【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：8.3 列联表与独立性检验 讲义

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8.3 列联表与独立性检验

课程标准
课标解读
1． 了解分类变量与数值变量的区别，了解回归与相关的区
别；
2.通过实例，理解通过比较相关比率，利用2×2列联表或等高图可以初步检验两个随机变量的独立性. 理解通过比较相关比率判断随机变量独立性得到的结果有可能会犯错误.
3. 理解通过比较相关比率判断随机变量独立性得到的结果有可能会犯错误.
本节课要求会通过比较相关比率，判断两个随机变量的独立性. 会对简单的数据分析案例进行初步独立性分析.恰当构造卡方统计量及利用小概率事件原理实现对两个分类变量的是否独立的科学检验.能解决简单的与独立性检验相关的实际问题.




知识点1　数值变量和分类变量
1、数值变量：数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义．
2、分类变量：这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示．
注：分类变量的取值可以用实数来表示，例如男性，女性可以用1,0表示，学生的班级可以用1,2,3来表示．这些数值只作编号使用，并没有大小和运算意义．分类变量是相对于数值变量来说的．
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量才是分类变量．
【即学即练1】【多选】给出下列实际问题，其中用独立性检验可以解决的问题有(　　)
A．两种药物治疗同一种病是否有区别
B．吸烟者得肺病的概率
C．吸烟是否与性别有关系
D．网吧与青少年的犯罪是否有关系
【即学即练2】在吸烟与患肺病是否有病的研究中，下列属于两个分类变量的是（       ）
A．吸烟，不吸烟 B．患病，不患病
C．是否吸烟，是否患病 D．以上都不对

知识点2　2×2列联表
1．2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．
2．定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示：
X
Y
合计
Y＝0
Y＝1
X＝0
a
b
a＋b
X＝1
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d

像这种形式的数据统计表称为2×2列联表．
最后一行的前两个数分别是事件{Y＝0}和{Y＝1}的频数；最后一列的前两个数分别是事件{X＝0}和{X＝1}的频数；中间的四个数a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y}(x，y＝0,1)的频数；右下角格中的数n是样本容量．
注:分类变量与列联表的实际应用
利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣．
【即学即练3】下面是一个2×2列联表：
X
Y
合计
Y＝0
Y＝1
X＝0
a
21
73
X＝1
8
25
33
合计
b
46


则表中a，b处的值分别为(　　)
A．94,96 B．52,50
C．52,60 D．54,52
【即学即练4】下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：

时间
合计
晚上
白天
男婴
45
A
B
女婴
E
35
C
合计
98
D
180

那么，A＝________，B＝________，C＝________，D＝________，E＝________.
【即学即练5】在2×2列联表中，两个比值与______相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大．
【即学即练6】某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：

每年体检
每年未体检
合计
老年人

7

年轻人
6


合计


50
已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是( )
A． B． C． D．

知识点3 等高堆积条形图
等高堆积条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果．
作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误
【即学即练7】为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：
组别
尿棕色素
合计
阳性数
阴性数
铅中毒病人
29
7
36
对照组
9
28
37
合计
38
35
73

试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？
知识点4　独立性检验
1．定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验．
2．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
注：(1)卡方越小，独立性越强，相关性越弱；卡方越大，独立性越弱，相关性越强．
(2)当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立．
根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论．
3．有关“相关的检验”
用χ2进行“相关的检验”步骤
(1)零假设：即先假设两变量间没关系．
(2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．
(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值xα.
(4)下结论：比较χ2与xα的大小，并作出结论．
4．有关“无关的检验”
运用独立性检验的方法
(1)列出2×2列联表，根据公式计算χ2.
(2)比较χ2与xα的大小作出结论．
5．独立性检验解决实际问题的主要环节
(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．
(3)根据检验规则得出推断结论．
(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．
注：独立性检验和反证法：反证法不会出错，而独立性检验依据的是小概率事件几乎不发生．
6.下表给出了产独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
7. 临界值
统计量也可以用来作相关性的度量，越小说明变量之间越独立，越大说明变量之间越相关
.忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立，我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准.
【即学即练8】在一项中学生近视情况的调查中,某校150名男生中有80名近视,140名女生中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时最有说服力的方法是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.平均数与方差 B.回归分析
C.独立性检验 D.概率
【即学即练9】对于独立性检验，下列说法正确的是（ ）
A．时，有95%的把握说事件与无关
B．时，有99%的把握说事件与有关
C．时，有95%的把握说事件与有关
D．时，有99%的把握说事件与无关

