2026中考数学百题冲刺精选-05-考前突破 冲刺卷

这是一份2026中考数学百题冲刺精选-05-考前突破 冲刺卷，共48页。
A．223＜d＜526B．223＜d＜324
C．528＜d＜324D．528＜d＜526
2．（2026•市中区一模）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算：abcd=ad−bc．例如：3456=3×6﹣4×5＝﹣2．则关于x的方程k−x−32x=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
3．（2026•高碑店市模拟）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费360元，第三次花费480元，第二次购买的单价比第一次少1元，第三次购买的单价比第一次多2元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程360x−1=480x+2，则下列说法不正确的是（ ）
A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价
B．第一次购买节能灯的单价是10元
C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了2个
D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为360y=480y−2
4．（2026•高碑店市模拟）如图，点O为矩形ABCD对角线的交点，AB＝a，BC＝b．点E是AB边上一点（不含端点及中点），连接EO并延长，交CD边于点F．将矩形ABCD沿EF折叠，点A，D的对应点分别是点A'，D'，直线A'D'和直线BC相交于点H，连接EH，OH，FH，嘉嘉得出一个正确的结论：OH上EF，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（ ）
A．EH＝FH
B．当点A'和点C不重合时，△A'EH≌△CFH
C．tan∠EHO=ba
D．当A'在直线AB上方时，点A'到直线AB距离的最大值为a2+b2−a2
5．（2026•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，连接BD，E为CD边上一点，连接BE，过D作BE的垂线交BE延长线于点F，连接AF，过C作CG⊥BF，垂足为G，若EF＝EG，则AFBH的值为（ ）
A．8515B．14525C．469D．755
6．（2026•西安模拟）如图，正方形ABCD的边长为12，E是边BC上的一点，且CE＝2BE，F是边CD的中点，连接AE，AF，分别交对角线BD于点M，N，则线段MN的长度为（ ）
A．42B．62C．52D．82
7．（2026•高碑店市模拟）嘉嘉在解关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）时，不小心将一次项系数写成了﹣b，解出其中一个根是x＝1，现有以下两种说法：
甲：原方程必定有一个根是﹣1；
乙：当a≠3时，原方程有两个不相等的实数根．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错B．甲错，乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都错
8．（2026•丹江口市一模）现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于20g/cm3时，其体积可以是（ ）
A．0cm3B．16cm3C．20cm3D．24cm3
9．（2026•红桥区模拟）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（ ）
A．7x=9yx−y=36B．9x=7yx−y=36
C．7x=9yy−x=36D．9x=7yy−x=36
10．（2026•沛县一模）如图，小明从点A出发前进15m到达A1，然后向右转20°；再前进15m到达A2，然后又向右转20°⋯⋯，一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．270mB．285mC．300mD．360m
二．填空题（共5小题）
11．（2026•仪陇县一模）定义一种新运算：a⊙b＝ab﹣2a，则关于x的不等式组(−3)⊙x＞2x⊙23≤4的负整数解共有 个．
12．（2026•新城区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在BD上，BP＝BA，连接AP并延长交DC的延长线于点Q，则CQ的长为 ．
13．（2026•碑林区校级二模）如图①是古建筑中常用的方胜纹装饰，是由两个菱形压角相叠而成，寓意幸福美好．小华模仿这种拼接方法，用全等的菱形按规律设计图案．如图②，第1个图案中有3个菱形，第2个图案中有7个菱形，第3个图案中有11个菱形，…，则第100个图案中菱形的个数为 ．
14．（2026•新城区模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝12，对角线AC＝18，点E、O分别在边AB、BC上，AE＝OB＝4，⊙O半径为2，点P为AC上一动点，点Q为⊙O上一动点．当EP+PQ＝10时，AP的长为 ．
15．（2026•高碑店市模拟）如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角α为60°，且点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC的值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2026•丹江口市一模）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，这个发现比被欧洲称为“帕斯卡（法国数学家）三角形”早了600余年，充分体现了我们中华民族的聪明才智和我国古代在数学发展史上取得的辉煌成就．
杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列，即从第一项到最后一项a的次数依次为n，n﹣1，…，1，0，而b的次数从第一项到最后一项依次为0，1，…，n﹣1，n）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的各项的系数；等等，利用上面的三角形，解答下列问题：
（1）写出（a+b）6的展开式的第四项为 ；
（2）在数学活动课上，老师展示介绍了“杨辉三角”，要求同学们运用所学习的多项式的乘法验证图中的规律，并观察“杨辉三角形”找到更多的规律，同学们兴致勃勃地开始了探究．经过各小组同学们的观察交流、猜想分析、讨论验证，很快有了新的发现．小颖所在的“探索者”小组发现图中第n行的数字之和是2n，根据这个结论，小颖提出问题：若某同学在计算（a+b）n的展开式各项系数和时，由于少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，则n＝ ；
