山东省泰安市岱岳区2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份山东省泰安市岱岳区2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷（原卷版+解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，每小题4分，共40分．，填空题，每小题4分，共24分．，解答题，共86分．等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A B. C. D.
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列方程一定没有实数根的是（ ）
A. B.
C D.
5. 数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ）

A. B. C. D.
6. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间
C. 6和7之间D. 7和8之间
7. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ）
A. 0B. C. 2D.
8. 海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（ ）
A 12B. C. D.
9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，弧线分别相交于点M，N，画直线交于点；②连接并延长，以点为圆心，的长为半径画弧交的延长线于点；③连接，．下列说法错误的是（ ）
A. 四边形是平行四边形
B. 若与重合，则四边形是菱形
C. 若，则四边形是矩形
D. 若，则四边形是正方形
10. 如图，将边长为8的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点顺时针方向旋转．使点与点重合，点的对应点为，则图②中阴影部分的周长为（ ）
A. 9B. 10C. 16D. 20
二、填空题，每小题4分，共24分．
11. 一元二次方程的一般形式是___________．
12. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．
13. 有意义，则的取值范围是______．
14. 请你写一个有两个相等实数根的一元二次方程______．
15. 如图，把矩形绕点按顺时针方向旋转，得到“L”形图案，、是对角线，则______°．
16. 在平面直角坐标系中，正方形的一个顶点的坐标为，则正方形顶点A的坐标是______．

三、解答题，共86分．
17. 计算：
（1）；
（2）
（3）
18. 解方程
（1）
（2）
19. 一个菱形的周长是160，一条对角线长为40，求：
（1）该菱形另一条对角线的长度；
（2）该菱形的面积
20. 已知关于一元二次方程有两个相等的实数根．
（1）求的值．
（2）求此时方程的根．
21. 在正方形中，为对角线，E为上一点，连接．
（1）求证：．
（2）延长交于F，当时，求的度数．
22. 鲁教版初中数学八年级下册14页有如下内容：
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．你能证明这个定理吗？
八年级一班的同学展开小组讨论．
卓越小组用倍长中线法展开证明：
延长至点，使，连接，通过证明三角形全等可证明定理如图1；
航天组通过构造矩形法展开证明：如图2；
蛟龙组认为如图3有中点D，可以构造三角形中位线证明该命题；
神州组认为可以通过建系的方法证明：
如图4，在直角坐标系中，分别在轴、轴上取点和点，构造任意一个，取中点，用求线段长度的方法得到．
你认为蛟龙组和神州组的方法是否可行，如果可行，请你按照他们的思路完成证明，如果不可行，请给出理由．
23. 已知关于的一元二次方程的两个根是和．
（1）当时，求值；
（2）若该方程的两个实数根，满足，求的值．
24. 如图1，矩形纸片中，要在矩形纸片内折出一个菱形，现有两种方案：
甲：如图2，取两组对边中点的方法折出四边形EFGH．
乙：如图3，沿矩形的对角线折和，点、点对应点分别是、，、分别交BC、AD于点E，点F得到四边形．
甲方案和乙方案得到的四边形是否是菱形，如果是，请证明，如果不是请说明理由．
八年级数学练习题
一、选择题，每小题4分，共40分．
1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可．
【详解】解：A. ，原选项错误，不符合题意；
B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；
D. ，原选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算．
4. 下列方程一定没有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是根的判别式的应用，熟练的利用“根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解题关键．
根据判别式依次计算判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，方程没有实数根，故符合题意；
B、，即，
∴，方程有两个不相等是实数根，故不符合题意；
C、，
∴，方程有两个不相等是实数根，故不符合题意；
D、，
∴，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
故选：A
5. 数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据菱形的性质可知，，可判定是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，故正方形的边长为．
【详解】解：如图，连接，

∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的边长是，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质并灵活运用，菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
6. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间
C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算等知识，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
先计算，再进行无理数的估算，即可作答．
【详解】解：
，
，
，
的值应在6和7之间，
故选C．
7. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ）
A. 0B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系：把的系数代入，根m代入确定进行计算，即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n，
∴
∴，
故选：B．
8. 海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（ ）
A. 12B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目所给公式代值计算即可．
【详解】解：由题意得，
∴，
故选：D．
9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，弧线分别相交于点M，N，画直线交于点；②连接并延长，以点为圆心，的长为半径画弧交的延长线于点；③连接，．下列说法错误的是（ ）
A. 四边形是平行四边形
B. 若与重合，则四边形是菱形
C. 若，则四边形是矩形
D. 若，则四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形和特殊平行四边形的判定，根据题意逐项进行判断即可．
【详解】解：由题意可得，垂直平分，，
∴，
∴四边形是平行四边形，故A选项正确；
若与重合，则与互相垂直平分，
∴四边形是菱形，故选项B正确；
由题意可得，垂直平分，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
若，则，
∴四边形是矩形，故选项C正确；
若，无法证明四边形是正方形，故选项D错误．
故选：D．
10. 如图，将边长为8的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点顺时针方向旋转．使点与点重合，点的对应点为，则图②中阴影部分的周长为（ ）
A. 9B. 10C. 16D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理以及菱形的判定与性质等，解答本题的关键是勾股定理以及菱形的判定．首先根据已知条件判断出，得到，，然后可设的长度为x，则，根据勾股定理列方程可解出x，最后证明阴影部分是菱形后，即可求出其周长．
【详解】解：如图，设交于G，旋转后交于点H，

