2026中考数学百题冲刺精选-01-易错题冲刺卷

这是一份2026中考数学百题冲刺精选-01-易错题冲刺卷，共29页。

A．B．
C．D．
2．（2026•天山区校级一模）博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026•芜湖二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．M，N，P分别是AC，BC，AB的中点，D在AP上运动（不与A，P重合），连接CD．点E与点N关于CD对称，连接EM并延长交CD于点Q，则AQ的最小值为（ ）
A．210−22B．210−2C．6−22D．10−2
4．（2026•海门区校级模拟）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连接OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF＝4B．CD﹣DF＝23−3
C．BC+AB＝23+4D．BC﹣AB＝2
5．（2026•哈尔滨模拟）如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2026•天宁区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若△AEF的面积为25，sin∠CEF=35，则BC的长为（ ）
A．6B．45C．25D．10
7．（2026•西安校级一模）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2026•瑶海区校级一模）人的正常体温在36℃～37℃之间，但一天中的不同时刻体温略有差别，如图反映了一天内安安的体温变化情况，其中x表示一天中的时间，T表示安安的体温，下列说法中，不正确的是（ ）
A．图中反映了一天中的时间（x）与安安体温（T）之间的关系
B．安安在4：00时的体温为36℃
C．图中的自变量是时间x，它的取值范围是0：00≤x≤20：00
D．安安的体温（T）可以看成一天中的时间（x）的函数
9．（2026•道里区模拟）如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2026•天山区校级一模）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则△BCD的周长是（ ）
A．5+29B．5+13C．7+29D．7+13
二．填空题（共5小题）
11．（2026•郑州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D是AC的中点，将△ABC绕点D顺时针旋转60°得到△A′B′C′，A′B′分别交AC，AB于E，F两点，则B，B′两点间的距离是 ，EF的长为 ．
12．（2026•梁园区校级一模）如图1，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D为AB的中点，点P为BC上一个动点，若BP的距离为x，PD+PA＝y，则y关于x的函数关系图象如图2所示，点M为函数图象的最低点，则点N的坐标为 ．
13．（2026•哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 ．
14．（2026•邢台校级模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在AD的延长线上，且DE＝2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则线段CM的长为 ．
15．（2026•蔡甸区校级模拟）如图，已知点A（3，3），B（3，1），反比例函数y=kx(k≠0) 图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值： ．
三．解答题（共5小题）
16．（2026•新市区校级一模）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合．如图②，△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s．EF与BC交于点P，连接OP，OE．设运动时间为t（s）（0＜t≤165）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？
（2）设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图③，过点O作OQ⊥AB，交AC于点Q，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接HB．是否存在某一时刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
17．（2026•周至县一模）某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m．
（1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式；
（2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．
18．（2026•河东区校级模拟）已知家、公园、书店依次在同一条直线上，公园离家12km，书店离家20km．李华从家出发途中，匀速骑行0.5h后提速，继续匀速骑行0.5h到达书店；在书店学习一段时间然后回家；回家途中，匀速骑行0.5h后到达公园；在公园停留0.4h后，继续匀速骑行回到家．给出的图象反映了这个过程中李华离家的距离ykm与离开家的时间xh之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：
（I）填表：
（Ⅱ）填空：
①李华从家到书店途中，提速后的骑行速度为 km/h；
②李华在书店学习的时间为 h；
③书店到公园的距离为 km；
④当4≤x≤5.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
（Ⅲ）当李华离开家0.5h时，他的爸爸也从家出发匀速骑行了0.8h直接到达了公园，锻炼了3.5h后，又沿原路原速匀速骑行返回．那么途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
19．（2026•罗湖区模拟）【情境与问题】
在研究二次函数y＝2x2+1时，小明得到了下表：
观察上表，自变量x从左到右依次取连续的整数，若保持这一规律不变，继续扩展表格，那么，表格中的数据间会有什么特殊规律吗？
