2026中考数学百题冲刺精选-04-创新题 冲刺卷

这是一份2026中考数学百题冲刺精选-04-创新题 冲刺卷，共48页。试卷主要包含了用“Φ”定义一种新运算等内容，欢迎下载使用。
1．（2025•南召县一模）如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地．已知人对木板的压力F（N）与人的质量m（kg）的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为50kg和70kg，且小明和小亮对木板的压强p（Pa）与木板面积S（m2）的关系如图3所示，点A为反比例函数图象p2上的一个动点，过点A分别作x轴和y轴的垂线，交x轴于点M，交y轴于点N，交另一反比例函数图象p1于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为点Q，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ）
A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比
B．图3中图象p1表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系
C．当木板面积为0.2m2时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大1000Pa
D．四边形ANQP的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N
2．（2025•蓬江区校级二模）如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝15cm，连接AC，BD，AC与BD相交于点O，点P从点B出发，沿B→C→D以1cm/s的速度匀速运动到点D，图②是点P运动时，线段OP的长y（cm）随时间t（s）变化的函数关系图象，其中E，F分别是两段曲线的最低点，则AB的长为（ ）
A．5cmB．35cmC．5cmD．55cm
3．（2025•滨海新区一模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为85m，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为y=−110x2+35x+85(0≤x≤8)，得出以下结论：
①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m；
②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m；
③此次训练实心球离地面最大高为2.25m．
其中正确结论的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
4．（2025•潮阳区校级三模）某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离相等，则送奶站C的位置应该在（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025•甘肃模拟）智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作．图1为某款智能机器人送餐时的电路原理图，图中R0为电阻箱（一种变阻器，电阻阻值R0大小可调），R为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值R（Ω）随所受压力F（N）变化的函数图象如图2所示，下列说法正确的是（ ）
A．压力传感器阻值R随所受压力F的增大而增大
B．当F＝0时，压力传感器阻值R＞40Ω
C．当送餐量为15kg时，R＝25Ω
D．为保证智能机器人正常运行，电阻箱阻值R0≥100Ω
6．（2025•中原区校级三模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，点P在AB边上，以1cm/秒的速度从A到B运动，点Q在对角线AC上，以2cm/秒的速度从C到A运动，有一点运动到终点时都停止运动，设运动时间为x秒，△BPQ的面积为y（cm2），若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为（ ）
A．4.8B．7.2C．9.6D．10
7．（2025•山东模拟）用“Φ”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，aΦb=a+b(a≥b)b2−a(a＜b)，则抛物线y＝x2+（2Φ3）x﹣（6Φ4）与x轴交点的个数为（ ）
A．有三个交点B．有两个交点
C．有一个交点D．没有交点
8．（2025•西峡县二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，3)，线段AB∥x轴，AB=23，连接OA，OB，以AB和OA延长线为边构造菱形ABCD，若将四边形OBCD绕点O逆时针每次旋转60°，则第2025次旋转后，点C此时的坐标为（ ）
A．(−43，−6)B．(−6，−43)C．(−33，−6)D．(−6，−33)
9．（2025•嘉兴模拟）定义：抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a，m，k为常数，a＞0）中存在一点P（x0，y0）使得y0−kx0−m=2，则称y0﹣k为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为4，则a的值为（ ）
A．14B．1C．2D．4
10．（2025•河北模拟）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0．且3＜x1x2＜4，则称这个方程为“限根方程”，如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，且3＜−10−3＜4，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”，关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0，嘉嘉说：当m=−724时，该方程是“限根方程”；淇淇说：若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解，对于这两个说法正确的是（ ）
A．嘉嘉说得对，淇淇说得不对
B．嘉嘉说得不对，淇淇说得对
C．嘉嘉和淇淇说得都对
D．嘉嘉和琪淇说得都不对
二．填空题（共5小题）
11．（2026•海州区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“可余点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下．
P(2，1)→余0右P1(3，1)→余1上P2(3，2)→余2左P3(2，2)
若“可余点”Q按上述规则连续平移20次后，到达点Q20（﹣5，16），则点Q的坐标为 ．
12．（2025•镇江模拟）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为 km．
13．（2025•浔阳区校级一模）如图，平面直角坐标系中，在直线y＝x+1和x轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，则第n个等腰直角三角形的直角边长是 ．
