湖北省楚天协作体2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题 含解析

这是一份湖北省楚天协作体2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题 含解析，共19页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 对任意实数 x，有 等内容，欢迎下载使用。
命题学校：云梦一中 命题救师：孙小锋 审题学校：安陆—中
考试时间：2025 年 4 月 10 日下午 15：00-17：00 试卷满分：150 分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内、写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
1. 已知点 关于直线 对称的点为 ，则直线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，直线 为线段 的垂直平分线，求出线段 的垂直平分线方程，即为所求.
【详解】由题意可知，直线 为线段 的垂直平分线，且 ，
所以直线 的斜率为 ，
又因为线段 的中点为 ，所以直线 的方程为 ，
整理可得 .
故选：C.
2. 若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）
第 1页/共 19页
A. B. 9 C. D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由离心率的定义即可求解.
【详解】由题意可知： ，
所以 ，
解得： ，
故选：B
3. 已知 为等差数列 的前 n 项和，若 ， ，则 的值为（ ）
A. 21 B. 20 C. 19 D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列项的性质结合求和公式及通项公式计算求解.
【详解】因为 为等差数列 的前 n 项和，设公差为 ，
所以 ， ，即得 ，
所以 ，所以 ，
则 .
故选：A.
4. 点 P 是曲线 上任意一点，则点 P 处切线倾斜角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，确定导函数值域，结合倾斜角与斜率的变化关系进而可求解.
第 2页/共 19页
【详解】由 ，
可得： ，
即 ，
结合倾斜角与斜率的变化关系可知取值范围为 ，
故选：B
5. 若双曲线的两渐近线的夹角为 ，实轴长为 6 且焦点在 x 轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线的对称性，求出渐近线的倾斜角，建立方程求解即得.
【详解】因两渐近线的夹角为 ，由双曲线渐近线的对称性可知双曲线的一条渐近线 的倾斜角为
或 ，即得 或 ，解得 或 ..
故选：D.
6. 已知 m， 且 ，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D. 若 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】由组合数、阶乘的计算公式逐个判断即可.
【详解】 ， ，
，A 错误；
第 3页/共 19页
，B 正确；
，
，C 正确，
由 ，可得 ，即 ，又 ，解得： ，D 正确；
故选：A
7. 已知数列 的前 n 项和为 ，前 n 项的积为 ，若 ，当 取最小值时， （ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 12 或 13
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的递推公式求出 ，再由单调性求得答案.
【详解】 ， ，当 时， ，两式相减得 ，
而 ，解得 ，因此数列 是等比数列， ，
数列 是递增正项数列， ，
因此 ，所以当 取最小值时， .
故选：C
8. 设 ， ， ，则 a、b、c 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式将 分别化为 ，构造函数 ，
第 4页/共 19页
利用导数判断函数 的单调性即可.
【详解】 ， ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递减，所以 ，即 ，
所以 在 单调递减，因为 ，所以 ，
即 ，所以 .
故选：D
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知直线 ，圆 ，则下列命题正确的有（ ）
A. 直线 l 过定点
B. 若直线 l 过 C 点，则
C. 存在实数 t，使得直线 l 与圆 C 相切
D. 若直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，则 A，B 两点间的最短距离为
【答案】AB
【解析】
【分析】对于 A，根据直线方程特点易得；对于 B，将点 代入 ，计算即得；对于 C，
根据圆心到直线的距离等于半径列出方程，由方程的根的情况判断；对于 D，根据直线过圆内的定点
，即可判断当且仅当 时弦长 最短，同时结合图象可判断此时直线 的斜率不存在，从
第 5页/共 19页
而排除.
【详解】对于 A，直线 显然经过点 ，故 A 正确；
对于 B，直线 l 过点 ，则有 ，则 ，故 B 正确；
对于 C，由圆心 到直线 的距离 ，可得 ，
显然 的值不存在，故 C 错误；
对于 D，由垂径定理，要使弦长 最短，需使圆心 到直线 的距离 最长，
而直线 l 过定点 ，当且仅当 时， ，此时， ，
但是，此时 轴，直线 的斜率不存在，显然不合题意，故 D 错误.
故选：AB.
10. 对任意实数 x，有 .则下列结论正确 是（ ）
A. B. （ ，1，…，9）的最大值为
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用赋值法可判断 A；由 ，可判断 为负，
为正，计算可判断 B；令 ， 计算可判断 C；结合 B 计算可判断 D.
