2024_2025学年河南省漯河市召陵区九年级上册期中数学试题【附答案】

这是一份2024_2025学年河南省漯河市召陵区九年级上册期中数学试题【附答案】，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．如图四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.

2.把一元二次方程xx+1=3x+2化为一般形式，正确的是（ ）
A.x2−2x−2=0B.x2−2x+2=0C.x2−3x−1=0D.x2+4x+3=0

3.若将抛物线y=x2−2x+3平移后得到抛物线y=x2，下列平移方法正确的是（ ）
A.向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B.向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C.向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D.向右平移1个单位，再向下平移2个单位

4.如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（ ）
A.∠COE=∠DOEB.CE=DE
C.OE=BED.BD⌢=BC⌢
5.已知关于x的一元二次方程x2+mx−3=0一个根为3，则另一个根为( )
A.1B.−1C.2D.−6

6.如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120∘得到△AB′C′，连接BB′，若AC′ // BB′，则∠C′AB′的度数为（ ）．
A.如15​∘B.30​∘C.45​∘D.120​∘

7.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行榄式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长12m，轮子的吃水深度CD为2m，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A.6mB.8mC.10mD.12m

8.有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A.x2=111B.1+x2=111C.1+x+x2=111D.1+x2=111

9.若抛物线y=x2+2x+c与y轴交点为0, −3，则下列说法不正确的是( )
A.抛物线开口向上B.当x>−1时，y随x的增大而减小
C.对称轴为x=−1D.c的值为−3

10.如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，ΔAPQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）

A.B.
C.D.
二、填空题

11.若方程a−1xa2+1−ax=2是关于x的一元二次方程，则a的值为__________．

12.如图，A、B是⊙O上两点，∠AOB=120∘，C是弧AB的中点，判断四边形AOBC的形状是___________．

13.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30∘，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90∘，点B的对应点B′的坐标是____________

14.为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是___________米．

15.如图，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，AO、BOAO>BO的长分别是一元二次方程x2−14x+m=0的两个实数根，C为直线l上的动点，连接CO，若点B的坐标为0,6，则m的值为___________，CO的最小值为_________．

三、解答题

16.解方程：
（1）x2+10x+16=0
（2）3xx−1=2x−2

17.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A−3, 5，B−2, 1，C−1, 3．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为4, 0，写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90∘得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标，并画出△A3B3C3．

18.已知关于x的一元二次方程 x²+2mx+m²−3=0．
（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根为p和q，且满足pq−p−q=0，求m的值．

19.下面是小海同学设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图过程．已知：如图，已知⊙O及⊙O外一点A．求作：过A点的⊙O的一条切线．
作法：① 连接AO交⊙O于点D，并延长AO交⊙O于点E；
② 以点A为圆心，AO的长为半径画弧，以点O为圆心，DE的长为半径画弧，两弧交于点B；
③ 连接OB交⊙O于点C，作直线AC．
则直线AC是⊙O的一条切线．
请你根据小海同学的设计的尺规作图过程，
1使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
2完成证明：
∵OB=DE=2OD=2OC，
∴点C为OB的中点．
∵AO=AB，
∴AC⊥OB（ ）（填推理的依据）．
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．

20.某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．

21.△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．
（1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则∠BCE=______度；
（2）将图①中的△CDE绕着点C逆时针旋转到如图②的位置．求证：AD=BE；
（3）在将△CDE绕点C旋转的过程中，当点A、C、E在一条直线上时，若CD=2BC=4，请直接写出BE的长．

22.16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=−12x+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．

