湖北省楚天协作体2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 含解析

这是一份湖北省楚天协作体2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 含解析，共20页。试卷主要包含了 已知事件 ， 满足 ， ，则等内容，欢迎下载使用。
时间：2025 年 1 月 14 日 15：00-17：00 试卷满分：150 分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考场号，座位号填写在试卷和答题卡上，并将
准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域上的答案均无效.
3.非选择题的作答，用黑色签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和
答题卡上的非答题区域上的答案均无效.
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 已知直线 ，直线 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两直线垂直 斜率关系可得直线 的斜率，即可得其倾斜角.
【详解】由直线 ，则其斜率 ，
设直线 的倾斜角为 ，则有 ，故 ，
由 ，故 .
故选：A.
2. 双曲线 的渐近线方程为 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】根据双曲线方程得出双曲线的渐近线再计算求参.
【详解】因为双曲线方程为 ，所以 ，
所以渐近线方程为 ，即得 ，所以 .
故选：D.
3. 已知数列 满足： ， ，则 所有可能的取值的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先算出前面几项，再根据规律得到周期，可解.
【详解】依题意， ， ， ， ， ，…，
所以 是周期为 3 的周期数列，根据选项，结合集合元素无序性.
故选：C.
4. 如图，在正四面体 中，过点 作平面 的垂线，垂足为点 ，点 满足 ，
则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的基本定理结合空间向量的线性运算可得出 关于 、 、 的表达式.
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【详解】记线段 的中点为 ，由正四面体的性质可知， 为 的重心，
因为 为 的中点，则 ，所以， ，
所以， ，所以
所以
.
故选：B
5. 已知事件 ， 满足 ， ，则（ ）
A. 若 与 相互独立，则
B. 若 与 互斥，
C. 因为 ，所以 与 相互对立
D 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】A 项，根据相互独立事件同时发生概率乘法公式可得；B 项，由互斥事件定义可知两事件不可能同
时发生即可判断；C 项，不能判断是否互斥与对立；D 项，由 可得.
【详解】选项 A，若 与 相互独立，则 与 相互独立，
所以 ，故 A 错误；
选项 B，若 与 互斥，则 ， 不可能同时发生，即 ，故 B 错误；
选项 C， ，则由于不确定 与 是否互斥，
所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，
设事件 “出现奇数点”；事件 “出现点数不大于 3”，
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则 ， ，但事件 ， 并不互斥，也不对立，故 C 错误；
选项 D，若 ，则 ，则 ，故 D 正确.
故选：D.
6. 已知圆 上的所有点都在第一象限，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将圆的一般方程化成标准方程，结合题意得到不等式组，解之即得.
【详解】由 ，配方得 ，
则该圆圆心为 ，半径为 3，由题意可得 解得 ，
故实数 的取值范围是 .
故选：A.
7. 已知 是等比数列，前 项和为 ，且满足 ， ，则 等于（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据 可得 ，进而根据 可得 ，结合
等比数列性质可知， 也为等比数列，从而求得前 项和.
【详解】设等比数列 的公比为 ， ，则得到 ，
故 ，得 或 1（舍去），
， .
设 ，由等比数列性质可知，数列 也为等比数列，
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且首项为 ，公比为 4，故 .
故选：C.
8. 已知双曲线 与直线 相交于 ， 两点，其中 中点的横坐标为 ，则该双曲线的
离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出弦 的中点坐标，再利用点差法列式求出离心率.
【详解】设 ， 中点 ，则 ， ，
，两式相减得 ，经检验成立.
所以该双曲线的离心率为 .
故选：B
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则（ ）
A. 的前 10 项和为 50 B. 是递增数列
C. 当 时， 取得最小值 D. 若 ，则 的最小值为 11
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出通项公式 ，对于 A，直接算出和即可；对于 B，运用数列的函数特征判定即可；
对于 C，根据数列函数特征，找出正负相邻项即可；对于 D，根据数列增减性，结合 判定即可.
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【详解】解析：设 公差为 ，则 ，
， ， ，
对于 A： ，知 A 正确；
对于 B，由 知 B 正确；
对于 C，由通项公式知道 ， 知 C 错误；
对于 D，由 时， ，且 ，知 D 正确.
故选：ABD.
10. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，则（ ）
A. 直线 与 所成角的余弦值为
B. 平面
C. 点 到直线 的距离为 1
D. 在 上 投影向量为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A，利用向量的方法求解夹角余弦值. 对于 B，要判断直线与平面平行，可根据直线与平面内
一条直线平行且直线不在平面内来判断. 对于C，求点到直线的距离，可利用向量的投影等知识求解即可. 对
于 D，求向量在另一个向量上的投影向量，根据投影向量的定义进行计算.
