河南省南阳市卧龙区2024—2025学年八年级上学期11月期中数学试题 （解析版）

这是一份河南省南阳市卧龙区2024—2025学年八年级上学期11月期中数学试题 （解析版），共33页。
1．本试卷满分120分，考试时间100分钟
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置．
3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效．
4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在下列实数中，无理数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念，求算术平方根，掌握无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如（每相邻两个3间0的个数依次增加一个）．根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、是有限小数，是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、是分数，是有理数，不符合题意；
D、是分数，是有理数，不符合题意；
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂乘除法，掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂乘法、幂的乘方。积的乘方、同底数幂除法法则注意计算即可．
【详解】解：A、，原计算正确，符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
3. 三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，，支撑杆，等长，当伞圈D沿着伞柄滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．这里推断的理由是（ ）
A. 由，，，得
B. 由，，，得
C. 由，，，得
D 由，，，得
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，再利用即可证明，即可得解．
【详解】解：由题意可得：，
在和中，
，
∴，
∴，
故选：B．
4. 若m为正整数，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂相乘，根据幂的乘方与同底数幂相乘的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故选：D．
5. 小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A. 我爱美B. 美我南阳C. 南阳游D. 我爱南阳
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解：，
故结果呈现的密码信息可能是我爱南阳，
故选：D．
6. 南阳光武大桥，建于2012年，南阳农运会的应景之作，四塔高耸，斜拉铁索，南阳首创，主要承担市区到南阳机场的交通任务，被称为“南阳之门”．其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，并能结合已知条件选取合适的方法是解题关键．根据已知条件可得，，结合全等三角形的判定方法依次对各个选项判断．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴若添加，无法证明，A选项符合题意；
若添加，可根据证明，B选项不符合题意；
若添加，可根据证明，C选项不符合题意；
若添加，可根据证明，D选项不符合题意；
故选：A．
7. 下列各式中能用完全平方公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据完全平方公式的特征即可判断．
【详解】解：（A）不能用完全平方公式，
（B）原式＝=-，能用完全平方公式，
（C）不能用完全平方公式，
（D）不能用完全平方公式；
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
8. 关于整式，，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若m为常数，且的值与x无关，则
B. 若k为常数，且，则
C. 无论x为何值，A都大于B
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减、整式的混合运算、运用完全平方公式进行计算，由整式的加减结合题意得出，求出，即可判断A；根据整式的混合运算并结合题意得出，，即可判断B；求出即可判断C；利用完全平方公式进行计算即可判断D．
【详解】解：∵，m为常数，且值与x无关，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
，
∴，，
解得：，故B正确，不符合题意；
，当时，，此时，故C错误，符合题意；
∵，
∴，故D正确，不符合题意；
故选：C．
9. 对于实数a、b，定义一种运算：．给出三个推断：①；②；③，其中正确的推断个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据，，即可判断①，根据，，即可判断②，根据，，即可判断③．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，故①正确，
∵，，
∴不一定成立，故②错误，
∵，，
∴，故③正确，
∴正确的推断是①③，
故选：C
【点睛】此题考了实数运算以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10. 如图，和是等边三角形，连接，交于点O，连接，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，证明，得出，，即可判断A；记与的交点为，求出即可判断B；在上取一点，使，则是等边三角形，证明，得出，即可判断C；连接，要是，则有，结合题意即可判断D，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴，，故A正确，不符合题意；
记与的交点为，
∵，
∴，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
在上取一点，使，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
连接，要是，则有，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，而没有办法判断大于，故D不一定正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共5 小题，共15分）
11. 比较大小：______．
【答案】＜
【解析】
【分析】根据无理数的估算确定，从而进行比较．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查实数大小比较，掌握无理数的估算，正确进行比较是解题的关键．
12. 若，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用，幂的乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用，将化为，再代入求解即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：4．
13. 宛宛在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，，，则________cm．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查全等三角形的性质和判定；利用同角的余角相等证明，再利用证明，进而利用线段的和差关系直接代值求解即可．
【小问1详解】
解：：∵，
∴，
又∵．
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∴．
故答案为：．
14. 若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义、非负数的性质及三角形三边关系；根据关系式得出，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，即，