【探索与发现】
如上表，用一个倒“T”形的套色方框（如图）框住了表格中的四个数，若将套色方框左右移动，可框住另外四个数．设四个数中，上面的数为t，下面三个数从左到右依次为l，m，n（如图）．
（1）写出n与t间的函数关系式为 ．
（2）小明发现：l+n2−m为定值．小明的发现正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【联系与拓广】
（3）①t为何值时，n﹣2m的值最大？
②若二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2026，2028，2030时的函数值分别为p，q，r，且p+r2−q=10，则a＝ ．
20．（2025•崂山区模拟）问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当AD＝3时，S'S= ；
（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示S'S．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD=12BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示S'S．
2026年中考数学百题精选之易错题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题）
1．（2026•宁波模拟）图，在四边形ABCD中，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝CD＝2，AB＝4，点E从点D向点C运动，连接AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，设DE＝x，△AEF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】C
【分析】过点C作CH⊥AB于H，过点F作FM⊥DC，交DC延长线于M，延长FM，交AB于N，可证明四边形AHCD是正方形，△BHC是等腰直角三角形，CM＝FM，设CM＝FM＝m，利用平角的定义及直角三角形两锐角互余得出∠DAE＝∠MEF，即可证明△DAE∽△MEF，根据相似三角形的性质得出m＝x，即可得出EM＝AD＝2，AE2＝EF2＝x2+4，利用三角形面积公式得出y=12x2+2，利用二次函数的性质即可判断y与x之间函数关系的图象．
【解答】解：过点C作CH⊥AB，垂足为H，过点F作FM⊥DC，交DC延长线于M，延长FM，交AB于N，
∵∠D＝∠BAD＝∠AHC＝90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∵AD＝CD＝2，AB＝4，
∴四边形AHCD是正方形，AH＝CH＝AD＝CD＝2，
∴BH＝CH＝2，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠BCH＝45°，
∴∠HCF＝∠MCF＝∠BFN＝∠B＝45°，
∴CM＝FM，
设CM＝FM＝m，
∵EF⊥AE，
∴∠MEF+∠AED＝90°，
∵∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠MEF，
∵∠D＝∠M＝90°，
∴△DAE∽△MEF，
∴DEMF=ADEM，
∵DE＝x，
∴CE＝2﹣x，则EM＝CE+CM＝2﹣x+m，
∴xm=22−x+m，
∴m＝x，
∴EM＝2﹣x+m＝2＝AD，
∴AE2＝EF2＝x2+22＝x2+4，
∵△AEF的面积为y，
∴y=12AE⋅EF=12AE2=12x2+2，
∴抛物线的开口向上，且最大值为4，与y轴交点坐标为（0，2），
∴C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查 动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质，正确得出m＝x是解题关键．
2．（2026•天山区校级一模）博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【解答】解：A．选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B．选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C．选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D．选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的定义是关键．
3．（2026•芜湖二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．M，N，P分别是AC，BC，AB的中点，D在AP上运动（不与A，P重合），连接CD．点E与点N关于CD对称，连接EM并延长交CD于点Q，则AQ的最小值为（ ）
A．210−22B．210−2C．6−22D．10−2
【考点】轴对称的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】D
【分析】连接QN，先求出CM＝CN＝2，根据折叠的性质得出EC＝NC＝2，∠EQC＝∠NQC，∠NCQ＝∠ECQ，则EC＝MC，根据等边对等角得出∠E＝∠CME，设∠E＝∠CME＝α，则∠ECM＝180°﹣2α，设∠ACD＝β，则∠BCD＝90°﹣β，结合∠NCQ＝∠ECQ可求出α﹣β＝45°，根据三角形外角的性质可求出∠MQC＝45°，则∠MQN＝90°，连接MN，根据勾股定理求出MN=22，则点Q在以MN为直径的圆上运动，取MN中点O，连接OQ，AO，故当A、Q、O三点共线，且Q在AO上时，AQ最小，最小值为AO﹣OQ，根据直角三角形斜边上中线的性质求出OQ=12MN=2，取CM中点H，连接OH，根据三角形中位线定理得出OH=12CN=1，CH=12CM=1，OH∥CN，则AH＝AC﹣CH＝3，∠AHO＝∠ACB＝90°，根据勾股定理求出AO=10，即可求解．
【解答】解：连接QN，
∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝CN=12AC=12BC＝2，
∵折叠，
∴EC＝NC＝2，∠EQC＝∠NQC，∠NCQ＝∠ECQ，
∴EC＝MC，
∴∠E＝∠CME，
设∠E＝∠CME＝α，则∠ECM＝180°﹣2α，
设∠ACD＝β，则∠BCD＝90°﹣β，