【即学即练10】【多选】若在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟和患肺癌有关系
B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
【即学即练11】下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否知道想学专业的调查表：

知道想学专业
不知道想学专业
合计
男生
63
117
180
女生
42
82
124
合计
105
199
304

根据表中数据，则下列说法正确的是________．(填序号)
①性别与知道想学专业有关；
②性别与知道想学专业无关；
③女生比男生更易知道所学专业．


考点一 等高堆积条形图的应用
解题方略：
等高堆积条形图的优劣点
(1)优点：较直观地展示了与的差异性．
(2)劣点：不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率．
【例1-1】网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用等高堆积条形图判断学生学习成绩与经常上网有关吗？


















变式1：根据如图所示的等高堆积条形图可知喝酒与患胃病________关系．(填“有”或“没有”)

【例1-2】观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（       ）
A． B．
C． D．
【例1-3】为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：

根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）
A．样本中的男生数量多于女生数量 B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C．样本中多数男生喜欢手机支付 D．样本中多数女生喜欢现金支付
考点二 有关“相关的检验”
解题方略：
用χ2进行“相关的检验”步骤
(1)零假设：即先假设两变量间没关系．
(2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．
(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值xα.
(4)下结论：比较χ2与xα的大小，并作出结论．
【例2-1】某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析喜欢体育还是文娱与性别是否有关系．
性别
喜欢
合计
体育
文娱
男生
21
23
44
女生
6
29
35
合计
27
52
79

【例2-2】某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：
性别
作业量
合计
大
不大
男生
18
9
27
女生
8
15
23
合计
26
24
50

则推断“学生的性别与认为作业量大有关”这种推断犯错误的概率不超过(　　)
A．0.01 B．0.005
C．0.05 D．0.001
【例2-3】某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：
年龄
饮食习惯
合计
偏爱蔬菜
偏爱肉类
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
合计
20
10
30

则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为(　　)
A．95% B．99%
C．99.5% D．99.9%
变式1：某销售部门为了研究具有相关大学学历和能按时完成销售任务的关系，对本部门200名销售人员进行调查，所得数据如下表所示：

能按时完成
销售任务
不能按时完
成销售任务
合计
具有相关大学学历
57
42
99
不具有相关大学学历
36
65
101
合计
93
107
200

根据上述数据能得出结论：有________以上的把握认为“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”．

【例2-4】甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x(单位：cm)及个数y，如下表：
零件
尺寸x
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
零件
个数y
甲
3
7
8
9
3
乙
7
4
4
4
a

由表中数据得y关于x的经验回归方程为＝－91＋100x(1.01≤x≤1.05)，其中合格零件尺寸为1.03±0.01(cm)．完成下面列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析加工零件的质量与甲、乙是否有关．
机床加工
零件的质量
合计
合格零件数
不合格零件数
甲



乙



合计




【例2-5】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(　　)
表1
性别
成绩
合计
不及格
及格
男
6
14
20
女
10
22
32
合计
16
36
52

表2
性别
视力
合计
好
不好
男
4
16
20
女
12
20
32
合计
16
36
52


表3
性别
智商
合计
偏高
正常
男
8
12
20
女
8
24
32
合计
16
36
52

表4
性别
阅读量
合计
丰富
不丰富
男
14
6
20
女
2
30
32
合计
16
36
52

A.成绩 B．视力
C．智商 D．阅读量
考点三 有关“无关的检验”
解题方略：
独立性检验解决实际问题的主要环节
(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．
(3)根据检验规则得出推断结论．
(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．
【例3-1】考察棉花种子处理情况跟生病之间的关系得到下表数据：
种子
种子
合计
处理
未处理
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
合计
93
314
407

