山东省泰安市岱岳区2025-2026学年下学期八年级数学期中考试试卷（含答案+解析）

这是一份山东省泰安市岱岳区2025-2026学年下学期八年级数学期中考试试卷（含答案+解析），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列根式是最简二次根式的( )
A. − 3B. 12C. 0.5D. 8
2.用配方法解方程x2−4x−5=0时，配方结果正确的是( )
A. (x−2)2=1B. (x−2)2=9C. (x−4)2=9D. (x−4−
3.已知二次根式 2a−4与 3是同类二次根式，则a的值可以是( ).
A. 8B. 9C. 7D. 6
4.如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小(菱形的边长不变).当∠BCD=52 ∘时，则∠BAC的度数为( )
A. 26 ∘B. 27 ∘C. 28 ∘D. 29 ∘
5.下列计算正确的是( )
A. 8÷ 2=4B. 12× 3=6C. 18 6= 2D. 5× 5=5 5
6.矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角线平分一组对角
C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直且相等
7.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是( )
A. (1)处可填∠A=90∘B. (2)处可填AD=AB
C. (3)处可填DC=CBD. (4)处可填∠B=∠D
8.关于x的一元二次方程x2+4x+c=0的一个根是x=−1，则一元二次方程2x2−4x+c=0的根的情况是( )
A. 没有实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根
9.做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片ABCD沿痕AE折叠，使点B落在边AD上与点B′重合；步骤②用剪刀沿B′E剪掉长方形B′ECD；步骤③将△ABE沿折痕AE展开得到正方形ABEB′.其依据是( )
A. 有一个角是直角的菱形是正方形B. 有一组邻边相等的矩形是正方形
C. 对角线相等的菱形是正方形D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
10.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的a，b，c满足a−b+c=0，则方程必有根( )
A. x=0B. x=1C. x=−1D. x=±1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若代数式 3−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
12.已知x,y为等腰三角形的两条边长，且x,y满足y= 2−x+ 3x−6+4，则此三角形的周长为 .
13.如图，在菱形ABCD中，已知AD=10，DE⊥AB交AB于点E，且DE=6，则对角线BD的长为 .
14.若关于x的一元二次方程2x2−6x+m−1=0有两个相等的实数根，则m的值为 .
15.如图，在△ABC中，∠C=90 ∘，AC=4，BC=3，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值为 .
三、计算题：本大题共2小题，共19分。
16.计算：
(1) 24÷ 3+ 12× 18
(2) 3+ 2 3− 2− 3− 22
(3) 12+ 3× 6−2 12
17.解下列方程：
(1)x2−6x−4=0
(2)3xx−1=2x−1
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的点，连接AE、AF，CE=CF，求证：AE=AF.
19.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是正方形，点G在BC上，DE⊥AG于点E，BF//DE，交AG于点F.
求证：AE=BF.
20.(本小题7分)
已知关于x的一元二次方程x2−m+2x+2m=0.
(1)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根；
(2)设该方程的两个根分别是x1、x2，若x1+x2+x1x2≥8.求m的取值范围．
21.(本小题8分)
如下图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形，AB=6.
(1)求证：▱ABCD是矩形．
(2)求AD的长．
22.(本小题8分)
观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
第1个等式： 2+1 2−1=1；
第2个等式： 3+ 2 3− 2=1；
第3个等式： 4+ 3 4− 3=1；……
(1)观察以上规律，请写出第5个等式： ；
(2)利用上面的规律，计算1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋅⋅⋅+1 2026+ 2025的值；
23.(本小题8分)
定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1和x2(x1≤x2)，分别以x1,x2为横、纵坐标得到点Px1,x2，则称点P为该一元二次方程的“两根点”．
(1)求方程x2=−x的“两根点”P的坐标：
(2)点P是关于x的一元二次方程x2−5m+1x+5m=0的“两根点”．若点P在直线y=−3x上，求m的值．
24.(本小题9分)
【问题探究】
如图，正方形ABCD中，AC是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点B.直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.
(1)如图1，当点Q在DC边上时，探究PB与PQ所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过P点作PE⊥DC于E点，PF⊥BC于F点，根据正方形的性质和角平分线的性质很容易证明△PEQ≌△PFB，得出结论PB=PQ，请你帮他写出完整的证明过程
(2)【类比思考】如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
