2026年上海市中考一模原创数学模拟卷(含详细答案解析)

这是一份2026年上海市中考一模原创数学模拟卷(含详细答案解析)，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=3x2+6x的对称轴是直线( )
A. x=1B. x=−1C. x=2D. x=−2
2.对于形状与大小均确定的一个锐角△ABC，D是边BC上一点，连接AD，那么下列情况中，唯一无法确定△ABD与△ADC面积的比值的情况是( )
A. AD是边BC上的高；B. 点 D是边BC的中点；
C. 点 D是线段BC的黄金分割点；D. AD是∠BAC的平分线．
3.在等边三角形ABC中，记其重心为点G，那么AG+GB:CG的值为( )
A. 1B. 3C. 12D. 32
4.对于相似形，小明提出以下命题：
① 邻边之比为2 的两个平行四边形是相似形；
② 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
③ 两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似；
④ 有两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似；
⑤ 两边对应成比例的两个直角三角形一定相似；
其中，正确的个数有( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.两个全等的非等腰的直角三角形拼成的形状不同的四边形个数是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.研究函数的性质，通常可以绘制对应的函数图像．小明用某软件绘制出了函数y=1x−1的图像(如图所示)，已知其和x轴没有交点，小明对此函数进行猜想，那么下列说法中正确的是( )
猜想一函数和 y轴交于点0,−1；
猜想二函数可由y=1x向右平移1个单位得到；
A. 猜想一错误B. 猜想二错误C. 猜想均错误D. 猜想均正确
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.如果ab=37，那么b−aa+b的值为 .
8.抛物线y=a+4x2+8x+7的开口向上，那么a的取值范围是 .
9.已知两地间隔520千米，那么在比例尺为1:1000000的地图上，两点距离为 厘米．
10.经过三角形的重心且平行于三角形一边的直线将此三角形的面积分为 的两部分．
11.如图，△ABC中，D在边AB上，若AD=2，AB=3，且满足∠ACB=∠B+∠BCD，那么边AC的长是 .
12.某抛物线顶点在x轴上，且和y轴正半轴有交点，那么这个抛物线的表达式可以是 .
13.已知平面直角坐标系xOy中有一点P(4,1)，连接OP，则OP和y轴正半轴的夹角的余切值为 .
14.如图，矩形ABCD 中，AC=CE=3 ，AB=7 ，连接BE ，已知tan37 ∘≈0.75 ，那么∠AEB 的度数约为 .
15.如图，菱形ABCD中，AE=BE=AF=FD，CG=CH=56BC，则EF:GH的值为 .
16.某山丘在建造旅游景区时，在两山丘间建造吊桥MN，其抽象图如图所示，其中山丘△ADC，△ECB均为等腰直角三角形，山丘的底AC、BC在一条直线上，为让MN处于最佳位置，建筑师连接AE、BD，其和DC、CE的交点记作M、N，那么桥梁MN和山丘底AC、BC的数量关系为 .
17.定义：若一个抛物线和x轴有两个交点，那么这两交点与抛物线顶点组成的三角形为“x轴三角形”；若开口向下的抛物线和x轴交于M、N，且MN的长度为m，当抛物线的“x轴三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的二次项系数是 .
18.如图，矩形ABCD中，AB=2BC，其内部有一点E，使得AE⊥EB，若点M与点A关于直线BE对称，且M落在直线CD上，那么tan∠EAB的值为 .
三、解答题：本题共7小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.
(1)计算tan60 ∘⋅tan30 ∘的结果为 ；
(2)在Rt△ABC中，∠C是直角，求证：tanA⋅tanB=1.
(3)根据(2)中的结果，计算：tan37 ∘⋅ct37 ∘+12sin60 ∘−1− 3−2.
20.(本小题5分)
如图，已知点E、F分别在△ABC的边AB和AC上，EF//BC，BE=2AE，点D在BC的延长线上，BC=CD，连接ED与AC交于点G.