23.如图，抛物线y=−x2+bx+c与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知A0,4，B4,0．
（1）求抛物线的表达式，并求出点C的坐标．
（2）点M是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接MA，MB，当△MAB面积最大时，求M点的坐标．
（3）若点M坐标固定为1,6，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当△ABM与△ABQ的面积相等求出点Q的坐标．
参考答案与试题解析
2024-2025学年河南省漯河市召陵区九年级上学期期中数学试题
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
轴对称图形
中心对称图形
【解析】
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
【解答】
A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．
直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【解答】
解：将一元二次方程xx+1=3x+2化为一般形式之后，变为x2−2x−2=0，
故选：A．
3.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象的平移规律
【解析】
本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把y=x2−2x+3配成顶点式y=x−12+2，然后根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【解答】
解：由抛物线y=x2−2x+3=x−12+2
根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线y=x2，
则y=x2即y=x−1+12+2−2由抛物线y=x−12+2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
故答案为：B．
4.
【答案】
C
【考点】
利用垂径定理求值
利用垂径定理求解其他问题
【解析】
根据垂径定理可得：BD⌢=BC⌢，DE=CE，进而得到∠COE=∠DOE，无法得到OE=BE．
【解答】
∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，
∴BD⌢=BC⌢，DE=CE，∠OEC=∠OED=90∘，
∴B，D选项正确；
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠COE=∠DOE，
∴A选项正确；
只有当∠COE=60∘时，才有OE=BE．
∴C选项不成立；
故选：C．
5.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
设方程的另一根为x，利用根与系数的关系可得到关于x的方程，可求得答案．
【解答】
解：
设方程的另一根为x，
方程x2+mx−3=0一个根为3，
∴ 3x=−3，解得x=−1，即方程的另一根为−1，
故选：B．
6.
【答案】
B
【考点】
根据旋转的性质求解
【解析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120∘，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30∘，再根据平行线的性质即可得∠C′AB′=∠AB′B=30∘．
【解答】
解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120∘得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120∘，AB=AB′，
∴∠AB′B=12×180∘−120∘=30∘，
∵AC′ // BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30∘，
故选：B．
7.
【答案】
C
【考点】
勾股定理的应用
利用垂径定理求值
【解析】
本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道OC 垂直平分AB 这个隐藏的条件．
设半径为r，则OA=OC=r，由垂径定理得AD=6，然后利用勾股定理可求出答案
【解答】
解：如图，连接OA，
设半径为r ，则OA=OC=r
∴OD=r−2
∵AB=12，OC⊥AB
∴AD=6
在Rt△ODA 中，
OA2=OD2+AD2 ，
∴r2=r−22+62
解得r=10
故选：C．
8.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的应用——传播问题
【解析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．
【解答】
解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为：1+x+x2=111，
故选：C．
9.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
由条件可求得点c的值，再利用二次函数解析式，逐项判断即可．
【解答】
解：
y=x2+2x+c与y轴交点为0,−3
∴ c=33，故D正确，不符合题意，
∴ 抛物线解析式为________y=x2+2x−3=x+12−4
…抛物线开口向上，对称轴为x=−1，当x>−1时，y随×的增大而增大，故A、
C正确，不符合题意，B不正确，故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
二次函数的应用——图形问题
【解析】
根据题意结合图形，分情况讨论：①0≤x≤2时，根据SΔAPQ=12AQ⋅AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；②2≤x≤4时，根据SΔAPQ=S正方形ABCD−SΔCP′Q′−SΔABQ′−SΔAP′D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】
①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y=SΔAPQ=12AQ⋅AP=12x2；
②当2≤x≤4时，
y=SΔAPQ
=S正方形ABCD−SΔCP′Q′−SΔABQ′−SΔAP′D
=2×2−124−x2−12×2×x−2−12×2×x−2
=−12x2+2x，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故选A．
二、填空题
11.
【答案】
−1
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
本题考查了一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0a≠0的方程叫做一元二次方程，由此得出a−1≠0，a2+1=2，求解即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
【解答】
解：由题意得：a−1≠0，a2+1=2，
解得：a=−1，
故答案为：−1．
12.
【答案】
菱形
【考点】
等边三角形的性质与判定
证明四边形是菱形
同弧或等弧所对的圆周角相等
【解析】