∴180°﹣2α+β＝90°﹣β，
∴α﹣β＝45°，
又∠MQC＝∠EMC﹣∠MCD＝α﹣β，
∴∠MQC＝45°，
∴∠NQC＝∠EQC＝45°，
∴∠MQN＝90°，
连接MN，
∴MN=CN2+CM2=22，
∴点Q在以MN为直径的圆上运动，
取MN中点O，连接OQ，AO，
∴当A、Q、O三点共线，且Q在AO上时，AQ最小，最小值为AO﹣OQ，
∵O为MN中点，∠MQN＝90°，
∴OQ=12MN=2，
取CM中点H，连接OH，
∴CH=12CM=1，
∵O、H分别是MN，MC的中点，
∴OH=12CN=1，OH∥CN，
∴AH＝AC﹣CH＝3，∠AHO＝∠ACB＝90°，
∴AO=AH2+OH2=10，
∴AQ的最小值为10−2，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，对称的性质，圆的有关概念等知识，明确题意，添加合适辅助线，证明∠MQN＝90°是解题的关键．
4．（2026•海门区校级模拟）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连接OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF＝4B．CD﹣DF＝23−3
C．BC+AB＝23+4D．BC﹣AB＝2
【考点】三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【答案】A
【分析】设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，证明△OMG≌△GCD，得到OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=12（a+b﹣c），所以c＝a+b﹣2．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得a1=1+3，a2=1−3（舍去），从而求出a，b的值，所以BC+AB＝23+4．再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN=3+3−1−x，OF＝x，ON=1+3−1=3，由勾股定理可得(2+3−x)2+(3)2=x2，解得x＝4−3，从而得到CD﹣DF=3+1−(4−3)=23−3，CD+DF=3+1+4−3=5．即可解答．
【解答】解：如图，
设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，
∴OG＝DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC＝90°，
∵∠MOG+∠MGO＝90°，
∴∠MOG＝∠DGC，
在△OMG和△GCD中，
∠OMG=∠DCG=90°∠MOG=∠DGCOG=DG
∴△OMG≌△GCD，
∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．
∵AB＝CD，
∴BC﹣AB＝2．
设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=12（a+b﹣c），
∴c＝a+b﹣2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，
整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，
又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，
解得a1=1+3，a2=1−3（舍去），
∴a=1+3，b=3+3，
∴BC+AB＝23+4．
再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN=3+3−1−x，OF＝x，ON=1+3−1=3，
由勾股定理可得(2+3−x)2+(3)2=x2，
解得x＝4−3，
∴CD﹣DF=3+1−(4−3)=23−3，CD+DF=3+1+4−3=5．
综上只有选项A错误，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质．
5．（2026•哈尔滨模拟）如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】C
【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可．
【解答】解：“斗”的俯视图的是：
．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键．
6．（2026•天宁区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若△AEF的面积为25，sin∠CEF=35，则BC的长为（ ）
A．6B．45C．25D．10
【考点】解直角三角形；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE＝AE＝BE=12AB，进而得到∠BEC＝2∠A＝∠BFC，从而有∠CEF＝∠CBF，再根据锐角三角函数的定义表示出CF，又设BF＝AF＝x，根据三角形的面积公式表示BC，最后由由勾股定理，求出x后即可判断得解．
【解答】解：如图，连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝25，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝50=12AF•BC．
∵CE＝AE＝BE=12AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC=35=CFBF．
设BF＝AF＝x，
∴CF=35x．
又∵12BC•AF＝50，
∴BC=100x．
又∵BC2+CF2＝BF2，
∴（100x）2+（35x）2＝x2．
∴x＝55．
∴BC=100x=45．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
7．（2026•西安校级一模）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】直接利用俯视图即从物体的上面观察得到视图即可．
【解答】解：如图所示，俯视图为：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键．
8．（2026•瑶海区校级一模）人的正常体温在36℃～37℃之间，但一天中的不同时刻体温略有差别，如图反映了一天内安安的体温变化情况，其中x表示一天中的时间，T表示安安的体温，下列说法中，不正确的是（ ）