(1)求EGGD的值；
(2)设BA=a，BD=b，那么AC= ，EG= .(用向量a、b表示)
21.(本小题5分)
如图，Rt△ABC中，AC=BC，DB⊥BC，且D在直线BC上方，连接AD、DC.
(1)设AB、CD的交点为点E，求证：tan∠DCB=BEEA；
(2)若∠ACD=60 ∘，求tan∠DAB的值．
22.(本小题5分)
小明所在的数学研究小组依据课本“第24章 相似三角形”内的知识展开了研究．
(1)如图1，在△ABC 中，点 D、 E分别在边AB、AC 上，且DE//BC ，边BC 上有一点 M，连接AM 交线段DE 于点 N.设BMMC=k ，求DNNE 的值；(用含 k的代数式表示)
(2)如图2，平行四边形ABCD 中，连接对角线BD ．尝试仅用无刻度的直尺作出△BCD 的重心，并简要说明画图步骤；画图步骤： .
23.(本小题5分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90 ∘，点D在边AC上，连接BD，点E在边BD上，连接AE，已知∠AED=∠EAD=∠ABC.
(1)若△ADE是等边三角形，求证：2AB2=BD⋅AC；
(2)求证：S△EADS△BCD=cs2∠BDA.
24.(本小题9分)
已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=ax2−2ax−3aa>0与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，过点C作CE//x轴交抛物线于点E.
(1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标；
(2)联结AE，如果AE平分∠BAC，求 a的值；
(3)点 P是抛物线上一点，线段PD、AE交于点 F，如果S△AFD=S△PFE，那么直线PD是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由．
25.(本小题9分)
在边长为4的正方形ABCD中，过点C的直线l垂直于对角线AC，点E是直线l上一点，且在直线BC上方，连接BE交AC于点F，连接DE.
(1)如图1，若BE=8，求BFFE的值；
(2)如图2，连接DF，设BE、CD相交于点 G，若ECCA=FGGE，求证：DF⊥AE；
(3)如图2，连接DF，若△DFE是以DF为腰的等腰三角形，求tan∠DEB的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，由抛物线为y=3x2+6x，可得对称轴是直线x=−b2a=−62×3=−1，进而可以判断得解．
【详解】解：抛物线y=3x2+6x的对称轴为直线x=−b2a=−62×3=−1，
故选：B.
2.【答案】C
【解析】本题考查了黄金分割，三角形的面积，根据黄金分割，三角形的中线，三角形的面积，角平分线的性质，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∵AD是边BC上的高，对于一个确定的三角形，垂足D的位置是唯一确定的，
又∵△ABD与△ADC同高，其面积的比值为BD:CD，该比值为唯一确定的值，故A不符合题意；
B、∵点D是边BC的中点，
∴BD=CD，
∴△ABD与△ADC面积的比值为1，
故B不符合题意；
C、点D是边BC的黄金分割点，而BC的黄金分割点有两个，所以△ABD与△ADC面积的比值不唯一，故C符合题意；
D、∵AD是∠BAC的平分线，
∴△ABD与△ADC面积的比值为AB:AC，
故D不符合题意；
故选：C.
3.【答案】B
【解析】本题主要考查了三角形的重心和向量的线性表示，利用向量加法的三角形法则，将向量和转化为向量AB，再计算等边三角形中边长与重心到顶点距离的比值．
【详解】解：∵在等边三角形ABC中，G为重心，
∴AG+GB=AB，
∴AG+GB=AB=AB，
设等边三角形边长为a，则AB=a，
∴等边三角形中线长为 32a，且重心将中线分为2:1部分，从顶点到重心为23中线长，
∴CG=CG=23× 32a= 33a，
∴AG+GB:CG=a: 33a= 3，
故选：B.