此题考查了等边三角形的判定和性质，菱形的判定和圆周角定理，连接OC，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到AC⌢=BC⌢，则有∠AOC=∠BOC=60∘，证明△AOC和△BOC都是等边三角形，由四边相等的四边形是菱形即可求解，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等及等边三角形的判定与性质，菱形的判定方法．
【解答】
如图，连接OC，
∵C是弧AB的中点，
∴AC⌢=BC⌢ ；
又∵∠AOB=120∘，
∴∠AOC=∠BOC=60∘，
∵OA=OC=OB，
∴△AOC和△BOC都是等边三角形，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形AOBC是是菱形，
故答案为：菱形．
13.
【答案】
−3,3
【考点】
根据旋转的性质求解
勾股定理的应用
含30度角的直角三角形
【解析】
作B′H⊥y轴于H，由题可得OA′=A′B′=2，∠B′A′H=60∘，即可求出B′H和OH，由第二象限点的特征横坐标为负数纵坐标为正数即可
【解答】
解：如图，作B′H⊥y轴于H．
由题意：OA′=A′B′=2，∠B′A′H=60∘，
∴∠A′B′H=30∘，
∴AH′=12A′B′=1，B′H=3 ，
∴OH=3，
∴B′−3，3 ．
14.
【答案】
7
【考点】
二次函数的应用——投球问题
【解析】
建立坐标系，如图所示：根据顶点为2, 2，过点0, 1.68求得抛物线解析式，转化为抛物线与x轴的交点问题即一元二次方程问题求解即可．
【解答】
解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：A0,1.68,B2,2，点B为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y=ax−22+2，
把A0,1.68代入得：
4a+2＝1.68，
解得a=−0.08，
∴y=−0.08x−22+2,
令y=0，得
−0.08x−22+2=0
解得x1＝7，x2＝−3（舍），
∴小丁此次投掷的成绩是7米．
故答案为：7．
15.
【答案】
48,245
【考点】
一元二次方程的解
解一元二次方程-因式分解法
垂线段最短
勾股定理的应用
【解析】
本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，坐标与图形，垂线段最短；根据题意将x=6代入方程，求得m的值，进而求得A的坐标，勾股定理求得AB的长，根据垂线段最短，等面积法，即可求解．
【解答】
解：∵AO、BOAO>BO的长分别是一元二次方程x2−14x+m=0的两个实数根，点B的坐标为0,6，
∴x=6是一元二次方程x2−14x+m=0的解，
∴62−14×6+m=0，
解得：m=48，
∴原方程为x2−14x+48=0，
即x−6x−8=0，
解得：x1=6,x2=8，
∴A8,0，
∴AO=8,BO=6，
在Rt△AOB中，AB=AO2+BO2=10，
当CO⊥AB时，CO最小，此时CO=AO×BOAB=245，
故答案为：48,245．
三、解答题
16.
【答案】
（1）x1=−2,x2=−8
（2）x1=1,x2=23
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
（1）运用因式分解法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可．
【解答】
（1）解：x2+10x+16=0
因式分解得：x+2x+8=0，
∴x+2=0或x+8=0，
∴x1=−2，x2=−8
（2）解：3xx−1=2x−2
右边因式分解得：3xx−1=2x−1，
移项得：3xx−1−2x−1=0，
因式分解得：x−13x−2=0，
∴x−1=0或3x−2=0，
∴x1=1，x2=23．
17.
【答案】
（1）图形见解析；A1的坐标为2,2,B1点的坐标为3,−2；
（2）图形见解析；A23,−5,B22,−1,C2
1,−3；
（3）图形见解析；A35;3,B31,2,C33,1
【考点】
作图-旋转变换
作图-位似变换
【解析】
（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1,B1的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
（3）利用网格和旋转的性质画出ΔA2B3C3，然后写出ΔA2B3C3的各顶点的坐标．
【解答】
（1）如图，ΔA1B1C1为所作，
因为点C−1,3平移后的对应点C1的坐标为4,0
所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到ΔA1B1C1
所以点A1的坐标为2,2,B1点的坐标为3,−2
（2）因为△ABC和ΔA1B2C2关于原点O成中心对称图形，
所以A23,−5B22,−1,C21,−3
（3）如图，ΔA2B3C3为所作，A35,3,B31,2,C33,1
18.
【答案】
（1）证明详见解析
（2）m的值为1或−3
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）先计算Δ=b2−4ac=12>0，从而可得结论；
（2）由根与系数的关系可得p+q=−2m,pq=m2−3，再代入pq−p−q=0，建立方程求解即可．
【解答】
解：（1）证明：∵Δ=b2−4ac=4m2−4m2−3=12>0，
∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由根与系数的关系，得p+q=−2m,pq=m2−3，
∵pq−p−q=0，
∴m2−3+2m=0，
即m2+2m−3=0，
解得：m1=1,m2=−3，
∴m的值为：1或−3．
19.
【答案】
见解答；
等腰三角形三线合一,过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【考点】
切线的判定
尺规作图——过圆外一点作圆的切线
【解析】
1根据题意作出图形即可；
2根据题给出的答案确定依据即可．
【解答】
1补全图形如图所示；
2∵OB=DE=2OD=2OC，
∴点C为OB的中点．
∵AO=AB，
∴AC⊥OB（等腰三角形三线合一），
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线（过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：等腰三角形三线合一；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
20.
【答案】
（1）y=−10x+74044≤x≤52；
（2）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．
【考点】
解一元二次方程-直接开平方法
【解析】
本题主要考查了二次函数的应用．解决本题的关键是根据二次函数的性质求出二次函数的最值，从而解决利润最大的问题．
1根据销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，列出y与x之间的函数关系式，根据规定销售单价不低于44元，且不高于52元可得自变量x的取值范围；
2根据利润=销量×单件利润可以得到w=−10x2+1140x−29600，利用二次函数的性质求出最大利润；
3根据捐款后每天剩余利润不低于2200元，可以得到−10x−572+2890−200≥2200，求出方程−10x−572+2890−200=2200的解，再根据自变量x的取值范围确定销售单价x的范围．
【解答】
（1）解：根据题意得：y=300−10x−44=−10x+740，
∴y与x之间的函数关系式为y=−10x+74044≤x≤52；
（2）解：根据题意得：w=−10x+740x−40
整理得：w=−10x2+1140x−29600，
配方得：w=−10x−572+2890，
∵−10