14．（2024•成都模拟）在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x=a+c3，y=b+d3，则称点T是点A，B的“和谐点”．如图，已知点D（3，0），点E是直线l：y＝2x+3上任意一点，若点T是点D，E的“和谐点”，直线ET交x轴于点H，当∠TDH为直角时，则点H到直线l的距离为 ．
15．（2024•崇明区二模）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c，（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝x2+2x+3的“关联抛物线”为y＝2x2+x+3．已知抛物线C1：y=6ax2+ax+9a−4(a＞0)的“关联抛物线”为C2，抛物线C2的顶点为P，且抛物C2与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形PMQN是正方形，那么抛物线C1的表达式为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025•海南模拟）综合与实践
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，…，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为：1+2+3+4+⋯+n=n(n+1)2，某数学兴趣小组对“三角形数”进行了研究，活动过程如下：
【规律发现】
数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律：
第1个等式：1+3＝（1+1）2
第2个等式：3+6＝（2+1）2；
第3个等式：6+10＝（3+1）2；
第4个等式：10+15＝（4+1）2；
…
【问题解决】
任务一：第5个等式为 ；
任务二：写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明；
任务三：数学兴趣小组还发现，1×8+1＝9＝33，3×8+1＝25＝52，6×8+1＝49＝72，…，即任意一个“三角形数”乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明．
17．（2025•锡山区校级一模）任意y关于x的函数对于实数m、n（m＜n），若当m≤x≤n时，函数值y的取值范围为2m≤y≤2n，则称m到n（含m、n）这段取值范围为该函数的一个“翻倍取值范围”．
（1）若一次函数y＝ax+b（a＞0）存在“翻倍取值范围”，求a、b的值；
（2）已知二次函数y＝x2+kx+h的图象上有两点（s，t）和（u，t），其中s+u＝4，h＝2，若实数c、d（c＜d）从c到d（含c、d）的取值范围为函数y＝x2+kx+h的“翻倍取值范围”，求c、d的值．
18．（2025•邯山区校级一模）如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为（4，4）．弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是94；
①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点（13，2）？请说明理由．
（3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数y=14x(x＞0)刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是114，若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点E横坐标xE的取值范围 ．
19．（2025•红花岗区校级模拟）问题提出
（1）如图①，已知线段AB，请画出满足∠PAB＝∠PBA≠0°的所有点P组成的图形；
问题探究
（2）如图②，在边长为4的正方形ABCD内部有一点M，当满足∠AMB＝90°时，求△ABM面积的最大值；
问题解决
（3）如图③，某演出场地的三个角落里分别有三盏效果灯A、B、C，其中AC＝12米，AB＝16米，BC＝20米，这三盏效果灯的转动速度相同，且效果灯A与C的灯光始终可汇聚于一点．经过反复调试，发现三盏效果灯的灯光可以同时汇聚于一点P（即∠PBA＝∠PAC＝∠PCA≠0°），请你找出满足条件的点P，并说明理由．若将点P建为该演出场地的一个新角落，求该演出场地（即以点A、B、P、C为顶点的四边形）面积的最大值．
20．（2025•河南模拟）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
（1）如图1，在邻余四边形ABCD中，∠B＝40°，则∠C＝ ；
（2）如图2，在△ABC中，AC=45，BC＝4，DE垂直平分AC交AB于点E，垂足为D，且DE=5，BE＝3，F为BC上一点，求证：四边形AEFC是邻余四边形；
（3）如图3、图4，在邻余四边形ABCD中，E为AB的中点，∠DEC＝90°，
①如图3，当DE⊥AD时，判断四边形BCDE的形状并证明你的结论；
②如图4，当AD＝6，BC＝8时，求CD的长．
2026年中考数学百题精选之创新题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题）
1．（2025•南召县一模）如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地．已知人对木板的压力F（N）与人的质量m（kg）的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为50kg和70kg，且小明和小亮对木板的压强p（Pa）与木板面积S（m2）的关系如图3所示，点A为反比例函数图象p2上的一个动点，过点A分别作x轴和y轴的垂线，交x轴于点M，交y轴于点N，交另一反比例函数图象p1于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为点Q，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ）
A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比
B．图3中图象p1表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系
C．当木板面积为0.2m2时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大1000Pa
D．四边形ANQP的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】跨学科；创新意识．
【答案】D
【分析】结合所给图形及物理知识判断所给选项是否正确即可．
【解答】解：由图2可得：人对木板的压力随人的质量的增大而增大，所以人对木板的压力与人的质量成正比，故A正确，不符合题意；
小明和小亮的质量分别为50kg和70kg，那么小明对木板的压力小于小亮对木板的压力，由物理知识可得：压强=压力面积，结合图3可得：在受力面积相同的情况下，小明对木板的压强小于小亮对木板的压强，所以图3中图象p1表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系，B正确，不符合题意；
设F＝km，
∵经过点（30，300），
∴300＝30m，
解得：m＝10，
∴F＝10m，
当m＝50时，F＝500N，
当m＝70时，F＝700N，
∵木板面积为0.2m2，
∴小明对木板的压强P1=5000.2=2500Pa，
小亮对木板的压强P2=7000.2=3500Pa，
