2022-2023学年河南省南阳市卧龙区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市卧龙区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列式子是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.若的值等于，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D.

3.下列等式中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.在芯片设计和制造中，为了表示芯片中晶体管与晶体管之间的距离，经常需要用到纳米这样的计数单位我们知道：纳米毫米，毫米米，则纳米(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

5.如图，以两条直线，的交点坐标为解的方程组是(    )

A.
B.
C.
D.

6.已知点在函数的图象上，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.某市乘出租车需付车费元与行车里程千米之间函数关系的图象如图所示，那么该市乘出租车超过千米但不超过千米时，每千米的费用是(    )

A. 元
B. 元
C. 元
D. 元

8.如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是
(    )
 

A.
B.
C. 或
D. 或

9.如图，若反比例函数的图象经过点，轴于点，且的面积，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.如果关于的分式方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.请写出一个随的增大而减小的一次函数的表达式：______ ．

12.若分式有意义，则的取值范围是          ．

13.如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，有下列结论：图象经过点；关于的方程的解为；关于的方程的解为；当时，其是正确的是______ ．

14.如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连结，已知、、则______．

15.如图，已知点，，直线经过点试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是          ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
计算：．
化简：．

17.本小题分
解分式方程：．

18.本小题分
先化简，再求值．
化简，并请你从的整数解中选取一个合适的数代入求值．

19.本小题分
在研究函数时，我们多数情况下都要经历这样几个过程：
确定函数关系式；
列表、描点、连线画出函数图象；
观察分析图象特征，探究函数性质；
运用函数图象及性质解决问题．
下面研究函数．

该函数中自变量的取值范围是______ ；
画出图象：
列表：下列是与的几组对应值：

描点：根据表中的数值描点；
连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
观察分析图象特征，探究函数性质：函数的增减性是：______ ；
运用函数图象及性质解决问题：不等式的解集是______ ．

20.本小题分
为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进甲，乙两种图书经调查，购进甲种图书的费用元与本数本之间的函数关系如图所示，乙种图书每本元．
求线段和射线的函数关系式，并写出的取值范围；
若学校准备购买甲种图书本，乙种图书本，求购买两种图书所需的费用．

21.本小题分
孙师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车，两款车的有关数据如下：

根据以上信息，解答下列问题：
用含的代数式表示款车的每千米行驶费用；
若每千米行驶费用款车比款车多元．
分别求出这两款车的每千米行驶费用；
若款和款车每年的其它费用分别为元和元问：每年行驶里程为多少千米时，买款车的年费用更低？年费用年行驶费用年其他费用

22.本小题分

如图，已知反比例函数的图象经过点和点，点在点的下方，平分，求交轴于点．
求反比例函数的表达式；
请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图
线段与中所作的垂直平分线相交于点，连接求证：．

23.本小题分
在教育部印发的年版课程标准中，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，加强了劳动对学生的育人作用某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动据了解，每捆甲种菜苗在菜苗基地的价格是市场上价格的，用元在菜苗基地购买的甲种菜苗比在市场上购买的多捆．
求菜苗基地每捆甲种菜苗的价格；
菜苗基地每捆乙种菜苗的价格是元学校决定在菜苗基地购买甲、乙两种菜苗共捆，且甲种菜苗的捆数不超过乙种菜苗的捆数菜苗基地为支持该校活动，对甲、乙两种菜苗均提供九折优惠，求本次购买最少花费多少钱．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是单项式，是整式，故A不符合题意；
B、是整式，故B不符合题意；
C、是分式，故C符合题意；
D、是单项式，是整式，故D不符合题意．
故选：．
根据分式的定义解答即可，一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
本题考查分式的定义，解题的关键是熟练运用分式的定义，本题属于基础题型．

2.【答案】 

【解析】解：若的值等于，则且，
所以．
故选：．
根据分式值为零的条件可得：且，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．

3.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式为最简分式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得纳米毫米，毫米米，
则纳米米米，
故选：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．
【解答】
解：设直线的解析式为，把、代入，得

解得
直线的解析式为；
设直线的解析式为，把、代入，得

解得
直线的解析式为；
因此以两条直线，的交点坐标为解的方程组是：．
故选C．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，则，．
【解答】
解：，
函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
，
，，
．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：观察图象发现从公里到公里共行驶了公里，费用增加了元，
故出租车超过千米后，每千米的费用是元，
故选：．
观察图象发现从公里到公里共行驶了公里，费用增加了元，从而确定每千米的费用．
本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是仔细观察函数的图象，并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．

