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河南省南阳市十三中等校2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题
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这是一份河南省南阳市十三中等校2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（ ）
第2题图
A．B．C．D．
3．下列语句中，假命题是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．三角形任意两边之和大于第三边
C．两点之间线段最短D．若，则
4．若实数满足，且恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是（ ）
A．12B．15C．12或15D．16
5．如图，测量河两岸相对的两点的距离时，先在的垂线上取两点，使，再过点画出的垂线，当点在同一直线上时，可证明，从而得到，则测得的长就是两点的距离．判定的依据是（ ）
第5题图
A．“边边边”B．“角边角”C．“全等三角形定义”D．“边角边”
6．在中，的对边分别是，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，，若，则的度数是（ ）
第7题图
A．B．C．D．
8．如图，在等边中，平分，点在的延长线上，，则的长是（ ）
第8题图
A．B．C．D．
9．矩形纸片的边，将其折叠，使点与点重合，则折叠后的长为（ ）
第9题图
A．4B．5.8C．4.2D．5
10．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，若图中大正方形的面积为40，小正方形的面积为5，则的值为（ ）
第10题图
A．50B．84C．75D．91
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在中，，求证：．”时，第一步应假设______．
12．如图，在数轴上点表示的实数是______．
第12题图
13．如图，在中，平分，那么点到直线的距离是______．
第13题图
14．如图所示的方格中，______度．
第14题图
15．如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点的运动速度为______时，能够在某一时刻使与全等。
第15题图
三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）如图，，垂足分别为．求证．
17．（8分）作图题：
如图，是两条笔直的交叉公路，是两个车站，现欲建一个加油站使得此加油站到公路两边的距离相等，且离两个车站的距离也相等，此加油站应建在何处？
要求：尺规作图，保留作图痕迹；不写作法．
18．（9分）如图，已知点在的边上，且．求证：。
19．（10分）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且的周长等于．
（1）求的长；
（2）若，并且，求证：．
20．（10分）如图，有一块四边形的绿地，已知：，．求这块绿地的面积．
21．（10分）在中，，直线经过点，且于于．
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：（1）；（2）；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，请直接写出线段之间的数量关系．
22．（10分）综合与实践
【问题背景】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，
，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为．
图1 图2 图3
【解决问题】 试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______．
【拓展探究】 如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由．
【推广应用】 如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积．
23．（10分）如图，是等边三角形内部一点，连接，以为边作
，且，连接．
（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若，连接，试判断的形状，并说明理由．
2023年秋期南阳市第十三中学校第二次限时督导训练
八年级数学试题【答案】
1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．D 7．C 8．A 9．B 10．C
11． 12． 13．3 14．135 15．2或3
16．证明：，，
在和中，，
，．
17．解：如图所示，点就是所求的点．
18．方法不唯一
证明：，
，在和中，
，．
19．（1）解：是的垂直平分线，，
的周长等于，
，．
（2）证明：，
，，
，，
，，．
20．解：，
在直角中，由勾股定理得：，
，，是直角三角形；
，
，
答：该绿地的面积为．
21．（1）证明：①，
．又，．
②，．．
（2）．
22．（1）．
（2）结论仍成立，理由如下：
由图可得出：
，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得；
．因此，结论仍成立；
（3）阴影部分的面积．
23．【小题1】 猜想：．证明如下：
因为是等边三角形，
所以．又，所以．
所以，即．
因为，所以．所以．
【小题2】 是直角三角形．理由如下：
因为，所以可设．
因为，且，所以是等边三角形．所以．
由（1），得，则．
在中，，所以是直角三角形．
一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（ ）
第2题图
A．B．C．D．
3．下列语句中，假命题是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．三角形任意两边之和大于第三边
C．两点之间线段最短D．若，则
4．若实数满足，且恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是（ ）
A．12B．15C．12或15D．16
5．如图，测量河两岸相对的两点的距离时，先在的垂线上取两点，使，再过点画出的垂线，当点在同一直线上时，可证明，从而得到，则测得的长就是两点的距离．判定的依据是（ ）
第5题图
A．“边边边”B．“角边角”C．“全等三角形定义”D．“边角边”
6．在中，的对边分别是，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，，若，则的度数是（ ）
第7题图
A．B．C．D．
8．如图，在等边中，平分，点在的延长线上，，则的长是（ ）
第8题图
A．B．C．D．
9．矩形纸片的边，将其折叠，使点与点重合，则折叠后的长为（ ）
第9题图
A．4B．5.8C．4.2D．5
10．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，若图中大正方形的面积为40，小正方形的面积为5，则的值为（ ）
第10题图
A．50B．84C．75D．91
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在中，，求证：．”时，第一步应假设______．
12．如图，在数轴上点表示的实数是______．
第12题图
13．如图，在中，平分，那么点到直线的距离是______．
第13题图
14．如图所示的方格中，______度．
第14题图
15．如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点的运动速度为______时，能够在某一时刻使与全等。
第15题图
三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）如图，，垂足分别为．求证．
17．（8分）作图题：
如图，是两条笔直的交叉公路，是两个车站，现欲建一个加油站使得此加油站到公路两边的距离相等，且离两个车站的距离也相等，此加油站应建在何处？
要求：尺规作图，保留作图痕迹；不写作法．
18．（9分）如图，已知点在的边上，且．求证：。
19．（10分）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且的周长等于．
（1）求的长；
（2）若，并且，求证：．
20．（10分）如图，有一块四边形的绿地，已知：，．求这块绿地的面积．
21．（10分）在中，，直线经过点，且于于．
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：（1）；（2）；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，请直接写出线段之间的数量关系．
22．（10分）综合与实践
【问题背景】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，
，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为．
图1 图2 图3
【解决问题】 试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______．
【拓展探究】 如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由．
【推广应用】 如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积．
23．（10分）如图，是等边三角形内部一点，连接，以为边作
，且，连接．
（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若，连接，试判断的形状，并说明理由．
2023年秋期南阳市第十三中学校第二次限时督导训练
八年级数学试题【答案】
1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．D 7．C 8．A 9．B 10．C
11． 12． 13．3 14．135 15．2或3
16．证明：，，
在和中，，
，．
17．解：如图所示，点就是所求的点．
18．方法不唯一
证明：，
，在和中，
，．
19．（1）解：是的垂直平分线，，
的周长等于，
，．
（2）证明：，
，，
，，
，，．
20．解：，
在直角中，由勾股定理得：，
，，是直角三角形；
，
，
答：该绿地的面积为．
21．（1）证明：①，
．又，．
②，．．
（2）．
22．（1）．
（2）结论仍成立，理由如下：
由图可得出：
，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得；
．因此，结论仍成立；
（3）阴影部分的面积．
23．【小题1】 猜想：．证明如下：
因为是等边三角形，
所以．又，所以．
所以，即．
因为，所以．所以．
【小题2】 是直角三角形．理由如下：
因为，所以可设．
因为，且，所以是等边三角形．所以．
由（1），得，则．
在中，，所以是直角三角形．
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