（3）小明所在的“开拓者”小组发现：左右两侧是对称的；第一斜行可以看作m＝1的常量函数；第二斜行从上至下依次为1，2，3，4，5，…，斜行上的数m（即每一行的第二位数）与所在横行n（n＝1，2，3，4，5，6）具有一次函数关系m＝n；第三斜行从上至下依次为1，3，6，10，…，斜行上的数m（即每一行的第三位数）与所在横行n（n＝1，2，3，4，5，6）具有二次函数关系m=n(n−1)2．小明提出以下问题，请解答：
①请验证m=n(n−1)2，当n＝5时，函数m的值与“杨辉三角形”中的值是否一致；
②若展开式第三项的系数为190，则n＝ ；
（4）小慧所在的“发现者”小组则发现（a+b）n展开式中各项的次数的和均为n，并对a和b进行了拓展变式探究，小慧提出以下问题，请解答：
①写出（2x﹣1）5展开式第一项为 ，第二项为 ；
②请写出(x+1x)20的展开式第三项： ；
③计算29+9×28×81+36×27×82+84×26×83+…+36×22×87+9×21×88+89＝ ．
17．（2026•九龙坡区校级模拟）如图，A，B，C，D是某科技公司的四个试验基地，且A，B，C，D在同一平面内，B位于A的正东方向60km处，D位于A的南偏东30°方向40km米处，C位于B的正南方向，D位于C的南偏西60°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）
（1）求B和C两试验基地之间的距离；（结果保留整数）
（2）现甲从A基地出发沿AD前往D地办公，乙从B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到A基地距离的23倍时，甲距离A基地多少千米？（结果保留整数）
18．（2026•仪陇县一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=2BC，∠CAD＝60°．
（1）试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝4时，求图中阴影部分的面积．
19．（2026•重庆模拟）重庆高新区在“非遗贺新春，寻味中国年”2026年春节系列活动期间，同步推荐了多条文旅体验路线，包括九凤山、虎峰山风景区提供的森林康养徒步，以及走马古镇、成渝古驿道等历史资源与春节活动联动，增添文化内涵．其中整合推出的“古道寻踪”（简称A线）和“艺术体验”（简称B线）两条主题线路最受欢迎．某单位积极响应这一政策，组织职工对A，B两条线路进行了体验满意度评分测验（每名职工仅对一条线路进行评分），并从中各随机抽取20份评分数据，进行整理、描述和分析（评分采用整数x表示，满分100分，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意90≤x≤100，以下是部分信息（单位：分）：
抽取的A线评分数据中“满意”等级的数据：84，86，86，87，87，88；
抽取的B线评分数据：66，67，68，83，85，86，86，87，87，88，88，89，95，96，96，96，98，99，100，100；
抽取的A，B线的评分统计：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为哪条线路更受职工喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）此次测验有100名职工对A线进行评分，有80名职工对B线进行评分，请估计对两条线路不满意的共有多少人？
20．（2026•丹江口市一模）请你根据下列素材，完成有关任务．
2026年中考数学百题精选之考前突破
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题）
1．（2026•仪陇县一模）已知抛物线y＝3x2+bx与直线y＝x+1相交于A，B两点，若3＜b＜4，则该抛物线顶点到直线AB的距离d的取值范围是（ ）
A．223＜d＜526B．223＜d＜324
C．528＜d＜324D．528＜d＜526
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】先求出抛物线顶点C的坐标，设直线x=−b6与y＝x+1的交点为D，再根据y＝x+1与y轴的夹角为45°得CE=22CD，得到d关于b的表达式，根据二次函数性质结合b的取值范围，求出d的取值范围．
【解答】解：如图，设抛物线的顶点为C，
由解析式可知抛物线顶点横坐标为x=−b2a=−b6，纵坐标为y=4ac−b24a=−b212，
即顶点坐标为C(−b6，−b212)．
设直线x=−b6与y＝x+1的交点为D，
当x=−b6时，y=x+1=−b6+1，
∴CD=−b6+1+b212，
过点C作CE⊥AB于点E，则CE＝d，
∵y＝x+1与y轴的夹角为45°，
∴∠EDC＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=22CD，
即d=CD2=b212−b6+12，
∴d=224(b2−2b+12)．
∵d关于b的二次函数开口向上，对称轴为b＝1，
∴当3＜b＜4时，d随b的增大而增大．
当b＝3时，d=224(9−6+12)=528，
当b＝4时，d=224(16−8+12)=526，
∴528＜d＜526．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
2．（2026•市中区一模）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算：abcd=ad−bc．例如：3456=3×6﹣4×5＝﹣2．则关于x的方程k−x−32x=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式；整式的混合运算．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】C
【分析】利用新定义先得出一元二次方程，在利用根的判别式进行求解．
【解答】解：根据新定义得出（k﹣x）x+6＝0，
∴x2﹣kx﹣6＝0，
∴Δ＝k2+24，
∵k2≥0，∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了新定义的应用以及一元二次方程根的判别式的应用，理解新定义和根的判别式的用法是解题的关键．
3．（2026•高碑店市模拟）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费360元，第三次花费480元，第二次购买的单价比第一次少1元，第三次购买的单价比第一次多2元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程360x−1=480x+2，则下列说法不正确的是（ ）
A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价
B．第一次购买节能灯的单价是10元
C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了2个
D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为360y=480y−2
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果．
