河南省南阳市八年级多校2024-2025学年上学期第三次月考八年级 数学试题（含解析）

这是一份河南省南阳市八年级多校2024-2025学年上学期第三次月考八年级 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
4．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在一个池塘两旁分别有一条笔直的小路（，为小路的两个端点）和一棵小树（为小树的位置）．测得，，米，则的长为（ ）
A．45米B．48米C．50米D．52米
6．如图，，，则的依据是（ ）
A．B．C．D．
7．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合．过角尺顶点的射线便是的平分线．在这个过程中先可以得到，其依据的基本事实是( )
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
8．如图，在等腰中，，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，直线与交于点，连接．若，，则的周长为（ ）
A．10B．11C．13D．15
9．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平，就可以得到如图2所示的正五边形，则图中的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答符号代表的内容．
如图，已知，，，，求的度数．
解：在和中，，
所以，
所以，◎．（全等三角形的★相等）
因为，，
所以，
所以(※)．
则回答正确的是（ ）
A．★代表对应边B．※代表
C．@代表D．◎代表∠DCA
二、填空题（本大题共5小题）
11．写出一个比大且比小的整数 ．
12．如图，在中，，平分，，，则的面积为 ．
13．如图，在中，，于点，，分别是上的任意两点．若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则 ．
15．定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大排列，则第1个“师一优数”是 ，第150个“师一优数”是 ．
三、解答题（本大题共8小题）
16．计算：
(1)
(2)因式分解：．
17．先化简，再求值：其中，．
18．已知：如图，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点
（1）求证： ∠D=∠B；
（2）当AE=2时，求AF的值．
19．如图，已知，，垂足分别为，，，相交于点，连接．若．求证：平分．
20．如图，在中，．
(1)作的平分线，交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，是边上的一点，且，，连接．若，求的度数．
21．概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念
(1)如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”概念应用
(2)如图2，在中，CD为角平分线，，．
求证：CD为的等角分割线．

22．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点．
(1)求证：点在线段的垂直平分线上．
(2)已知，求的度数．
23．综合与实践
【问题背景】
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
（1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________．
②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________．
【变式运用】
（2）如图3，在中，，，．求的面积．
【拓展迁移】
（3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据等腰三角形的定义进行判断．
【详解】解：A选项：，
、、能组成三角形，但不是等腰三角形，故A选项不符合题意；
B选项：，
、、能组成三角形，但不是等腰三角形，故B选项不符合题意；
C选项：，
、、能组成三角形，并且是等腰三角形，故C选项符合题意；
D选项：，
、、不能组成三角形，故D选项不符合题意．
故此题答案为C．
2．【答案】A
【分析】根据整式运算法则逐一计算即可．
【详解】解：、，故本选项符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
故此题答案为．
3．【答案】D
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可.
【详解】解：A、当另外两角为50°和100°时，该三角形为钝角三角形，故此选项不符合题意；
B、当另外两角为90°和60°时，该三角形为直角三角形，故此选项不符合题意；
C、当另外两角为30°和120°时，该三角形为等腰三角形，故此选项不符合题意；
D、等边三角形的每一个内角均为60°，由图可知该三角形有一个内角为30°，故不可能为等边三角形，符合题意.
