2026年小升初数学思维强化训练专题11：工程问题的深度解析(知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场)(学生版+解析)

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知识梳理
1. 工程问题的基本概念
（1）工作总量：通常把一项工程的总工作量看作单位“1”。
（2）工作效率：单位时间内完成的工作量，如“甲每天完成 112”表示甲单独做需12天。
（3）工作时间：完成工作所需的时间。
（4）基本关系式：
工作总量 = 工作效率 × 工作时间
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率
2. 基本解题思路
（1）设单位“1”法：将总工程量设为“1”，是工程问题最常用的方法。
（2）效率相加原理：多人合作时，总效率 = 各人效率之和。
如甲效率 110，乙效率 115，合作效率为 110+115=16
（3）合作时间 = 1 ÷ 合作效率
3. 核心题型分类
4. 常用方法与技巧
（1）设总工作量法：当工作效率分母有公倍数时，可设总工作量为最小公倍数，化分数为整数计算。
如甲12天完成，乙15天完成，设总工作量为60（12与15的最小公倍数），则甲效率为5，乙效率为4。
（2）单位“1”法：适用于大多数标准题型，简洁明了。
（3）画线段图法：帮助理解“先做后合”或“轮流工作”的过程。
（4）列方程法：设未知数，根据“工作量和 = 1”列方程。
（5）周期分析法：用于轮流工作，先算一个周期完成量，再看几个周期后剩余多少。
5. 易错点提醒
（1）混淆“效率”与“时间”：效率是“每天做几分之几”，不是“做几天”
（2）合作效率未相加直接用时间除
（3）轮流工作未考虑“周期”完整性
（4）分段计算时漏掉已做部分
（5）未统一单位（如时间单位不一致）
（6）结果未化为最简分数
6. 解题步骤
（1）读题圈关键词：“单独做”“合作”“先做”“轮流”“效率提高”等
（2）确定类型：是合作？轮流？部分完成？
（3）设单位“1”或设总工作量
（4）计算各自效率
（5）分段或列式计算
（6）画图或列表辅助
7.列式求解，验算作答
例题讲解
【例题1】（合作完成型）
题目：甲单独完成一项工程需要10天，乙单独做需要15天。两人合作，需要多少天完成？
解析：
设工作总量为1
甲效率： 110，乙效率： 115
合作效率： 110+115=330+230=530=16
合作时间： 1÷16=6（天）
答：需要6天完成。
【跟踪训练】
题目：A单独完成一项工程需12天，B需18天。两人合作，需多少天完成？
【例题2】（部分完成型）
题目：一项工程，甲单独做需20天，乙需30天。甲先单独做5天，剩下的由两人合作，还需多少天完成？
解析：
甲效率： 120，乙效率： 130
甲5天完成： 5×120=14
剩余工作量： 1−14=34
合作效率： 120+130=360+260=560=112
所需时间： 34÷112=34×12=9（天）
答：还需9天完成。
【跟踪训练】
题目：一项工程，甲单独做需25天，乙需50天。乙先做10天，剩下的由两人合作，还需多少天完成？
【例题3】（轮流工作型）
题目：甲、乙两人轮流做一项工程，甲单独做需12天，乙需18天。他们按甲做1天、乙做1天的顺序轮流工作，从甲开始。问：多少天可以完成？
解析：
甲效率： 112，乙效率： 118
一个周期（2天）完成： 112+118=336+236=536
看需要几个周期： 1÷536=365=7.2，即7个周期后还剩 1−7×536=1−3536=136
第15天是甲做，甲一天做 112=336>136，所以甲做1天即可完成
总天数： 7×2+1=15 天
答：15天可以完成。
【跟踪训练】
题目：甲单独做一项工程需15天，乙需10天。按乙做1天、甲做1天的顺序轮流，从乙开始。问：多少天可以完成？
【例题4】（效率变化型）
题目：一项工程，甲单独做需24天。甲做了6天后，效率提高了 13，问：照此速度，还需多少天完成？
解析：
原效率： 124
6天完成： 6×124=14
剩余工作量： 1−14=34
效率提高 13，即新效率为： 124×1+13=124×43=118
所需时间： 34÷118=34×18=13.5（天）
答：还需13.5天完成。
【跟踪训练】
题目：一项工程，乙单独做需30天。乙做了10天后，效率提高了 15，问：还需多少天完成？
提升练习
1.一项工程，甲单独做需18天，乙需12天。两人合作若干天后，甲因病休息，乙单独又做了3天完成。已知工程共用9天，求甲做了多少天？