A．图中反映了一天中的时间（x）与安安体温（T）之间的关系
B．安安在4：00时的体温为36℃
C．图中的自变量是时间x，它的取值范围是0：00≤x≤20：00
D．安安的体温（T）可以看成一天中的时间（x）的函数
【考点】函数的图象；常量与变量．
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】C
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由图象可得，
图中反映了一天中的时间（x）与安安体温（T）之间的关系，说法正确，故选项A不合题意；
安安在4：00时的体温为36℃，说法正确，故选项B不合题意；
图中的自变量是时间x，它的取值范围是0：00≤x≤24：00，原说法错误，故选项C合题意；
安安的体温（T）可以看成一天中的时间（x）的函数，说法正确，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（2026•道里区模拟）如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据俯视图是从物体上方向下做正投影得到的视图，由此可解．
【解答】解：从上面看几何体，可得选项B的图形．
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的俯视图，掌握俯视图是从物体上方向下做正投影得到的视图是解题的关键．
10．（2026•天山区校级一模）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则△BCD的周长是（ ）
A．5+29B．5+13C．7+29D．7+13
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，分析P的运动路线，分2个阶段分别讨论，可得BC与CD的值，然后求出BD的值，进而可以计算得解．
【解答】解：根据题意，当P在BC上时，三角形面积增大，结合图2可得，BC＝2；
当P在CD上时，三角形面积不变，结合图2可得，CD＝3．
∵AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝90°．
∴BD=BC2+CD2=13．
∴△BCD 的周长＝BC+CD+BD＝2+3+13=5+13．
故选：B．
【点评】本题考查学生读图、分析的能力，注意结合纵横轴的意义来分析．
二．填空题（共5小题）
11．（2026•郑州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D是AC的中点，将△ABC绕点D顺时针旋转60°得到△A′B′C′，A′B′分别交AC，AB于E，F两点，则B，B′两点间的距离是 72 ，EF的长为 14 ．
【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】72；14．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得AC的值，再根据D是AC中点，可得AD=A'D=DC=32，进而在Rt△BCD中运用勾股定理可求出DB，再由旋转性质和等边三角形的判定和性质可得BB′；先求出∠A′ED＝90°，再运用含30°的直角三角形的性质可得DE，最后在Rt△AEF中再运用含30°的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：连接DB′，BB′，DB，如图：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∴AC=AB2−BC2=3．
∵D是AC中点，
∴AD=A'D=DC=32，
∴DB=BC2+DC2
=12+(32)2
=72，
由旋转性质，DB＝DB′，且旋转角∠BDB′＝60°，
∴△BDB′为等边三角形，
∴BB'=DB=72；
∵∠A′＝∠A＝30°，∠ADA′＝60°，
∴∠A'ED＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△A′DE为直角三角形．
又∵A'D=32，
∴DE=12A'D=32⋅12=34，
∴AE=AD−DE=32−34=34，
∵∠AEF＝∠A'ED＝90°，∠A＝30°，
∴EF=AE3=343=14．
故答案为：72；14．
【点评】本题以直角三角形旋转为载体，核心考查了含30°的直角三角形的性质、旋转的不变性、等边三角形判定及勾股定理．通过构造直角三角形与等边三角形，将线段长度计算转化为勾股定理与边角关系的应用，充分体现了“转化思想”与“数形结合”在几何计算中的作用．
12．（2026•梁园区校级一模）如图1，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D为AB的中点，点P为BC上一个动点，若BP的距离为x，PD+PA＝y，则y关于x的函数关系图象如图2所示，点M为函数图象的最低点，则点N的坐标为 （6，23+21） ．
【考点】动点问题的函数图象；等边三角形的判定与性质．
【专题】函数及其图象；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（6，23+21）．
【分析】依据题意，作A关于BC的对称点A'，连接A'D交BC于点P，再连接BD，由对称性，此时PA+PD＝A'D，故根据两点之间线段最短，PA+PD的最小值为A'D，即结合图2，可得A'D＝3，从而可得BC＝6，故当P运动到C时，x＝BC＝6，即N的横坐标为6，此时P在C点，分别求出PD、PA，从而可以得解．
【解答】解：由题意，作A关于BC的对称点A'，连接A'D交BC于点P，再连接BD，
由对称性，此时PA+PD＝A'D，
∴根据两点之间线段最短，PA+PD的最小值为A'D，即结合图2，可得A'D＝3．
∵A关于BC的对称点A'，
∴AB＝A'B，∠ABC＝∠A'BC＝30°．
∴∠ABA'＝60°，
∴△ABA'是等边三角形．
∴AD=33A'D=3，则AA'＝2AD＝AB＝A'B＝23．
∴AB＝AC＝23．
∵∠BAC＝120°，
∴BC＝6．
∴当P运动到C时，x＝BC＝6，即N的横坐标为6．
∴此时P在C点，
∵BD=12AB=3，
∴DH=12BD=32．
∴BH=3DH=32．
∴CH＝BC﹣BH=92．
∴PD=DH2+CH2=21．
又∵PA＝AC＝23，
∴PA+PD＝23+21．
∴N（6，23+21）．