【详解】如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，
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则 ， ， ， ， ， ， ，
且 ， 分别为棱 ， 的中点，可知 ， ，
可得 ， ， ， ，
对于选项 A：因为 ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 ，故 A 错误；
对于选项 B： ， ，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，解得 ，
所以 ， ，因为 ，所以 平面 ，B 选项正确；
对于选项 C：因为 在 方向上的投影向量的模长为 ，且 ，
点 到直线 的距离为 ，故 C 正确；
对于选项 D： 在 上的投影向量为 ，D 错误.
故选：BC.
11. 已知直线 经过抛物线 的焦点 ，且与 交于 ， 两点，过 ， 分别作直线
的垂线，垂足依次为 ， ，若 长的最小值为 4，则下列结论正确的有（ ）
A.
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B. 若 的倾斜角为 ，点 在第一象限，则
C. 若 ，则 的斜率为 1
D. 若点 ， 在 上，且 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据通径为焦点弦最短弦列式求解 判断 A；联立直线与抛物线，求出交点坐标，结合焦半径公
式 利 用 向 量 共 线 的 概 念 判 断 B； 根 据 焦 半 径 公 式 列 式 求 解 判 断 C； 利 用 向 量 坐 标 运 算 得
，进而利用焦半径公式求解判断 D.
【详解】对于 A：由题意得抛物线的焦点 ，准线方程为 ，
因为 长的最小值为 4，所以 ，解得 ，故 A 正确
对于 B：所以抛物线的方程为 ，
设直线 方程为 ， ， ，
联立 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
由抛物线的定义可得 ， ，
，若 的倾斜角为 ，则 ，
所以 ， ，所以 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，所以 ，故 B 正确；
对于 C：若 ，则 ，所以 ，
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所以 ，所以 ，所以 ，
解得 ，所以直线 的斜率为 1 或 ，故 C 错误；
对于 D：设 ， ，由 ，得 为 的重心，
所以 ， ，
所以 ，故 D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 椭圆 上的点 到直线 的最短距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】设与直线 平行且与椭圆相切的直线方程为 ，联立直线与椭圆方程，
消元，根据 求出 的值，再求出平移直线间的距离，即可得解.
【详解】设与直线 平行且与椭圆相切的直线方程为 ，
联立方程 ，消去 得
整理得 ，
所以 ，解得 ，
当 时，两平行直线的距离为 ，
当 时，两平行直线的距离为 .
所以点 到直线 的最短距离为 .
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故答案为：
13. 已知圆 ，圆 ，其中 ， ，若两圆外切，则 的
取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由两圆外切推出 ，将其理解为以 为圆心，半径为 2 的圆，而把 看成过
点 与点 的直线的斜率，结合图形需使直线与圆 有公共点，即可求得其范
围.
【详解】圆 ，则 ，半径 ，
圆 ，则 ，半径 ，
因为两圆外切，所以 ，
即 ，即 ，
则点 在以 为圆心，半径为 2 的圆上，即在圆 上，
令 ，则 表示过点 与点 的直线的斜率，
则该直线一定过点 ，且与圆 有公共点，
由题意作图，由图可知该直线斜率一定存在（若斜率不存在，则直线与圆相离），
设该直线方程为 ，即 ，
设圆心 到直线的距离为 ，则 ，即
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解得 ，即 的取值范围是 .
故答案为： .
14. 在长方体 （如图 1）中，已知 ， ，上底面 绕着其中
心旋转 得到一个十面体 （如图 2），则该十面体的外接球的体积为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出外接球的半径，利用球的体积公式计算即可
【详解】该十面体的外接球的球心是上下底面中心连线的中点，该点到该十面体每个顶点的距离均为
，
所以这个十面体的外接球的半径为 ，
所以体积 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将两次得到的点数分别记为 ， .
（1）求 是奇数的概率；
（2）求直线 与双曲线 有公共点的概率.
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）先求出基本事件的总数，再用列举法求出随机事件中基本事件的个数，利用古典概型的概率
公式可求概率；
（2）先求出直线 与双曲线 有公共点时 满足的条件，从而得到随机事件中基本事
件的个数，再根据古典概型的概率公式可求概率.
【小问 1 详解】
由题意可知，基本事件的总数为： .
设 “ 是奇数”为事件 ，
则事件 包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， 共 18 个，
所以
【小问 2 详解】
设“直线 与双曲线 有公共点”为事件 ，
因为双曲线 的渐近线为 ，所以 ，得 ，
则事件 包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， 共 15 个,
故 .
16. 已知圆 关于直线 的对称圆的圆心为 ，直线 过点 .