(3)【拓展应用】如图3，过点E作EF⊥AC于点F，若正方形ABCD的边长为2，则在点P运动的过程中，发现PF的长度不发生变化，请直接写出这个不变的值为 .
答案和解析
1.【答案】A
【解析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解．
【详解】解：A选项：− 3，是最简二次根式，故该选项符合题意；
B选项： 12= 22，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C选项： 0.5= 12= 22，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D选项： 8=2 2，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：A.
2.【答案】B
【解析】本题考查用配方法解一元二次方程．通过配方法将方程转化为完全平方形式，从而得出正确选项．
【详解】解：∵x2−4x−5=0
∴x2−4x=5
∴x2−4x+4=5+4(添加一次项系数一半的平方)
∴(x−2)2=9
因此，配方结果为(x−2)2=9，
故选：B.
3.【答案】A
【解析】解：A、当a=8时， 2a−4= 12=2 3，与 3是同类二次根式，符合题意；
B、当a=9时， 2a−4= 14，与 3不是同类二次根式，不符合题意；
C、当a=7时， 2a−4= 10，与 3不是同类二次根式，不符合题意；
D、当a=6时， 2a−4= 8=2 2，与 3不是同类二次根式，不符合题意．
故选：A.
把各选项的值依次代入计算即可得出答案．
本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件，掌握相应的定义是关键．
4.【答案】A
【解析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴∠BCD=∠BAD=52 ∘，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=12∠BAD=12×52 ∘=26 ∘，
故选：A.
5.【答案】B
【解析】利用二次根式乘除法法则，分别计算各选项即可判断．
【详解】解：A. 8÷ 2= 8÷2= 4=2≠4，故该选项计算错误，不符合题意，
B. 12× 3= 12×3= 36=6，故该选项计算正确，符合题意，
C. 18 6= 186= 3≠ 2，故该选项计算错误，不符合题意，
D. 5× 5= 25=5≠5 5，故该选项计算错误，不符合题意，
6.【答案】A
【解析】解：矩形和菱形的对角线都互相平分，邻角互补，菱形的对角线互相垂直且对角线平分一组对角，矩形的对角线相等，即矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：A.
根据矩形和菱形的性质判断即可．
本题考查矩形和菱形的性质，矩形和菱形具有平行四边形的所有性质，矩形的四个内角都是直角，对角线相等；菱形的四条边都相等，对角线互相垂直．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形，正方形，菱形的判定，熟练掌握判定方法是关键，分别根据矩形，正方形，菱形的判定方法判定即可.
【解答】
解：A、(1)处添加∠A=90∘，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本项正确，不符合题意；
B、(2)处添加AD=AB，根据一组邻边相等的矩形是正方形，故本项正确，不符合题意；
C、(3)处添加DC=CB，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本项正确，不符合题意；
D、(4)处添加∠B=∠D，不能得到四边形ABCD是正方形，故本项错误，符合题意；
故选D.
8.【答案】A
【解析】解：把x=−1代入x2+4x+c=0得1−4+c=0，解得c=3，
则一元二次方程2x2−4x+c=0化为2x2−4x+3=0，
∵△=(−4)2−4×2×3=−80时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△4，
∴等腰三角形的三边长分别为2，2，4不成立，三边长为4，4，2成立
∴周长为4+4+2=10.
13.【答案】2 10
【解析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到AB=AD=10，由DE⊥AB，DE=6，利用勾股定理求出AE= AD2−DE2=8，求出BE=AB−AE=2，再利用勾股定理即可求出BD.
【详解】解：∵在菱形ABCD中，AD=10，
∴AB=AD=10，
∵由DE⊥AB，DE=6，
∴AE= AD2−DE2=8，
∴BE=AB−AE=2，
∴BD= BE2+DE2=2 10
故答案为：2 10.
14.【答案】112
【解析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，据此列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x2−6x+m−1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=−62−4×2×m−1=0，.
整理得44−8m=0，.
解得m=112.
15.【答案】2.4
【解析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．
本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
【详解】解：解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90 ∘，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=4，BC=3，
∴AB= AC2+BC2=5，
∴PC的最小值为：AC⋅BCAB=3×45=2.4.
∴线段EF长的最小值为2.4，
故答案为：2.4.
16.【答案】【小题1】
解： 24÷ 3+ 12× 18
= 8+ 9
=3+2 2；
【小题2】
解： 3+ 2 3− 2− 3− 22
=3−2−3+2−2 6
=3−2−3−2+2 6
=2 6−4；
【小题3】
解： 12+ 3× 6−2 12
= 72+ 18−2× 22
=6 2+3 2− 2
=8 2.