故答案为：（6，23+21）．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、等边三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
13．（2026•哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 4 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】4
【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），可得9a+3b+3=04a+2b+3=3，求出a，b后可得抛物线的解析式，再求得对称轴，依据对称性可得A的坐标，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），
∴9a+3b+3=04a+2b+3=3．
∴a=−1b=2．
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3．
∴抛物线的对称轴是直线x=−22×(−1)=1．
∵抛物线与x轴的一交点为B（3，0），
∴另一交点为A（1﹣2，0），即A（﹣1，0）．
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
14．（2026•邢台校级模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在AD的延长线上，且DE＝2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则线段CM的长为 94 ．
【考点】中心对称；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；图形的相似；推理能力．
【答案】94．
【分析】依据题意，连接AC交l于点O，由直线l将▱ABCD的面积平分，从而O为AC的中点，结合平行四边形的性质可得△AON≌△COM，进而AN＝CM，再由AN∥DM有DMAN=EDEA，求出AN，故而可以得解．
【解答】解：连接AC交l于点O．
∵直线l将▱ABCD的面积平分，AC为▱ABCD的对角线，
∴O为AC的中点，为平行四边形的中心．
∴OA＝OC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠NAO＝∠MCO，DMAN=EDEA．
又∠AON＝∠COM，
∴△AON≌△COM（ASA）．
∴AN＝CM．
∴DMCM=EDEA．
又ED＝2，AD＝4，AB＝3，
∴3−CMCM=26．
∴CM=94．
故答案为：94．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
15．（2026•蔡甸区校级模拟）如图，已知点A（3，3），B（3，1），反比例函数y=kx(k≠0) 图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：k＝4（答案不唯一） ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】k＝4（答案不唯一）．
【分析】把点A（3，3），B（3，1）代入y=kx即可得到k的值，从而得结论．
【解答】解：由图可知：k＞0，
∵反比例函数y=kx（k＞0）的图象与线段AB有交点，且点A（3，3），B（3，1），
∴把B （3，1）代入y=kx得，k＝3，
把A（3，3）代入y=kx得，k＝3×3＝9，
∴满足条件的k值的范围是3≤k≤9的整数，
故k＝4（答案不唯一），
故答案为：k＝4（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2026•新市区校级一模）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合．如图②，△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s．EF与BC交于点P，连接OP，OE．设运动时间为t（s）（0＜t≤165）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？
（2）设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图③，过点O作OQ⊥AB，交AC于点Q，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接HB．是否存在某一时刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】转化思想；构造法；模型思想．
【答案】（1）当t为2秒时，点A在线段OE的垂直平分线上；
（2）S=15t2−265t+24；
（3）t=7023秒时，PO∥BH．
【分析】（1）根据动点问题表示相应的线段，再根据线段垂直平分线的性质建立方程，即可求解；
（2）连接CO化不规则四边形PCEO为规则图形，根据相似三角形求两个三角形的高，然后求两个三角形的面积和便可求得函数关系；
（3）根据平行得出角相等，进而得出其三角函数值相等，再求相关线段建立关系，即可求解．
【解答】解：（1）当点A在线段OE的垂直平分线上，则有AE＝AO，
根据题意可得：AN＝AC﹣DE＝2cm，EN＝tcm，AO＝2tcm，
∴AE＝AN+EN＝（2+t）cm，
∵点A在线段OE的垂直平分线上，
∴AE＝AO，即2+t＝2t，
解得：t＝2＜165，符合题意，
∴当t为2秒时，点A在线段OE的垂直平分线上；
（2）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，连接CO，
则∠OGA＝∠BHO＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
根据勾股定理得：AB=AC2+BC2=10cm，
∴∠OGA＝∠BHO＝∠ACB＝90°，OB＝（10﹣2t）cm，
∴OG∥BC，OH∥AC，
∴OGBC=AOAB，OHAC=OBAB，即OG6=2t10，OH8=10−2t10，
解得：OG=6t5，OH=40−8t5，
由平移可知PC∥FD，且DE＝DF，
∴PCFD=CEDE，
∴CP＝CE＝6﹣t，
∴S＝S△PCO+S△CEO=12PC⋅OH+12CE⋅OG=12CP(OH+OG)
=12(6−t)(40−8t5+6t5)=15t2−265t+24；
（3）过点P作PM⊥OB于点M，
∴∠BMP＝∠ACB＝90°，
∵∠MBP＝∠ABC，
∴△BMP∽△BCA，
