2026年高考数学一轮专题训练：二项式定理 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：二项式定理 [含答案]，共14页。试卷主要包含了在8的展开式中x6的系数是，8的展开式中的常数项为等内容，欢迎下载使用。
1．（2025春•天津期中）在(x−12x)8的展开式中x6的系数是（ ）
A．454B．−358C．358D．7
2．（2025春•台江区期中）若(x2+1)⋅(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a11(x+2)11，则i=011 ai=（ ）
A．2B．﹣2C．2×39D．2×（﹣3）9
3．（2025春•渝中区期中）（1﹣x）20的展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项．
A．9B．10C．11D．12
4．（2025春•北仑区校级期中）(1−1x)(2x−1)8的展开式中的常数项为（ ）
A．17B．16C．﹣16D．﹣17
5．（2025•安徽校级模拟）在（x2﹣2）（2x﹣1）5的展开式中，x5项的系数为（ ）
A．﹣144B．﹣16C．16D．144
6．（2025春•洛阳期中）（3+x）12的展开式中系数最大的是（ ）
A．x2的系数B．x3的系数C．x4的系数D．x5的系数
7．（2025春•思明区校级期中）已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤﹣3）＝P（X≥3a﹣1），则(1+ax)3⋅(x2+2x)4的展开式中x2的系数为（ ）
A．40B．120C．240D．280
8．（2025春•蒸湘区校级月考）在探究（a+b）n的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将（1+x+x2）n的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）：
上表图2中第n行的第m个数用Dnm−1表示，即（1+x+x2）n展开式中xm的系数为Dnm，则下列命题正确的有（ ）个．
①D54=30；
②Dn2=n(n+1)2；
③Dn+1k+1=Dnk−1+Dnk+Dnk+1(1≤k≤2n−1，k∈N*）；
④D20240C20240−D20241C20241+D20242C20242−D20243C20243+⋯+D20242024C20242024=0．
A．1B．2C．3D．4
二．多选题（共4小题）
9．（2025春•海沧区校级期中）已知(x+12x)n(n∈N∗)展开式中共有8项，则该展开式结论正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为128
B．所有项的系数和为(32)8
C．系数最大项为第3项
D．有理项共有4项
10．（2025春•重庆期中）已知二项式(ax−1x)6，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中二项式系数之和为64
B．展开式中有理项的个数为3
C．若a＝2，则展开式的常数项为60
D．若展开式中各项系数之和为64，则a＝3
11．（2025春•锡山区校级期中）已知(ax−1x)n展开式共有9项，且常数项为70，下列说法正确的是（ ）
A．n＝9
B．含x3项的系数为﹣8或8
C．展开式的所有项的系数和为﹣1或0
D．二项式系数和为256
12．（2025春•安徽校级期中）(1−2x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn的展开式中第3项和第11项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（ ）
A．第7项的二项式系数最大
B．所有奇数项的系数和为1−3122
C．a12+a222+⋯+an2n=−1
D．|a1|+|a2|+|a3|⋯+|an|=313
三．填空题（共4小题）
13．（2025•天津模拟）在二项式(x−1x)6的展开式中，常数项为 ．
14．（2025春•曲阜市期中）（1+x）3+（1+x）4+⋯+（1+x）9的展开式中x3的系数是 （结果用数字表示）．
15．（2025春•宝安区校级期中）将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1、…记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S69＝ ．
16．（2025春•石家庄期中）若（2x﹣1）2025＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2025x2025（x∈R），则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2025|的值被4除的余数为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•天津期中）已知(x+mx)n的展开式的二项式系数和为128．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）若展开式的第4项的系数为﹣280，求实数m的值．
18．（2025春•永安市期中）已知在(2x+33x)n的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．
（1）求出展开式的中间项；
（2）设a=3n+Cn13n−1+Cn23n−2+⋯+Cnn−13，则当n＝2024时，求a除以15所得余数．