4.【答案】B
【解析】本题考查了相似三角形的判定，判断各命题的正确性：① 错误，因相似平行四边形需对应角相等且对应边成比例，仅邻边比相等不足以保证；② 正确，直角三角形一锐角相等则三角对应相等，故相似；③ 错误，两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形不一定相似；④ 正确，两边及第三边中线对应成比例可推导出第三边成比例，故三边成比例相似；⑤ 错误，
若一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形的一条直角边和斜边对应成比例(非对应边)，则这两个直角三角形不相似，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵邻边之比为2 的两个平行四边形对应角不一定相等，
∴① 错误；
∵两个直角三角形有一个锐角相等，则另一个锐角也相等(直角均为90 ∘ )，
∴两角对应相等的两个三角形相似，故② 正确；
设等腰三角形的顶角为α ，腰长为a ，腰上高为h ，则sinα=ℎa ，
条件意味着两个三角形的顶角正弦值相等，则顶角可能相等或互补，当顶角互补且不相等时，三角形不相似，
∴③ 错误；
∵有两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似
∴④ 正确；
若一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形的一条直角边和斜边对应成比例(非对应边)，则这两个直角三角形不相似，
∴⑤ 错误；
∴正确个数为2 ，
故选：B ．
5.【答案】B
【解析】本题考查了全等图形的拼图问题，理解题意是解决本题的关键．
若让它们的斜边重合，则可以拼出矩形或一组对角是直角的四边形；若让它们的直角边重合，则可以拼出两种不同的平行四边形，据此求解即可．
【详解】解：如图，
由图可得，两个全等的非等腰的直角三角形拼成的形状不同的四边形个数是4个，
故选B.
6.【答案】D
【解析】本题考查反比例函数图像的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．把x=0代入y=1x−1，得出y=−1，可判定猜想一正确，根据函数图像的平移规律可判断猜想二正确，即可得答案．
【详解】解：∵当x=0时，y=1x−1=10−1=−1，
∴函数和y轴交于点0,−1，故猜想一正确；
根据函数“左加右减”的平移规律可知，y=1x向右平移1个单位得到函数y=1x−1，
∴函数y=1x−1可由y=1x向右平移1个单位得到，故猜想二正确，
∴猜想均正确．
故选：D.
7.【答案】25
【解析】本题考查比例的性质和分式的化简，设a=3k，b=7k(k≠0)，代入求值即可．
【详解】解：∵ab=37，
∴设a=3k，b=7k(k≠0)，
∴b−aa+b=7k−3k3k+7k=4k10k=25，
故答案为：25.
8.【答案】a>−4
【解析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数大于0.据此解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=a+4x2+8x+7的开口向上，
∴二次项系数a+4>0，
解得a>−4.
故答案为：a>−4.
9.【答案】52
【解析】本题考查比例尺，将实际距离转换为厘米，再根据比例尺计算地图上的距离
【详解】解：520千米=52000000厘米；
∵比例尺1:1000000表示地图上1厘米对应实际1000000厘米，
因此地图距离为52000000÷1000000=52厘米；
故答案为：52.
10.【答案】4:5/5:4
【解析】过三角形的重心作一边的平行线，利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理，结合重心将中线分为2:1的比例，求得小三角形与原三角形的相似比为2:3，面积比为4:9，另一部分面积为5:9，故面积比为4:5.
【详解】解：如图，设△ABC的重心为G，连接AG并延长交BC于点F，过G作DE//BC，交AB于D，交AC于E.
∵DE//BC，
∴△ADG∽△ABF，
∴ADAB=AGAF=23，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=ADAB2=232=49，
∴S△ADES四边形BCED=49−4=45，
即经过三角形的重心且平行于三角形一边的直线将此三角形的面积分为4:5(或5:4)的两部分．
故答案为：4:5(或5:4).
11.【答案】 6
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．
根据三角形外角的性质可得∠ACB=∠ADC，可证明△ACD∽△ABC，即可求解．
【详解】解：∵∠ACB=∠B+∠BCD，∠ADC=∠B+∠BCD，
∴∠ACB=∠ADC，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ACAB=ADAC，
∵AD=2，AB=3，
∴AC3=2AC，
∴AC= 6.
故答案为： 6.