【解答】解：∵分式方程中，360是第二次购买的总价，480是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同，
故第二次购买的单价为x﹣1，第三次购买的单价为x+2，
∵第二次购买的单价比第一次少1元，第三次购买的单价比第一次多2元，
∴x表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意；
分式方程去分母可得：
360（x+2）＝480（x﹣1），
360x+720＝480x﹣480，
120x＝1200，
解得x＝10，
∴第一次购买节能灯的单价是10元，故B选项说法正确，不符合题意；
故第二次购买单价为10﹣1＝9元，
∴第一次购买数量为38010=38个，第二次购买数量为3609=40个，40﹣38＝2个，
∴第二次购买数量比第一次多2个，故C选项说法正确，不符合题意；
若设第二次购买数量为y个，
∵第二次和第三次购买数量相同，
∴第三次购买数量也为y个，
故第二次单价为360y，第一次单价为360y+1，第三次单价为480y，
∵第三次单价比第一次单价多2元，
故360y+1+2=480y，
整理得360y=480y−3，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键．
4．（2026•高碑店市模拟）如图，点O为矩形ABCD对角线的交点，AB＝a，BC＝b．点E是AB边上一点（不含端点及中点），连接EO并延长，交CD边于点F．将矩形ABCD沿EF折叠，点A，D的对应点分别是点A'，D'，直线A'D'和直线BC相交于点H，连接EH，OH，FH，嘉嘉得出一个正确的结论：OH上EF，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（ ）
A．EH＝FH
B．当点A'和点C不重合时，△A'EH≌△CFH
C．tan∠EHO=ba
D．当A'在直线AB上方时，点A'到直线AB距离的最大值为a2+b2−a2
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；全等三角形的判定；矩形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由矩形的性质可得OE＝OF，结合题意得出OH垂直平分EF，即可判断A；连接AC，先证明△AOE≌△COF（ASA），得出AE＝CF，由折叠的性质可得A′E＝AE，∠A′＝∠DAB＝90°，从而可得∠A′＝∠FCH＝90°，A′E＝CF，即可判断B；连接BD，证明点E、O、H、B四点共圆，得出∠EBO＝∠EHO，从而可得∠OAB＝∠EHO，最后由正切的定义计算即可判断C；连接OA′，则点A′在以点O为圆心，OA为半径的圆弧上，求出OA=a2+b22，由图形并结合垂径定理可得，当OA′⊥AB时，此时点A′距离AB最远，即可判断D．
【解答】解：∵点O为矩形ABCD对角线的交点，
∴OE＝OF，
∵OH⊥EF，
∴OH垂直平分EF，
∴EH＝FH，
故A选项正确，不符合题意；
如图1：点O为矩形ABCD对角线的交点，连接AC，
∴AO＝CO，AB∥CD，∠DAB＝∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠AOE=∠COFAO=CO∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
由折叠的性质可得：A′E＝AE，∠A′＝∠DAB＝90°，
∴∠A′＝∠FCH＝90°，A′E＝CF，
∵EH＝FH，
∴△A′EH≌△CFH（HL），
故B选项正确，不符合题意；
如图2，点O为矩形ABCD对角线的交点，连接BD，
∴AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵OH⊥EF，
∴∠EOH＝90°，
∵∠EOH+∠EBH＝180°，
∴点E、O、H、B四点共圆，
∴∠EBO＝∠EHO，
∴∠OAB＝∠EHO，
∴tan∠EHO=tan∠OAB=BCAB=ba，
故C选项正确，不符合题意；
如图3，连接OA′，
由折叠的性质可得：OA＝OA′，
∴点A′在以点O为圆心，OA为半径的圆弧上，
∵AC=AB2+BC2=a2+b2，
∴OA=a2+b22，
由图形并结合垂径定理可得，当OA′⊥AB时，此时点A′距离AB最远，此时最大距离为a2+b2−b2，
故D选项错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定，矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质．
5．（2026•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，连接BD，E为CD边上一点，连接BE，过D作BE的垂线交BE延长线于点F，连接AF，过C作CG⊥BF，垂足为G，若EF＝EG，则AFBH的值为（ ）
A．8515B．14525C．469D．755
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力；模型思想．
【答案】A
【分析】设正方形ABCD的边长为2a（a＞0），先证出△CGE≌△DFE，根据全等三角形的性质可得EG＝EF，CG＝DF，CE=DE=12CD=a，利用勾股定理可得DF的长，再得出点A，B，F，D共圆，这个圆的直径为BD，过点D作DM⊥AF于点M，利用勾股定理求出AF的长，然后证出△ADH∽△AFD，根据相似三角形的性质可得DH的长，则可得BH的长，由此即可得．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a（a＞0），
∠BAD＝∠BCD＝90°，
∠ADB＝45°，
AB＝BC＝CD＝AD＝2a，
∴BD=AB2+AD2=22a，
由题意得∠CGE＝∠DFE＝90°，
在△CGE和△DFE中，
∠CEG=∠DEFEG=EF∠CGE=∠DFE，
∴△CGE≌△DFE（ASA），
∴EG＝EF，CG＝DF，
CE＝DE=12CD＝a，
在Rt△BCE中，BE=BC2+CE2=5a，
∵S△BCE=12BE×CG=12BC×CE，
∴CG=BC⋅CEBE=2a⋅a5⋅a=255α，
∴DF=255α，
∵∠BAD＝∠DFB＝90°，
∴如图，点A，B，F，D共圆，这个圆的直径为BD，
∴∠AFB＝∠ADB＝45°，
∠AFD＝∠DFB﹣∠AFB＝45°，
如图，过点D作DM⊥AF于点M，
∴∠MDF＝90°﹣∠AFD＝45°，
∴∠MDF＝∠AFD＝45°，
∴DM＝FM，
在Rt△DFM中，DF=DM2+FM2=2DM=2FM=25a5，
∴DM＝FM=10a5，
∴AM=AD2−DM2=310a5，
AF=AM+FM=410a5，
在△ADH和△AFD中，∠DAH=∠FAD，
∴△ADH∽△AFD，
∴DHDF=ADAF，即DH25a5=2a410a5，
∴DH=2a2，
∴BH=BD−DH=32a2，
若EF＝EG，
则AFBH=410a532a2=8515，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
6．（2026•西安模拟）如图，正方形ABCD的边长为12，E是边BC上的一点，且CE＝2BE，F是边CD的中点，连接AE，AF，分别交对角线BD于点M，N，则线段MN的长度为（ ）