根据以上数据，可得出(　　)
A．种子是否经过处理跟生病有关
B．种子是否经过处理跟生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．以上都是错误的
变式1：某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系．

考点四 根据独立性检验求参数
【例4-1】在某次独立性检验中，得到如下列联表：

A

总计
B
200
800
1000

180
a

总计
380


最后发现，没有90%的把握认为A与B有关，则a的值可能是（       ）
A．300 B．400
C．500 D．600
变式1：【多选】有两个分类变量X，Y，其2×2列联表如下所示：
X
Y
合计
Y1
Y2
X1
a
20－a
20
X2
15－a
30＋a
45
合计
15
50
65

其中a,15－a均为大于5的整数，若依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为X，Y有关，则a的值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
变式2：【多选】针对时下的抖音热，某校团委对学生性别和喜欢抖音是否有关作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握但没有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（       ）
附表：










A．人 B．人 C．人 D．人

考点五 独立性检验的综合应用
【例5-1】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生

6

女生
10


合计


48

已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)；
(2)根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？
(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．

变式1：“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
态度
性别
合计
男性
女性
反感
10


不反感

8

合计


30

已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值．
附：χ2＝.

变式2：2022年11月21日，我国迄今水下考古发现的体量最大的木质沉船长江口二号古船，在长江口横沙水域成功整体打捞出水，上海市文物局会同交通运输部上海打捞局，集成先进的打捞工艺、技术路线、设备制造，最终研究并形成了世界首创的“弧形梁非接触文物整体迁移技术”来打捞这艘古船.这是全新的打捞解决方案，创造性地融合了核电弧形梁加工工艺、隧道盾构掘进工艺、沉管隧道对接工艺，并运用液压同步提升技术，综合监控系统等先进的高新技术.这些技术也是首次应用于文物保护和考古领域.近年来，随着科学技术的发展，越来越多的古迹具备了发掘的条件，然而相关考古专业人才却严重不足.某调查机构为了解高三学生在志愿填报时对考古专业的态度，在某中学高三年级的1200名男生和800名女生中按比例分配的分层，随机抽取20名学生进行了调查，调查结果如下表：

不填报
填报
非第一志愿填报
第一志愿填报
男生
x
5
2
女生
y
1
0
(1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验判断是否可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联？

男生
女生
总计
不填报



填报



总计


20
(2)从抽出的男生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名男生中“第一志愿填报考古专业”和“非第一志愿填报考古专业”人数差的绝对值，求X的数学期望.
附：.

0.05
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828

变式3：2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区．

(1)完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．

超过1.5万元
不超过1.5万元
总计
平原地区



山区
10


总计



附：，其中．

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
(2)根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为，求的分布列和数学期望．


题组A 基础过关练
1、下列说法中不正确的是 (　　)
A.独立性检验是检验两个分类变量是否有关的一种统计方法
B.独立性检验得到的结论一定是正确的
C.独立性检验的样本不同,其结论可能不同
D.独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法
2、假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为和，其2×2列联表为：
Y
X



10
18

m
26
则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱（       ）
A．8 B．9 C．14 D．19
3、观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是(　　)


4、为了研究高中学生中性别与对乡村音乐态度(喜欢和不喜欢两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝8.01，则所得到的统计学结论是认为“性别与喜欢乡村音乐有关系”的把握约为(　　)
A．0.1% B．0.5%
C．99.5% D．99.9%
5、某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：
性别
专业
合计
非统计专业
统计专业
男
13
10
23
女
7
20
27
合计
20
30
50

