2026年中考数学三轮复习 考点突破 专题2 一次与二次方程 练习（含解析）

这是一份2026年中考数学三轮复习 考点突破 专题2 一次与二次方程 练习（含解析），共8页。试卷主要包含了中考中的“一次方程”，中考中的“一元二次方程”等内容，欢迎下载使用。
1． 已知关于x的一元一次方程3x-ax+4a=0，当方程的解为x=1时，a的值为 .
2．解方程组： 4x−5y=33x−y=5
3．我国古代《算法统宗》里有这样的记载：“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多六客，一房八客一房空.”后两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房.若设该店有房客x人，客房y间，则下列二元一次方程组正确的是( )
A．7y+6=x8(y−1)=xB．7y+6=x8y−1=x
C．7y−6=x8y−1=xD．7y−6=x8(y−1)=x
4．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A．5x+6y=165x+y=6y+xB．5x+6y=164x+y=5y+x
C．6x+5y=166x+y=5y+xD．6x+5y=165x+y=4y+x
5．某校九（1）班部分学生参加社会实践活动，实践基地有宿舍若干间.如果每间宿舍住4人，那么有2人没有宿舍住；如果每间宿舍住6人，那么会空出一间宿舍.设宿舍有x间，学生有y人，则可列出方程组为（ ）
A．4x=y−26(x−1)=yB．4x=y−26(x+1)=y
C．4x=y+26(x−1)=yD．4x=y+26(x+1)=y
6．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价．
（2）该企业现计划用960万元采购A型和B型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．
二、中考中的“一元二次方程”
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x+2y−1=0B．x−5=0C．2x+6=0D．x2−1=0
8．若x=1是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，则m=（ ）
A．−2B．4C．−4D．2
9．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是( )
A．x2=0B．x2+1=0C．x2−x=0D．x2−6x+9=0
10．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200(1+x)2=242B．200(1−x)2=242
C．200(1+2x)=242D．200(1−2x)=242
11．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．1441−x2=121B．1441+x3=121
C．1441−2x2=121D．1441+2x=121
12．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步?”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步?”设长为x步，则下列方程正确的是（ ）
A．x（x-12）=864B．x（x+12）=864
C．x（12-x）=864D．2（x+x+12）=864
13．若m，n是方程x2+5x−3=0的两个根，则m2n+mn2−14= ．
14．若关于x的一元二次方程 x2−3x−c=0有实数根，则最小整数c = .
15．若m 是方程 x2−x−1=0的较大根，求 m+1m的值.
16．若a，b 是方程 x2−3x−1=0的两个根，则 a2+b2的值等于 .
17．使得方程x2+3x+c=0有实数根的最大的整数c= ．
18． 解方程：3(x+4)=(x+4)(x+1)．
19．在用配方法解方程x2−2x−1=0时，小颖的解法如图：
请回答：
（1）小颖的解答过程从第 步开始出现错误；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
20． 解方程：
小江同学：
解一元二次方程 x2−2x=3时，小江同学的解法如图所示：
（1）你认为 x1=1是原方程的解吗?请检验(写出检验过程)：
（2）请选择合适的方法解原方程．
21．小李与小王两位同学解方程2(x−2)=(x−2)2的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程。
22．已知a、b为整数，方程3x2－3(a＋b)x＋4ab＝0的两个实数根满足α、β满足α(α＋1)＋β(β＋1)＝(α＋1)(β＋1)．试求所有的整数对（a，b）．
23．利用以下素材解决问题．
答案解析部分
1．【答案】- 1
【解析】【解答】解：把x=1代入原方程，得：3-a+4a=0，
解得：a=-1
故答案为：-1.
【分析】首先根据方程的解的意义，可得出3-a+4a=0，进而解关于a的方程，即可求得a的值。
2．【答案】解： 4x−5y=3①3x−y=5②
①－②×5得4x-15x=3-25，
解得x=2，
把x=2代入①得8-5y=3，
解得y=1，
∴方程组的解为x=2y=1.
【解析】【分析】先根据①－②×5消去y，求出x的值，然后代入①求出y的值解答即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得： 7x+6=y8(x−1)=y,
故选： A.
【分析】设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多六客，一房八客一房空”得出方程组即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
5x+6y=164x+y=5y+x
故选：B.
【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：设宿舍有x间，学生有y人，可列方程组 4x=y−26(x−1)=y，
故答案为：A .
【分析】根据两种住宿安排的描述，分别找出宿舍间数、学生人数的等量关系，从而列出方程组.
6．【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
得：x+3y=2603x+2y=360，
解得：x=80y=60．
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
（2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：80a+60b=960，
∵a、b为正整数，
∴此方程的解为：a=9b=4，a=6b=8，a=3b=12．
答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台
【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据单价乘以数量等于总价及“ 买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元 ”列出方程组，求解即可；
（2）设购买A型机器人a台，B型机器人b台，根据单价乘以数量等于总价及“购买a台A型机器人的费用+购买b台B型机器人的费用=960万元”列出关于字母a、b的二元一次方程，求出该方程的正整数解即可得出结论.
（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
得：x+3y=2603x+2y=360，解得：x=80y=60．
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：80a+60b=960，
∵a、b为正整数，
∴此方程的解为：a=9b=4，a=6b=8，a=3b=12．
答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：A．3x+2y−1=0含有两个未知数，不是一元二次方程，故A错误.
B．x−5=0含有根号，不是整式方程，不是一元二次方程，故B错误.
C．2x+6=0最高次数为1，不是一元二次方程，故C错误.
