2026年小升初数学思维强化训练专题14：环形跑道的行程问题(知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场)(学生版+解析)

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知识梳理
1. 环形跑道基本特征
跑道为封闭图形，总长度固定，通常记为“一圈的长度”或“周长”。
运动员在跑道上循环运动，位置具有周期性。
常见运动方式：同向而行（追及问题）、反向而行（相遇问题）。
2. 核心概念与公式
速度：单位时间内走过的路程，单位如：米/秒、米/分。
时间：运动持续的时长。
路程：实际走过的距离。
基本关系式：
（1）相遇问题（反向而行）：
两人从同一地点或不同地点出发，相向而行，在环形跑道上相遇。
（2）第一次相遇时，两人路程之和 = 一圈的长度。
多次相遇：第 n 次相遇时，路程和 = n×一圈长度。
（3）追及问题（同向而行）：
速度快者追赶速度慢者。
（4）第一次追上时，速度快者比慢者多跑一圈。
多次追及：第 n 次追上时，路程差 = n×一圈长度。
3. 基本公式总结
4. 常见题型分类
5. 解题步骤（四步法）
判断运动方向：同向（追及）？反向（相遇）？
确定初始状态：是否同时出发？是否同地出发？
建立模型：套用“路程和 = n×圈长”或“路程差 = n×圈长”。
列式计算：注意单位统一，分数化简，结果合理。
6. 易错点提醒
（1）混淆“同向”与“反向”模型，误用公式。
（2）忽略“第一次相遇”或“第一次追上”的条件。
（3）多次相遇时未乘以 n。
（4）计算相遇地点时未取模（余数）。
（5）单位不统一（如速度是米/分，时间是秒）。
（6）分数未约分，如 1218 应化为 23。
7. 重要思想方法
数形结合：画环形图，标出运动方向与相遇点。
周期思想：相遇/追及具有周期性，周期为“相遇一次所需时间”。
设数法：当圈长未知时，可设为1或最小公倍数，便于计算。
相对速度法：反向时相对速度为 v1+v2，同向时为 |v1−v2|。
例题讲解
【例题1】（基本相遇问题）
题目：在一个400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一地点同时出发，甲每分钟跑120米，乙每分钟跑80米，两人反向而行。问：多少分钟后两人第一次相遇？
解析：
反向而行，属于相遇问题。
相遇时，两人路程和 = 一圈长度 = 400米。
速度和 = 120+80=200（米/分）
相遇时间 = 400200=2（分钟）
答：2分钟后两人第一次相遇。
【跟踪训练】
题目：在一个300米的环形跑道上，小张和小王从同一地点同时出发，小张每分钟跑90米，小王每分钟跑60米，两人反向而行。问：多少分钟后两人第一次相遇？
【例题2】（基本追及问题）
题目：在同一400米环形跑道上，甲、乙从同一地点同时出发，甲每分钟跑120米，乙每分钟跑80米，两人同向而行。问：多少分钟后甲第一次追上乙？
解析：
同向而行，属于追及问题。
第一次追上时，甲比乙多跑一圈 = 400米。
速度差 = 120−80=40（米/分）
追及时间 = 40040=10（分钟）
答：10分钟后甲第一次追上乙。
【跟踪训练】
题目：在一个500米的环形跑道上，小李每分钟跑110米，小赵每分钟跑90米，两人从同一地点同时同向出发。问：多少分钟后小李第一次追上小赵？
【例题3】（多次相遇问题）
题目：甲、乙在周长为360米的环形跑道上，从同一地点同时反向出发，甲的速度是每分钟70米，乙是每分钟50米。问：出发后12分钟内，两人共相遇多少次？
解析：
速度和 = 70+50=120（米/分）
第一次相遇时间 = 360120=3（分钟）
相遇周期为3分钟。
12分钟内相遇次数 = 123=4（次）
答：共相遇4次。
【跟踪训练】
题目：在一个480米的环形跑道上，A、B两人从同一地点反向出发，A每分钟跑100米，B每分钟跑60米。问：出发后20分钟内，两人共相遇多少次？
【例题4】（相遇地点问题）
题目：在一个600米的环形跑道上，甲、乙从同一地点同时出发，甲每分钟跑150米，乙每分钟跑100米，两人反向而行。问：第三次相遇时，相遇点距离起点多少米？（按甲的路线计算）
解析：
速度和 = 150+100=250（米/分）
一圈长600米，第一次相遇时间 = 600250=125 分钟
第三次相遇时间 = 3×125=365 分钟
甲跑的路程 = 150×365=1080（米）
1080 ÷ 600 = 1 圈余 480 米
所以相遇点距起点 480 米（沿甲方向）
答：相遇点距离起点 480 米。
【跟踪训练】
题目：在一个400米的环形跑道上，小明每分钟跑120米，小华每分钟跑80米，两人从同一地点反向出发。问：第二次相遇时，相遇点距离起点多少米？（按小明的路线计算）
提升练习
1.甲、乙在周长为500米的环形跑道上同向而行，甲每分钟跑130米，乙每分钟跑105米，同时从同地出发。问：多少分钟后甲第二次追上乙？
2.两人在300米环形跑道上反向跑步，速度比为3:2，6分钟后第一次相遇。求两人的速度各是多少？
3.甲、乙从同一地点出发，甲每分钟跑140米，乙每分钟跑100米，同向而行。问：在甲第一次追上乙后，再过多久甲第二次追上乙？