∵3500﹣2500＝1000Pa，
∴当木板面积为0.2m2时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大1000Pa．
∴C正确，不符合题意；
由题意得：小明对木板的压强P1=500s，小亮对木板的压强P2=700s，则四边形ANQP的面积＝700﹣500＝200，也说明小明对木板的压力为500N，小亮对木板的压力＝700N，那么小明、小亮两人对木板的压力相差200N，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题结合动点问题综合考查反比例函数及一次函数的相关知识．结合物理知识及函数知识解决问题是解决本题的关键．
2．（2025•蓬江区校级二模）如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝15cm，连接AC，BD，AC与BD相交于点O，点P从点B出发，沿B→C→D以1cm/s的速度匀速运动到点D，图②是点P运动时，线段OP的长y（cm）随时间t（s）变化的函数关系图象，其中E，F分别是两段曲线的最低点，则AB的长为（ ）
A．5cmB．35cmC．5cmD．55cm
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】动点型；数形结合；面积法；创新意识．
【答案】D
【分析】根据图②中点E的纵坐标为5，可得此时OP⊥BC时OP的值为5；根据点F的纵坐标为35可得OP⊥CD时OP的值为35，易得S△BOC＝S△COD，那么可得CD的长，即为AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，
∴S△BOC＝S△COD，
∵E，F分别是两段曲线的最低点，点E的纵坐标为5，点F的纵坐标为35，
∴△BCO中BC边上的高为5cm，△COD中CD边上的高为35cm，
∵BC＝15cm，
∴12×15×5=12×CD×35，
解得：CD＝55，
∴AB＝55cm．
故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象．结合图象得到动点在相应位置时OP的长度，是解决本题的关键．
3．（2025•滨海新区一模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为85m，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为y=−110x2+35x+85(0≤x≤8)，得出以下结论：
①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m；
②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m；
③此次训练实心球离地面最大高为2.25m．
其中正确结论的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；创新意识．
【答案】B
【分析】依据题意，分别令y＝0、y＝2.1求出x可以判断①②，再由y=−110x2+35x+85=−110（x﹣3）2+2.5，进而可以判断③．
【解答】解：由题意，∵令y=−110x2+35x+85=0，
∴x＝﹣2或x＝8．
∴此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m，故①正确．
又令y=−110x2+35x+85=2.1，
∴x＝1或x＝5．
∴此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m，故②正确．
又∵y=−110x2+35x+85=−110（x﹣3）2+2.5，
∴此次训练实心球离地面最大高为2.5m，故③错误．
综上，正确的有2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
4．（2025•潮阳区校级三模）某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离相等，则送奶站C的位置应该在（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】作图—应用与设计作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；创新意识．
【答案】B
【分析】连接AB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点在AB的垂直平分线上．
【解答】解：连接AB，使A，B两小区到送奶站的距离相等，所以此点在AB的垂直平分线上．
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了作线段的垂直平分线，以及作对称点，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
5．（2025•甘肃模拟）智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作．图1为某款智能机器人送餐时的电路原理图，图中R0为电阻箱（一种变阻器，电阻阻值R0大小可调），R为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值R（Ω）随所受压力F（N）变化的函数图象如图2所示，下列说法正确的是（ ）
A．压力传感器阻值R随所受压力F的增大而增大
B．当F＝0时，压力传感器阻值R＞40Ω
C．当送餐量为15kg时，R＝25Ω
D．为保证智能机器人正常运行，电阻箱阻值R0≥100Ω
【考点】反比例函数的应用．
【专题】跨学科；数形结合；应用意识；创新意识．
【答案】B
【分析】结合所给函数图象及条件判断出所给选项是否正确即可．
【解答】解：A．观察函数图象可得：压力传感器阻值R随所受压力F的增大而减小，故A错误，不符合题意；
B．观察函数图象可得：当F＝0时，压力传感器阻值R＞40Ω，故B正确，符合题意；
C．当送餐量为15kg时，压力F为150N，R＝20，故C错误，不符合题意；
D．智能机器人送餐一次的最大送餐量为15kg，压力F为150N，R＝20，根据R总要求不低于140Ω，R总＝R0+R，可得R0≥120Ω，故D错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的应用．结合函数图象及所给条件用数形结合的方法判断出所给选项是否正确是解决本题的关键．
6．（2025•中原区校级三模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，点P在AB边上，以1cm/秒的速度从A到B运动，点Q在对角线AC上，以2cm/秒的速度从C到A运动，有一点运动到终点时都停止运动，设运动时间为x秒，△BPQ的面积为y（cm2），若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为（ ）
A．4.8B．7.2C．9.6D．10
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】动点型；函数及其图象；创新意识．
【答案】C
【分析】易得S△ABC＝24，进而判断出BC及AC的长度，作QM⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，根据∠QCM和∠PAN的正弦值可得QM和PN的长度，根据S△BPQ＝S△ABC﹣S△APQ﹣S△BCQ即可求得a的值．
【解答】解：由图2得：函数图象过（0，12），
∴S△ABC＝24，AC＝5×2＝10，
∵AB＝6，