A．42B．62C．52D．82
【考点】正方形的性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】先结合勾股定理求出BD的长，证明△ABN∽△FDN，求出DN的长，证明△BME△DMA，求出BM的长，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为12，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠BAD＝90°，
∴BD=AB2+AD2=2AB=122，
∵点F是CD边的中点，CE＝2BE，
∴DF＝2CD＝6，BE=13BC=4，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴△ABN∽△FDN，△BME∽△DMA，
∴DNBN=DFAB=12，BMMD=BEAD=13，
∴DNBD=13，BMBD=14，
∴DN=13BD=42，BM=14BD=32，
∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝52．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．（2026•高碑店市模拟）嘉嘉在解关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）时，不小心将一次项系数写成了﹣b，解出其中一个根是x＝1，现有以下两种说法：
甲：原方程必定有一个根是﹣1；
乙：当a≠3时，原方程有两个不相等的实数根．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错B．甲错，乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都错
【考点】根的判别式；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质．
【解答】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为ax2﹣bx+3＝0（a≠0），
将x＝1代入得a×12﹣b×1+3＝0，
a﹣b+3＝0，
解得b＝a+3，
甲：∵原方程为ax2+bx+3＝0，
将x＝﹣1代入原方程得a×（﹣1）2+b×（﹣1）+3＝0，
a﹣b+3＝0，
解得b＝a+3，
∴x＝﹣1是原方程的根，甲说法正确；
乙：由题意得，Δ＝b2﹣4•a•3＝b2﹣12a，
Δ＝（a+3）2﹣12a
＝a2+6a+9﹣12a
＝（a﹣3）2，
当a≠3时，（a﹣3）2＞0，即Δ＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确．
∴甲、乙都对．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．
8．（2026•丹江口市一模）现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于20g/cm3时，其体积可以是（ ）
A．0cm3B．16cm3C．20cm3D．24cm3
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】设体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）的反比例函数关系式为v=mρ，运用待定系数法求出m，得到该反比例函数关系式，进而根据图象即可求解．
【解答】解：同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有反比例函数关系如图所示，
设体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）的反比例函数关系式为v=mρ，
从图上可以看出图象过点（16，25），
将其代入得25=m16，解得m＝400，
∴V=400ρ，
当ρ＞20时，0＜v＜20，
综合各个选项，只有16cm3符合．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键．
9．（2026•红桥区模拟）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（ ）
A．7x=9yx−y=36B．9x=7yx−y=36
C．7x=9yy−x=36D．9x=7yy−x=36
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题意找出两个等量关系，即可列出对应方程组．
【解答】解：根据题意可得：
7x=9yx−y=36，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是关键．
10．（2026•沛县一模）如图，小明从点A出发前进15m到达A1，然后向右转20°；再前进15m到达A2，然后又向右转20°⋯⋯，一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．270mB．285mC．300mD．360m
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】A
【分析】由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，再根据正多边形的外角和，得出小明所走过的图形是正十八边形，即可求解．
【解答】解：小明从点A出发前进15m到达A1，然后向右转20°；再前进15m到达A2，然后又向右转20°⋯⋯，
由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，
∵正多边形的外角和为360°，且每个外角都为20°，
∴正多边形的边数为360°÷20°＝18，即小明所走过的图形是正十八边形，
∴路程为18×15＝270m，
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形外角和问题，有理数乘法的应用，掌握正多边形的外角和为360°是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2026•仪陇县一模）定义一种新运算：a⊙b＝ab﹣2a，则关于x的不等式组(−3)⊙x＞2x⊙23≤4的负整数解共有 3 个．
【考点】一元一次不等式组的整数解；有理数的混合运算．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据新定义化简不等式组．求出解集后，找出解集中的负整数，即可得到负整数解的个数．
【解答】解：根据新定义将不等式组(−3)⊙x＞2x⊙23≤4，
转化为(−3)x−2×(−3)＞2x×23−2x≤4，
化简得−3x+6＞2①−43x≤4②，
解①得x＜43，
解②得x≥﹣3，
∴不等式组的解集为−3≤x＜43，
∴不等式组的负整数解为﹣3，﹣2，﹣1，共3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握该知识点是关键．
12．（2026•新城区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在BD上，BP＝BA，连接AP并延长交DC的延长线于点Q，则CQ的长为 3 ．
