2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题08向量与数形结合(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题08向量与数形结合(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了多选题，单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

考向01基底型1：等分点型
1．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ）

A．5B．9C．D．
2．（25-26高三上·河北·期末）如图，在中，，则（ ）

A．B．
C．D．
3．（25-26高三上·四川巴中·月考）如图，在中，，，则下列说法正确的是（ ）

A．B．
C．D．
4．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
考向02 基底型2： 四边形等分点型
5．（25-26高三全国专题练习）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（ ）

A．B．C．D．
6．（24-25高三全国专题练习）如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（ ）
A．B．
C．D．
7．（24-25高一下·安徽滁州·期末）在平行四边形中，是的中点，交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（24-25高三全国专题练习）在平行四边形中，点G为的重心，则（ ）
A．B．C．D．
考向03 基底型3：起点不同的基底
9．（2023·河北·模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（23-24高三上·河南·期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（21-22高一下·江苏常州·期中）如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·江苏南通·二模）在平行四边形中，，．若，则（ ）
A．B．C．D．
考向04 基底型4：两线交点型
13．（2023·河南·模拟预测）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（ ）
A．B．C．D．
14．（22-23高三全国专题练习）如图，在中，，，直线交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
15．（22-23高一下·福建福州·期中）在△ABC中，，，直线AM交BN于点Q，若，则λ=（ ）
A．B．C．D．
16．（2020·全国·模拟预测）中，、分别是、上的点，且，，与交于点，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
考向05 两大定理1：极化恒等式
1．（24-25高三全国专题练习）的斜边等于4，点在以为圆心、1为半径的圆上，则的取值范围是
A．B．
C．D．
2．（2023·福建福州·模拟预测）在边长为2的菱形中，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三·全国·专题练习）设的面积为1，边AB、AC的中点分别为E、F，P为线段EF上的动点，则的最小值为 ．
考向06 两大定理2：奔驰定理
5．（多选题)(20-21高三全国专题练习）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心；
B．若，则点为△的内心；
C．若，则点为△的外心；
D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心.
6.（25-26高三全国专题练习）已知P是内部一点，且，则面积之比为（ ）
A．1：3：5B．5：3：1C．1：9：25D．25：9：1
7．（22-23高三全国专题练习）如图，已知点G为△ABC的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，m＞0，n＞0，记△ADE，△ABC，四边形BDEC的面积分别为S1，S2，S3，则（ ）
A．B．C．D．
故选：ABC．
8．（20-21高一下·浙江·期末）如图直线l过△ABC的重心G（三条中线的交点），与边AB、AC交于点P、Q，且，，直线l将△ABC分成两部分，分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为和，则以下结论正确的是（ ）

A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
考向07 等和线型1：等和线模型
1．（2024·云南·模拟预测）在中，点是线段上的一点，且满足，点是线段的中点，若存在实数和，使得，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·辽宁·期中）已知的内角为所在平面上一点，且满足，设，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
3．（19-20高三上·全国·月考）已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为
A．B．C．D．
4．（24-25高三全国专题练习）如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得，则的值为（ ）．
A．B．0C．D．
考向08 等和线型2：三角换元型
5．（24-25高三全国专题练习）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．2
6．（20-21高一下·四川成都·月考）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x，y的正半轴上（含原点O）滑动，则的最大值是（ ）．
A．1B．2C．3D．
7．（24-25高三全国专题练习）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．4
8．（20-21高一下·四川成都·期中）如图，点C是半径为6的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考向09 等和线型3：二次型
9．（24-25高三全国专题练习）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为
A．B．C．D．
10．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（24-25高三全国专题练习）在等腰直角三角形中，，，，为的中点，满足，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
二、多选题
12．（21-22高三上·湖北武汉·期中）在中，点D满足，当点E在线段AD上移动时，记，则（ ）
A．B．
C．的最小值为2D．的最小值为
考向10 等和线型4：动点与轨迹型
13．（24-25高三上·全国·月考）如图，在扇形中，，点为的中点，点为阴影区域内的任意一点（含边界），若，则 的最大值为（ ）
A．B．C．D．
14．（24-25高三全国专题练习）在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A．B．C．D．
15．（2020·浙江温州·模拟预测）设O为的内心，，，，动点P满足：，，，，则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为（ ）
A．B．21C．D．
空题
16．（2022高三·全国·专题练习）设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E ；
17．（23-24高三·全国·专题练习）在中， ，，，是的内心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖的面积为 ．
考向11 等和线型5：建系最值型
18．（23-24高三·全国·专题练习）已知的斜边的长为4，设是以为圆心1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是
A．B．C．D．
19．（22-23高二下·湖南永州·开学考试）已知是边长为4的等边三角形，为所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
20．（21-22高三上·全国·月考）已知正的边长为2，A，B分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（ ）
A．B．3C．2D．
21．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．