【详解】对于 A，令 ，得 ，故 A 错误；
对于 B，由 ，
则 展开式的通项公式为 ，
第 6页/共 19页
所以 为负， 为正，
当 时，计算可得 ， ，
， ， ，
所以 （ ，1，…，9）的最大值为 ，故 B 正确；
对于 C，令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
所以 ，又 ，可得 ，故 C 正确；
对于 D，由 B 可知 ，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 已知函数 （ ）存在两个极值点 ， （ ），且 ，
.设 的零点个数为 m，方程 的实根个数为 n，则（ ）
A. B. n 的取值为 2、3、4
C. D. mn 的取值为 3、6、9
【答案】AD
【解析】
【分析】利用导数判断原函数单调性和极值，结合图象分析 ， 的零点分布，进而可得结果
.
【详解】由 ，可得 为二次函数， （ ）为
的零点，
由 ，得 或 ，
因为 ，令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
所以 在 和 内单调递增，在 内单调递减，
则 为极大值点， 为极小值点，
第 7页/共 19页
所以 ，又 ， ，即 ，
若 ，则 ，此时 ，与 矛盾，故 A 正确；
因为 ，所以 有 2 个解， 有 1 个解，
所以 有 3 个解，故 B 错误；
当 时，如图所示， 零点个数为 ，所以 ， ，
故 ，
当 时，如图所示， 的零点个数为 ，
所以 ， ，故 ，
当 时，如图所示， 的零点个数为 ，所以 ， ，
故 ，故 C 错误，D 正确.
故选：AD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
第 8页/共 19页
12. 已知圆 和圆 ，则两圆的公共弦长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心 到公共弦直线的距离，根据弦长公式
即可求得公共弦长.
【详解】
如图，由圆 与圆 相减，
整理可得两圆的公共弦所在直线方程为： ，
由圆 的圆心 到直线 的距离为 ，
由弦长公式，可得两圆的公共弦长为 .
故答案为： .
13. 某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有 5 名同学打算参加“书
法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加 1 个社团且每个社
团至多两人参加，则这 5 个同学中至多有 1 人参加“舞动青春”社团的不同方法数为__________.（用数字作
答）
【答案】360
【解析】
【分析】依题意，将问题分成 0 人参加“舞动青春”社团和 人参加“舞动青春”社团两种情况讨论，然后
分别计算方法数，根据分类加法计数原理，结合排列组合公式计算即得方法数.
【详解】(1)计算 0 人参加“舞动青春”社团的方法数：
将 名同学分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加.
第 9页/共 19页
可先将 人分成 ， ， 三组，有 种，
再将这三组在三个社团上全排列，可得 ，故方法数为 种；
(2)计算 人参加“舞动青春”社团的方法数：
先从 人中选 人参加“舞动青春”社团，有 种.
然后将剩下的 人分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加，
可将 人按照 ， 或 ， ， 分组
① 若按照 ， 分组，则有 种，再将分好的两组全排列，安排到三个社团中的两个，
则有 种，故方法数为 种；
② 若按照 ， ， 分组，则有 种，再将这三组在三个社团上全排列，
则有 ，故方法数为 种.
故有 人参加“舞动青春”社团的方法数为 种.
综上(1)，(2)，这 5 个同学中至多有 1 人参加“舞动青春”社团的不同方法数为： 种.
故答案为：360.
14. 已知 且 ，集合 和集合 ，若 ，则实数 a 的取
值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分 和 两种情况讨论集合 ，进而可求解.
【详解】 或 ，
当 ，对于 等价于 ，
若 ，则 ，故此时不等式不成立，
即此时 一定落在 的内部，满足 ，
第 10页/共 19页
若 ，
要满足 ，需满足对于 在 恒成立，
即 ，即 ，
构造函数 ，求导可得： ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
最大值为 ，
所以 ，即 ，
综上可知：实数 a 的取值范围为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知 的展开式中的第 项、第 项和第 项的二项式系数成等差数列.
（1）求 的值.
（2）记 ，求 被 除的余数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得出 ，可得出关于 的方程，由题意得出 ，可解出 的值；
（2）由题意得出 ，结合二项展开式可求出 除 余数.
【小问 1 详解】
的展开式的第 项、第 项和第 项的二项式系数依次为 、 和 ，
第 11页/共 19页
由题意有 ，即 ，整理得 ，
因为 ，解得 .