【考点】矩形的性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】3．
【分析】根据矩形的性质可得BD＝13，再根据BP＝BA可得DQ＝DP＝8，所以得CQ＝3．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD=AB2+AD2=13，
∵BP＝BA＝5，
∴PD＝BD﹣BP＝8，
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠DQP，
∴∠DPQ＝∠DQP，
∴DQ＝DP＝8，
∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
13．（2026•碑林区校级二模）如图①是古建筑中常用的方胜纹装饰，是由两个菱形压角相叠而成，寓意幸福美好．小华模仿这种拼接方法，用全等的菱形按规律设计图案．如图②，第1个图案中有3个菱形，第2个图案中有7个菱形，第3个图案中有11个菱形，…，则第100个图案中菱形的个数为 399 ．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】399．
【分析】根据所给图形，依次求出图案中菱形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图案中菱形的个数为：3＝1×4﹣1，
第2个图案中菱形的个数为：7＝2×4﹣1，
第3个图案中菱形的个数为：11＝3×4﹣1，
…，
所以第n个图案中菱形的个数为4n﹣1．
当n＝100时，
4n﹣1＝4×100﹣1＝399，
即第100个图案中菱形的个数为399．
故答案为：399．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形得出菱形的个数依次增加4是解题的关键．
14．（2026•新城区模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝12，对角线AC＝18，点E、O分别在边AB、BC上，AE＝OB＝4，⊙O半径为2，点P为AC上一动点，点Q为⊙O上一动点．当EP+PQ＝10时，AP的长为 6 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】6．
【分析】作AF＝AE＝4，连接FP，QO，连接FO交圆于点G，得到FG＝FP+PQ＝EP+PQ＝10，可得F，P，Q共线，再利用相似三角形的判定和性质，即可解答．
【解答】解：如图，作AF＝AE＝4，连接FP，QO，连接FO交⊙O于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，BC∥AD，BC＝BA＝12，
∵AF＝AE＝BO＝4，
∴四边形AFOB为平行四边形，
∴AB＝FO＝12，
∵⊙O半径为2，
∴FG＝12﹣2＝10，
∵AE＝AF，∠EAP＝∠FAP，AP＝AP，
∴△EAP≌△FAP（SAS），
∴EP＝FP，∠EPA＝∠APF，
∵EP+PQ＝10，
∴FP+PQ＝10＝FG，
∴F，P，Q共线，且与FG重合，此时P为FO与AC的交点，
∵AB∥FO，
∴∠BAC＝∠APF＝∠EPA，
∵∠BAC＝∠BCA，
∴∠BCA＝∠EPA，
∴PE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴APAC=AEAB，即AP18=412，
∴AP＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
15．（2026•高碑店市模拟）如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角α为60°，且点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC的值为 32 ．
【考点】菱形的性质；解直角三角形；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】32．
【分析】连接AC，设BC交格点于点D，连接AD，由题意可得AC＝AB，D为BC的中点，从而可得∠ADB＝90°，设菱形的边长为a，由题意可得AD＝3a，BD=3a，再求得AB，即可求得sin∠ABC的值．
【解答】解：如图，连接AC，设BC交格点于点D，连接AD，
由题意可得D为BC的中点，
∵网格由相同的小菱形组成的，
∴AF＝AE，∠F＝∠E，CF＝BE，
在△AFC和△AEB中，
AF=AE∠F=∠ECF=BE，
∴△AFC≌△AEB（SAS），
∴AC＝AB，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
设小菱形的边长为a，取格点G，H，连接GH交BD于点O，则GD＝a，GH⊥BD，
由题意得∠GDH＝60°，
∴△GDH是等边三角形，
∴GH＝GD＝a，
∴OG=12GH=a2，
在直角三角形DOG中，由勾股定理得：DO=DG2−OG2=a2−(a2)2=3a2，
∴AD＝3GH＝3a，BD=2OD=3a，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB=AD2+BD2=(3a)2+(3a)2=23a，
∴sin∠ABC=ADAB=3a23a=32，
故答案为：32．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
三．解答题（共5小题）
16．（2026•丹江口市一模）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，这个发现比被欧洲称为“帕斯卡（法国数学家）三角形”早了600余年，充分体现了我们中华民族的聪明才智和我国古代在数学发展史上取得的辉煌成就．
杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列，即从第一项到最后一项a的次数依次为n，n﹣1，…，1，0，而b的次数从第一项到最后一项依次为0，1，…，n﹣1，n）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的各项的系数；等等，利用上面的三角形，解答下列问题：
（1）写出（a+b）6的展开式的第四项为 20a3b3 ；
（2）在数学活动课上，老师展示介绍了“杨辉三角”，要求同学们运用所学习的多项式的乘法验证图中的规律，并观察“杨辉三角形”找到更多的规律，同学们兴致勃勃地开始了探究．经过各小组同学们的观察交流、猜想分析、讨论验证，很快有了新的发现．小颖所在的“探索者”小组发现图中第n行的数字之和是2n，根据这个结论，小颖提出问题：若某同学在计算（a+b）n的展开式各项系数和时，由于少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，则n＝ 6 ；
（3）小明所在的“开拓者”小组发现：左右两侧是对称的；第一斜行可以看作m＝1的常量函数；第二斜行从上至下依次为1，2，3，4，5，…，斜行上的数m（即每一行的第二位数）与所在横行n（n＝1，2，3，4，5，6）具有一次函数关系m＝n；第三斜行从上至下依次为1，3，6，10，…，斜行上的数m（即每一行的第三位数）与所在横行n（n＝1，2，3，4，5，6）具有二次函数关系m=n(n−1)2．小明提出以下问题，请解答：