由题意知，，，
又∵，
∴，
∴，，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴为菱形，
∴阴影部分的周长为：，
故选：D．
二、填空题，每小题4分，共24分．
11. 一元二次方程的一般形式是___________．
【答案】
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且．
【详解】解：，
去括号，得，
移项得，
原方程一般形式是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．
12. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a方程，解出即可．
【详解】解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
13. 有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握这个知识点是解题关键．
根据二次根式和分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
14. 请你写一个有两个相等实数根的一元二次方程______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0求解即可得．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
∴符合题意的一元二次方程可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
15. 如图，把矩形绕点按顺时针方向旋转，得到“L”形图案，、是对角线，则______°．
【答案】45
【解析】
【分析】题目主要考查旋转的性质及等腰三角形的判定、三角形内角和定理等，理解题意，根据旋转得出，即可求解．
【详解】解：∵矩形绕点按顺时针方向旋转得矩形，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，正方形的一个顶点的坐标为，则正方形顶点A的坐标是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形、三角形全等的判定与性质，作轴，轴，则，证明，得出，，即可求解．
【详解】解：如图，作轴，轴，则，
，
∵顶点的坐标为，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
三、解答题，共86分．
17. 计算：
（1）；
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算．解题的关键在于熟练掌握二次根式的性质进行化简并正确计算．
（1）先计算二次根式的乘法，然后化简，最后进行加减运算即可；
（2）先根据二次根式的性质进行化简计算括号里的，然后进行除法运算，最后进行加减运算即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，计算乘法，然后合并即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
．
18. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法进行求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴
解得：，．
【小问2详解】
，
，．
19. 一个菱形的周长是160，一条对角线长为40，求：
（1）该菱形另一条对角线的长度；
（2）该菱形的面积
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，菱形的周长与面积，掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的周长与面积公式是解题关键．
（1）根据题意得出边长是40，再由菱形的性质及勾股定理求解即可；
（2）根据菱形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵菱形的周长是160
∴边长40．
∵一条对角线长为40，
∴这条对角线的一半为20，
∴另一条对角线长为；
【小问2详解】
该菱形的面积为．
20. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
（1）求的值．
（2）求此时方程的根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用根的判别式为0，即可得出的值；
（2）将代入方程，然后利用完全平方公式即可得解
此题主要考查根的判别式以及完全平方公式的运用，熟练掌握，即可解题．
【小问1详解】
解：∵方程有两个相等的实数根
∴
解得：；
【小问2详解】
当时，代入原方程得，
解得．
21. 在正方形中，为对角线，E为上一点，连接．
（1）求证：．
（2）延长交于F，当时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质进行推理是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得出，根据即可证出结论；
（2）由等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
22. 鲁教版初中数学八年级下册14页有如下内容：
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．你能证明这个定理吗？
八年级一班的同学展开小组讨论．
卓越小组用倍长中线法展开证明：
延长至点，使，连接，通过证明三角形全等可证明定理如图1；
航天组通过构造矩形法展开证明：如图2；
蛟龙组认为如图3有中点D，可以构造三角形中位线证明该命题；
神州组认为可以通过建系的方法证明：
如图4，在直角坐标系中，分别在轴、轴上取点和点，构造任意一个，取中点，用求线段长度的方法得到．
你认为蛟龙组和神州组的方法是否可行，如果可行，请你按照他们的思路完成证明，如果不可行，请给出理由．
【答案】蛟龙组和神州组的方法都可行．证明见解析
【解析】
【分析】题目主要考查中位线的判定和性质，坐标与图形，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
蛟龙组：如图，取中点，连接，利用中位线的性质及线段垂直平分线的性质证明即可；神州组：设、点的坐标分别是，，根据两点之间的距离公式得出．再由中点坐标确定C点坐标为，继续利用勾股定理即可证明．
【详解】解：蛟龙组和神州组的方法都可行．
蛟龙组：
如图，取中点，连接，
∵、分别是、中点，
∴．
∵，
∴，即垂直平分，
∴，
∵，
∴，即；
神州组：
设、点的坐标分别是，
则斜边．
又C为中点，
∴C点坐标为，
∴斜边中线的长为 ，
∴．
23. 已知关于的一元二次方程的两个根是和．
（1）当时，求的值；
（2）若该方程的两个实数根，满足，求的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，熟知解一元二次方程的方法和根与系数的关系是解题的关键．
（1）由根与系数的关系得到，，再根据代值计算即可；
（2）由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：当时，原方程为，
∵关于的一元二次方程的两个根是和，
∴，，
∴
；
【小问2详解】
解：∵关于的一元二次方程的两个根是和，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得 ．
24. 如图1，矩形纸片中，要矩形纸片内折出一个菱形，现有两种方案：
甲：如图2，取两组对边中点的方法折出四边形EFGH．
乙：如图3，沿矩形的对角线折和，点、点对应点分别是、，、分别交BC、AD于点E，点F得到四边形．
甲方案和乙方案得到的四边形是否是菱形，如果是，请证明，如果不是请说明理由．
【答案】甲方案和乙方案得到的四边形都是菱形．见解析
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性较强，解题的关键是证明．
图2根据题意及全等三角形的判定和性质得出，，再由菱形的判定即可证明；图3根据矩形的性质及全等三角形的判定和性质得出，，再由菱形的盘判定即可证明．
【详解】解：甲方案和乙方案得到的四边形都是菱形．
图2∵点，，，分别是矩形四个边的中点，
∴，，，
∴（SAS）．
∴，
∴四边形是菱形．
图3∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．