考向12 圆为主几何意义1：垂直型构造圆
1．（23-24高三·全国·专题练习）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高三上·浙江宁波·期末）若单位向量满足，向量满足，则（ ）.
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·福建·期中）已知向量，，满足，，，，则（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
故选：.
4．（2023·四川南充·一模）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ．
考向13 圆为主几何意义2：定义型构造圆
5．（23-24高三·全国·专题练习）设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
6．（23-24高三·全国·专题练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高一下·山东日照·期中）已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ．
8．（21-22高三下·浙江·月考）已知平面向量，，满足：，，则的最小值是 .
考向14 圆为主几何意义3：含参型最短距离
9．（23-24高三·全国·专题练习）已知定圆的半径为4，A为圆上的一个定点，为圆上的动点，若点不共线，且对任意的恒成立，则 .
10．（23-24高一下·山东日照·期中）已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ．
11．（2023·四川南充·一模）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ．
12．（20-21高一下·江西新余·期末）已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为 .
考向15 圆为主几何意义4：综合型
13．（25-26高二上·四川绵阳·期中）在平面直角坐标系中，点在圆： 上，点B在直线： 上，且 ，则 的最小值为 .
14．（25-26高二上·上海·期中）已知是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为 ．
15．（25-26高三上·上海嘉定·期中）平面中的三个单位向量，若，则的最大值与最小值之和为 .
16．（25-26高三上·湖南·月考）实数满足，设点，动点满足.点为线段的中点，当且面积取得最大值时，点坐标为 .
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知向量 满足： ，则 （ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知向量 满足，，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）直线与x，y轴分别交于M，N两点，点在圆上，当面积最大时，（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且的面积为1，已知是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025高一上·浙江温州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
6．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为
7．（2025高三上·重庆大足·专题练习）在中，，分别为边，的中点，且向量与的夹角为，，，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．
二、多选题
9．（25-26高三上·湖南湘西·期末）在菱形中，，点满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2026·湖北荆门·模拟预测）如图，已知等腰梯形中，，，点，分别为线段，上的动点且，点、为线段、的中点，则以下结论正确的是（ ）

A．B．
C．若为的外心，则D．
11．（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，则
D．若为的内心，且，则
三、填空题
12．（25-26高三上·重庆·月考）在中，，它的面积是10，，E，F分别在AB，AC所在的直线上，且满足，对任意，恒成立，则 ．
14．（25-26高二上·江苏常州·开学考试）设O，分别为的外心和垂心，，，，，则 ．
结束
内容导航
速度提升 技巧掌握 手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：近三年高考向量以平面向量为核心，多为选择与填空为主，是基础与中档题题型，核心考线性运算、坐标表示、数量积、垂直 / 平行判定、模长与夹角，常与解析几何、三角函数等交汇，偶见综合应用与最值问题。题型稳定，偶有填空压轴或综合题。重点突出考察数量积、垂直与 平行、模长等，几乎为必考点，而线性运算与基本定理则作为为考察的基础工具。在交汇加强，向量作为工具，常与解析几何（如圆锥曲线）、三角函数、平面几何（如三角形、圆）结合，考查应用能力。而难度控制，是基础题占比高，综合题多为 向量 与 最值（范围），区分度适中。
预测2026年：新课标对向量模块的要求以重基础强应用作为考察的核心原则，2026 年高考数学向量考察将以平面向量为绝对核心，保持题型、分值、核心考点的稳定性，小幅强化工具性和交汇性，难度与近三年持平，无偏题怪题，复习应以夯实基础，要熟练掌握坐标运算、数量积公式、垂直 、平行条件，做到快速准确。而对于中档题，可以从几何意义入手，结合图形理解线性运算、数量积的几何意义（如投影向量、模长的几何表示等）。训练要在知识交汇训练，针对性练习向量与解析几何、三角函数的综合题，掌握 “向量工具化” 解题思路。还要注意解题的易错点，特别是注意向量夹角范围（0,π]、数量积的符号与模长的非负性。
。
线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得.
重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点，
则.
证明：，则，
则.
.四边型、要注意两个特征题型：
1.基底不是三角形或者四边形的边，如练习题3
2.如果与四边形的边和角度无关，则可以把四边形看成矩形，构造坐标系，用坐标运算求解
向量共线定理和向量基本定理
①向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.
变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：.
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
②平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：
若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.
特别提醒：不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底、线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
.向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.
变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：.
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
在△中，是边的中点，则.
奔驰定理
为内一点，，则.
重要结论：，，.
形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值
形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维：
（1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题；
（2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系；
（3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式；
（4）根据二次函数的最值及的范围求出最值.
向量型求动点轨迹：
利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
平面向量数量积公式有两种形式：
a⋅b=abcsθ。
a⋅b=x1x2+y1y2。
主要应用以下几个方面:
（1）求向量的夹角， csθ=a·ba·b （此时a·b往往用坐标形式求解）；
（2）
（3）a,b向量垂直，则a⋅b=0;(4)求向量ma+nb 的模（平方后需求a⋅b）.
定点A与B ,满足。
符合圆的定义的以下几个方面：
圆的的第一定义：到定点距离等于定值的点的轨迹
阿波罗斯尼园。
两条互相垂直的直线交点，在一个以两直线上两点为直径的圆上。
.形如，则 转化为直线点B到直线AC上一点的最短距离，最短距离显然是点到直线的距离，即B 到直线AC的距离。