∴BC=24×26=8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC=62+82=10，
当x＝2时，AP＝2，CQ＝4，如图：作QM⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，则∠QMC＝∠ANP＝90°，AQ＝10﹣4＝6，
∵sin∠QCM=QMQC=ABAC，sin∠PAN=PNAP=BCAC，
∴QM4=610，PN2=810，
解得：QM＝2.4，PN＝1.6，
∴S△BPQ＝S△ABC﹣S△APQ﹣S△BCQ
＝24−12×6×1.6−12×8×2.4
＝9.6，
∴a＝9.6，
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象的相关知识．结合图形和所给的函数图象，判断出图形中关键线段的长度是解决本题的关键．
7．（2025•山东模拟）用“Φ”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，aΦb=a+b(a≥b)b2−a(a＜b)，则抛物线y＝x2+（2Φ3）x﹣（6Φ4）与x轴交点的个数为（ ）
A．有三个交点B．有两个交点
C．有一个交点D．没有交点
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】新定义；创新意识．
【答案】B
【分析】先根据新运算法则确定二次函数解析式，再根据一元二次方程根和系数的关系求解即可．
【解答】解：由题意可知，（2Φ3）＝32﹣2＝7，(6Φ4)=6+4=8，
∴y＝x2+7x﹣8，
令y＝0，则x2+7x﹣8＝0，
∵Δ＝72﹣4×（﹣8）＝81＞0，
∴抛物线y＝x2+（2Φ3）x﹣（6Φ4）与x轴交点的个数为有两个交点，
故选：B．
【点评】本题考查了新定义实数法则，二次函数与x轴的交点问题，掌握一次函数的二次函数与x轴的交点和一元二次方程的根的关系是解题关键．
8．（2025•西峡县二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，3)，线段AB∥x轴，AB=23，连接OA，OB，以AB和OA延长线为边构造菱形ABCD，若将四边形OBCD绕点O逆时针每次旋转60°，则第2025次旋转后，点C此时的坐标为（ ）
A．(−43，−6)B．(−6，−43)C．(−33，−6)D．(−6，−33)
【考点】菱形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】A
【分析】根据点A的坐标求出OA的长，进而得到A为OD的中点，求出D点坐标，进而求出C点坐标，根据每经过360°÷60°＝6次，回到原位置，求出第2025次旋转后的位置，进行求解即可．
【解答】解：∵点A的坐标为(3，3)，线段AB∥x轴，AB=23，
∴OA=32+(3)2=23，
∵以AB和OA延长线为边构造菱形ABCD，
∴CD=AD=AB=23=OA，CD∥AB∥x轴，
∴A为OD的中点，
∴D(23，6)，
∴C(43，6)，
∵将四边形OBCD绕点O逆时针每次旋转60°，则每经过360°÷60°＝6次，回到原位置，
∵2025÷6＝337⋯3，
∴第2025次旋转后跟第3次旋转后的位置相同，
∵60°×3＝180°，
∴四边形OBCD绕点O逆时针旋转了180°，此时与原位置关于原点对称，
∴旋转后的C点坐标为：(−43，−6)；
故选：A．
【点评】本题考查坐标旋转中的规律探究，解直角三角形，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
9．（2025•嘉兴模拟）定义：抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a，m，k为常数，a＞0）中存在一点P（x0，y0）使得y0−kx0−m=2，则称y0﹣k为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为4，则a的值为（ ）
A．14B．1C．2D．4
【考点】二次函数的应用．
【专题】新定义；应用意识；创新意识．
【答案】B
【分析】把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得m和k的值，易得y0﹣k＝4，则可得用a表示的y0的值及x0﹣m的值，进而可得用a表示的x0的式子，把用a表示的P（x0，y0）代入抛物线解析式，可得a的值．
【解答】解：∵y＝ax2+2ax+1＝a（x2+2x+1）+1﹣a＝a（x+1）2+1﹣a，
∴m＝﹣1，k＝1﹣a，
∵抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为4，
∴y0﹣k＝4，
∴y0＝4+k＝4+1﹣a＝5﹣a，
∵y0−kx0−m=2，
∴x0﹣m＝2，
∴x0＝m+2＝﹣1+2＝1，
∴5﹣a＝a（1+1）2+1﹣a，
解得：a＝1．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；难点是得到用a表示的点P的坐标．
10．（2025•河北模拟）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0．且3＜x1x2＜4，则称这个方程为“限根方程”，如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，且3＜−10−3＜4，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”，关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0，嘉嘉说：当m=−724时，该方程是“限根方程”；淇淇说：若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解，对于这两个说法正确的是（ ）
A．嘉嘉说得对，淇淇说得不对
B．嘉嘉说得不对，淇淇说得对
C．嘉嘉和淇淇说得都对
D．嘉嘉和琪淇说得都不对
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】新定义；分类讨论；创新意识．
【答案】A
【分析】把m=−724代入所给方程，求得相应的解，即可判断这个方程是否为“限根方程”，可得到嘉嘉的说法是否正确；进而解关于x的方程，根据新定义得到m的取值范围，看是否存在合适的m的整数解即可判断淇淇的说法是否正确．
【解答】解：①当m=−724时，原方程为：x2+3124x+724=0，
（x+1）（x+724）＝0，
∵x1＜x2＜0，
∴x1＝﹣1，x2=−724，
∴x1x2=247，
∵3＜247＜4，
∴当m=−724时，该方程是“限根方程”，嘉嘉说得对；
②x2+（1﹣m）x﹣m＝0，
（x+1）（x﹣m）＝0，
∴x＝﹣1或x＝m，
Ⅰ、﹣1＜m＜0，
∴3＜−1m＜4，
解得：−13＜m＜−14，
∴m无整数解；
Ⅱ、m＜﹣1＜0，
∴3＜m−1＜4，
解得：﹣4＜m＜﹣3，
∴m无整数解；
∴淇淇说得不对．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程中新定义的应用．理解新定义的意义并灵活应用是解决本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2026•海州区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“可余点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下．