为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝≈4.844，因为χ2>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为__________．
6、【多选】下列关于回归分析与独立性检验的说法不正确的是(　　)
A．回归分析和独立性检验没有什么区别
B．回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定关系
C．回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验
D．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
7、在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是(　　)
A．男人、女人中患色盲的频率分别为0.038和0.006
B．男、女患色盲的概率分别为，
C．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，可以认为患色盲与性别是有关的
D．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关
题组B 能力提升练
8、【多选】下列说法正确的是（       ）
A．在统计学中，独立性检验是检验两个随机事件是否有关系的一种统计方法
B．在两个随机事件的样本数据的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，两个事件有关系的可能性就越小
C．对随机事件X与Y的随机变量的，越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
D．两个有线性相关关系的变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x与y之间的线性相关程度越强
9、为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：
组别
阳性数
阴性数
总计
铅中毒病人
29
7
36
对照组
9
28
37
总计
38
35
73
试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？
10、某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，得到如下所示的列联表，经计算，则（       ）
单位：人
性别
满意程度
合计
满意
不满意
男
18
9
27
女
8
15
23
合计
26
24
50
A．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为
B．该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的运动场所更满意
C．根据的独立性检验，可以推断男性会员、女性会员对运动场所的满意程度有差异
D．根据的独立性检验，可以推断男性会员、女性会员对运动场所的满意程度有差异
11、某校对学生进行心理障碍测试，得到的数据如下表：

焦虑
说谎
懒惰
总计
女生
5
10
15
30
男生
20
10
50
80
总计
25
20
65
110
根据以上数据可判断在这三种心理障碍中，与性别关系最大的是（ ）
A．焦虑 B．说谎 C．懒惰 D．以上都不对
12、世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：
年龄
西班牙队
合计
不喜欢
喜欢
高于40岁
p
q
50
不高于40岁
15
35
50
合计
a
b
100

若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为，则有超过________的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．
附：χ2＝.
临界值表：
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

13、在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：
分数段
29～
40
41～
50
51～
60
61～
70
71～
80
81～
90
91～
100
午休考生
人数
23
47
30
21
14
31
14
不午休考
生人数
17
51
67
15
30
17
3

(1)根据上述表格完成列联表；

人数
合计
及格人数
不及格人数
午休



不午休



合计




(2)根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？

题组C 培优拔尖练
14、千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表：
夜晚天气
日落云里走
下雨
未下雨
出现
25
5
未出现
25
45

临界值表
P（）
0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

并计算得到，下列小波对地区A天气判断不正确的是（       ）
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C．有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D．出现“日落云里走”，有的把握认为夜晚会下雨
15、【多选】对甲、乙两个班级共105名学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到下表：
成绩情况
班级
优秀
不优秀
总计
甲班
10


乙班

30

总计



已知在这105名学生中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则（       ）
A．列联表中的值为20，的值为45 B．列联表中的值为15，的值为50
C．有95%的把握认为成绩是否优秀与班级有关系 D．没有95%的把握认为成绩是否优秀与班级有关系
16、【多选】全国“停课不停学”期间，各地教师通过网络直播、微课推送等方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生的总人数可能为（       ）
A．120 B．130 C．240 D．250

17、某企业有两个分厂生产某种零件，按规定，内径尺寸（单位：mm）的值落在的件为优质品，从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下：
甲厂：
分组




频数
12
63
86
182
分组




频数
92
61
4

乙厂：
分组




频数
29
71
85
159
分组




频数
76
62
18

(1)试分别估计两个分厂生产的零件为优质品的概率；
(2)由以上统计数据填下面的列联表，依据的独立性检验，分析两个分厂生产的零件的质量是否有差异．

甲厂
乙厂
合计
优质品



非优质品



合计




附：，其中．

0.05
0.01
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
18、2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式．为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关．

男生
女生
合计
了解



不了解



合计



(1)求n的值．
(2)现采用分层抽样的方法在调查结果“了解中国航天事业”的学生中抽取10人，再从这10人中抽取3人进行第二次调查，以便了解学生获得中国航天事业信息的渠道，则至少有2名女生被第二次调查的概率．
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取5人，记其中了解中国航天事业的人数为，求的分布列及数学期望．
附表：

0.10
0.05
0.025
0.01
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828


19、某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：

支持
不支持
合计
中型企业
60
20
80
小型企业
180
140
320
合计
240
160
400
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关；
(2)从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设为所发奖励的总金额（单位：万元），求的分布列和均值．
附：，．