12.【答案】y=x−12(答案不唯一)
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线顶点在x轴上，可设顶点式为y=ax−ℎ2，其中顶点为ℎ,0；与y轴正半轴有交点，即当x=0时，y>0，代入得aℎ2>0，故a>0且ℎ≠0；选择简单值满足条件即可。
【详解】解：由题意，抛物线顶点在x轴上，设其表达式为y=ax−ℎ2，其中顶点坐标为ℎ,0；与y轴正半轴有交点，即当x=0时，y=a0−ℎ2=aℎ2>0；
由aℎ2>0可知ℎ≠0，则ℎ2>0，因此a>0；
取a=1，ℎ=1，得表达式y=x−12，
验证：顶点1,0在x轴上，当x=0时，y=0−12=1>0，符合条件．
故答案为：y=x−12(答案不唯一).
13.【答案】14
【解析】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．点P的坐标为4,1，OP与y轴正半轴的夹角θ的余切值可通过坐标比值直接求解，即ctθ=yx.
【详解】解：过点P作PA⊥y轴于点A.
∵P4,1，
∴PA=4，OA=1
∴ct∠AOP=OAAP=14.
故答案为：14.
14.【答案】98 ∘
【解析】本题考查矩形的性质，正方形的判定与性质，三角形内角和定理和正切，过点E 作EF⊥AB 于点F ，则四边形ACEF 为正方形，得AF=EF=AC=3 ，求出BF=4 ，从而可求出EFBF=34 ，可得∠EBF=37 ∘ ，由三角形内角和定理可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAC=∠C=90 ∘ ，
∵AC=CE=3 ，
∴∠CAE=∠CEA=45 ∘ ，
∴∠EAF=45 ∘ ，
过点E 作EF⊥AB 于点F ，则∠CEF=90 ∘ ，
∴四边形ACEF 是矩形，
∵AC=CE=3 ，
∴四边形ACEF 为正方形，
∴AF=EF=AC=3 ，
∵AB=7 ，
∴BF=AB−AF=7−3=4 ，
在Rt△BEF 中，EFBF=34≈tan37 ∘ ，
∴∠EBF=37 ∘ ，
∴∠AEB=180 ∘−∠EAB−∠ABE=180 ∘−45 ∘−37 ∘=98 ∘ ，
故答案为：98 ∘ ．
15.【答案】35
【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质及三角形中位线的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．连接BD，根据三角形中位线的性质可得EF=12BD，根据菱形的性质得出BC=CD，即可证明CGBC=CHCD=56，进而得出△CGH∽△CBD，得出GH=56BD，即可得答案．
【详解】解：如图，连接BD，
∵AE=BE=AF=FD，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=12BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
∵CG=CH=56BC，
∴CGBC=CHCD=56，
∵∠C=∠C，
∴△CGH∽△CBD，
∴GHBD=CGBC=56，即GH=56BD，
∴EF:GH=12BD:56BD=3:5，
∴EF:GH的值为35.
故答案为：35
16.【答案】1MN=1AC+1BC
【解析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质．
先证明AD//CE，CD//BE，然后通过平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质证明△CMN为等腰直角三角形，继而可得到MN//AC，再得到比例式证明即可．
【详解】解：∵△ADC，△ECB均为等腰直角三角形，
∴AD=DC,CE=BE,∠DAC=∠DCA=∠ECB=∠EBC=45 ∘，
∴AD//CE，CD//BE，∠MCN=180 ∘−∠DCA−∠ECB=90 ∘，
∴△BNC∽△BDA，CMCD=EMAE，EMAE=BCBA，
∴CNAD=BCBA，
∴CMCD=CNAD，
∴CM=CN，
∴△CMN为等腰直角三角形，
∴∠CMN=∠DCA=45 ∘，
∴MN//AC，
∴△DMN∽△DCB,△EMN∽△EAC，
∴MNBC=DNDB,MNAC=EMEA，
∵AD//CE，CD//BE，
∴DNDB=ACAB，EMEA=BCBA，
∴MNBC=ACAB①,MNAC=BCBA②，
由①+②得，MNBC+MNAC=BCBA+ACAB=ABAB=1，
∴1MN=1AC+1BC，
故答案为：1MN=1AC+1BC.