19．（2025春•沭阳县期中）已知f(x)=(1+2x)m+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn(m∈N∗，n∈N∗，m≤n)．
（1）若m＝3，n＝7，求：
①a1+a2+a3+…+an的值，
②a1+a3+a5+…+an的值；
（2）若a1＝20，求a2的最小值．
20．（2025春•临潼区期中）已知(mx+1)(2x−1)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，且a1+a2+⋯+a9＝1．
（1）求m的值；
（2）求a1+a3+a5+a7+a9的值．
二项式定理
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春•天津期中）在(x−12x)8的展开式中x6的系数是（ ）
A．454B．−358C．358D．7
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】C
【分析】由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果．
解：在(x−12x)8的展开式中，
通项公式为Tr+1=C8r⋅(x)8−r⋅(−12x)r=C8r⋅(−12)r⋅x4+r2，r＝0，1，…，8．
令4+r2=6，求得r＝4，
可得在(x−12x)8的展开式中x6的系数为C84⋅116=358，
故选：C．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式的应用，为中档题．
2．（2025春•台江区期中）若(x2+1)⋅(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a11(x+2)11，则i=011 ai=（ ）
A．2B．﹣2C．2×39D．2×（﹣3）9
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】B
【分析】令x＝﹣1，可得答案．
解：令x＝﹣1，可得a0+a1+...+a11＝2×（﹣1）＝﹣2，
则i=011 ai=−2．
故选：B．
【点评】本题考查二项式系数的性质的应用，为中档题．
3．（2025春•渝中区期中）（1﹣x）20的展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项．
A．9B．10C．11D．12
【考点】二项式系数的性质．
【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】C
【分析】利用二项式系数的性质直接计算即可．
解：由二项式定理知其展开式有21项，
根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项．
故选：C．
【点评】本题考查二项式系数的性质相关知识，属于中档题．
4．（2025春•北仑区校级期中）(1−1x)(2x−1)8的展开式中的常数项为（ ）
A．17B．16C．﹣16D．﹣17
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】A
【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．
解：根据（2x﹣1）8的展开式Tr+1=C8r⋅(2x)8−r⋅(−1)r（r＝0，1，2，3，4，5，6，7，8），
当与1配对时，r＝8，故常数项为C88⋅20⋅(−1)8=1；
当与（−1x）配对时，r＝7，故常数项为−C87⋅2⋅(−1)7=16；
故常数项为1+16＝17．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5．（2025•安徽校级模拟）在（x2﹣2）（2x﹣1）5的展开式中，x5项的系数为（ ）
A．﹣144B．﹣16C．16D．144
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．
解：（2x﹣1）5＝﹣（1﹣2x）5其展开式通项公式为Tr+1=−C5r(−2x)r，r＝0，1，2，3，4，5，
所以所求x5项的系数为2C55(−2)5−C53(−2)3=16．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6．（2025春•洛阳期中）（3+x）12的展开式中系数最大的是（ ）
A．x2的系数B．x3的系数C．x4的系数D．x5的系数
【考点】二项式定理的应用．
【专题】整体思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】B
【分析】设二项式展开式中第k+1项系数最大，列不等式组解出k，可得答案．
解：设二项式展开式中第k+1项系数最大，
则C12k312−k≥C12k−1313−kC12k312−k≥C12k+1311−k，即12!k!(12−k)!≥3×12!(k−1)!(13−k)!3×12!k!(12−k)!≥12!(k+1)!(11−k)!，
化简得1k≥313−k312−k≥1k+1，解得94≤k≤134，又k∈N，所以k＝3，
展开式中系数最大的是x3的系数．
故选：B．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
7．（2025春•思明区校级期中）已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤﹣3）＝P（X≥3a﹣1），则(1+ax)3⋅(x2+2x)4的展开式中x2的系数为（ ）