①请验证m=n(n−1)2，当n＝5时，函数m的值与“杨辉三角形”中的值是否一致；
②若展开式第三项的系数为190，则n＝ 20 ；
（4）小慧所在的“发现者”小组则发现（a+b）n展开式中各项的次数的和均为n，并对a和b进行了拓展变式探究，小慧提出以下问题，请解答：
①写出（2x﹣1）5展开式第一项为 32x5 ，第二项为 ﹣80x4 ；
②请写出(x+1x)20的展开式第三项： 190x16 ；
③计算29+9×28×81+36×27×82+84×26×83+…+36×22×87+9×21×88+89＝ 109或1000000000 ．
【考点】规律型：数字的变化类；完全平方公式；一次函数的定义；二次函数的定义．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）20a3b3；
（2）6；
（3）①一致；验证见解析；②20；
（4）①32x5；﹣80x4；②190x16；③109或1000000000．
【分析】（1）根据题意可得（a+b）6的展开式的系数恰好对应的是第六行的数，即可求解；
（2）根据题意得（a+b）n的展开式各项系数和2n，再结合25＝32＜44＜64＝26，即可求解；
（3）①根据题意得：m是第五行第三个数，即10，再把n＝5代入计算即可；②根据题意，列出方程n(n−1)2=190，即可求解；
（4）①根据题中规律解答即可；②根据题意可得第n行第3个数为n(n−1)2，即可求解；③根据题意可把原式变形为（2+8）9即可求解．
【解答】解：（1）（a+b）6的展开式的系数恰好对应的是第六行的数，为：1，6，15，20，15，6，1，
∴第四项为20a3b3；
故答案为：20a3b3；
（2）根据题意得（a+b）n的展开式各项系数和2n，
∵少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，且25＝32＜44＜64＝26，
∴n＝6；
故答案为：6；
（3）①一致，验证如下：
根据题意得：m是第五行第三个数，即10，
当n＝5时，m=5×42=10，
∴函数m的值与“杨辉三角形”中的值一致；
②∵展开式第三项的系数为190，
∴n(n−1)2=190，即n2﹣n﹣380＝0，
解得：n1＝20，n2＝﹣19（舍去），
即n＝20；
（4）①（2x﹣1）5展开式第一项为（2x）5＝32x5，第二项为5×（2x）4×（﹣1）＝﹣80x4；
②根据题意得：每一行的第3个数依次为1，3，6，10，15，……，
由此发现，第n行第3个数为n(n−1)2，
∴(x+1x)20的展开式第三项的系数为：20×192=190，
∴(x+1x)20的展开式第三项为190x18⋅(1x)2=190x16；
③29+9×28×81+36×27×82+84×26×83+……+36×22×87+9×21×88+89＝（2+8）9＝109．
故答案为：①32x5；﹣80x4；②190x16；③109或1000000000．
【点评】本题考查数字的变化类，正确进行计算是解题关键．
17．（2026•九龙坡区校级模拟）如图，A，B，C，D是某科技公司的四个试验基地，且A，B，C，D在同一平面内，B位于A的正东方向60km处，D位于A的南偏东30°方向40km米处，C位于B的正南方向，D位于C的南偏西60°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）
（1）求B和C两试验基地之间的距离；（结果保留整数）
（2）现甲从A基地出发沿AD前往D地办公，乙从B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到A基地距离的23倍时，甲距离A基地多少千米？（结果保留整数）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）B和C两试验基地之间的距离约为12km；
（2）当两人的距离是甲到A基地距离的23倍时，甲距离A基地10km．
【分析】（1）作DE⊥AB于E，作CF⊥DE于F，在Rt△ADE中，解直角三角形可求得AE，DE，进而得到BE，证明四边形BEFC为矩形，得到CF＝BE，在Rt△DCF中，解直角三角形可求得DF，进而可得EF，即可得到BC；
（2）如图，当两人的距离是甲到A基地距离的23倍时，甲运动到点M处，乙运动到点N处，作MQ⊥AB于点Q，连接MN，则MN=23AM，设AM＝xkm，可表示出MN，BN，AN，在Rt△AMQ中，解直角三角形可表示出AQ，MQ，QN，在Rt△MNQ中，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可得解．
【解答】解：（1）如图，作DE⊥AB于E，作CF⊥DE于F．
由题意得∠HAB＝∠B＝90°，∠HAD＝30°，∠DCP＝60°，
∴∠DAE＝∠HAB﹣∠HAD＝60°，
∴在Rt△ADE中，AE=AD⋅cs∠DAE=40×12=20km，
DE=AD⋅sin∠DAE=40×32=203km，
∴BE＝AB﹣AE＝60﹣20＝40km．
∵DE⊥AB，CF⊥DE，∠B＝90°，
∴四边形BEFC为矩形，∠CFD＝90°，
∴CF＝BE＝40km，∠FCP＝90°，
∴∠DCF＝∠PCF﹣∠PCD＝30°，
∴在Rt△DCF中，DF=CF⋅tan30°=40×33=4033km，
∴EF=DE−DF=203−4033=2033km，
∴BC=EF=2033km≈12km，
即B和C两试验基地之间的距离约为12km；
（2）现甲从A基地出发沿AD前往D地办公，乙从B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到A基地距离的23倍时，则：
如图，当两人的距离是甲到A基地距离的23倍时，甲运动到点M处，乙运动到点N处，
作MQ⊥AB于点Q，连接MN，则MN=23AM，∠MAQ＝90°﹣30°＝60°，
设AM＝xkm，则MN＝23xkm，
MN＝23 km．
∴BN＝2AM＝2xkm，
∴AN＝AB﹣BN＝（60﹣2x）km．
AQ＝AM•cs∠MAQ=12xkm；
MQ＝AM•sin∠MAQ=32x km．
∴QN=AN−AQ=60−2x−12x=(60−52x)km．
在Rt△MNQ中，根据勾股定理得：QN2+MQ2＝MN2，
即(60−52x)2+(32x)2=(23x)2，
整理得x2+60x﹣720＝0，
解得x1=−30+185≈10，x2=−30−185（负值，舍去）．
答：当两人的距离是甲到A基地距离的23倍时，甲距离A基地10km．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．
18．（2026•仪陇县一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=2BC，∠CAD＝60°．
（1）试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝4时，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形；勾股定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）直线AD与⊙O相切，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°．