17.【答案】−2m
【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，当抛物线的顶点在y轴上时，则M−12m,0，N12m,0，顶点坐标0,12m，设抛物线y=ax2+12m，把M−12m,0，N12m,0代入得14m2a+12m=0，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：利用特殊情况，当抛物线的顶点在y轴上时，则M−12m,0，N12m,0，顶点坐标0,12m，
设抛物线y=ax2+12m，把M−12m,0，N12m,0代入，得：14m2a+12m=0，
解得：a=−2m，
故答案为：−2m.
18.【答案】2− 3或2+ 3
【解析】先设BC=a，则AB=2a；利用轴对称性质得到AB=BM=2a，BE垂直平分AM；连接AM，通过角度关系证明∠EAB=∠DMA；再分点M在线段CD上和DC延长线上两种情况，用勾股定理求出DM，进而求出tan∠DMA得到tan∠EAB的值．
【详解】解：设BC=a，则AB=2a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=∠BAD=∠DAM+∠EAB=90 ∘，AD=BC=a，CD=AB=2a，
∴DAM+∠AMD=90 ∘，
∴∠AMD=∠EAB，
∵点M与点A关于直线BE对称，
∴BE垂直平分AM，AB=BM=2a，
情况1：如图1，点M在线段CD上，
在Rt△BCM中，BC=a，BM=2a，
∴CM= BM2−BC2= (2a)2−a2= 3a，
∴DM=CD−CM=2a− 3a，
在Rt△ADM中，tan∠DMA=ADDM=a2a− 3a=12− 3=2+ 3，
∵∠EAB=∠DMA，
∴tan∠EAB=2+ 3，
情况2：如图2，点M在DC的延长线上，
在Rt△BCM中，BC=a，BM=2a，
∴CM= BM2−BC2= 3a，
∴DM=CD+CM=2a+ 3a，
在Rt△ADM中，tan∠DMA=ADDM=a2a+ 3a=12+ 3=2− 3，
∵∠EAB=∠DMA，
∴tan∠EAB=2− 3，
故答案为：2− 3或2+ 3.
19.【答案】【小题1】
1
【小题2】
∵在Rt△ABC中，∠C是直角，
∴tanA=BCAC，tanB=ACBC，
∴tan A⋅tan B=BCAC⋅ACBC=1.
【小题3】
tan37 ∘⋅ct37 ∘+12sin60 ∘−1− 3−2
=tan37 ∘⋅tan53 ∘+12× 32−1−2+ 3
=1+1 3−1−2+ 3
=1+ 3+12−2+ 3
=3 3−12.

【解析】1.
本题主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
代入特殊角的三角函数值计算，即可得答案；
【详解】解：tan60 ∘⋅tan30 ∘= 3× 33=1.
故答案为：1
2.
根据正切的定义即可得结论；
3.
根据相关角的三角函数之间的关系，代入特殊角的三角函数值，再化简绝对值，计算即可得答案．
20.【答案】【小题1】
∵BE=2AE，
∴AB=3AE.
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠ACB，
∴△AEF∽△ABC，
∴则EFBC=AEAB=13，
∵BC=CD，
∴EFCD=13，
∵EF//BC，
∴∠GEF=∠GDC，∠EFG=∠DCG，
∴△EFG∽△DCG，
∴EGGD=EFCD=13.
【小题2】
−a+12b
−16a+14b

【解析】1.
本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
由题意可得△AEF∽△ABC，则EFBC=AEAB=13，即EFCD=13，再证明△EFG∽△DCG，即可求解；
2.
由题意得BC=12BD=12b，AB=−a，则AC=AB+BC；由题意得EG=14ED，BE=23AB，则EB=−23a，ED=EB+BD，进而求解．
∵BC=CD，
∴BC=12BD=12b，
∵BA=a，
∴AB=−a，
∴AC=AB+BC=−a+12b，
∵EGGD=13，
∴EG=13GD，EG=14ED，
∵BE=2AE，
∴BE=23AB，
∴则EB=−23a，
∴ED=EB+BD=−23a+b，
∴EG=14−23a+b=−16a+14b.