A．40B．120C．240D．280
【考点】二项式定理的应用；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】分类讨论；定义法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】D
【分析】利用正态分布的对称性求出a，再利用二项展开式的通项公式可求x2的系数．
解：由正态分布的对称性，得﹣3+3a﹣1＝1×2，解得a＝2，
（1+2x）3的展开式的通项公式为Tr+1=2rC3rxr，r＝0，1，2，3，
(x2+2x)4的展开式的通项公式为Rk+1=2kC4kx−k+2(4−k)=2kC4kx−3k+8，k＝0，1，2，3，4，
则(1+2x)3⋅(x2+2x)4的展开式的通项为Tr+1Rk+1=2rC3rxr⋅2kC4kx−3k+8=2r+kC3rC4kxr−3k+8，
由r﹣3k+8＝2，得r=3k=3或r=0k=2，
所以(1+2x)3⋅(x2+2x)4的展开式中x2的系数为26C33C43+22C30C42=256+24=280．
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
8．（2025春•蒸湘区校级月考）在探究（a+b）n的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将（1+x+x2）n的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）：
上表图2中第n行的第m个数用Dnm−1表示，即（1+x+x2）n展开式中xm的系数为Dnm，则下列命题正确的有（ ）个．
①D54=30；
②Dn2=n(n+1)2；
③Dn+1k+1=Dnk−1+Dnk+Dnk+1(1≤k≤2n−1，k∈N*）；
④D20240C20240−D20241C20241+D20242C20242−D20243C20243+⋯+D20242024C20242024=0．
A．1B．2C．3D．4
【考点】二项式系数的性质；二项式定理的应用．
【专题】转化思想；整体思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】由图②得到Dnm=Dn−1m−2+Dn−1m−1+Dn−1m(2≤m≤2n−1，m∈N∗)，可直接判断①②③，对于④，由（1+x+x2）2024（1﹣x）2024得到展开式中含x2024项的系数为故D20240C20240−D21024C20241+D22024C20242−D23024C20243+⋯+D20242024C20242024=0，再由（1+x+x2）2024（1﹣x）2024＝（1﹣x3）2024确定含x2024项系数，即可判断．
解：上表图2中第n行的第m个数用Dnm−1表示，即（1+x+x2）n展开式中xm的系数为Dnm，依据题意结合图2可知图2中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左、右肩上共三个数的和（没有的用0代替），
所以Dnm=Dn−1m−2+Dn−1m−1+Dn−1m(2≤m≤2n−1，m∈N∗)，
对于①，由上可得D54=D42+D43+D44=10+16+19=45，故①错误；
对于②，由图可知Dn2=Dn−10+Dn−11+Dn−12=Cn−10+Cn−11+(Cn−11+Cn−12)=n(n+1)2，
以此类推可得Dn2=n×(n+1)2，故②正确；
对于③，由上可知Dn+1k+1=Dnk−1+Dnk+Dnk+1(1≤k≤2n−1，k∈N∗)，故③正确；
对于④，因为(1+x+x2)2024=D20240+D20241D20242024x2024+...+D20242024；
(1−x)2024=C20240−C20241+...−C20242023x2023+C20242024x2024=C20242024−...+C20240x2024；
则(1+x+x2)2024(1−x)2024=(D20240+D20241⋅C20242023x+...+C20240x2024)，
所以根据乘法法则（1+x+x2）2024（1﹣x）2024的展开式中含x2024项的系数为：
D20240C20240−D20241C20241+...+D20242024C20242024，
又（1+x+x2）2024（1﹣x）2024＝（1﹣x3）2024，
其通项公式为Tr+1=C2024r(−x)3r=(−1)3r⋅C2024rx3r(r∈Z，0≤r≤2024)，
因为2024＝3×674+2，
所以（1﹣x3）2024的展开式中含x2024项的系数为0，
故D20240C20240−D21024C20241+D22024C20242−D23024C20243+⋯+D20242024C20242024=0，
故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二项展开式的通项与二项式系数的性质的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
9．（2025春•海沧区校级期中）已知(x+12x)n(n∈N∗)展开式中共有8项，则该展开式结论正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为128
B．所有项的系数和为(32)8
C．系数最大项为第3项
D．有理项共有4项