【小问 2 详解】
因为 ，
所以，
，
所以 能被整除
因此， 被 除的余数为 .
16. 已知数列 满足 ， （ ）.
（1）证明：数列 是等比数列.
（2）设 ，求 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对 取倒数，整理得 ，然后利用等比数列定义即可证明；
（2）先利用等比数列通项公式求得 ，然后利用裂项相消法求和即可.
【小问 1 详解】
第 12页/共 19页
数列 满足 ， （ ），
则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴数列 是以 1 为首项， 为公比的等比数列.
【小问 2 详解】
由（1）知 ，则 （ ），
∴
，
∴
.
17. 已知函数 ，
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若函数 有最小值，且 的最小值大于 ，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
第 13页/共 19页
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程即可求得切线方程；
（2）将函数求导后分类讨论推得 ，且 有最小值 ，依题意，需使
，即 ，构造函数 ，（ ），通过求导分析即可
确定 a 的取值范围.
【小问 1 详解】
当 时， ，
∴ ，故
∴曲线 在 处的切线方程为： ，
即 .
【小问 2 详解】
因 的定义域为 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，无最小值；
故 .
由 得 ，由 得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴当 时， 有最小值 ，
依题意， ，即 ，
∵ ，∴ ，
设 ，（ ），则 ，
因 ，则 在 上单调递增，
又 ，故由 可得 ，
即 ，解得 ，
故实数 a 的取值范围是 .
18. 已知以 为焦点的抛物线 C 的顶点为原点，点 P 是抛物线 C 的准线上任意一点，过点 P 作抛物
第 14页/共 19页
线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切点，设直线 PA，PB 的斜率分别是 和 .
（1）求抛物线 C 的标准方程及其准线方程.
（2）求证： 为定值.
（3）求 面积的最小值.
【答案】（1）标准方程为 ，准线方程为
（2）证明见解析 （3）16
【解析】
【分析】（1）根据焦点坐标求解即可；
（2）设切线的方程为 ，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可；
（3）直线 AB 的方程为 ，将其与抛物线方程联立，利用 得到 且 ，再利用
弦长公式和两点间距离公式求解即可.
【小问 1 详解】
由题意知抛物线 C 的标准方程为 （ ）且 ，∴ ，
∴抛物线 C 的标准方程为 ，准线方程为 ；
【小问 2 详解】
证明：设点 P 的坐标为 ， ，
由题意知过点 P 与抛物线 C 相切的直线的斜率存在且不为 0，
设切线的斜率为 k，则切线的方程为 ，
联立方程组 ，消去 x，得 ，
第 15页/共 19页
∴ 得 （*），
又∵ 、 为方程（*）的两根，由韦达定理得 为定值；
【小问 3 详解】
由题知直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为 ， ， ，
联立方程组 整理得 ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
整理得 ，
代入有 ，
∴ ，∴ 且 ，
∴AB： ，故直线 AB 过定点 .
∴ ， ，
∴ ，
点 P 到直线 AB 的距离为 ，
∴ ，
因 函数 在 单调递增，而 ，
∴当 时， ，
所以 面积的最小值为 .
19. 已知函数 .
第 16页/共 19页
（1）证明：当 时， .
（2）设 ，令 .
（ⅰ）讨论 的单调性.
（ⅱ）若 存在两个极值点 ， （ ），证明： .
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当 ， ，通过分析函数单调性，求得 即可得证.
（2）（1）求导 ，再分 和 两种情况讨论求解.
（ⅱ）根据 存在两个极值点和 ，则 的两个极值点 满足
，化简转化为 ，令 ，用导数证明即可.
【小问 1 详解】
在定义域内是增函数
∴当 时，
要证 ，只需证
设 （ ）
∴
∵ 在 上单调递增且
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增
∴
第 17页/共 19页
故 时， .
【小问 2 详解】
（ⅰ）
当 时， .定义域为
∴
①当 时， 在 上恒成立（当且仅当 ， 时取等号）
∴ 恒成立，故 在 上单调递减.
②当 时，令 ，则 有两不等正实根
当 时，
当 时，
∴ 在 和 上单调递减，在 上单调递
增.
（ⅱ）若 存在两个极值点，由（ⅰ）知 .
∵ 的两个极值点 、 为方程 的两根.
∴ ， ，∴ ，
第 18页/共 19页
要证 等价于证明 .
设 （ ）
∴
∴ 在 上单调递增
∴
∴ .
即 .
第 19页/共 19页