河南省漯河市郾城区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份河南省漯河市郾城区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下面图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．把方程x2+x＝3（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．1，﹣2，2B．1，﹣3，6C．1，﹣2，6D．1，4，6
3．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．最高点是（2，0）
C．对称轴是直线x＝﹣2D．当x＞0时，y随x的增大而减小
4．用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下面语句中，不正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弦相等B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
C．圆内接平行四边形是矩形D．圆的直径所对应的两条弧是等弧
6．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将在平面内绕点A旋转到的位置，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，中，于E，，，则弦的长为（ ）
A．B．C．6D．8
9．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．当时，
10．如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿和的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s）四边形的面积为y（单位：），则y与之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．关于x的一元二次方程（a﹣1）+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则实数a的值是 ．
12．将抛物线沿y轴向上平移 个单位长度后经过点．
13．如图，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上，若，，则点E与点C之间的距离为 ．
14．如图，分别与相切于点A，B，为的直径，若，则的形状是 ．

15．如图，在中，，点E在上，是的对称中心，是正方形的对称中心，若，则的取值范围 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解方程
(1)
(2)
17．在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长均为1个单位长度的正方形网格的格点上．
(1)画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标；
(2)画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；
(3)写出经过怎样的旋转可直接得到．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．
19．已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题：

(1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，内切圆的半径为1，求的周长．
20．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
21．已知，如图，在△ADC中，∠ADC＝90°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED＝2∠C．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若BF＝FC，，求⊙O的半径．
22．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和．
(1)求二次函数的解析式，并写出此图象的顶点坐标；
(2)若点，都在其图象上，且，则的取值范围是 ；
(3)已知点与点Q均在该函数图象上（其中），且这两点关于该函数图象的对称轴对称，求的值及点Q到x轴的距离．
23．如图①，在中，，，点D，E分别在边上，，连接．将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为（）．
(1)如图②，当时，连接，填空：
与的数量关系为： ；与的位置关系为： ；
(2)当时，与交于点F，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图③写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当旋转到时，请直接写出的长．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题主要考查了中心对称图形．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项A、C、D中的图形均能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所是中心对称图形；
选项B不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：B．
2．C
【分析】将方程x2+x＝3（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，即可求解．
【详解】解：把方程x2+x＝3（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式为：
，
∴ ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
3．B
【分析】根据二次函数图像的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、该二次函数开口向下，故本项说法错误；
B、二次函数开口向下，在处取得最大值，所以本项正确；
C、该二次函数的对称轴是，故本项说法错误；
D、当时y随x的增大而减小，故本项说法错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质；熟知二次函数图像的性质与表达式之间的关系式解题的关键．
4．B
【分析】本题实际上是把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】解：移项得：x2+2x=5
配方得：x2+2x+1=5+1，即（x+1）2=6．
故选B．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程的方法步骤是解题关键．
5．A
【分析】根据在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，圆内两条平行所夹的弧相等与半圆含直角，圆的直径所对的两条弧是半圆，逐一判断．
本题主要考查圆的有关知识．熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，圆的确定，圆中平行弦的性质，以及圆周角定理的推论等，是解决问题的关键 ．
【详解】A．相等的圆心角所对的弦相等，
∵在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，
∴A选项不正确；
B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，
∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆，
∴B选项正确；
C．圆内接平行四边形是矩形，
∵圆内两条平行弦所夹的弧相等，
∴其中相邻的两条弧组成半圆，
∵半圆所含的圆周角是直角，
∴圆内接平行四边形是矩形，
∴C选项正确；
D．圆的直径所对应的两条弧是等弧，
∵圆的直径两旁的圆周角是直角，圆中直角所对的弧是半圆，
∴圆的直径所对应的两条弧是等弧，
∴D选项正确．
故选：A．
6．D
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程．
【详解】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
7．A
【分析】根本题考查了旋转的性质，据旋转的性质得出，，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵将在平面内绕点A旋转到的位置，
∴，，
∴，
故选：A．
8．B
【分析】根据垂径定理求出，，根据直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵于E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
根据抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，逐项分析判断，只有选项符合题意，由此选出答案．
【详解】解：选项中：
抛物线开口向下，
，
对称轴直线，即，抛物线与轴交于正半轴，，
选项不正确，
故此选项不符合题意；
选项中：
抛物线与轴有两个交点，
，即，
选项不正确，
故此选项不符合题意；
选项中：
抛物线过点，
，
选项不正确，
故此选项不符合题意；
选项中：
抛物线过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
根据函数图像可得：当时，，
选项正确，
故此选项符合题意，
故选：．
10．B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据四边形的面积的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据四边形的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解，根据题意结合图形，分别求出两个时间段的函数关系式，由抛物线开口方向判断是解题的关键．
【详解】解：①时，
∵正方形的边长为，依题意得：
∴，该函数图像开口方向向下，
②时，依题意得：
，，该函数图像开口方向向下，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选：．
11．
【分析】把x＝0代入已知方程，得到关于a的方程，通过解新方程求得a的值．注意二次项系数不等于零．
【详解】解：依题意得，|a|﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得a＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
12．2
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象平移上加下减是解题的关键．
设向上平移个单位，则平移后的解析式为，将代入，计算求解即可．
【详解】解：，
设向上平移个单位，则平移后的解析式为，
将代入得，，
解得，，
故答案为：2．
13．
【分析】由旋转的性质可得，然后分别证明和是等边三角形即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理，求出的长是解本题的关键．
14．等边三角形
【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，然后利用四边形内角和定理即可得是等边三角形．
【详解】解：如图，连接，