∴，
，b=4，
①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形；
②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形
周长为．
故答案为：10．
15. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为________时，与全等．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度是，则有，，，分两种情况：当，时，当，时，分别求解即可得解．
【详解】解：设点的运动速度是，则有，，，
∵，
∴与全等有两种情况：
当，时，，
解得：，
∴，
解得：，即点的运动速度是；
当，时，，，
解得：，，即点的运动速度是；
综上所述，点Q的运动速度为或时，与全等，
故答案为：或．
三、解答题(本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算、幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算乘方、立方根、绝对值、算术平方根，再计算加减即可得解；
（2）根据幂的混合运算法则计算即可得解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 将下列各式因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．
（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 下面是两位同学进行整式运算的部分过程，请认真阅读并完成相应的任务．
化简并求值：．其中，．
任务一：仔细检查小豫同学解题的过程，回答下列问题．
（1）第①处用到的乘法公式是________；（用字母表示公式）
（2）第②处错误的原因是________．
任务二：
（3）小宛运用了因式分解的方法，简便了运算，但其过程不完整，请你补全小宛的过程．
【答案】（1）；（2）完全平方公式运用错误；（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据平方差公式即可得解；
（2）根据完全平方公式即可得解；
（3）先化简，再代入，计算即可得解．
【详解】解：（1）第①处用到的乘法公式是；
（2）第②处错误的原因是完全平方公式运用错误；
（3）
，
当，时，原式．
19. 9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图2所示．
（1）用含a、b的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）；
（2）若，，求板总面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据板模型的总面积为上面的三角形的面积中间梯形的面积下面梯形的面积，列式计算即可得解；
（2）先利用完全平方公式得出，再代入（1）中所求的式子即可得解．
【小问1详解】
解：由图可得：
板模型的总面积为：
；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴板模型的总面积为．
20. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出了以下问题，请你完成．
任务一：
（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果…那么…的形式是 ．
任务二：
（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论：
以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善
如图，在和中，，，，
求证：．
证明：由于直角边，我们移动，使点A与点，点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧．
，
即点、、在同一条直线上．
………
【答案】（1）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定，等边对等角性质，命题的条件和结论，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据命题的条件和结论求解即可；
（2）由等边对等角得到，再利用“”证明即可．
【详解】解：（1）定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果…那么…的形式是如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等，
故答案为：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等；
（2）证明：由于直角边，我们移动，使点A与点，点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧．
，
即点、、在同一条直线上．
，
，
在和中，
，
．
21. 如图①是一张“小孔成像”实验图片，图②是它的简化示意图．点O代表小孔，代表蜡烛的火苗，代表火苗在光屏上所成的像，与互相平行，已知当小孔到蜡烛的距离（物距）等于小孔到光屏的距离（像距）时，所成像的大小与火苗的大小相等，请你用数学知识解释这种现象．
【答案】解释见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定定理是解题的关键；
作，交于点E，延长交于点F，根据平行线的性质得，，，再证，即可得出结论
【详解】解：作，交于点E，延长交于点F，
，
，，
，
，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
当物距等于像距时，所成像的大小与火苗的大小相等这一现象．
22. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式．
例如图1得到：，基于此，请回答下列问题：
【类比】（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： ；
【应用】（2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，则的平方根是 ．
【拓展】（3）已知∶ ，求值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，多项式乘多项式与图形面积，求一个数的平方根，完全平方公式的应用：
（1）根据正方形面积的两种计算方法，即可得到数学等式；
（2）计算多项式乘以单项式，进而求得、、的值，计算，再求平方根可求解；
（3）令，，则，，再根据完全平方公式计算即可．
【详解】解：（1）由图形可知，，
故答案为：；
（2），
，，，
，
的平方根是，
故答案为：；
（3）令，，
，
，
，
，
，
．
23. 综合与实践
【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
图1
小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，依据是________；
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】
（3）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系；
【灵活运用】
（4）如图3，若在（3）的基础上，增加平分，，，则________．
图3
【答案】（1）C；（2）；（3）；（4）2
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答；
（2）根据三角形的三边关系计算即可；
（3）延长到E，使，连接，，证明，根据全等三角形的性质及三角形三边关系解答；
（4）延长延长，交于点F，证明，得出，证明，得出则可得出结论．
【详解】（1）在和中，
，
∴，
故选：C；
（2）∵，
∴，
在中，，
，
即，
∴，
故答案为；
（3）延长到E，使，连接，，
在和中
，
，
，
，，
为等腰三角形，
，
在中
，
；
（4）解：延长，交于点F，，
平分，
，
，
，
在和中
，
，
，，
在和中
，
，
，
，，
，
故答案为：2．
小豫的方法：
解：原式
．
小宛的方法：
解：原式