河南省驻马店市驿城区2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份河南省驻马店市驿城区2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共30分）
1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选项A，不是整式，所以不是一元二次方程，不符合题意；
选项B，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
选项C，当时，不是一元二次方程，不符合题意；
选项D，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
2. 在估算关于的一元二次方程的解时，小明列表如下：
请判断其中一个解的大致范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据表格中的数据，可以发现：时，；
时，，
故一元二次方程的一个解x的范围是．
故选：B．
3. 在一个不透明的袋子里，装有6枚白色棋子和若干枚黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同．将袋子里的棋子摇匀，随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色棋子的频率稳定在0.1，由此估计袋子里黑色棋子的个数为（ ）
A. 60B. 56C. 54D. 52
【答案】C
【解析】设黑色棋子有x枚，
∵摸到白色棋子的频率稳定在0.1，
∴，
解得,
经检验是方程的解，
∴黑色棋子有54枚，
故选C．
4. 矩形、正方形、菱形都具有的性质是（ ）
A. 对角线互相垂直B. 对角线互相平分
C. 对角线长度相等D. 一组对角线平分一组对角
【答案】B
【解析】∵正方形的对角线互相平分，互相垂直，相等且平分一组对角，
菱形的对角线互相平分，互相垂直且平分一组对角，
矩形的对角线互相平分且相等，
∴正方形、菱形、矩形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：B．
5. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（ ）
A. 平行四边形B. 矩形
C. 菱形D. 正方形
【答案】C
【解析】四边形是菱形，理由如下：
如图，连接，

∵四边形是矩形，
∴，
∵点分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵与不一定垂直，
∴与也不一定垂直，
∴四边形一定菱形，不一定是正方形，
故选：C．
6. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵一元二次方程的一个根为，
∴，
即，
∴，
故选：．
7. 关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】一元二次方程的根的判别式
∵
∴，即
所以原方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
8. 如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A. 32x+20x﹣2x2＝540
B. 32x+20x＝32×20﹣540
C. （32﹣x）（20﹣x）＝540
D. （32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540
【答案】C
【解析】把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形，长为32﹣x，宽为20﹣x，
∴可列方程为：（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选C．
9. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（ ）
A. B. 6C. D. 12
【答案】A
【解析】∵四边形是菱形，，，
∴，，，，
∴，
∴，
又∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
故选：A．
10. 如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A. 2B. 2C. 2D.
【答案】A
【解析】如图，连接BP，设点C到BE的距离为，
在正方形中，
因为 ,
即 ，
∵，
∴，
故答案为：.
二、填空题（共15分）
11. 一元二次方程的根是______________．
【答案】x1＝0，x2＝-1
【解析】，
x（x+1）＝0，
x＝0或x+1＝0，
所以x1＝0，x2＝-1．
故答案为：x1＝0，x2＝-1．
12. 某学校开展“进社区美化家园”志愿服务活动，从小红、小明、小亮、小莹这四名志愿者中抽调两人参加本次志愿服务活动，恰好抽到小红和小莹的概率是____．
【答案】
【解析】把小红、小明、小亮、小莹四人分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好抽到小红和小莹的结果有2种，
∴恰好抽到小红和小莹的概率=2÷12=，
故答案为：．
13. 参加足球联赛的每两队之间都进行一次比赛，共要比赛45场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为____．
【答案】
【解析】设有个队参赛，
．
故答案为：．
14. 如图，在菱形中，已知，，若点是线段上一动点，是的中点，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】如图所示，连接，，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
当D，M，N在同一直线上时，的最小值等于的长，
又∵中，，，
∴，
故答案为：．
15. 如图，矩形中，，．点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为____．
【答案】或
【解析】连接，过作，交于点,于点,作交于点,则是直角三角形，
∵四边形 是矩形，点的对应点落在的角平分线上，
，，
∴四边形是矩形，
，
，
则四边形是正方形.
设 ，
，
，
又
，
中，根据勾股定理，得即，
解得或,
或.
设,当时，，
根据勾股定理，得，即
解得；
同理，当时,
根据勾股定理，得
解得
综上，或
故答案为：或 ．
三、计算题
16. 解方程
（1）．
（2）．
（1）解：移项得，
配方得，即，
∴，
∴，；
（2）解：，
移项得，
∴，即，
∴或
∴，．
17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
18. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，EF垂直平分BC，垂足为D，交AB于点F，CE∥AB，连接BE、CF．
（1）求证：四边形CFBE是菱形；
（2）若AB=10，BC=8，求DF的长．
（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠DCE=∠DBF，
∵EF垂直平分BC，
∴CD=BD，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，
∴四边形CFBE是平行四边形，
又∵EF⊥BC，
∴平行四边形CFBE是菱形；
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AC==6，AC⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
又∵CE∥AB，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴EF=AC=6，
由（1）可知，DF=DE，
∴DF=EF=3．
19. 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，DF∥AC，CF∥BD．
(1)求证：四边形OCFD是矩形；
(2)若AD＝5，BD＝8，求四边形OCFD的面积．
(1)证明：∵DF∥AC，CF∥BD，
∴四边形OCFD是平行四边形
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴∠DOC＝90°．
∴四边形OCFD是矩形；
(2)解：∵菱形ABCD两条对角线交于点O，AD＝5，BD＝8，
∴OD＝OB＝BD＝4．
∴在Rt△AOD中，OA2＋OD2＝AD2．
∴OA＝3．
∴OC=OA＝3
∵四边形OCFD是矩形；
∴OCFD的面积为12．
20. 为鼓励和推广全民阅读，某品牌图书开展了促销活动．八月份售出图书本，十月份售出图书本．
（1）求该品牌图书销量的月平均增长率；
（2）该品牌图书每本成本为元，当售价为元/本时，平均每天的销售量为本．经试销统计发现，如果该品牌图书的售价每降价1元，那么平均每天可多售出本．若要使平均每天的利润保持不变，并且让消费者尽可能获得实惠，那么该品牌图书每本的售价应为多少元？
（1）解：设该品牌图书销量的月平均增长率为x，
，
解得：（舍去），
答：该品牌图书销量的月平均增长率为．
（2）解：设该品牌图书每本的售价应为y元，
，
解得：（舍去），
答：该品牌图书每本的定价应为30元．
21. 如图，已知矩形中，，．菱形的顶点H在边上，且，顶点G、E分别是边、上的动点，连结．
（1）当四边形为正方形时，直接写出的长；
（2）若的面积等于3，求的长；
（3）试探究点G运动至什么位置时，的面积取得最小值．
解：（1）如图1，当四边形为正方形时，
则，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，作，交的延长线于点M，连结，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴；
（3）如图2，设，
由（2）得，
∴，
∴随x的增大而减小，
要使的面积最小，须使x的值最大，
在中，，
∴当取得最大值时，x的值最大，
而，此时的值最大，
∴点E与点B重合，
如图3，
此时，，
∴，
∴当时，的面积取得最小值．
…
2.1
2.2
2.4
2.5
2.6
…
…
0.52
1
1.52
…