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】先根据展开式的项数确定n的值，根据二项式系数的性质判断A；令x＝1可得所有项的系数和从而判断B，利用二项展开式的通项公式求解系数最大项及有理项可判断CD．
解：A项，因为(x+12x)n的展开式共有8项，所以n＝7．
故所有项的二项式系数和为27＝128，故A正确；
B项，令x＝1，可得所有项的系数和为(1+12)7≠(32)8，故B错误；
因为二项展开式的通项公式为：
Tr+1=C7r⋅x7−r⋅(12x)r=(12)r⋅C7r⋅x7−3r2（r＝0，1，2，⋯，7）；
C项，当r∈N*，1≤r≤6，设Tr+1项系数最大，
由(12)r⋅C7r≥(12)r−1⋅C7r−1(12)r⋅C7r≥(12)r+1⋅C7r+1，
解得r≤83r≥53，则r＝2，且T3=C72(12)2x4=214x4，第3项系数为214．
当r＝0时，T1=x7，系数为1；
当r＝7时，T8=C77(12)7x−72=1128x−72，系数为1128；
由1128＜214，1＜214，故第3项的系数最大；故C正确；
D项，由7−3r2为整数，且r＝0，1，2，⋯，7可知，r的值可以为：0，2，4，6，
所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查二项展开式的通项与项的系数的应用，为中档题．
10．（2025春•重庆期中）已知二项式(ax−1x)6，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中二项式系数之和为64
B．展开式中有理项的个数为3
C．若a＝2，则展开式的常数项为60
D．若展开式中各项系数之和为64，则a＝3
【考点】二项展开式的通项与项的系数；二项式系数与二项式系数的和．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】AC
【分析】利用二项展开式中二项式系数的性质及二项展开式的通项公式逐项分析可得答案．
解：二项式(ax−1x)6，其展开式中二项式系数之和为26＝64，A正确；
设展开式的通项为Tr+1=C6r（ax）6﹣r(−1x)r=（﹣1）ra6﹣rC6rx6−32r，r＝0，1，2，…，6．
当r＝0，2，4，6时，对应项为有理项，即展开式中有理项有4项，B错误；
若a＝2，r＝4，则展开式的常数项为22C64=60，C正确；
令x＝1，展开式中各项系数之和为（a﹣1）6＝64＝26，则a＝﹣1或a＝3，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式的应用，为中档题．
11．（2025春•锡山区校级期中）已知(ax−1x)n展开式共有9项，且常数项为70，下列说法正确的是（ ）
A．n＝9
B．含x3项的系数为﹣8或8
C．展开式的所有项的系数和为﹣1或0
D．二项式系数和为256
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】BD
【分析】根据展开式的项数即可求出n，即可判断A；求出展开式的通项，再根据常数项即可求出a，从而可判断B，C；根据二项式系数的性质即可判断D．
解：对于A，因为(ax−1x)n展开式共有9项，所以n＝8，故A错误；
对于B，展开式的通项为Tk+1=C8k(ax)8−k⋅(1x)k=a8−k⋅C8kx4−k，
令4﹣k＝0，则k＝4，
所以常数项为a4⋅C84=70，解得a＝±1，
令4﹣k＝3，则k＝1，
所以含x3项的系数为−C81或C81，即﹣8或8，故B正确；
对于C，令x＝1，则展开式的所有项的系数和为（﹣1﹣1）8＝256或（1﹣1）8＝0，故C错误；
对于D，二项式系数和为28＝256，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属中档题．
12．（2025春•安徽校级期中）(1−2x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn的展开式中第3项和第11项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（ ）
A．第7项的二项式系数最大
B．所有奇数项的系数和为1−3122
C．a12+a222+⋯+an2n=−1
D．|a1|+|a2|+|a3|⋯+|an|=313
【考点】二项式定理．
【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】AC
【分析】由已知可推得n＝12．根据二项式系数的性质，即可得出A项；赋值令x＝1以及x＝﹣1，即可判断B项；令x=12以及x＝0，即可得出C项；判断各项的符号，去掉绝对值，即可求出结果，判断D项
解：由已知可得，Cn2=Cn10，所以n＝12．
对于A项，根据二项式定理的性质可知，A项正确；
对于B项，令x＝1可得，a0+a1+a2+⋯+a12=(1−2)12=1；
令x＝﹣1可得，a0−a1+a2+⋯+a12=(1+2)12=312．
两式相加可得，2(a0+a2+⋯+a12)=312+1，
所以a0+a2+⋯+a12=312+12，故B项错误；
对于C项，令x=12可得，a0+a12+a222+⋯+an2n=(1−1)12=0；
令x＝0可得，a0＝1，
所以a12+a222+⋯+an2n=−1，故C项正确；
对于D项，易知a1，a3，⋯，a11均为负数，a0，a2，⋯，a12均为正数．
所以，|a1|+|a2|+|a3|⋯+|a12|＝﹣a1+a2﹣a3+⋯+a12．
又a0−a1+a2+⋯+a12=312，a0＝1，
所以，−a1+a2−a3+⋯+a12=312−1，
所以，|a1|+|a2|+|a3|⋯+|a12|=312−1，故D项错误．
