高中数学分类变量与列联表优秀同步达标检测题

这是一份高中数学分类变量与列联表优秀同步达标检测题，共9页。

▉题型1 等高堆积条形图
【知识点的认识】
﹣等高堆积条形图：用于显示分类数据的组成部分，条形的高度代表总体数值的累积．
【解题方法点拨】
﹣绘制：将不同分类的数值堆叠在条形上，展示每部分的相对比例．
（多选）1．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（ ）
A．该平台女性主播占比的估计值为0.4
B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
（多选）2．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，即对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校学生中按男女生比例分配样本，采用分层随机抽样选取了100名学生，其中男生60人，女生40人，调查他们每日使用手机的时间，若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾，根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，则下列说法正确的有（ ）
A．该校男生和女生人数之比为3：2
B．手机是否成瘾一定与学生的性别有关系
C．从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率725
D．从该校学生中抽样到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为13
3．为了研究某种疾病的治愈率，某医院从过往病例中随机抽取了100名患者，其中一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如图．
（1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2×2列联表：
（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，P（χ2≥3.841）≈0.05．
▉题型2 独立性检验
【知识点的认识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
4．下列说法错误的是（ ）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝3.937，根据小概率α＝0.05值的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
5．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（ ）
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
A．有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
6．下列说法中，正确的个数是（ ）
①根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的独立性检验（χ0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
②已知事件A，B，且P(A)=56，P(B)=23，P(A|B)=12，则P(B|A)=25；
③已知点(12，18)在幂函数f（x）＝xm的图象上，则函数h（x）＝f（x）+lgx﹣18的零点所在区间为（2，3）；
④设Y～N（1，σ2）且P（Y＜0）＝0.2，则P（1＜Y＜2）＝0.2．
A．1B．2C．3D．4
7．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算得：χ2≈7.822参照附表，则下列结论正确的是（ ）
A．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．经验回归直线ŷ=b̂x+â是由成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）中的两点确定的
B．如果两个变量的相关程度越强，则相关系数r越接近于1
C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2≈6.852，根据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验χ0.005＝7.879，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%
9．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验，结论为（ ）
A．变量x与y不独立
B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量x与y独立
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．经验回归直线ŷ=b̂x+â必经过样本点中心(x，y)
B．样本相关系数r的值越大，两个变量的相关程度越强
C．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2≈3.56，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
11．为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的两倍，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的25，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的45，根据小概率值α＝0.01 的独立性检验，推断出“学生性别和喜欢吃甜食”有关，则被调查的男生人数最少为（ ）
参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
附：
A．12人B．13人C．14人D．15人
12．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得χ2＝2.826，依据α＝0.05的独立性检验，结论为（ ）
参考值：
A．x与y不独立
B．x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．x与y独立
D．x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
13．为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算K2＝8.069，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
A．0.1%B．1%C．99%D．99.9%
14．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0
D．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则D（η）＝3D（ξ）﹣2
15．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.174．依据α＝0.005的独立性检验，结论为（ ）
A．变量x与y独立
B．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
C．变量x与y不独立
D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
16．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为6m（m∈N*），男生中喜欢短视频的人数占男生人数的12，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的23．若有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则m的最小值为（ ）
A．18B．20C．22D．24
17．为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查，统计结果如表：
下列结论不正确的是（ ）
A．样本中男生所占比例为60%
B．估计该校不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%
C．样本中喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人
D．没有99.9%的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关联
18．下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9的第60百分位数为6
B．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大
C．若甲、乙两组数据的相关系数分别为﹣0.91和0.89，则甲组数据的线性相关程度更强
D．在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大
19．下列结论错误的是（ ）
A．若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，则D（η）＝4D（ξ）
B．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是151
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712．依据α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关
20．对于独立性检验，下列说法中错误的是（ ）
A．χ2的值越大，说明两事件相关程度越大
B．χ2的值越小，说明两事件相关程度越小