8.【答案】 

【解析】分析
根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集即可得解．
本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
详解
解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数为常数且的图象上方时，
的取值范围是：或，
不等式的解集是或，
故选C．

9.【答案】 

【解析】解：连接，，

轴于点，
．
．
．
反比例函数的图象在第一、三象限，
．
．
故选：．
根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10.【答案】 

【解析】解：方程两边同乘以，得
．
原方程有增根，
，
即．
把代入，得
．
故选B．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
让最简公分母为确定增根；
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

11.【答案】，或等，答案不唯一 

【解析】解：例如：，或等，答案不唯一．
故答案为：，或等，答案不唯一．
根据一次函数的性质只要使一次项系数小于即可．
此题比较简单，考查的是一次函数的性质：
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小．

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为零．

13.【答案】 

【解析】解：把点，点代入得，，
解得：，
一次函数的解析式为，
当时，，
图象不经过点；故不符合题意；
由图象得：关于的方程的解为，故符合题意；
关于的方程的解为，故符合题意；
当时，，故符合题意；
故答案为：．
根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．

14.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形，如图：

，反比例函数经过点

，





故答案为：．
过点作轴于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形，根据，可得的值，即可得到矩形和矩形的面积，进而可求出．
此题主要考查的知识有：反比例函数系数的几何意义和性质，通过矩形的面积求出的值是解本题的关键．

15.【答案】或 

【解析】解：当直线经过点，时，
，
；
当直线经过点，，时，
，
．
直线与线段有交点时，猜想的取值范围是：或．
故答案为：或．
利用临界法求得直线和的解析式即可得出结论．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．

16.【答案】解：


；




． 

【解析】先根据绝对值，负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方进行计算，再算加减即可；
先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的混合运算和分式的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键．

17.【答案】解：分式两边都乘以得：，
，
，
，
．
经检验，是原方程的解．
所以，原方程的解为：． 

【解析】解分式方程的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验．
本题考查了分式方程的解法，考核学生的计算能力，解题时注意不要忘记检验．

18.【答案】解：原式

，
在中，整数有、、，
由题意得：，，
和，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

19.【答案】  当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小  或 

【解析】解：函数中自变量的取值范围是，
故答案为：；
如图：

由图象得：函数的增减性是：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
故答案为：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
由图象得：不等式的解集是：或，
故答案为：或．
根据分母不为，列不等式求解；
根据描点法作图；
根据图象的变化求解；
根据图象求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．

20.【答案】解：当时，设，
把代入得，，
线段的函数关系式为，
当时，设，
把和代入得，
，
解得，
所以射线的函数关系式；
设总费用为元，
当时，甲种图书所需的费用；元，
乙种图书所需的费用；元，
元，
答：购买两种图书所需的费用为元． 

【解析】分别用待定系数法求出关系式即可；
设总费用为元，分和两种情况求出关于的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可．
此题主要考查了函数关系以及函数值，正确得出函数关系是解题关键．

21.【答案】 

【解析】解：由表格可得，
新款车的每千米行驶费用为：元，
即款车的每千米行驶费用为元；
款车的每千米行驶费用比款车多元，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：款车的每千米行驶费用为元，款车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买款车的年费用更低．
根据表中的信息，可以计算出款车的每千米行驶费用；
根据款车的每千米行驶费用比款车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．

22.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
解：如图，直线即为所求．

证明：如图，

平分，
，
直线垂直平分线段，
，
，
，
． 

【解析】直接把点的坐标代入求出即可；
利用尺规作出线段的垂直平分线即可；
证明，可得结论．
本题考查作图基本作图，反比例函数的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

23.【答案】解：设市场上每捆甲种菜苗的价格为元，则菜苗基地每捆甲种菜苗的价格为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：菜苗基地每捆甲种菜苗的价格为元；
设购买捆甲种菜苗，则购买捆乙种菜苗，
根据题意得：，
解得：，
设学校本次购买菜苗共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：本次购买最少花费元钱． 

【解析】设市场上每捆甲种菜苗的价格为元，则菜苗基地每捆甲种菜苗的价格为元，利用数量总价单价，结合用元在菜苗基地购买的甲种菜苗比在市场上购买的多捆，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出市场上每捆甲种菜苗的价格，再将其代入中，即可求出菜苗基地每捆甲种菜苗的价格；
设购买捆甲种菜苗，则购买捆乙种菜苗，根据购买甲种菜苗的捆数不超过乙种菜苗的捆数，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设学校本次购买菜苗共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．