故选：AC．
【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题，
三．填空题（共4小题）
13．（2025•天津模拟）在二项式(x−1x)6的展开式中，常数项为 15 ．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】15．
【分析】利用二项展开式的通项求解即可．
解：在二项式(x−1x)6的展开式中，常数项为C64（﹣1）4x6﹣4(1x)4=15．
故15．
【点评】本题考查二项展开式的通项的应用，为中档题．
14．（2025春•曲阜市期中）（1+x）3+（1+x）4+⋯+（1+x）9的展开式中x3的系数是 210 （结果用数字表示）．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】210
【分析】由二项展开式的通项即可求出每一个x3的系数，求和得出答案，或者根据Cnm+Cnm−1=Cn+1m，快速计算结果．
解：∵（a+b）n的通项为Cnran−rbr(r∈N，0≤r≤n)，
∴（1+x）3的通项为C3r13−rxr=C3rxr，
∴（1+x）3的展开式中x3的系数为C33，
同理得（1+x）4展开式中x3的系数为C43，
...，
（1+x）9展开式中x3的系数为C93，
故（1+x）3+（1+x）4+...+（1+x）9展开式中x3的系数为：C33+C43+C53+C63+C73+C83+C93=1+4+10+20+35+56+84=210．
故210．
【点评】本题考查二项展开式的通项与项的系数的应用，为中档题．
15．（2025春•宝安区校级期中）将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1、…记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S69＝ 2114 ．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；对应思想；归纳法；推理和证明；逻辑思维．
【正确答案】2114．
【分析】由归纳推理及等比数列前n项和可得：a69位于杨辉三角数阵的第12行第3个，即可求出．
解：使得每行的序数与该行的项数相等，则第k行最后项在数列{an}中的项数为k(k+1)2，
设a69位于第k（k∈N*）行，则k(k−1)2＜69≤k(k+1)2，解得k＝12，
且第11行最后一项在数列{an}中的项数为11×122=66，所以a69位于杨辉三角数阵的第12行第3个，
而第一行各项和为1＝20，第二行各项和为2＝21，第三行各项的和为4＝22，以此类推，第k行各项的和为2k﹣1，
S69＝（1+21+22+…+210）+C110+C111+C112＝2047+1+11+55＝2114，
故2114．
【点评】本题考查了归纳推理及等比数列前n项和，属于中档题．
16．（2025春•石家庄期中）若（2x﹣1）2025＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2025x2025（x∈R），则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2025|的值被4除的余数为 3 ．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】3．
【分析】利用赋值法，可得系数之和，根据二项式定理可得展开式，可得系数的正负，从而可得系数绝对值之和，结合二项式定理，可得答案．
解：（2x﹣1）2025＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2025x2025（x∈R），
令x＝﹣1，得a0−a1+a2−a3+⋯+a2024−a2025=−32025，
因为Tr+1=C2025r(2x)2025−r(−1)r，
所以当r为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即a2k＜0（k∈N），
当r为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即a2k+1＞0（k∈N），
所以|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a2025|=−(a0−a1+a2−a3+a2024−a2025)=32025，
又32025=(4−1)2025=C2025042025−C2025142024+C2025242023−C2025342022+⋯+C202520244−1，
故|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a2025|被4除余3．
故3．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•天津期中）已知(x+mx)n的展开式的二项式系数和为128．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）若展开式的第4项的系数为﹣280，求实数m的值．
【考点】二项式系数与二项式系数的和；二项式定理．
【专题】方程思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】（Ⅰ）n＝7；
（Ⅱ）m＝﹣2．
【分析】（Ⅰ）利用二项式系数的性质可求得n的值；（Ⅱ）利用二项展开式的通项公式列式求解即可．
解：（Ⅰ）(x+mx)n的展开式的二项式系数和为128，得2n＝128，解得n＝7；