C．χ2≤3.841时，则在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A与B有关
D．χ2＞3.841时，则可以大概率认为事件A与B有关
21．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班中各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表如表所示：
则下列说法正确的是（ ）
A．能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.01
B．能据此推断环保知识测试成绩与专业无关，且犯错误概率不超过0.01
C．能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.05
D．能据此推断环保知识测试成绩与专业无关，且犯错误概率不超过0.05
22．为研究男生和女生对数学课程的喜爱程度是否有差异，运用2×2列联表进行检验，经计算得χ2＝3.526，参考下表，则认为“男生和女生对数学课程的喜爱程度有差异”犯错误的概率不超过（ ）
A．10%B．5%C．1%D．0.1%
23．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为6m（m∈N*），男生中喜欢短视频的人数占男生人数的12，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的23．若有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则m的最小值为（ ）
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
临界值表：
A．18B．20C．22D．24
24．手机给人们的生活带来便捷，但同时也对中学生的生活和学习造成了一定的影响．某校几个学生成立研究性学习小组，就使用手机对学习成绩的影响随机抽取了该校100名学生的期末考试成绩并制成如下的表，则下列说法正确的是（ ）
（参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d）
A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为使用手机与学习成绩无关
B．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为使用手机与学习成绩无关
C．有99%的把握认为使用手机对学习成绩有影响
D．无99%的把握认为使用手机对学习成绩有影响
（多选）25．下列说法正确的是（ ）
A．依据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.301＞6.635＝x0.01，则依据α＝0.01的独立性检验，没有充分的证据推断x与y有关联
B．极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度
C．若事件A、B发生的概率分别为P（A）、P（B），且P（A）P（B）＝P（AB），则A与B独立
D．若随机变量X∼N（4，σ2），且P(X≥1)=45，则P(1＜X＜7)=35
（多选）26．下列关于统计量X2的说法中，正确的是（ ）
A．统计量X2的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强
B．若求出统计量X2＝6.31，由于6.31比较接近X0.01＝6.635，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01
C．独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量X2所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的
D．根据统计量X2的构造过程可知，X2的值越小，零假设H0成立的可能性越大
27．随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（10≤m≤20，m∈N*）
若通过计算得，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 ．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
28．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的13，女生追星的人数占女生人数的23，若在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有 人．
参考数据及公式如下：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．
29．为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）：
（1）记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求P（A）和P（B）；
（2）根据α＝0.01的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
30．为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：附表：
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
（1）根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求P（X＝Y）的值．
31．在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．
（1）现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：
请将表格补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？
（2）若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．χ2临界值表：
▉题型3 实际推断原理和假设检验
【知识点的认识】
1、小概率原理（实际推断原理）认为概率很小的事件在一次试验中实际上不会出现，并且小概率事件在一次试验中出现了，就被认为是不合理的．
2、假设检验的基本思想：
假设检验是除参数估计之外的另一类重要的统计推断问题．它的基本思想可以用小概率原理来解释．所谓小概率原理，就是认为小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的．如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了，这与小概率原理相违背，表明原来的假设有问题，应予以否定，即拒绝这个假设．若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现，就没有理由否定这个假设，表明试验或抽样结果支持这个假设，这时称假设与实验结果是相容的，或者说可以接受原来的假设．
32．小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小…”．他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…．已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（ ）
A．840mm，594mmB．840mm，588mm
C．594mm，420mmD．588mm，420mm
题型1 等高堆积条形图
题型2 独立性检验
题型3 实际推断原理和假设检验
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
外科疗法
化学疗法
18
合计
100
男生
女生
篮球迷
90
20
非篮球迷
60
30
P（X2≥k）
0.10
0.05
0.01
0.005
k
2.706
3.841
6.635
7.789
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
α
0.05
0.01
xα
3.841
6.635
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
P（K2⩾k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.897
10.828
性别
体育锻炼
合计
喜欢
不喜欢
男
女
50
80
合计
110
班级
人数
总计
优秀
非优秀
A班
14
6
20
B班
7
13
20
总计
21
19
40
α
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
α
0.050
0.010
xα
3.841
6.635
手机使
用情况
成绩
成绩优秀
成绩不优秀
总计
不用手机
40
10
50
使用手机
5
45
50
总计
45
55
100
支持
不支持
男生
70﹣m
10+m
女生
50+m
30﹣m
α
0.050
0.010
0.005
0.001
x0
3.841
6.635
7.879
10.828
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
每日阅读时长≥30分钟
每日阅读时长＜30分钟
专注力达标
170
80
专注力不达标
100
150
P（χ2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
近视情况
每天看电子产品的时间
合计
超过一小时
一小时内
近视
10人
5人
15人
不近视
10人
25人
35人
合计
20人
30人
50人
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
选择甲公司直播间购物
选择乙公司直播间购物
合计
用户年龄段19﹣24岁
40
50
用户年龄段25﹣34岁
30
合计
P（χ2≥k）
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828