P(2，1)→余0右P1(3，1)→余1上P2(3，2)→余2左P3(2，2)
若“可余点”Q按上述规则连续平移20次后，到达点Q20（﹣5，16），则点Q的坐标为 （3，6）或（5，6） ．
【考点】位似变换；规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】（3，6）或（5，6）．
【分析】先分别计算余0，1，2的点的平移规律，然后分两种情况进行反方向平移求解即可．
【解答】解：根据已知：点P3（2，2）横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P4（2，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P5（1，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为：
①若“可余点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；
②若“可余点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为1时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；
③若“可余点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为2时，则按照向左、向上，向左、向上不断重复的规律平移；
若“可余点”Q按上述规则连续平移20次后，到达点Q20（﹣5，16），则按照“可余点”Q20（﹣5，16）反向运动20次即可，可以分为两种情况：
若按照②或③方式：则Q20（﹣5，16）向右平移10次，向下平移10次即为“可余点”Q，则Q（﹣5+10，16﹣10），即Q（5，6）；
若按照①方式：则Q20（﹣5，16）需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则Q（﹣5+9﹣1，16﹣10），即Q（3，6），
综上：点Q的坐标为（3，6）或（5，6）
故答案为：（3，6）或（5，6）．
【点评】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是解题的关键．
12．（2025•镇江模拟）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为 36 km．
【考点】路线选择问题．
【专题】探究型；数据分析观念；创新意识．
【答案】36
【分析】根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天+当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可．
【解答】解：∵“高强度”要求前一天必须“休息”，
∴当“高强度”的徒步距离＞前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最远，
∵15＞6+6，12＞6+5，
∴适合选择“高强度”的是第三天和第四天，
又∵第一天可选择“高强度”，
∴方案①第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”，
此时徒步距离为：12+0+15+5+4＝36（km），
方案②第一天选择“高强度”，第二天选择“低强度”，第三天选择“休息”，第四天选择“高强度”，第五天选择“低强度”，
此时徒步距离为：12+6+0+12+4＝34（km），
综上，徒步的最远距离为36km．
【点评】本题主要考查最优路线选择，找出适合选择“高强度”的时间是解题的关键．
13．（2025•浔阳区校级一模）如图，平面直角坐标系中，在直线y＝x+1和x轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，则第n个等腰直角三角形的直角边长是 2n﹣1 ．
【考点】勾股定理；等腰直角三角形；一次函数的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；创新意识．
【答案】2n﹣1．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线y＝x+1与y轴的交点坐标，进入可得出第1个等腰直角三角形直角边的长，结合三角形的面积公式，可得出第1个等腰直角三角形的面积，同理，可求出第2，3，4个等腰直角三角形直角边的长及面积，根据数的变化，可找出“第n个等腰直角三角形直角边的长为2n﹣1．
【解答】解：当x＝0时，y＝0+1＝1，
∴直线y＝x+1与y轴交于点（0，1），
∴第1个等腰直角三角形直角边的长为1，
当x＝1时，y＝1+1＝2，
∴第2个等腰直角三角形直角边的长为2，
当x＝3时，y＝3+1＝4，
∴第3个等腰直角三角形直角边的长为4，
当x＝7时，y＝7+1＝8，
∴第4个等腰直角三角形直角边的长为8，
……，
∴第n个等腰直角三角形直角边的长为2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
【点评】本题考查了规律型：数的变化、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，根据各等腰直角三角形面积的变化，找出变化规律“第n个等腰直角三角形直角边的长为2n﹣1．
14．（2024•成都模拟）在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x=a+c3，y=b+d3，则称点T是点A，B的“和谐点”．如图，已知点D（3，0），点E是直线l：y＝2x+3上任意一点，若点T是点D，E的“和谐点”，直线ET交x轴于点H，当∠TDH为直角时，则点H到直线l的距离为 655 ．
【考点】一次函数综合题．
【专题】新定义；待定系数法；面积法；创新意识．
【答案】655．
【分析】设点E的坐标为（x，2x+3），根据点T是点D，E的“和谐点”，表示出点T的坐标，进而根据∠TDH为直角可得点T和点D的横坐标相同得到x的值，即可求得点E和点T的坐标；求得直线ET的解析式，进而求得点H的坐标；作HM⊥l于点M，求得AE和AH的长度，根据△AEH的面积的不同表示方法求出点H到直线l的距离．
【解答】解：设点E的坐标为（x，2x+3），
∵点D（3，0），点T是点D，E的“和谐点”，
∴点T的坐标为（3+x3，2x+33）．
∵∠TDH＝90°，
∴点T的横坐标和点D的横坐标相同，
∴3+x3=3．
解得：x＝6．
∴点E的坐标为（6，15），点T的坐标为（3，5）．
设直线ET的解析式为y＝kx+n（k≠0）．
∴6k+n=153k+n=5，
解得：k=103n=−5，
∴直线ET的解析式为y=103x﹣5．
当y＝0时，x＝1.5．
∴点H的坐标为（1.5，0）．
∴OH=32．
作HM⊥l于点M．
由题意得：y＝2x+3与x轴的交点A为（﹣1.5，0），
∴E点的，横坐标为6+1.5＝7.5，
∴AE=7.52+152=1525，AH＝3．
∵S△AHE=12AH×15=12AE•MH．
∴MH=655．
故答案为：655．
【点评】本题考查一次函数的相关知识．理解新定义的意义并灵活应用是解决本题的关键．