（Ⅱ）若展开式的第4项的系数为﹣280，即C73m3＝﹣280，
解得m＝﹣2．
【点评】本题考查二项式系数与二项式系数的和，为中等题．
18．（2025春•永安市期中）已知在(2x+33x)n的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．
（1）求出展开式的中间项；
（2）设a=3n+Cn13n−1+Cn23n−2+⋯+Cnn−13，则当n＝2024时，求a除以15所得余数．
【考点】二项展开式的通项与项的系数；二项式系数的性质．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】（1）4320x2；
（2）0．
【分析】（1）由题意可得n＝6，然后结合二项式展开式的通项公式求解即可；
（2）由题意可得a＝（3+1）n﹣1＝4n﹣1，然后结合二项式定理的应用求解即可．
解：（1）已知在(2x+33x)n的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2，
则Cn2Cn1=52，
即n(n−1)2=52n，
又n≠0，
故n＝6，
即(2x+33x)n=(2x+33x)6，
其展开式的通项公式Tr+1=C6r(2x)6−r(33x)r=C6r⋅26−r⋅3r⋅x6−43r，r＝0，1，2，⋯，6，
所以展开式的中间项是第四项，T4=C632333x2=4320x2
故展开式中的第四项是4320x2；
（2）设a=3n+Cn13n−1+Cn23n−2+⋯+Cnn−13，
则a＝（3+1）n﹣1＝4n﹣1，
则当n＝2024时，
则42024﹣1＝（15+1）1012﹣1=C10120⋅151012+C10121⋅151011+...+C10121011⋅15+C10121012⋅150−1，
即a＝42024﹣1＝（15+1）1012﹣1=C10120⋅151012+C10121⋅151011+...+C10121011⋅15，
即a除以15所得余数为0．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，重点考查了二项式展开式的通项公式，属中档题．
19．（2025春•沭阳县期中）已知f(x)=(1+2x)m+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn(m∈N∗，n∈N∗，m≤n)．
（1）若m＝3，n＝7，求：
①a1+a2+a3+…+an的值，
②a1+a3+a5+…+an的值；
（2）若a1＝20，求a2的最小值．
【考点】二项式定理．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】（1）①153，②78；
（2）85．
【分析】（1）由赋值法，分别令x＝0，x＝1，x＝﹣1即可求解；
（2）由a1＝20，得到n＝20﹣2m，再通过m＝1和m≥2两类情况讨论求解即可．
解：（1）已知f(x)=(1+2x)m+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn(m∈N∗，n∈N∗，m≤n)．
因为m＝3，n＝7，
所以(1+2x)3+(1+x)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，
①令x＝0，
得a0＝2，
令x＝1，
得a0+a1+a2+⋯+a7=33+27=155，
所以a1+a2+…+an＝a1+a2+…+a7＝153，
②令x＝﹣1，
得a0﹣a1+a2﹣…﹣a7＝﹣1，
由①，
得a0+a1+a2+…+a7＝155，
所以a1+a3+⋯+an=a1+a3+a5+a7=155−(−1)2=78；
（2）由a1=2Cm1+Cn1=20，
得2m+n＝20，
所以n＝20﹣2m，其中m＝1，2，…6，
当m＝1时，n＝18，a2=C182=153，
当m≥2时，a2=22Cm2+Cn2=2m2−2m+n2−n2=4m2−41m+190，
结合二次函数的性质可知当m＝5时（a2）min＝85＜153，
所以a2的最小值为85．
【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了赋值法，属中档题．
20．（2025春•临潼区期中）已知(mx+1)(2x−1)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，且a1+a2+⋯+a9＝1．
（1）求m的值；
（2）求a1+a3+a5+a7+a9的值．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】（1）1；
（2）1．
【分析】（1）分别令x＝0，1，即可求得m的值；
（2）由m＝1，得（x+1）（2x﹣1）8＝a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，再令x＝﹣1，与已知关系式联立可求得a1+a3+a5+a7+a9的值．
解：（1）令x＝0，得a0＝1，
令x＝1，得a0+a1+a2+⋯+a9＝m+1，
故a1+a2+⋯+a9＝m+1﹣a0＝m，又a1+a2+⋯+a9＝1，①
解得m＝1；
（2）由m＝1，得（x+1）（2x﹣1）8＝a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，
令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣⋯﹣a9＝0，②
由①﹣②，解得a1+a3+a5+a7+a9＝1．
【点评】本题考查二项式定理的应用，着重考查赋值法，属于中档题．