故答案为：AC=−a+12b，EG=−16a+14b.
21.【答案】【小题1】
证明：∵Rt△ABC中，AC=BC，DB⊥BC，
∴AC//BD，
∴△ACE∽△BDE，
∴BDAC=BEAE，
∴tan∠DCB=BDBC=BDAC=BEEA.
【小题2】
解：如图，过点D作DF⊥AB于F，
∵Rt△ABC中，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45 ∘，
∵∠DBC=90 ∘，
∴∠DBA=45 ∘，
∴DF=BF，
设DF=FB=m，则DB= 2m，
∵∠ACD=60 ∘，
∴∠DCB=30 ∘，
∴tan∠DCB=tan30 ∘=BDBC= 33，
∴BC= 3DB= 6m，
∵Rt△ABC中，AC=BC，
∴AB= 2BC=2 3m，
∴AF=AB−BF=2 3m−m，
在Rt△AFD中，tan∠DAB=DFFA=m(2 3−1)m=2 3+111.

【解析】1.
本题考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
先证明AC//BD，即可证明△ACE∽△BDE，根据相似三角形的性质得出BDAC=BEAE，根据正切的定义即可得出结论；
2.
过点D作DF⊥AB于F，根据等腰直角三角形的判定与性质得出DF=BF，设DF=FB=m，则DB= 2m，根据∠ACD=60 ∘，利用∠DCB的正切函数得出BC= 3DB= 6m，AB=2 3m，利用正切函数的定义即可得答案．
22.【答案】【小题1】
解：∵DE//BC ，
∴△ADN∽△ABM,△AEN∽△ACM ，
∴DNBM=ANAM ，NEMC=ANAM ，
∴DNBM=NEMC ，即DNNE=BMMC ，
∴DNNE=BMMC=k ．
【小题2】
解：如图所示，点G即为所求；

作图步骤：
① 在边AD 上任取一点E，连接CE 并延长，交BA 延长线于点F；
② 连接AC、BE 交于点P，连接FP 并延长，交BC 于点Q；
③ 连接DQ ，DQ 和AC 的交点即为所求G.
理由：过点A作AH//BE ，连接EH ，
∴AFFB=FHFP ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC ，点O为BD 的中点，
∴AFFB=FEFC ，
∴FHFP=FEFC ，
∵∠EFH=∠CFP ，
∴△EFH∽△CFP ，
∴∠FEH=∠FCP ，
∴EH//CP ，即EH//AP ，
∴四边形APEH 是平行四边形，
∴AK=EK ，
由(1)得：CQBQ=EKAK=1 ，
∴BQ=CQ ，即点Q为BC 的中点，
∴点G为△BCD 的重心．

【解析】1.
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质：
根据题意可得△ADN∽△ABM,△AEN∽△ACM ，从而得到DNBM=ANAM ，NEMC=ANAM ，从而得到DNNE=BMMC ，即可得到答案；
2. 在边AD 上任取一点E，连接CE 并延长，交BA 延长线于点F；再连接AC、BE 交于点P，连接FP 并延长，交BC 于点Q；然后连接DQ ，DQ 和AC 的交点即为所求G.
23.【答案】【小题1】
证明：∵∠AED=∠EAD，
∴AD=DE，
∵∠EAD=∠ABC，∠BAC=90 ∘，
∴∠C+∠ABC=90 ∘,∠BAE+∠EAD=90 ∘，
∴∠C=∠BAE，
∵∠ABE+∠CBD=∠ABC,∠BAE+∠ABE=∠DEA，
∴∠ABE+∠CBD=∠BAE+∠ABE，
∴∠CBD=∠BAE，
∴∠CBD=∠C，
即BD=CD，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60 ∘,∠DBA=30 ∘，AD=DE，
∴AD=12BD，
∵AD=DE，
则BE=ED，
∴∠ABD=∠BAE=∠C=30 ∘，
∵∠BAD=∠CAB=90 ∘，
∴△BAD∽△CAB，
∴ABCA=ADAB，
∴AB2=AD×CA，
∴AB2=12BD×CA，
∴2AB2=BD⋅CA；
【小题2】
证明：在线段DC截取DF=DE，连接EF.