∴BMBC=PMAC=BPAB，即BM6=PM8=t10，
∴BM=35t，PM=45t，
∴OM＝AB﹣BM﹣AO＝10−35t−2t＝10−135t，
∵OQ⊥AB，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，
∴tan∠OAQ=OQOA=BCAC=68=34，即OQ2t=34，
∴OH＝OQ=32t，
∵tan∠MOP=PMOM=45t10−135t，tan∠OBH=OHOB=32t10−2t，
∵PO∥BH，
∴∠MOP＝∠OBH，
∴45t10−135t=32t10−2t，
解得t=7023＜165，故符合题意，
∴当t为7023秒时，PO∥BH．
【点评】本题综合考查了勾股定理、平移、线段的垂直平分线性质定理、相似、轴对称、平行线性质、解直角三角形、函数等知识，化动为静是解决问题的关键．
17．（2026•周至县一模）某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m．
（1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式；
（2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据题意，由抛物线的顶点坐标为（5，8），则可设抛物线y＝a（x﹣5）2+8，又把（13，0）代入y＝a（x﹣5）2+8，求出a后即可判断得解；
（2）依据题意，由（1）y=−18（x﹣5）2+8，从而可令x＝0，则y=−18（0﹣5）2+8=398，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线的顶点坐标为（5，8），
∴可设抛物线y＝a（x﹣5）2+8．
又把（13，0）代入y＝a（x﹣5）2+8，
∴0＝a（13﹣5）2+8．
∴a=−18．
∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：y=−18（x﹣5）2+8．
（2）由题意，由（1）y=−18（x﹣5）2+8，
∴可令x＝0，则y=−18（0﹣5）2+8=398（m）．
答：这个装饰物的设计高度为398m．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
18．（2026•河东区校级模拟）已知家、公园、书店依次在同一条直线上，公园离家12km，书店离家20km．李华从家出发途中，匀速骑行0.5h后提速，继续匀速骑行0.5h到达书店；在书店学习一段时间然后回家；回家途中，匀速骑行0.5h后到达公园；在公园停留0.4h后，继续匀速骑行回到家．给出的图象反映了这个过程中李华离家的距离ykm与离开家的时间xh之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：
（I）填表：
（Ⅱ）填空：
①李华从家到书店途中，提速后的骑行速度为 28 km/h；
②李华在书店学习的时间为 3 h；
③书店到公园的距离为 8 km；
④当4≤x≤5.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
（Ⅲ）当李华离开家0.5h时，他的爸爸也从家出发匀速骑行了0.8h直接到达了公园，锻炼了3.5h后，又沿原路原速匀速骑行返回．那么途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据图象及速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算即可；
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得答案；
②③根据图象计算即可；
④根据速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算并最后写成分段函数的形式即可；
（Ⅲ）画出爸爸离家的距离y与李华离开家的时间x之间的图象，求出两图象交点坐标即可．
【解答】解：（Ⅰ）当x＝0.5时，y＝6，
当0.5≤x≤1时，李华的速度为（20﹣6）÷0.5＝28（km/h），
则当x＝0.8时，y＝6+28×（0.8﹣0.5）＝14.4，
当x＝3时，y＝20．
故答案为：6，14.4，20．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可知，李华从家到书店途中，提速后的骑行速度为28km/h．
故答案为：28．
②李华在书店学习的时间为4﹣1＝3（h）．
故答案为：3．
③书店到公园的距离为20﹣12＝8（km）．
故答案为：8．
④当4≤x≤4.5时，李华的速度为（20﹣12）÷0.5＝16（km/h），
y＝20﹣16（x﹣4）＝﹣16x+84，
当4.5＜x≤4.9时，y＝12，
当4.9＜x≤5.5时，李华的速度为12÷（5.5﹣4.9）＝20（km/h），
y＝12﹣20（x﹣4.9）＝﹣20x+110，
∴当4≤x≤5.5时，y关于x的函数解析式为y=−16x+84(4≤x≤4.5)12(4.5＜x≤4.9)−20x+110(4.9＜x≤5.5)．
（Ⅲ）当x＝0.5+0.8＝1.3时爸爸到达公园，
当x＝1.3+3.5＝4.8时爸爸离开公园返回，
当x＝4.8+0.8＝5.6时爸爸返回家中，
则爸爸离家的距离y与李华离开家的时间x之间的图象如图所示：
当4.8≤x≤5.6时，爸爸的速度为12÷（5.6﹣4.8）＝15（km/h），
y＝12﹣15（x﹣4.8）＝﹣15x+84，
途中两人相遇时，得y=−20x+110y=−15x+84，
解得x=5.2y=6．
答：途中两人相遇时离家的距离是6km．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
19．（2026•罗湖区模拟）【情境与问题】
在研究二次函数y＝2x2+1时，小明得到了下表：
观察上表，自变量x从左到右依次取连续的整数，若保持这一规律不变，继续扩展表格，那么，表格中的数据间会有什么特殊规律吗？
【探索与发现】
如上表，用一个倒“T”形的套色方框（如图）框住了表格中的四个数，若将套色方框左右移动，可框住另外四个数．设四个数中，上面的数为t，下面三个数从左到右依次为l，m，n（如图）．
（1）写出n与t间的函数关系式为n＝2（t+1）2+1 ．
（2）小明发现：l+n2−m为定值．小明的发现正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【联系与拓广】
（3）①t为何值时，n﹣2m的值最大？