15．（2024•崇明区二模）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c，（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝x2+2x+3的“关联抛物线”为y＝2x2+x+3．已知抛物线C1：y=6ax2+ax+9a−4(a＞0)的“关联抛物线”为C2，抛物线C2的顶点为P，且抛物C2与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形PMQN是正方形，那么抛物线C1的表达式为 y=32x2+14x−74 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；正方形的性质；关于x轴、y轴对称的点的坐标；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】新定义；函数思想；二次函数的应用；创新意识．
【答案】y=32x2+14x−74
【分析】易得C2的解析式，可判断出C2的顶点坐标P，进而可得点Q的坐标．根据四边形PMQN是正方形，可得对角线互相平分且相等，那么可得点N的坐标，代入C2的解析式可得a的值，代入C1即可得到所求的函数解析式．
【解答】解：∵抛物线C1：y＝6ax2+ax+9a﹣4（a＞0）的“关联抛物线”为C2，
∴C2的解析式为：y＝ax2+6ax+9a﹣4（a＞0）．
∴对称轴为：x=−6a2a=−3．
∴顶点P坐标为（﹣3，﹣4）．
∵点P关于x轴的对称点为Q，
∴点Q坐标为：（﹣3，4）．
∵四边形PMQN是正方形，抛物C2与x轴相交于M、N两点，
∴MN＝PQ＝8，PQ与MN互相平分，PQ的中点坐标为（﹣3，0）．
设点N在点M的右边．
∴点N的横坐标为：﹣3+4＝1．
∴点N的坐标为（1，0）．
∴a+6a+9a﹣4＝0．
解得：a=14．
∴抛物线C1的表达式为：y=32x2+14x−74．
【点评】本题考查二次函数中的新定义问题．理解新定义的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：若二次函数中只有一个未知系数，一般会判断出二次函数的对称轴；正方形的对角线互相垂直平分且相等．
三．解答题（共5小题）
16．（2025•海南模拟）综合与实践
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，…，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为：1+2+3+4+⋯+n=n(n+1)2，某数学兴趣小组对“三角形数”进行了研究，活动过程如下：
【规律发现】
数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律：
第1个等式：1+3＝（1+1）2
第2个等式：3+6＝（2+1）2；
第3个等式：6+10＝（3+1）2；
第4个等式：10+15＝（4+1）2；
…
【问题解决】
任务一：第5个等式为 15+21＝（5+1）2 ；
任务二：写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明；
任务三：数学兴趣小组还发现，1×8+1＝9＝33，3×8+1＝25＝52，6×8+1＝49＝72，…，即任意一个“三角形数”乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明．
【考点】整式的混合运算；列代数式；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】任务一：15+21＝（5+1）2；
任务二：n(n+1)2+(n+1)(n+2)2=(n+1)2，证明如下：
等式左边=n(n+1)2+(n+1)(n+2)2=n2+n2+n2+3n+22=2n2+4n+22=(n+1)2，
等式右边＝（n+1）2，
∴等式左边＝等式右边，
∴等式成立；
任务三：该结论可表示为：m(m+1)2×8+1=(2m+1)2，证明如下：
等式左边＝4m（m+1）+1＝4m2+4m+1＝（2m+1）2，
等式右边＝（2m+1）2，
∴等式左边＝等式右边，
∴等式成立，
∴任意一个“三角形数”乘8再加1都是一个完全平方数．
【分析】任务一：分别得到等式左边的两个数及等式右边的底数即可；
任务二：根据题意即可写出第n个等式，把等式左边进行通分，整理，看是否等于等式右边即可；
任务三：根据规律得到等式并化简即可证明．
【解答】解：任务一：等式左边的第一个数为：1+2+3+4+5＝15，第2个数为：1+2+3+4+5+6＝21，等式右边的底数为：5+1，
故答案为：15+21＝（5+1）2；
任务二：n(n+1)2+(n+1)(n+2)2=(n+1)2，证明如下：
等式左边=n(n+1)2+(n+1)(n+2)2=n2+n2+n2+3n+22=2n2+4n+22=(n+1)2，
等式右边＝（n+1）2，
∴等式左边＝等式右边，
∴等式成立；
任务三：根据题意，设任意一个“三角形数”用m(m+1)2表示，
则该结论可表示为：m(m+1)2×8+1=(2m+1)2，证明如下：
等式左边＝4m（m+1）+1＝4m2+4m+1＝（2m+1）2，
等式右边＝（2m+1）2，
∴等式左边＝等式右边，
∴等式成立，
∴任意一个“三角形数”乘8再加1都是一个完全平方数．
【点评】本题主要考查整式的混合运算的应用．正确理解“三角形数”的概念是解题的关键．
17．（2025•锡山区校级一模）任意y关于x的函数对于实数m、n（m＜n），若当m≤x≤n时，函数值y的取值范围为2m≤y≤2n，则称m到n（含m、n）这段取值范围为该函数的一个“翻倍取值范围”．
（1）若一次函数y＝ax+b（a＞0）存在“翻倍取值范围”，求a、b的值；
（2）已知二次函数y＝x2+kx+h的图象上有两点（s，t）和（u，t），其中s+u＝4，h＝2，若实数c、d（c＜d）从c到d（含c、d）的取值范围为函数y＝x2+kx+h的“翻倍取值范围”，求c、d的值．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】新定义；创新意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意和一次函数的性质，可以求得a、b的值；
（2）根据题意和二次函数的性质，可以求得c、d的值．
【解答】解：（1）∵a＞0，
∴一次函数 y＝ax+b 中y随x增大而增大，
∵一次函数 y＝ax+b 存在“翻倍取值范围”，
∴当 x＝m 时，y＝2m，当 x＝n 时，y＝2n，
即一次函数 y＝ax+b 的图象过点（m，2m）、（n，2n），
∴2m=am+b2n=an+b，
解得a=2b=0，
∴a＝2，b＝0；
（2）∵h＝ 2，
∴y＝x2+kx+2，
∵两点（s，t）和（u，t）在抛物线上且为对称点，s+u＝4，
∴−k2=s+u2=2，
∴k＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
当c≥2时，2c＝c2﹣4c+2，2d＝d2﹣4d+2，
解得c＝3±7，d＝3±7，
∵c＞2，d＞c，
∴不符合题意；
当d≤2时，2d＝c2﹣4c+2，2c＝d2﹣4d+2，
解得c＝1±3，d＝1±3，
∵d＞c，
∴不符合题意；
当c＜2＜d时，2c＝﹣2，
∴c＝﹣1；
当2d＝d2﹣4d+2时，解得d＝3+7或3−7（舍）；
当2d＝c2﹣4c+2时，解得d=72；
综上所述：c＝﹣1，d＝3+7或72．
【点评】本题考查一次函数和二次函数的性质，题的关键是理题意，灵活运用所学知识决问题，属于中考常考题型．
18．（2025•邯山区校级一模）如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为（4，4）．弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是94；
①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点（13，2）？请说明理由．