4.在一个600米环形跑道上，甲、乙反向而行，速度分别为每分钟90米和60米。问：出发后15分钟内，两人共相遇多少次？
5.甲、乙在400米跑道上同向而行，甲每分钟跑120米，乙每分钟跑100米。问：第一次追上时，乙跑了多少米？
6.两人在周长为 720 米的环形跑道上，从相距 180 米的两点同时出发，反向而行，速度分别为每分钟 110 米和 70 米。问：多少分钟后两人第一次相遇？
模拟赛场（奥数难度）
1.甲、乙在周长为 400 米的环形跑道上，从同一地点同时出发，甲每分钟跑 105 米，乙每分钟跑 95 米，同向而行。问：第 5 次追上时，甲共跑了多少米？
2.两人在 500 米环形跑道上反向而行，速度比为 3:2，出发后 10 分钟内相遇了 4 次。求两人的速度。
3.甲、乙从同一点出发，同向而行，甲每分钟比乙多跑 20 米，一圈长 300 米。问：第 3 次追上时，甲比乙多跑了多少米？
4.在一个 600 米环形跑道上，甲每分钟跑 120 米，乙每分钟跑 80 米，反向出发。问：第 4 次相遇时，甲共跑了多少米？
5.甲、乙在 800 米环形跑道上同向而行，甲每分钟跑 150 米，乙每分钟跑 130 米。问：出发后 40 分钟内，甲共追上乙多少次？
6.两人从环形跑道上相距 200 米的两点同时出发，同向而行，速度快者每分钟跑 110 米，慢者每分钟跑 90 米，一圈长 500 米。问：多少分钟后快者第一次追上慢者？
问题类型
条件
公式
相遇问题（反向）
两人速度分别为 v1、 v2，一圈长 S
第 n 次相遇时间： t=n×Sv1+v2
追及问题（同向）
两人速度分别为 v1>v2，一圈长 S
第 n 次追及时间： t=n×Sv1−v2
题型
特征
解题要点
同时同地出发
从同一点同时出发
同向：追及；反向：相遇
同时不同地出发
起点相距一段弧长
需先补足距离差
多次相遇/追及
求第几次相遇时间或地点
利用“n圈和”或“n圈差”
相遇次数问题
给定时间，求相遇次数
总路程和 ÷ 一圈长度，向下取整
相遇地点问题
求第n次相遇点距起点多远
用其中一人路程 ÷ 一圈长度，取余数
参考答案及解析
一、跟踪训练答案
1.解：
速度和 = 90+60=150（米/分）
相遇时间 = 300150=2（分钟）
答：2分钟后第一次相遇。
2.解：
速度差 = 110−90=20（米/分）
追及时间 = 50020=25（分钟）
答：25分钟后第一次追上。
3.解：
速度和 = 100+60=160（米/分）
一圈480米，第一次相遇时间 = 480160=3（分钟）
20分钟内相遇次数 = 203≈6.67，取整为 6 次
答：共相遇6次。
4.解：
速度和 = 120+80=200（米/分）
第一次相遇时间 = 400200=2（分钟）
第二次相遇时间 = 4 分钟
小明跑的路程 = 120×4=480（米）
480÷400=1 圈余 80 米
答：距离起点 80 米。
二、提升练习答案
1.解：
速度差 = 130−105=25（米/分）
第二次追及时间 = 2×50025=100025=40（分钟）
答：40分钟后。
2.解：设速度为 3x、 2x，速度和 = 5x
5x×6=300 → 30x=300 → x=10
速度分别为 30 米/分、 20 米/分
答：30米/分，20米/分。
3.解：
速度差 = 120−100=20（米/分）
追及周期 = 40020=20（分钟）
第一次追上后，再过 20 分钟第二次追上
答：20分钟。
4.解：
速度和 = 90+60=150（米/分）
相遇周期 = 600150=4（分钟）
15÷4=3.75 → 相遇 3 次
答：3次。
5.解：
追及时间 = 400120−100=20（分钟）
乙跑的路程 = 100×20=2000（米）
答：2000米。
6.解：
相向而行，需合走 180 米（较短弧）或 540 米？取最小距离 180 米
速度和 = 110+70=180（米/分）
相遇时间 = 180180=1（分钟）
答：1分钟后。
三、模拟赛场答案
1.解：
速度差 = 105−95=10（米/分）
第5次追及时间 = 5×40010=200（分钟）
甲跑的路程 = 105×200=21000（米）
答：21000米。
2.解：设速度为 3x、 2x，速度和 = 5x
5x×10=4×500=2000 → 50x=2000 → x=40
速度为 120 米/分、80 米/分
答：120米/分，80米/分。
3.解：
每追上一次多跑一圈，3次共多跑 3×300=900（米）
答：900米。
4.解：
速度和 = 120+80=200（米/分）
一圈600米，第一次相遇时间 = 600200=3（分钟）
第4次相遇时间 = 12 分钟
甲跑的路程 = 120×12=1440（米）
答：1440米。
5.解：
速度差 = 150−130=20（米/分）
追及一次时间 = 80020=40（分钟）
40分钟内追上 4040=1 次
答：1次。
6.解：
同向而行，快者需多跑 200 米才能追上
速度差 = 110−90=20（米/分）
追及时间 = 20020=10（分钟）
答：10分钟后。