②若二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2026，2028，2030时的函数值分别为p，q，r，且p+r2−q=10，则a＝ 52 ．
【考点】二次函数的应用；规律型：数字的变化类．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】【情境与问题】当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y取最小值为1；在x＝0两侧的数据关于x＝0对称；
【探索与发现】（1）n＝2（t+1）2+1；
（2）小明的发现正确，证明如下：
由题意得，当x＝t﹣1时，y＝l＝2（t﹣1）2+1；当x＝t时，y＝m＝2t2+1，
∴l+n2−m=2(t−1)2+1+2(t+1)2+12−（2t2+1）
=4t2+4+22−2t2﹣1
＝2t2+3﹣2t2﹣1
＝2．
∴小明的发现正确，l+n2−m为定值2；
【联系与拓广】（3）①当t＝1时，n﹣2m取最大值，最大值为3；
②52．
【分析】【情境与问题】依据题意，观察表格数据即可判断得解；
【探索与发现】（1）依据题意得，当x＝t+1时，y＝n，从而n＝2（t+1）2+1，即可得解；
（2）依据题意得，当x＝t﹣1时，y＝l＝2（t﹣1）2+1；当x＝t时，y＝m＝2t2+1，则l+n2−m=2(t−1)2+1+2(t+1)2+12−（2t2+1），进而可以证明得解；
【联系与拓广】（3）①依据题意得，n﹣2m＝2（t+1）2+1﹣2（2t2+1）＝﹣2（t﹣1）2+3，结合﹣2＜0，从而可以得解；
②依据题意得，a×20262+b×2026+c＝p，a×20282+b×2028+c＝q，a×20302+b×2030+c＝r，又p+r2−q=10，则p+r﹣2q＝20，可得a×[（2028﹣2）2+（2028+2）2﹣2×20282）]＝20，进而计算可以得解．
【解答】解：【情境与问题】由题意，根据表格数据可得，
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y取最小值为1；在x＝0两侧的数据关于x＝0对称；
【探索与发现】（1）由题意得，当x＝t+1时，y＝n，
∴n＝2（t+1）2+1．
故答案为：n＝2（t+1）2+1；
（2）小明的发现正确，证明如下：
由题意得，当x＝t﹣1时，y＝l＝2（t﹣1）2+1；当x＝t时，y＝m＝2t2+1，
∴l+n2−m=2(t−1)2+1+2(t+1)2+12−（2t2+1）
=4t2+4+22−2t2﹣1
＝2t2+3﹣2t2﹣1
＝2．
∴小明的发现正确，l+n2−m为定值2；
【联系与拓广】（3）①由题意得，n﹣2m＝2（t+1）2+1﹣2（2t2+1）
＝2t2+4t+2+1﹣4t2﹣2
＝﹣2t2+4t+1
＝﹣2（t﹣1）2+3．
∵﹣2＜0，
∴当t＝1时，n﹣2m取最大值，最大值为3；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2026，2028，2030时的函数值分别为p，q，r，
∴a×20262+b×2026+c＝p，a×20282+b×2028+c＝q，a×20302+b×2030+c＝r．
∵p+r2−q=10，
∴p+r﹣2q＝20．
∴a×（20262+20302）+b×（2026+2030）+2c﹣2（a×20282+b×2028+c）＝20．
∴a×（20262+20302﹣2×20282）+b×（2026+2030﹣2×2028）＝20．
∴a×[（2028﹣2）2+（2028+2）2﹣2×20282）]＝20．
∴8a＝20，则a=52．
故答案为：52．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用、规律型：数字的变化类，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
20．（2025•崂山区模拟）问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当AD＝3时，S'S= 316 ；
（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示S'S．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD=12BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示S'S．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】问题1：
（1）先根据平行线分线段成比例定理可得：CEEA=BDAD=13，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，则S△DECS△ADE=ECAE=13=39，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得：S△ADES△ABC=(34)2=916，可得结论；
（2）解法一：同理根据（1）可得结论；
解法二：作高线DF、BH，根据三角形面积公式可得：S△DECS△ABC=12CE⋅DF12CA⋅BH，分别表示CECA和DFBH的值，代入可得结论；
问题2：
解法一：如图2，作辅助线，构建△OBC，证明△OAD∽△OBC，得OB＝8，由问题1的解法可知：S△CEFS△OBC=S△CEFS△OEF⋅S△OEFS△OBC=4−n4+n×(4+n8)2=16−n264，根据相似三角形的性质得：SABCDS△OBC=34，可得结论；
解法二：如图3，连接AC交EF于M，根据AD=12BC，可得S△ADCS△ABC=12，得：S△ADC=13S，S△ABC=23S，由问题1的结论可知：S△EMCS△ABC=−n2+4n16，证明△CFM∽△CDA，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，根据面积和可得结论．
【解答】解：问题1：
（1）∵AB＝4，AD＝3，
∴BD＝4﹣3＝1，
∵DE∥BC，
∴CEEA=BDAD=13，
∴S△DECS△ADE=ECAE=13=39，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(34)2=916，
∴S△DECS△ABC=316，即S'S=316，
故答案为：316；
（2）解法一：∵AB＝4，AD＝m，
∴BD＝4﹣m，
∵DE∥BC，
∴CEEA=BDAD=4−mm，
∴S△DECS△ADE=CEAE=4−mm，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(m4)2=m216，
