2026湖北省楚天协作体高二下学期4月期中数学试题含解析

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1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本函数的导数公式及导数运算法则逐项求导即可.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
2. 下列选项中不是数列的通项公式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对各选项的通项公式进行化简，并考虑为奇数或偶数时各通项公式的取值，即可判断
【详解】对于选项A.
当为奇数时，，当为偶数时，
即，是题中数列的通项公式；
对于选项B.显然是题中数列的通项公式.
对于选项C.
当为奇数时，，当为偶数时，
所以C选项是题中数列的通项公式
对于选项D
当为奇数时，，当为偶数时，
所以D选项不是题中数列的通项公式.
3. 已知函数，若，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用导数的定义及运算法则列式求解.
【详解】由，得，
函数，求导得，
则，所以.
4. 某大学在东、南、西、北及东南五个方向上各有一个校门，如果一在校大学生从其中任意一个校门进入学校，并且要求从其它的校门出去，那么共有（ ）种进出学校的方式．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查分步乘法计数原理，分别确定进校门和出校门各有多少种情况，两者相乘，即可解决总的进出学校的种数.
【详解】学校共有个校门，学生任选一个进入共有种选择；
出校门则从其他个校门任选一个，共有种选择，
所以，根据分步乘法计数原理，总的进出学校的方式共有种.
5. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数与函数单调性的关系得到不等式，结合参数分离及均值不等式求解参数范围.
【详解】函数在上单调递增，等价于对任意恒成立.
​由恒成立，移项得.
对，由基本不等式​，当且仅当​，
即等号成立，因此​的最小值为.
要使恒成立，则​，即.
6. 已知数列为等比数列，，则（ ）
A. B. 3C. 9D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】运用等比数列的通项的性质求解.
【详解】设数列的公比为，那么
，
因为
则，，所以.
7. 将6个各不相同的小球全部放入4个颜色各不相同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，其中红色盒子至多放两个小球，则一共有（ ）种不同的放法．
A. 480B. 540C. 1440D. 4320
【答案】C
【解析】
【分析】若红色盒子放一个小球，则剩下三个盒子按照或来放；若红色盒子放两个小球，则剩下三个盒子按照来放，再利用分组分配知识解决.
【详解】若红色盒子放一个小球，则剩下三个盒子按照或来放，
若按照来放，有种；
若按照来放，有种,
若红色盒子放两个小球，则剩下三个盒子按照来放，
共有种；
故一共有种不同的放法.
8. 已知函数和定义域为为偶函数，且对任意实数，都有恒成立，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造新函数，利用导数判断其单调性，然后根据偶函数，所以可得到新构造函数的奇偶性，利用奇偶性简化分析，最后将目标不等式变形为与相关的不等式，结合的单调性和奇偶性求解.
【详解】 原不等式右边整理得：，结合，原不等式转化为： ，
由定义域得，即，两边除以得： ，
构造函数，则不等式等价于，
，由题设恒成立，
当时，，故，在单调递增；
当时，，故，在单调递减，
又是偶函数，故，即是偶函数，
由偶函数性质：，结合在单调递增，
等价于： ：或，即或，
因此不等式的解集为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 若，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【详解】已知.
令，得，选项A错误.
由二项式通项，令得，
则，选项B正确.
令，得，
代入得，选项C错误.
令，得，
时，.
两式相减，解得，选项D正确.