∵AC=2BC，
∴∠ABC＝2∠BAC．
∴2∠BAC+∠BAC＝90°，
即3∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝30°．
∵∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，
∴OA⊥AD．
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）4π3−3．
【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度得出∠ACB＝90°，则∠ABC+∠BAC＝90°，再由弧与角的关系得出ABC＝2∠BAC，进而可求出∠BAC＝30°，再结合已知条件进一步即可得出答案．
（2）过点O作OE⊥AC于E，连接OC，由圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC＝120°，
通过解直角三角形求出AC，由三线合一得出OE，最后根据S阴影＝S扇形OAC﹣S△OAC求解即可．
【解答】解：（1）直线AD与⊙O相切，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ABC+∠BAC＝90°．
∵AC=2BC，
∴∠ABC＝2∠BAC．
∴2∠BAC+∠BAC＝90°，
即3∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝30°．
∵∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，
∴OA⊥AD．
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）连接OC，过点O作OE⊥AC于E，
∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝120°．
∵AB＝4，
∴AC=AB⋅sin60°=23．
∵OE⊥AC，
∴AE=12AC=3，
∴OE=OA2−AE2=1．
∴S阴影=S扇形OAC−S△OAC=120⋅π×22360−12×23×1=4π3−3．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
19．（2026•重庆模拟）重庆高新区在“非遗贺新春，寻味中国年”2026年春节系列活动期间，同步推荐了多条文旅体验路线，包括九凤山、虎峰山风景区提供的森林康养徒步，以及走马古镇、成渝古驿道等历史资源与春节活动联动，增添文化内涵．其中整合推出的“古道寻踪”（简称A线）和“艺术体验”（简称B线）两条主题线路最受欢迎．某单位积极响应这一政策，组织职工对A，B两条线路进行了体验满意度评分测验（每名职工仅对一条线路进行评分），并从中各随机抽取20份评分数据，进行整理、描述和分析（评分采用整数x表示，满分100分，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意90≤x≤100，以下是部分信息（单位：分）：
抽取的A线评分数据中“满意”等级的数据：84，86，86，87，87，88；
抽取的B线评分数据：66，67，68，83，85，86，86，87，87，88，88，89，95，96，96，96，98，99，100，100；
抽取的A，B线的评分统计：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 20 ，b＝ 87 ，c＝ 96 ；
（2）根据以上数据，你认为哪条线路更受职工喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）此次测验有100名职工对A线进行评分，有80名职工对B线进行评分，请估计对两条线路不满意的共有多少人？
【考点】扇形统计图；算术平均数；中位数；众数；百分数的应用．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）20；87；96；
（2）B条线路更受职工喜爱，理由如下：
因为A线评分统计中“非常满意”所占百分比40%等于B线评分统计中“非常满意”所占百分比40%，而B线评分统计中“满意”的人数9人多于A线评分统计中“满意”的人数6人，
所以B条线路更受职工喜爱；
（3）22人．
【分析】（1）根据已知数据的百分比即可求出a的值，根据中位数的定义即可求出b的值，根据众数的定义即可求出c的值；
（2）根据非常满意的占比进行解答即可；
（3）根据样本估计总体的知识进行解答即可．
【解答】解：（1）根据已知数据的百分比即可求出a的值为：
a%=100%−40%−620×100%−10%=20%，
即a＝20，
A线不满意和比较满意的人数为20×（10%+20%）＝6人，满意的人数为6人，
∵中位数为第10个和11个数据的平均数，
∴b=87+872=87，
抽取的对B线评分数据中出现次数最多的是96，即c＝96，
故答案为：20；87；96；
（2）我认为B条线路更受职工喜爱，理由如下：
因为A线评分统计中“非常满意”所占百分比40%等于B线评分统计中“非常满意”所占百分比40%，而B线评分统计中“满意”的人数9人多于A线评分统计中“满意”的人数6人，
所以B条线路更受职工喜爱；
（3）根据样本估计总体的知识可得：
100×10%+80×320=22人，
答：估计两条线路不满意的共有22人．
【点评】本题考查了样本估计总体、中位数、众数，熟练掌握以上知识点是估计．
20．（2026•丹江口市一模）请你根据下列素材，完成有关任务．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；函数关系式；一次函数的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）篮球和足球的单价分别为70元和50元；
（2）n＝﹣20m+2000；
（3）花费最少的购买方案为篮球12个，足球4个，气排球24个．
【分析】（1）设一个篮球价格x元，一个足球价格y元，根据素材一列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据素材一的结论、素材二，利用总价＝单价×数量，分别表示出篮球、足球、气排球的花费，求和即可列出n与m的函数关系式；
（3）根据素材三可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设一个篮球价格为x元，一个足球价格为y元，
依题意得2x+y=190x−y=20，
解得x=70y=50，
答：篮球和足球的单价分别为70元和50元．
（2）由题意可得：气排球个数是2m个，足球个数是40﹣m﹣2m＝（40﹣3m）个，
依题意得：n＝70m+30×2m+50（40﹣3m）
＝70m+60m+2000﹣150m
＝﹣20m+2000．
（3）由素材三得m≤12−20m+2000≤1800，
解得10≤m≤12，
∵n＝﹣20m+2000，﹣20＜0，
∴n随m的增大而减小，
∴当m＝12时，n最小，此时2m＝24，40﹣3m＝4，