∴S△DECS△ABC=S△DECS△ADE⋅S△ADES△ABC=4−mm⋅m216=−m2+4m16，
即S'S=−m2+4m16；
解法二：如图1，过点B作BH⊥AC于H，过D作DF⊥AC于F，则DF∥BH，
∴△ADF∽△ABH，
∴DFBH=ADAB=m4，
∴S△DECS△ABC=12CE⋅DF12CA⋅BH=4−m4×m4=−m2+4m16，
即S'S=−m2+4m16；
问题2：如图2，
解法一：如图2，分别延长BA、CD交于点O，
∵AD∥BC，
∴△OAD∽△OBC，
∴OAOB=ADBC=12，
∴OA＝AB＝4，
∴OB＝8，
∵AE＝n，
∴OE＝4+n，
∵EF∥BC，
由问题1的解法可知：S△CEFS△OBC=S△CEFS△OEF⋅S△OEFS△OBC=4−n4+n×(4+n8)2=16−n264，
∵S△OADS△OBC=(OAOB)2=14，
∴SABCDS△OBC=34，
∴S△CEFSABCD=S△CEF34S△OBC=43×16−n264=16−n248，即S'S=16−n248；
解法二：如图3，连接AC交EF于M，
∵AD∥BC，且AD=12BC，
∴S△ADCS△ABC=12，
∴S△ADC=12S△ABC，
∴S△ADC=13S，S△ABC=23S，
由问题1的结论可知：S△EMCS△ABC=−n2+4n16，
∵MF∥AD，
∴△CFM∽△CDA，
∴S△CFMS△CDA=S△CFM13S=3×S△CFMS=(4−n4)2，
∴S△CFM=(4−n)248×S，
∴S△EFC＝S△EMC+S△CFM=−n2+4n16⋅23S+(4−n)248×S=16−n248×S，
∴S'S=16−n248．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度．
考点卡片
1．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
2．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
3．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
4．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
5．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
6．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
7．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
8．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
9．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
10．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
11．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
12．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
13．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
14．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
15．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
16．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
17．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
18．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=12BC．
19．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
20．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
21．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
22．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
23．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
24．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
25．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
26．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
27．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
28．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
29．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
30．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
31．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．离开家的时间/h
0.1
0.5
0.8
1
3
离家的距离/km
1.2


20

x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y＝2x2+1
…
33
19
9
3
1
3
9
19
33
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
A
C
B
B
C
B
B
离开家的时间/h
0.1
0.5
0.8
1
3
离家的距离/km
1.2
6
14.4
20
20
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y＝2x2+1
…
33
19
9
3
1
3
9
19
33
…