10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则在上无极值点
B. 若，则在上单调递增
C. 当，若关于的方程有三个实根，则
D. 当，若在区间上最大值为，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题目条件求出导函数，利用选项条件结合导函数的单调性和极值点逐一分析.
【详解】由题可得：，判别式，逐个分析选项：
选项A：若，则，由得，
结合得，因此开口向上，
恒成立，没有变号零点，在上单调，故无极值点，A正确；
选项B：若，开口向上，对称轴为，
在上单调递增，因此，
故在上单调递增，B正确；
选项C：当时，，
，令，则，，
，；，；，
故极大值，极小值，
有三个实根等价于，C错误；
选项D：当，解方程，因式分解得，
根为和，在递增，递减，递增，
要使区间最大值为，需满足：
①（否则不包含极大值点，最大值小于）；
②（若，区间内存在使得，最大值大于），故，D正确
11. 已知数列的前项和为且，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列为等比数列
B. 若，在与之间插入个数使这个数组成一个公差为的等差数列，则
C. 若，则数列的前2026项的和为
D. 若，在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数由小到大组成新数列，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据an+1,Sn的关系式化简计算可得A错误，利用等差数列性质计算可得B正确，由三角函数周期性以及数列的通项公式计算可得C正确，根据插入值之间的规律利用错位相减计算可判断D正确.
【详解】由可得an=2Sn−1+1n≥2，
两式相减可得，即，
当时，a2=5≠3a1，所以数列不一定是等比数列，即A错误；
由可知a2=2S1+1=2a1+1=3 ，
此时数列是以为首项，公比的等比数列，因此可得an=3n−1,an+1=3n，
在与之间插入个数使这个数组成一个公差为的等差数列，则dn=an+1−ann+1=3n−3n−1n+1=2×3n−1n+1，所以B正确；
由an+1=3n可得bn=lg3an+1=n ，所以cn=bncs2nπ3=ncs2nπ3，
又因为cs2nπ3=cs2n+3π3=cs2nπ3+2π=cs2nπ3，因此cs2nπ3的最小正周期为3，
易知cs2π3=−12,cs4π3=−12,cs2π=1 ,
将数列的前2026项按周期分组，每组3项，第组对应组内的值依次为c3m−2=−123m−2,c3m−1=−123m−1,c3m=3m,
每组的和为Sm=c3m−2+c3m−1+c3m=−123m−2−123m−1+3m=32；
因此数列的前2026项的和为c1+c2+···+c2025+c2026=c1+c2+c3+···+c2023+c2024+c2025+c2026
=675c1+c2+c3−12×2026=675×32−12×2026=−12，即C正确；
插入数的位置规律为时a1,e1,a2成等差数列，时a2,e2,e3,a3成等差数列;
易知1+2+3+···+63=2016 ，所以i=64 时a64,e2017,e2018,···,e2026,···,a65成等差数列，
该数列的公差为364−36365=265×363,因此e2026=363+10×364−36365=363+2×2×36313=17×36313，即D正确.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则在（1，1）处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义可求出结果.
【详解】函数的定义域为，
，，，
所以在（1，1）处的切线方程为，即.
故答案为：.
13. 3名女生和3名男生站成一排拍照留影，男生甲不站两端，女生乙和丙必须相邻，一共有___________种不同的站法．（用数字回答）
【答案】144
【解析】
【分析】根据捆绑法结合特殊元素优先的原则首先排女生乙丙和男生甲，然后排没有限制的元素，最后根据分步计数原理即可得出答案.
【详解】因为女生乙、丙必须相邻，先将二人捆绑为一个整体，二人内部有2种排列方式，
此时原6人简化为5个元素（整体+其余4人），
要求男生甲不站两端，5个元素的排列中共有2个端点位置，
甲不能选，因此甲有个位置可选，即3种站法，
剩余4个元素无特殊要求，全排列有种站法，
根据分步乘法计数原理，总站法为：.
14. 已知函数的极值点为，函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定函数，通过整理不等式构造新函数，利用函数的单调性、最值来解决恒成立问题.
【详解】因为的定义域为，极值点为，
则满足，解得，因此.
将代入不等式得，
整理变形，令，，
不等式转化为对所有可能的恒成立.
对​求导得​，
当时，，当时，，
可知在处取最大值，​因此的取值范围是.