（3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数y=14x(x＞0)刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是114，若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点E横坐标xE的取值范围 xE≥10 ．
【考点】二次函数的应用．
【专题】动点型；数形结合；待定系数法；二次函数的应用；应用意识；创新意识．
【答案】（1）抛物线L的解析式为：y=−14（x﹣4）2+4；
（2）①点A的横坐标为8；
②反弹后的小球不经过点（13，2），理由见解答部分；
（3）xE≥10．
【分析】（1）用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把（0，0）代入可得a的值，即可求得抛物线L的解析式；
（2）①取（1）中的y＝0，求得合适的x的解即为点A的横坐标；
②求出反弹后的抛物线解析式，取x＝13，看y是否是2可得反弹后的小球是否经过点（13，2）；
（3）求得抛物线L与一次函数的交点D，进而求得反弹后的抛物线解析式，那么可求得反弹后的抛物线与一次函数的交点，则挡板的端点E在反弹后的抛物线与一次函数的交点或者交点的右边．
【解答】解：（1）设抛物线L的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，
∵经过点（0，0），
∴0＝a（0﹣4）2+4，
解得：a=−14，
∴抛物线L的解析式为：y=−14（x﹣4）2+4；
（2）①当y＝0时，0=−14（x﹣4）2+4，
（x﹣4）2＝16，
（x﹣4）2＝±4，
解得：x1＝0，x2＝8，
∴点A的横坐标为8；
②反弹后的小球不经过点（13，2），理由如下：
由题意得：反弹后的抛物线的顶点的纵坐标为94，二次项的系数不变，
∴设反弹后的抛物线解析式为：y=−14（x﹣h）2+94，
∵过点（8，0），
∴0=−14（8﹣h）2+94，
（8﹣h）2＝9，
8﹣h＝±3，
解得：h1＝5（不合题意，舍去），h2＝11，
∴y=−14（x﹣11）2+94，
当x＝13时，y=54≠2，
∴反弹后的小球不经过点（13，2）；
（3）由题意得：y=−14(x−4)2+4y=14x，
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝7，
∴点D的坐标为（7，74），
设反弹后的抛物线解析式为：y=−14（x﹣m）2+114，
∵经过点D（7，74），
∴74=−14（7﹣m）2+114，
解得：m1＝5（不合题意，舍去），m2＝9，
∴y=−14（x﹣9）2+114，
∴y=−14(x−9)2+114y=14x，
解得：x1＝7（不合题意，舍去），x2＝10，
∴反弹后抛物线与挡板的交点的横坐标为10，
∴挡板端点E横坐标xE的取值范围是xE≥10．
故答案为：xE≥10．
【点评】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的函数解析式是解决本题的关键．
19．（2025•红花岗区校级模拟）问题提出
（1）如图①，已知线段AB，请画出满足∠PAB＝∠PBA≠0°的所有点P组成的图形；
问题探究
（2）如图②，在边长为4的正方形ABCD内部有一点M，当满足∠AMB＝90°时，求△ABM面积的最大值；
问题解决
（3）如图③，某演出场地的三个角落里分别有三盏效果灯A、B、C，其中AC＝12米，AB＝16米，BC＝20米，这三盏效果灯的转动速度相同，且效果灯A与C的灯光始终可汇聚于一点．经过反复调试，发现三盏效果灯的灯光可以同时汇聚于一点P（即∠PBA＝∠PAC＝∠PCA≠0°），请你找出满足条件的点P，并说明理由．若将点P建为该演出场地的一个新角落，求该演出场地（即以点A、B、P、C为顶点的四边形）面积的最大值．
【考点】四边形综合题．
【专题】综合题；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力；创新意识．
【答案】（1）见详解；（2）见详解，面积最大值是4；（3）（96+127）平方米．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线MN，除与AB的交点外，直线MN上所有点都满足P点的条件；
（2）以AB为直径作⊙O，当△ABM的底边AB的高为半径时，△ABM的面积最大，计算最大面积即可；
（3）作线段AC的垂直平分线l，则点P一定在直线l上，分别以AB为直径作⊙M交线段AC的垂直平分线l于点P1、P2和以BC为直径作⊙N与直线l交于点P3，利用△HAP2∽△HP2B求出P2D＝AH＝AB﹣BH＝16﹣（8﹣27）＝8+27，继而求出四边形面积，再根据条件求出S四边形ABCP3＝108，两者比较得到四边形的最大值即可．
【解答】解：（1）如图①，
作线段AB的垂直平分线MN，则直线MN即为所求（与AB的交点除外）；
（2）如图②，以AB为直径作⊙O，
∵∠AMB＝90°，
∴点M在⊙O上，
当△ABM的底边AB的高为半径时，△ABM的面积最大，
∴S△ABM=12×4×2＝4，
即△ABM的面积最大值是4；
（3）∵AC＝12米，AB＝16米，BC＝20米，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
∵三盏效果灯的灯光可以同时汇聚于一点P，∠PBA＝∠PAC＝∠PCA≠0°，
如图3，作线段AC的垂直平分线l，则点P一定在直线l上，
以AB为直径作⊙M，交线段AC的垂直平分线l于点P1、P2、此时，P1、P2即为满足条件的P点，理由如下：
∵AB是⊙M的直径，
∴∠BPA＝90°，
∴∠PBA+∠PAB＝∠PAB+∠PAC，
∴∠PBA＝∠PAC＝∠PCA，
显然，当点P位于P2处时，四边形ABPC的面积最大，
过点P2作P2H⊥AB，垂足为H，设AC与直线l交于点D，则四边形HADP2为矩形，
∴P2H＝AD=12AC＝6，
∵∠HAP2+∠HP2A＝∠HP2A+∠BP2H＝90°，
∴∠HAP2＝∠BP2H，
∴△HAP2∽△HP2B，
∴HP2HA=HBHP2，
设BH＝x，则AH＝16﹣x，
∴616−x=x6，
解得x＝8﹣27或x＝8+27（舍去），
∴P2D＝AH＝AB﹣BH＝16﹣（8﹣27）＝8+27，
∴S四边形ABP2C＝S△ABP2+S△AP2C=12×16×6+12×12×(8+27)=96+127（平方米），
如图④，以BC为直径作⊙N与直线l交于点P3，此时P3即为满足条件的点P，理由如下：
∵∠P3BA＝∠P3CA，
∴∠P3BA＝∠P3CA＝∠P3AC，
此时，S四边形ABCP3＝S△ABN+S四边形ANCP3=12S△ABC+12AC•NP3＝48+60＝108（平方米），
∵96+127＞108，
∴该演出场地（即以点A、B、P、C为顶点的四边形）面积的最大值为（96+127）平方米．
【点评】本题考查了四边形综合应用，熟练掌握线段垂直平分线作法和最值求法是关键．
20．（2025•河南模拟）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
（1）如图1，在邻余四边形ABCD中，∠B＝40°，则∠C＝ 50° ；
（2）如图2，在△ABC中，AC=45，BC＝4，DE垂直平分AC交AB于点E，垂足为D，且DE=5，BE＝3，F为BC上一点，求证：四边形AEFC是邻余四边形；
（3）如图3、图4，在邻余四边形ABCD中，E为AB的中点，∠DEC＝90°，
①如图3，当DE⊥AD时，判断四边形BCDE的形状并证明你的结论；
②如图4，当AD＝6，BC＝8时，求CD的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】新定义；多边形与平行四边形；推理能力；创新意识．