2.甲、乙、丙三人效率比为 2:3:4，他们合作6天完成工程的 35。求丙单独做需多少天？
3.一项工程，甲做2天、乙做3天可完成 12；甲做3天、乙做2天可完成 718。求甲单独做需多少天？
4.甲、乙两人轮流工作，甲每天做 120，乙每天做 130，按甲、乙、甲、乙……顺序，从甲开始。问：第几天完成？
5.一项工程，甲、乙合作需12天完成。甲单独做4天，乙单独做6天，共完成 13。求乙单独做需多少天？
6.甲效率是乙的 34，两人合作10天完成工程的 56。求甲单独做需多少天？
模拟赛场（奥数难度）
1.甲、乙两人合作一项工程需15天完成。甲做了5天后，乙加入，又合作6天完成全部工程的 35。求乙单独做需多少天？
2.一项工程，甲单独做需40天。甲做若干天后，乙加入，两人合作8天完成。已知乙效率是甲的 58，求甲先做了多少天？
3.甲、乙、丙三人轮流做工程，甲需30天，乙需20天，丙需15天。按甲、乙、丙顺序每人做1天轮流，从甲开始。问：第几天完成？
4.甲、乙合作12天完成一项工程。若甲先做3天，乙再做8天，只能完成 13。求甲单独做需多少天？
5.一项工程，甲做5天、乙做4天可完成 12；甲做4天、乙做5天可完成 1130。求两人合作需多少天？
6.甲、乙两人效率比为 4:5，他们合作6天后，甲效率提高 14，又合作4天完成全部工程。求乙单独做需多少天？
类型
关键特征
解题策略
合作完成型
两人或多人同时工作，求合作时间
求效率和，再求时间
部分完成型
一人先做，再合作，求剩余时间或总时间
分段计算，列方程
轮流工作型
甲做1天，乙做1天，交替进行
找“周期”工作量，再算剩余
效率变化型
中途效率改变（如加快、减慢）
分段计算，注意效率调整
逆向求解型
已知合作时间与效率，求某人单独时间
利用“总效率 - 已知效率 = 未知效率”
多队合作型
三队或以上合作，可能有退出或加入
统一效率，分阶段分析
参考答案及解析
一、跟踪训练答案
1.解：A效率 112，B效率 118，合作效率 112+118=336+236=536，时间 1÷536=365=715 天
答： 715 天。
2.解：乙效率 150，10天完成 10×150=15，剩余 45，合作效率 125+150=350，时间 45÷350=45×503=403=1313 天
答： 1313 天。
3.解：乙效率 110，甲效率 115，周期（2天）完成 110+115=16， 1÷16=6 个周期，共 6×2=12 天
答：12天。
4.解：原效率 130，提高 15 后效率为 130×65=125，10天完成 13，剩余 23，时间 23÷125=503=1623 天
答： 1623 天。
二、提升练习答案
1.解：设甲做 x 天，则合作 x 天，乙单独做 9−x 天。甲效率 118，乙 112。
x×118+112+9−x×112=1
解得 x=6
答：甲做了6天。
2.解：设效率为 2k,3k,4k，合作效率 9k， 9k×6=35 → k=190，丙效率 4k=490=245，时间 1÷245=22.5 天
答：22.5天。
3.解：设甲效率 a，乙 b，
2a+3b=12， 3a+2b=718
解得 a=118，故甲需18天
答：18天。
4.解：周期（2天）完成 120+130=112， 1÷112=12 个周期，共24天
答：24天。
5.解：设甲效率 a，乙 b， a+b=112， 4a+6b=13，解得 b=130，乙需30天
答：30天。
6.解：设乙效率 x，甲 34x， 34x+x×10=56 → 74x×10=56 → x=121，甲效率 34×121=128，甲需28天
答：28天。
三、模拟赛场答案
1.解：设甲效率 a，乙 b， a+b=115， 5a+6a+b=35，解得 b=125，乙需25天
答：25天。
2.解：设甲先做 x 天，甲效率 140，乙效率 58×140=164，
x40+8×140+164=1，解得 x=10
答：10天。
3.解：甲效率 130，乙 120，丙 115，周期3天完成 130+120+115=15，5个周期15天完成
答：15天。
4.解：设甲效率 a，乙 b， a+b=112， 3a+8b=13，解得 a=118，甲需18天
答：18天。
5.解：设甲效率 a，乙 b，
5a+4b=12， 4a+5b=1130，解得 a+b=110，合作需10天
答：10天。
6.解：设乙效率 x，甲效率 45x，
前6天完成 6×45x+x=6×95x=545x，
后4天甲效率 45x×54=x，完成 4x+x=8x，
总量： 545x+8x=945x=1 → x=594，乙效率 594，需 945=1845 天
答： 1845 天。