（1）若直线 与圆 相切，求直线 的方程；
（2）若直线 与圆 交于 ， 两点， ，求直线 的方程.
【答案】（1） 或
（2） 或
【解析】
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【分析】(1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可；
(2)由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可.
【小问 1 详解】
由题意可知圆 的圆心坐标 ，半径 ，
当直线 的斜率不存在时，因为直线 过点 ，所以直线 的方程为 ，此时直线与圆相切，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设斜率为 ，因为直线 过点 ，
设直线的方程为 ，化为一般式： ，
直线 与圆 相切，则 ，解得 ，
所以直线 的方程为： ，即 ，
综上，当直线 与圆 相切，直线 的方程为 或 ；
【小问 2 详解】
圆 的圆心坐标 ，半径 ，
设 ，因为圆 关于直线 的对称圆的圆心为 ，
所以 ，解得 ，
即圆 的圆心为 ，半径为 4，
当直线 斜率不存在时，因为直线 过点 ，直线 的方程 ，此时圆心到直线距离等于 ，
，符合；
当直线 斜率存在时，直线的方程为 ，化为一般式： ，
圆心 到直线 的距离 ，
若直线 与圆 交于 ， 两点， ，
根据勾股定理可得 ，
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即 ，解得 ，
所以直线 的方程为 或 .
17. 如图，在五棱锥 中，平面 平面 ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若四边形 为正方形，且 ， ， 为边 的中点， ，当
取何值时，直线 与平面 所成的角最小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系求解线面角的正弦值结合正弦函数的值域得出正弦值的最小值即可得出最小角.
【小问 1 详解】
因为平面 平面 ， ， 平面 ，平面 平面
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又因为 ， ，且 ， 平面
所以 平面 .
【小问 2 详解】
以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直间直角坐标系.
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由 ，则 ， ， ，
可得 与 轴夹角为 ，所以 ，
，
，
， ，平面 的法向量记为
由 得
令 ，得
即 ，当 时，等号成立，
即 时，直线 与平面 的所成的角取得最小值
18. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式.
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
（3）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存
在 3 项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在，
请说明理由.
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【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据 的关系即可作差求解，
（2）根据错位相减法，结合等比数列的求和即可得解，
（3）根据等差数列的性质可得 ，即可根据等差中项以及等比中项的性质得矛盾求解.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
两式相减，得 .
数列 是等比数列，
又 时，代入可得 ，
，
【小问 2 详解】
因为 ，
所以， ①，
则 ②，
①-②得
，
因此，
【小问 3 详解】
由题意得 ，即 ，故 ，
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假设在数列 中存在三项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列，则 ，
即 ，
①
、 、 成等差数列， ，则①式可化为 ，故 .
这与题设矛盾， 在数列 中不存在三项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列
19. 已知点 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 的作用下，点 对
应到点 ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.如： 在变换 的作用下
得到 .
（1）已知曲线 在 的作用下得到曲线 ，求 的方程；
（2）已知椭圆 在变换 下保持位置关系不变性，即点 在曲线 上，
在变换 下点 也在曲线 上；直线 与 相切，在变换 下直线 与曲线 也相切.已知点
是 上一动点，直线 是 在 处的切线.用上述结论求 的方程；
（3）已知直线 与曲线 在第四象限的交点为 ， 在 处的切线
被 所截得的弦长记为 ，求 .
【答案】（1）
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（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义求解即可.
（2）根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义可得 的方程为 ，进而求出圆 的切线方
程，然后再根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换即可得出椭圆的切线；
（3）根据题意求出 ，结合（2）求出切线方程与椭圆方程联立，然后利用曲线的弦长公式即
可求出 ，然后求和即可
【小问 1 详解】
设 上任意一点 ， 上任意一点 ，
由题意得 ，所以 ，得 ，
所以 的方程为 ，
【小问 2 详解】
椭圆 上任意一点 在变换 下的 上对应点 ，
所以 代入 可得 ，
所以 的方程为 ，
点 在变换 下的 的坐标为 ，
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所以直线 与圆 在 处相切，
设直线 在 处与圆 相切，
在 上任取不同于 的点，
所以 ，所以 ，
即 ，
所以圆 在点 处的切线为 ，
所以圆 在 的切线 为 ，
设 上任取一点 ，则对应于直线 上一点 ，
则有 代入 ，
得 ，所以 的方程为
【小问 3 详解】
由 ，解得 ，即 ，
由（2）得 在 处的切线方程为 ，
设 在 处的切线与 交于两点分别为 ， ，
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由 ，消元得 ，
整理得 ，所以 ， ，
所以 ，
所以
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来
创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实
现信息的迁移，达到灵活解题的目的，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的
性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
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