【答案】（1）50°；
（2）证明详见解答；
（3）①四边形BCDE为平行四边形，证明详见解答；
②CD的长为10．
【分析】（1）根据邻余四边形的定义即可作答；
（2）DE垂直平分AC，AD=12AC，AE=AD2+DE2，根据勾股定理逆定理，BC2+AB2＝AC2，即可证明；
（3）①四边形ABCD是邻余四边形，∠A+∠B＝90°，进而推出△ADE≌△AECB（ASA），AD＝CE，四边形AECD是平行四边形，进而即可证明；
②延长CE到点F，使得EF＝CE，连接AF、DF，推出△CEB≌△FEA（SAS），∠DAF＝90°，则DF=AD2+AF2，进而作答即可．
【解答】解：（1）∵邻余四边形ABCD，∠C为锐角，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50°；
（2）证明：∵DE垂直平分AC，
∴AD=12AC=25，
∵DE=5，
∴AE=AD2+DE2=(25)2+(5)2=5，
∵BE＝3，BC＝4，
∴AB＝8，
∴BC2+AB2＝42+82＝80，
∵AC2＝（45）2＝80，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠B＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴四边形AEFC是邻余四边形；
（3）①四边形BCDE为平行四边形，
∵四边形ABCD是邻余四边形，
∴∠A+∠B＝90°，
∵DE⊥AD，
∵∠ADE＝90°，
∵∠DEC＝90°，
∴AD∥CE，∠A+∠DEA＝90°，
∴∠B＝∠DEA，∠A＝∠CEB，
∵E是AB中点，
∴AE＝BE，
∴△ADE≌△AECB（ASA），
∴AD＝CE，
又AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CD＝AE，CD∥AE，
∵A、E、B三点共线且AE＝BE，
∴CD＝BE．CD∥BE，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∵DEC＝90°，
∴AD∥CE，∠A+∠DEA﹣＝90°，
∴∠B＝∠DEA，∠A＝∠CEB，
∵E是AB中点，
∴AE＝BE，
∴△ADE≌△ECB（ASA），
∴AD＝CE，
又∵AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CD＝AE，CD∥AE，
∵A、E、B三点共线，AE＝BE，
∴CD＝BE，CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形；
②如图，延长CE到点F，使得EF＝CE，连接AF、DF，
∵AE＝BE，EF＝CE，∠CEB＝∠FEA，
∴△CEB≌△FEA（SAS），
∴AF＝BC＝8，∠B＝∠EAF，
∵四边形ABCD是邻余四边形，
∴∠B+∠DAB＝90°，
∴∠EAF+∠DAB＝90°，即∠DAF＝90°，
∴DF=AD2+AF2=62+82=10，
∵DE⊥CF，CE＝EF，
∴CD＝DF＝10，
∴CD的长为10．
【点评】本题考查三角形全等，四边形综合题，新定义问题，解题的关键是理解新定义，作辅助线．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
3．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
4．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
5．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
6．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
7．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
8．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
9．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
10．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
11．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
12．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
13．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
14．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
15．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
16．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
18．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
19．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
20．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
21．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
22．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
23．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
24．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
25．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
26．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
27．路线选择问题
路线选择问题．
通常是选取最短路线：
两点之间线段最短；
三角形任意两边长大于第三边，任意两边差小于第三边；
直线外一点到直线距离，垂线段最短．信息窗
1．电路中的R总＝R0+R（触发器电阻忽略不计）；
2．为保证智能机器人的正常运行，智能机器人送餐一次的最大送餐量（餐盘质量不计）为15kg，压力F为150N（g取10N/kg），R总要求不低于140Ω．
日期
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
低强度
8
6
6
5
4
高强度
12
13
15
12
8
休息
0
0
0
0
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
B
B
C
B
A
B
A
信息窗
1．电路中的R总＝R0+R（触发器电阻忽略不计）；
2．为保证智能机器人的正常运行，智能机器人送餐一次的最大送餐量（餐盘质量不计）为15kg，压力F为150N（g取10N/kg），R总要求不低于140Ω．
日期
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
低强度
8
6
6
5
4
高强度
12
13
15
12
8
休息
0
0
0
0
0