∴花费最少的购买方案为篮球12个，足球4个，气排球24个．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，正确进行计算是解题关键．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
4．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
5．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
6．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
7．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
8．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
9．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
10．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
11．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
12．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
13．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
14．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
15．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
16．一次函数的定义
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．
17．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
18．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
19．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
20．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
21．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
22．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
23．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
24．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
25．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
26．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
27．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
28．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
29．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
30．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
31．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
32．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
33．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
34．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
35．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
36．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
37．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
38．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
39．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
40．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
41．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
42．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．
43．百分数的应用
超市卖货中的打折（折扣）问题，如一件上衣400元，现八折（80%）出售．成数问题，如这次小麦收成是上次的二成（20%）．事物配制问题：如水占8伤，药占水的20%等．线路
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
b
96
40%
B
88
88
c
40%
背景
某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．
素材一
买一个气排球30元，买2个篮球和一个足球价钱为190元，购买1个篮球的价格比购买一个足球多花费20元
素材二
该校要购买篮球，足球，气排球共40个，且气排球的个数是篮球个数的2倍
素材三
根据学生兴趣需要，篮球不多于12个，总花费不超过1800元
请完成下列任务：
任务一
求出篮球和足球的单价
任务二
求购买篮球，足球，排球共花费n（元）购买篮球m（个）的函数关系式
任务三
制定花费最少的购买方案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
D
A
C
C
B
A
A
线路
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
b
96
40%
B
88
88
c
40%
背景
某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．
素材一
买一个气排球30元，买2个篮球和一个足球价钱为190元，购买1个篮球的价格比购买一个足球多花费20元
素材二
该校要购买篮球，足球，气排球共40个，且气排球的个数是篮球个数的2倍
素材三
根据学生兴趣需要，篮球不多于12个，总花费不超过1800元
请完成下列任务：
任务一
求出篮球和足球的单价
任务二
求购买篮球，足球，排球共花费n（元）购买篮球m（个）的函数关系式
任务三
制定花费最少的购买方案