令，求导得​，
因此在上单调递减，在上单调递增，且，
若，在单调递减，，满足；
若，则存在（是的另一个大于的根），使得，不满足；
要使所有满足，只需，
即，结合（有意义），得.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为且．
（1）求；
（2）若，数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知解出基本量，利用等差数列通项公式即可求解；
（2）利用裂项相消法求和即可求，进而得证..
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
所以，解得，
所以；
【小问2详解】
由（1）有，
所以，
又，当时，取最小值，即，
所以.
16. 已知函数，且在处切线斜率为．
（1）求的值及的值域；
（2），求的极值．
【答案】（1）；
（2）的极大值为，极小值为
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，由切线斜率列方程求参数；再通过导数分析单调性，确定函数最小值，结合极限趋势求值域；
（2）先写出的表达式，用商的求导法则求导，通过导数符号分析单调性，进而确定极大值和极小值.
【小问1详解】
首先对求导，由乘积求导法则：，
在处切线斜率为，代入得：
因此，导数为，因，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故的最小值为.
又时，；时，.
因此的值域为.
【小问2详解】
已知，由商的求导法则得.
由于，则的符号由决定，
临界点为，单调性如下：
因此在处取极大值为；
在处取极小值为.
17. 已知的展开式中的前三项的二项式系数和为172，其中．
（1）求；
（2）求展开式中含的项；
（3）展开式中系数最大项是第几项？
【答案】（1）
（2）
（3）7
【解析】
【分析】（1）利用二项式系数的定义计算可解得；
（2）根据二项展开式的通项计算即可；
（3）利用展开式中通项的系数，解不等式可得，因此展开式中系数最大项是第7项.
【小问1详解】
依题意可知，整理可得，
即,
又，解得；
【小问2详解】
因为，
令，解得；
因此展开式中含的项为
【小问3详解】
易知第项的系数为，
令，可得；
解得，又，
可得，因此展开式中系数最大项是第7项.
18. 已知数列的首项且，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前项的和；
（3）若，且不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）对取倒数，将代入化简可得，结合等比数列定义证明即可.
（2）根据（1）得到，结合等差数列及等比数列的前项和公式分组求和即可.
（3）求出，分为奇数或偶数两种情况，对分离参数，分别求出最值即可.
【小问1详解】
证明：由，得，
又，则，所以，即.
又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知，.
当为奇数时，；当为偶数时，；
所以
.
【小问3详解】
由（2）知，.
则不等式可化为.
①当为奇数时，不等式可化为，
则，
令，因为为奇数，则，
函数在上的最小值为，所以的最大值为，
所以.
②当为偶数时，不等式可化为，
则，
令，因为为偶数，则，
函数在上的最小值为，所以的最小值为，
所以.
综上，.
所以实数的取值范围.
19. 已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（3），设是方程的两根，且，证明：．
【答案】（1）
（2） （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）考虑导函数的单调性判断导函数的最值，求得函数在定义域内单调递增；
（2）求出导函数的最值，再根据的取值分类讨论；
（3）根据，是方程的根，设，并根据条件将，，都用表示，最后构造函数证明的等价命题.
【小问1详解】
当时，，
则
设，
则
当时，，单调递减，当时，，单调递增
所以，在时取最小值，，即有
因此有，即在定义域上单调递增
综上所述，当时，的单调增区间为，无单调减区间
【小问2详解】
对函数求导得，
设，则，当时，，即单调递增
所以对于，有
故对，有
若，则，有，即在上单调递增
因，所以此时对任意的，恒成立；
若，因在上单调递增，所以在上单调递增且趋于正无穷，故存在使得
因，且在上，故，有，不满足题意
综上所述，实数的取值范围为
【小问3详解】
方程化简得，，为该方程两根，且
设，即，则，两式相减得，
因此，化简得，则
又因，得
要证明，即要证明，化简得
设，，
则，
设，，
则，对，，故在区间上单调递增
则，有，当且仅当时等号成立，故在区间上单调递增
则，有当且仅当时等号成立
故，有
综上所述，当时，，即
区间
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增