∵∠AED=∠EAD，
∴AD=DE，
∵DF=DE
则DF=DE=DA，
即S△ADE=S△EDF，
与(1)同理得BD=CD，
则BDDC=ADDE=1，
∵∠EDF=∠BDC，
∴△EDF∽△BDC，
∴S△EDFS△BCD=(EDDB)2=(DADB)2，
∵∠BAC=90 ∘，
∴cs∠BDA=DADB，
∴(DADB)2=cs2∠BDA，
∴S△EADS△BCD=cs2∠BDA，
即S△EADS△BCD=cs2∠BDA.

【解析】1.
先结合等角对等边，以及角的等量代换，得AD=DE，∠CBD=∠C，则BD=CD，再根据△ADE是等边三角形，得AD=12BD，BE=ED，证明△BAD∽△CAB，得AB2=AD×CA，整理得2AB2=BD⋅CA；
2.
先整理得DF=DE=DA，即S△ADE=S△EDF，与(1)同理得BD=CD，则BDDC=ADDE=1，因为∠EDF=∠BDC，证明△EDF∽△BDC，得S△EDFS△BCD=(EDDB)2=(DADB)2，又因为∠BAC=90 ∘，得cs∠BDA=DADB，即S△EADS△BCD=cs2∠BDA.即S△EADS△BCD=cs2∠BDA.
24.【答案】【小题1】
解：∵抛物线解析式为y=ax2−2ax−3a，
∴对称轴为直线x=−−2a2a=1，
当y=ax2−2ax−3a=0时，解得x=−1或x=3，
∴A−1,0,B3,0；
【小题2】
解：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵CE//x轴，
∴∠AEC=∠BAE，
∴∠CAE=∠CEA，
∴AC=EC，
∵CE//x轴，且C、E都在抛物线上，
∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称，
∴CE=2×1−0=2；
在y=ax2−2ax−3a中，当x=0时，y=−3a，
∴C0,−3a，
∴OC=3a，
在Rt△AOC中，由勾股定理得AC2=OA2+OC2=1+9a2=22，
∴a= 33或a=− 33(舍去)；
【小题3】
解：∵S△AFD=S△PFE，
∴S△AFD+S△DEF=S△PFE+S△DEF，
∴S△ADE=S△PDE，
∴AP//DE，
在y=ax2−2ax−3a中，当x=1时，y=−4a，
∴D1,−4a，
由对称性可知E2,−3a，
设直线DE解析式为y=kx+b，
∴k+b=−4a2k+b=−3a，
∴k=ab=−5a，
∴直线DE解析式为y=ax−5a，
∴可设直线AP解析式为y=ax+t，
把A−1,0代入y=ax+t中得：−a+t=0，解得t=a，
∴直线AP解析式为y=ax+a，
联立y=ax+ay=ax2−2ax−3a解得x=4y=5a或x=−1y=0，
∴P4,5a，
同理可得直线PD解析式为y=3ax−7a=a3x−7，
在y=a3x−7中，当x=73时，y=0，
∴直线PD恒过定点73,0.

【解析】1.
本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标；
2.
根据平行线的性质和角平分线的定义可推出∠CAE=∠CEA，则AC=EC，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则CE=2；求出点C坐标，进而表示出AC2，根据AC2=22建立方程求解即可；
3.