【解析】1. 详细解答和解析过程见【答案】
2. 详细解答和解析过程见【答案】
3. 详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】【小题1】
解：已知x2−6x−4=0，
x2−6x=4，
x2−6x+9=4+9，
x−32=13，
则x−3=± 13，
解得x1=3+ 13，x2=3− 13.
【小题2】
解：已知3xx−1=2x−1，
3xx−1−2x−1=0，
3x−2x−1=0，
则3x−2=0或x−1=0，
解得x1=1，x2=23.

【解析】1.
本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的配方法和因式分解法是解题关键．
通过配方法将方程化为完全平方形式x−32=13，再对等式两边同时开平方求出方程的解；
2.
先移项，再提取公因式x−1，将方程因式分解为两个一次式的乘积，再分别令两个一次式为0求解即可．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D.
∵CE=CF，
∴BC−CE=CD−CF，即BE=DF.
在△ABE和△ADF中，
AB=AD∠B=∠DBE=DF，
∴△ABE≌△ADFSAS，
∴AE=AF.

【解析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质推出BE=DF，证明△ABE≌△ADFSAS，即可得出结论．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠BAD=90 ∘，
∵DE⊥AG，
∴∠AED=∠DEF=90 ∘，
∴∠ADE+∠DAE=90 ∘，
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90 ∘，
∴∠ADE=∠BAF，
∵BF//DE，
∴∠DEF=∠BFA=90 ∘，
∴∠AFB=∠AED，
在△ABF和△DAE中，
∠AFB=∠DEA∠BAF=∠ADEAB=DA ，
∴△ABF≌△DAEAAS，
∴AE=BF.

【解析】通过正方形的性质得出相关角和边的关系，再结合垂直的性质得到角的等量关系，最后利用AAS证明△ABF≌△DAE，从而得出对应边相等．
20.【答案】【小题1】
解：∵方程的一个根是1，
∴将x=1代入得，1−m+2+2m=0，
解得m=1，
∴方程为x2−3x+2=0
解得x1=1,x2=2
∴方程的另一个根为x=2；
【小题2】
解：∵该方程的两个根分别是x1、x2，
∴x1+x2=m+2,x1x2=2m，
∵x1+x2+x1x2≥8
∴m+2+2m≥8，
解得m≥2，
而Δ=−m+22−4⋅2m=m−22≥0，
∴m≥2.

【解析】1.
将x=1代入方程，即可求解m，得到此时的一元二次方程为x2−3x+2=0，再由因式分解法求解另一个根即可；
2.
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
21.【答案】【小题1】
证明：∵△OAB是等边三角形，
∴OA=OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=12AC,OB=OD=12BD，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形；
【小题2】
解：∵▱ABCD是矩形，
∴∠BAD=90 ∘,BD=2OB.
∵△OAB是等边三角形，
∴OB=AB=6，
∴BD=12，
∴AD= BD2−AB2=6 3.

【解析】1.
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质．
先根据等边三角形的性质可得OA=OB，再根据平行四边形的性质可得OA=OC=12AC,OB=OD=12BD，从而可得AC=BD，然后根据矩形的判定即可得证；
2.
先根据矩形的性质得到∠BAD=90 ∘,BD=2OB，再根据等边三角形的性质得到OB=AB=6，即BD=12，根据勾股定理即可求出AD的长．
22.【答案】【小题1】
6+ 5 6− 5=1
【小题2】
解：1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋅⋅⋅+1 2026+ 2025
= 2−1 2+1 2−1+ 3− 2 3+ 2 3− 2+ 4− 3 4+ 3 4− 3+⋅⋅⋅+ 2026− 2025 2026+ 2025 2026− 2025
= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋯+ 2026− 2025
= 2026−1.

【解析】1.
根据题干等式即可求解；
解：由题意得，第5个等式： 6+ 5 6− 5=1；
2.
先进行分母有理化，然后再合并同类二次根式，解答即可．
23.【答案】【小题1】
解：x2=−x，
解得：x1=−1，x2=0，
∵−1