB 为平行四边形,探究四边形 OAPB 的面积是否为定值. 若是, 求出此定值; 若不是, 请说明理由.
(3)在(2)的条件下，直线 AB 必与一个定椭圆相切，请写出此椭圆方程并证明.
19. (17分)已知函数 fx=axlnx−3x ，
(1)当 a=2 时，求函数 fx 的单调区间；
(2)求函数 y=fx,x∈e2,e3 的最小值
(3)当 x>1 时, fx0 ,
x1+x2=−8km4k2+1, x1x2=4m2−44k2+1, .5 分
y1+y2=kx1+x2+2m=2m4k2+1,
∵ 四边形 OAPB 为平行四边形, ∴OA+OB=OP ,
∴P−8km4k2+1,2m4k2+1 , .6 分
∵ 点 P 在椭圆上, ∴−8km4k2+124+2m4k2+121=1 ,
整理得 m2=k2+14 , .7 分
AB=1+k2x1−x2=1+k2⋅44k2−m2+14k2+1,
原点 O 到直线 AB 的距离 d=mk2+1 , .9 分
S□OAPB=AB⋅d=4m4k2−m2+14k2+1 =24k2+1⋅324k2+14k2+1=2×32=3
∴ 四边形 OAPB 的面积为定值 3 . 10 分
(3)一个定椭圆方程为 x2+4y2=1 12 分
证明如下:
x24+y2=1y=kx+m ,可得 4k2+1x2+8kmx+4m2−1=0 .14 分
则 Δ=64k2 m2−41+4k24 m2−1=44k2−4m2+1 ,
由(2)可知: m2=k2+14
∴4k2−4m2+1=0
∴Δ=44k2−4m2+1=0 16 分
∴ 直线 AB 与定椭圆 x2+4y2=1 相切. .17 分
19. 解: (1) 当当 a=2 时, fx=2xlnx−3x ,
∴f′x=2lnx+1−3=2lnx−1
当 f′x>0 时, x>e ,当 f′x