根据图形面积之间的关系可得S△ADE=S△PDE，则AP//DE，求出D、E坐标，进而得到直线DE解析式为y=ax−5a，则直线AP解析式为y=ax+a，进一步求出P4,5a，同理可得直线PD解析式为y=3ax−7a=a3x−7，据此可得答案．
25.【答案】【小题1】
解：如图1，过点E作EH⊥BC交BC延长线于点H，连接BD交AC于点O，
∵正方形ABCD，
∴∠ACB=45 ∘，
∵直线l垂直于对角线AC，
∴∠ACE=90 ∘，
∴∠ECH=45 ∘，
设EH=CH=x，则BH=4+x，
∵∠EHB=90 ∘，
∴BE2=EH2+HB2，
即82=x2+(x+4)2，
解得x1=2 7−2，x2=−2 7−2(舍去)，
则CE= 2x=2 14−2 2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线AC⊥BD，
∵直线l垂直于对角线AC，
∴BD//l，
∵正方形ABCD，边长为4，
∴OB=12BD=2 2，
∴BFFE=OBCE=2 22 14−2 2= 7+16.
【小题2】
证明：连接BD交AC于点O，过点G作GM⊥AC于M，设BD与AE交于点K，DF与AE交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45 ∘，
∵GM⊥AC，
∴GM=MC，
∵直线l垂直于对角线AC，
∴GM//CE，
∴FGGE=FMMC=FMMG=FCCE，
∵ECCA=FGGE，
∴ECCA=FCCE
∴△ECF∽△ACE，
∴∠FEC=∠EAC，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线AC和BD互相垂直平分，
∴BF=FD，
∴∠FBD=∠FDB，
又BD//l，
∴∠FBD=∠FEC=∠EAC，
即∠EAC=∠FDB，
∵∠AKO=∠DKE，
又∵∠AOK=180 ∘−∠EAC−∠AKO，∠DNK=180 ∘−∠FDB−∠DKE，
∴∠AOK=∠DNK，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOK=90 ∘，
∴∠DNK=90 ∘，
∴DF⊥AE.
【小题3】
解：如图3，若DF=FE=BF，
则∠FBD=∠FDB，∠FDE=∠FED，
∵2∠FDB+2∠FDE=180 ∘，
∴∠FDB+∠FDE=90 ∘，
即∠BDE=90 ∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DOC=90 ∘，∠ACD=45 ∘，
∵直线l垂直于对角线AC，
∴∠OCE=90 ∘，
∴∠DEC=90 ∘，
∵∠ACD=45 ∘，∠OCE=90 ∘，
∴∠DCE=45 ∘，
∵正方形ABCD，边长为4，
∴DE= 22DC=2 2，BD= 2DC=4 2，
∴在Rt△EDB中，
tan∠DEB=BDDE=4 22 2=2；
如图4，若DF=DE，过点D作DP⊥直线l于P，
同理可知∠DOC=∠OCP=∠DPC=90 ∘，OD=OC，
∴四边形DOCP是正方形，
∴DO=DP，
在Rt△DOF与Rt△DPE中
∵DO=DPDF=DE，
∴Rt△DOF≌Rt△DPEHL，
∴∠ODF=∠PDE，
∴∠ODF+∠FDP=∠PDE+∠FDP，
即∠FDE=∠ODP=90 ∘，
则∠DEF=45 ∘，
∴tan∠DEB=1；
综上，tan∠DEB=1或2.

【解析】1.
本题考查了正方形的性质，运用勾股定理求线段长度，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定等知识，综合运用以上知识分析问题是解题的关键．
过点E作EH⊥BC交BC延长线于点H，连接BD交AC于点O，设EH=CH=x，则BH=4+x，在Rt△BEH中，运用勾股定理建立关于x的方程，从而求出CE的长，再运用平行线分线段成比例求出BFFE的值；
2.
连接BD交AC于点O，过点G作GM⊥AC于M，设BD与AE交于点K，DF与AE交于点N，证△ECF∽△ACE，运用相似三角形的性质及平行线性质，得出∠DNK=90 ∘，即可证得DF⊥AE；
3.
分DF=FE和DF=DE两种情况进行讨论求解，若DF=FE=BF，证∠BDE=90 ∘，∠DCE=45 ∘，从而求得tan∠DEB；若DF=DE，过点D作DP⊥直线l于P，证明Rt△DOF≌Rt△DPEHL，从而证得∠DEF=45 ∘，最后求出tan∠DEB.