∵为的直径，
∴，
由圆周角定理得：，
∵分别与相切于点A，B，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
15．
【分析】本题主要考查对称中心，三角形中位线的性质，连接，，，可知是的中位线，，当点E在线段上时，取最小值，当点E在线段的延长线上时，取最大值，由此可解．
【详解】解：如图，连接，，，
是的对称中心，是正方形的对称中心，
点O是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
点E在上，
当点E在线段上时，取最小值，最小值为，
当点E在线段的延长线上时，取最大值，最小值为，
，四边形是正方形，
，
，即，
，
即．
故答案为：．
16．(1)，
(2)
【分析】（1）运用配方法求解；
（2）先化成一般式，再运用公式法或配方法求解．
【详解】（1），
，
∴或．
∴或
（2），
，
，
∴或．
∴
【点睛】本题考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．
17．(1)作图见解析，点的坐标
(2)作图见解析，点的坐标
(3)见解析
【分析】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（1）根据对称的性质即可画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标；
（2）根据旋转的性质即可画出绕点O逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；
（3）根据旋转的性质即可写出绕点O顺时针旋转后可得到．
【详解】（1）解：（1）如图，即为所求；点的坐标；
（2）（2）如图，即为所求；点的坐标；
（3）（3）绕点O顺时针旋转后得到．
18．(1)见解析
(2)，
【分析】（1）判断判别式的符号，即可得证；
（2）求出判别式的值最小时的m的值，再解一元二次方程即可．
【详解】（1）证明：∵，
∵，
∴．
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由题意可知，当时，的值最小．
将代入，得
解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形内切圆，作角平分线，作垂线等知识．熟练掌握三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心是解题的关键．
（1）根据三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心，确定圆心，然后作垂线确定半径，最后作圆即可；
（2）如图1，连接，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，作的平分线，交点即为圆心，过作于，以为圆心，为半径画圆，即为的内切圆；

（2）解：如图1，连接，
∴，即，
解得，，
∴的周长为．
20．（1）（0≤x≤5且x为整数）；（2）定价为42元时才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大，最大利润是1560元..
【分析】（1）涨价为x元，可用x表示出每星期的销量，并得到x的取值范围；
（2）根据总利润=销量×每件利润可得出利润的表达式，然后配方求出最大利润即可．
【详解】解：（1）由题意得每件涨价x元，
则每星期的销量为，（0≤x≤5且x为整数）；
（2）每星期的利润为W元，
，
∵x为整数，
∴当x=3或2时，W有最大值1560，
当x=3时，销量为120件，当x=2时销量为130件，
所以定价为42元时才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大，最大利润是1560元.
【点睛】本题是对二次函数运用题型的考查，准确根据题意列出代数式是解决本题的关键．
21．（1）见解析；（2）⊙O的半径是3．
【分析】（1）欲证BF是圆O的切线，只需证明OF⊥BF；
（2）根据角与角间的数量关系推知△AEF的等边三角形．所以易求AD=2．则通过解直角△ADC来求直径CD的长度．
【详解】（1）证明：连接OF．
∵∠OFB=180°﹣∠B﹣∠BOF=180°﹣∠B﹣2∠C=180°﹣∠B﹣∠BED=90°，
∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵BF=FC，
∴∠B=∠FCB，
∵∠BED=2∠C，
∴∠BDE+∠B=3∠C=90°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠AFE=60°，∠BED=60°，
∴△AEF是等边三角形，
则EF=AE=．
∴AD=2．
又∵∠C=30°，
∴CD=6，
∴⊙O的半径是3．
【点睛】此题主要考查圆的切线的判定以及解直角三角形，熟练掌握，即可解题.
22．(1)；顶点
(2)或
(3)，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质：
（1）待定系数法求出抛物线解析式再转化为顶点式解答即可；
（2）画出抛物线图象，根据图像解答即可；
（3）将P点坐标代入抛物线解析式求出m值即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴顶点坐标为；
（2）抛物线的图象如图所示：
∵点都在其图象上，且，
∴或；
故答案为：或；
（3）∵点在该二次函数图象上，
∴，
解得，（，舍去负值），
∵P、Q两点关于抛物线对称轴对称，
∴点Q到x轴的距离为：．
23．(1)，
(2)成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）证明，则，，如图②，延长交于，由三角形内角和定理，对顶角相等可得，则；
（2）求解过程同理（1）；
（3），由题意知，，分两种情况求解：①如图⑤，作的延长线于，连接，则，，由勾股定理得，，计算求解即可；②如图⑥，作于，连接，同理①，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴，，
如图②，延长交于，

∵，，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：成立，理由如下：
由旋转可得，，
∵，
∴，
∴，，
如图③，记的交点为，

同理（1），
∴，
∴，；
（3）解：，
由题意知，，分两种情况求解：
①如图⑤，作的延长线于，连接，

∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得，；
②如图⑥，作于，连接，

同理①可得，
∴，
由勾股定理得，；
综上所述，当旋转到时，的长为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的判定与性质，余弦，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．