D.x2−1=0只含一个未知数x，最高次数为2，且为整式方程，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，
∴1−3+m=0，解得：m=2．
故答案为：D．
【分析】根据x=1是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，列方程1−3+m=0，解出即可得答案.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：A：x2=0，解得：x=0，不符合题意；
B：x2+1=0，∆=0−4=−40，有两个不相等的实数根，符合题意；
D：x2−6x+9=0，∆=36−36=0，有两个相等的实数根，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据判别式∆=b2−4ac>0，可得方程有两个不相等的实数根，逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵第一天揽件200件，第三天揽件242件，日平均增长率为x，
则 200(1+x)2=242 .
故答案为：A.
【分析】因为平均增长率为x，则第三天揽件量=第一天揽件量× (1 +平均增长率) 2， 依此列出等式，即可解答.
11．【答案】A
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
方程为：1441−x2=121．
故答案为：A．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据基期量×1±平均增长率2=末期量即可列方程.
12．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可列方程为x(x−12)=864．
故答案为：A.
【分析】设长为x步，则宽为(x−12)步，利用矩形面积公式列方程解答即可．
13．【答案】1
【解析】【解答】解：∵m，n是方程x2+5x−3=0的两个实数根，
∴m+n=−51=−5，mn=−31=−3.
∴m2n+mn2−14
=mn(m+n)−14
=(−3)×(−5)−14
=1．
故答案为：1.
【分析】利用根与系数的关系得到m+n=−5，mn=−3，然后把所求代数式因式分解，再整体代入求解即可．
14．【答案】-2
【解析】【解答】解：解：∵关于x的一元二次方程x2−3x−c=0有实数根，
∴这个方程根的判别式Δ=(−3)2−4×1×(−c)≥0，
解得c≥−214，
∴最小整数c=−2．
故答案为：-2 .
【分析】根据方程根的情况得到Δ≥0，代入数值求出c的取值范围，再找出最小整数解即可.
15．【答案】解：∵x2−x−1=0,
∴由求根公式，得 x=1±52.
∵m是方程 x2−x−1=0的较大根， ∴m=1+52.
∴m+1m=1+52+21+5
=1+52+5−12
=5.
【解析】【分析】根据公式法求出一元二次方程的根，得到方程的较大根，然后代入代数式计算即可.
16．【答案】11
【解析】【解答】解：∵ a，b 是方程 x2−3x−1=0的两个根，
∴a+b=3，ab=-1，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=9+2=11，
故答案为：11 .
【分析】根据根与系数的关系得到a+b=3，ab=-1，然后根据完全平方公式的变形得到(a+b)2−2ab，再整体代入解答即可.
17．【答案】2
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有实数根，
∴Δ=32−4c=9−4c≥0，
解得c≤94．
所以满足c≤94的最大整数值为2．
故答案为：2．
【分析】由题意，先求得b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于c的不等式，解这个不等式即可求解.
18．【答案】解：3(x+4)=(x+4)(x+1)，
3(x+4)−(x+4)(x+1)=0，
(x+4)(3−x−1)=0，
解得x1=−4,x2=2．
【解析】【分析】先移项，然后提取公因式因式分解解一元二次方程即可．
19．【答案】（1）二
（2）解：x2−2x−1=0
x2−2x=1
x2−2x+12=1+12
(x−1)2=2
x−1=2或x−1=−2
∴x1=1+2，x2=1−2
【解析】【分析】（1）根据解答过程逐步检验解答即可；
（2）先移项，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式，再开平方解方程即可．
20．【答案】（1）解：不是原方程的解，
当x=1时，左边=1× (1-2) =-1；
右边=3
∵左边≠右边
∴x=1 不是原方程的解
（2）解：x2−2x+1=4
x−12=4
x-1=2或x-1=-2
x1=3,x2=−1
【解析】【分析】(1)根据题意，将x=1代入方程进行计算即可；
(2)先添加一次项系数一半的平方，然后左边写成完全平方式，再利用直接开平方法解答即可.
21．【答案】×；×
解：2(x−2)−(x−2)2=0
(x−2)[2−(x−2)]=0
(x−2)(2−x+2)=0
(x−2)(4−x)=0
∴x1=2,x2=4
【解析】【分析】本题是解方程的步骤。从解题步骤上可以看出，小李和小王的解题步骤都有错误，其中小李的错误，主要是没有考虑当x-2=0时的情况，因此不能在方程两边同时除以x-2；而小王的错误，主要是在“提取公因式”这一步做减法计算的时候没有变号，正确答案应该是(x−2)[2−(x−2)]=0。因此在解方程的时候要格外注意这两点。
22．【答案】解：因为 α2+α+β2+β=αβ+α+β+1,
所以 α2+β2−αβ−1=0,
所以 α+β2−3αβ−1=0①,
α+β=−a−b,αβ=4ab3,
代入①得( a+b2−4ab−1=0,
所以 a−b2=1,
a-b=±1，
而a>b，
所以a-b=1，所以a=b+1，
在原方程中， Δ=9a+b2−4×4ab×3≥0,
整理，并把(a=b+1代进去可知 4b2+4b≤3,
两边加1并用平方和公式知：
2b+12≤4;
所以-2≤2b+1≤2，
而b为整数，
b=-1或0，
当b=-1时，
a=0，符合题意，
b=0，a=1符合题意，
所以(a，b)为(0，-1)或(1，0).
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出a与b的关系，再根据根的判别式求出b的取值范围，从而判断出a、b的值.
23．【答案】解：[任务1]110，(120+10x)；
[任务2]由题意得，设涨价y元/份，
∴(120−5y)(25−5+y)=2415，
整理得：y2−4y+3=0，
解得：y1=1，y2=3，
答：该餐饮店将售价上涨1元/份或3元/份时，才能使每天的利润达到2415元；
[任务3]∵尽快减少库存，
∴采取降价销售，
∴每天的利润为(25−5−x)(120+10x)=−10x2+80x+2400=−10(x−4)2+2560，
∵−10