故此题答案为D．
4．【答案】C
【分析】根据尺规作图的痕迹可知，再求即可．
【详解】解：由基本作图可知，
，
，
故此题答案为．
5．【答案】D
【分析】证明是等边三角形；根据等边三角形的判定证明是等边三角形，再根据等边三角形性质求解即可．
【详解】解：，，
，
是等边三角形，
米，
故此题答案为．
6．【答案】B
【分析】根据可证明，据此解答即可．
【详解】解：，，，
，
故此题答案为．
7．【答案】C
【分析】由三边相等得，再根据全等三角形对应角相等得出，即可判断．
【详解】解：由图可知，，又，为公共边，
∴，
∴，
即即是的平分线．
故此题答案为C．
8．【答案】A
【分析】由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，然后根据周长公式求解即可．
【详解】解：由题意可得，垂直且平分，
∴，
∴，
故此题答案为A．
9．【答案】D
【分析】根据多边形内角和公式和正五边形每个内角都相等，每个边都相等，可得，，再根据等腰三角形性质即可求得．
【详解】解：五边形是正五边形，
，，
，
故此题答案为．
10．【答案】B
【分析】注意：全等三角形的对应角相等．证，得出，，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：在和中，，
所以，
所以，．（全等三角形的对应角相等）
因为，，
所以，
所以．
故可得：代表；◎代表；★代表对应角；※代表，
故此题答案为B．
11．【答案】（答案不唯一）
【分析】找到和之间能开得尽方的整数．
【详解】解：比大且比小的能开得尽方的整数有和，
，，
比大且比小的整数有或．
12．【答案】6
【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式求面积即可．
【详解】解：过点D作于E，
，平分，，
，
13．【答案】10
【分析】根据等腰三角形是轴对称图形知，和的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．
【详解】解：，，
，
，
，
阴影部分面积为
14．【答案】54
【分析】根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理求出，根据垂直平分线的性质可得，进而可得，再根据角的和差关系即可求解．
【详解】解：平分，，
，，
又，
，
垂直平分，
，
，
15．【答案】 24 1216
【分析】设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和，则“师一优数”可表示为，再分别求出、和时的“师一优数”，归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和，
则“师一优数”可表示为，
∵为正整数，
当时，第1个“师一优数”为；
当时，第2个“师一优数”为；
当时，第3个“师一优数”为；
归纳类推得：第个“师一优数”可表示为（为正整数）．
当时，，即第150个“师一优数”为1216
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘方，开立方，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．【答案】，0
【分析】根据多项式除以单项式，平方差公式及整式的加减运算法则进行化简，然后将a与b的值代入化简后的式子即可求出答案．
【详解】解：原式
当，时，原式．
18．【答案】（1）详见解析；（2）2
【分析】(1)根据三角形全等的判定定理和性质定理，即可得证；
(2)根据三角形全等的判定定理和性质定理，即可求解.
【详解】（1）在△ADC和△ABC中，
∵ ，
∴△ADC≌△ABC（SSS）
∴∠D=∠B；
（2）∵E、F分别是DC、BC的中点，BC＝DC
∴DE=BF ，
在△ADE和△ABF 中 ，
∵
∴△ADE≌△ABF (SAS)，
∴AF= AE=2.
19．【答案】见解析
【分析】要证平分，只需证．可通过证来实现、根据已知条件，利用可直接证明，从而可得出平分．
【详解】证明：，
，
在与中，
是的平分线
20．【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】（1）按照角平分线的作图方法作图即可；
（2）利用已知条件可以证明，所以，，得到，再利用三角形外角的性质，即可求得的度数．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：平分，
．
在和中，
，
，
，；
，
，
；
，
．
21．【答案】（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）见解析.
【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，根据“等角三角形”的定义证明.
【详解】（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；
（2）∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°
∵CD为角平分线，
∴∠ACD=∠DCB= 40°，
∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠A，
∴CD=DA，
∵在△DBC中，∠DCB=40°，∠B=60°，
∴∠BDC=180°-∠DCB-∠B=80°，
∴∠BDC=∠ACB，
∵CD=DA，∠BDC=∠ACB，∠DCB=∠A，
∠B=∠B，
∴CD为△ABC的等角分割线.
22．【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可；
（）先根据相等垂直平分线的性质证明，，进而得，由三角形的内角和得，再求得，，从而即可得解。
【详解】（1）证明：如图，连接，，．
垂直平分，垂直平分，
，，
，
点在线段的垂直平分线上，
（2）解：垂直平分，垂直平分，
，，，
，
，，
，
，
，，
，，
23．【答案】（1）①；②3
（2）8
（3）16或40
【分析】（1）①根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案，②同理①证明即可得到答案；
（2）过作于E，证明即可得到答案；
（3）分，两种情况讨论，根据直角等腰三角形结合（1）的结论求解即可得到答案．
【详解】（1）①解：，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴ ，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴ ，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）解：当作直角边，时，如图4-1所示，作高线，过作于F，
∵，，，
∴，，
由（1）得，，
∴，
∴；
当作直角边，时，如图4-2所示，作高线，过作于
F，
∵，，，
∴，，
由（1）得，，
∴，
∴；
综上所述：的面积是40或．