2026届高考数学一轮专题训练：2年高考1年模拟（五十八）双曲线 [含答案]

这是一份2026届高考数学一轮专题训练：2年高考1年模拟（五十八）双曲线 [含答案]，共12页。试卷主要包含了已知双曲线C，设双曲线C，已知双曲线E 等内容，欢迎下载使用。
A.2B.4
C.-2D.-4
2.如果双曲线x24-y212=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是( )
A.4B.12
C.4或12D.不确定
3.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)过点(2，3)，离心率为2，则双曲线的方程为( )
A.x23-y2=1B.x2-y23=1
C.x22-y23=1D.x23-y22=1
4.(2025·周口模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的焦距与其虚轴长之比为3∶2，则C的离心率为( )
A.5B.455
C.355D.52
5.设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为5，实轴长为2，则双曲线C上任意一点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为( )
A.25B.45
C.85D.165
6.(2023·全国甲卷)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则|AB|=( )
A.55B.255
C.355D.455
7.已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足PF2·PF1=-2a2，则双曲线离心率的最小值为( )
A.6B.5
C.2D.3
8.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y=2x，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MF1F2=( )
A.22B.23
C.32D.33
9.已知双曲线E ：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M，N 两点，若 S△MON≥34c2，则 E 的离心率的取值范围是( )
A.233，2B.233，3
C.2，3D.[3，2]
10.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为 .
11.(2025·贵州模拟)我们把离心率为5+12的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线”C：x225−2-y2b2=1(b>0)，则C的虚轴长为 .
12.已知F1，F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为 .
13.已知双曲线y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x+y=0，且焦点到这条渐近线的距离为1.
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M55，m在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上.
14.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的实轴长为2，右焦点F到x=32的距离为12.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线y=x-1与双曲线C交于M，N两点，求△MNF的面积.
15.(2025·南京模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)过点A(4，3)，离心率e=72.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点B(1，0)的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=1于点P，Q，求|PB||QB|的值.
（解析）精练（五十八） 双曲线
1.若双曲线y22-x2m=1的焦点与椭圆x23+y24=1的长轴端点重合，则m的值为( )
A.2B.4
C.-2D.-4
解析：选A 椭圆x23+y24=1的长轴端点为(0，2)，(0，-2)，所以双曲线的焦点为(0，2)，(0，-2)，故2+m=4⇒m=2.
2.如果双曲线x24-y212=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是( )
A.4B.12
C.4或12D.不确定
解析：选C 设双曲线x24-y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，则a=2，c=4+12=4，则|PF2|=8，由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a=4，即||PF1|-8|=4，所以|PF1|=4或|PF1|=12，由于c-a=2，故点P到它的左焦点的距离是4或12.
3.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)过点(2，3)，离心率为2，则双曲线的方程为( )
A.x23-y2=1B.x2-y23=1
C.x22-y23=1D.x23-y22=1
解析：选B 双曲线离心率e=ca=2，故c=2a，b=3a，将点(2，3)代入双曲线方程，得2a2-33a2=1，故a=1，b=3，故双曲线方程为x2-y23=1.
4.(2025·周口模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的焦距与其虚轴长之比为3∶2，则C的离心率为( )
A.5B.455
C.355D.52
解析：选C 由题意可知2c∶2b=3∶2，则c∶b=3∶2，设c=3m(m>0)，则b=2m，所以a=c2−b2=5m，故C的离心率为e=ca=355.
5.设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为5，实轴长为2，则双曲线C上任意一点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为( )
A.25B.45
C.85D.165
解析：选B 由已知，2a=2，ca=5，所以a=1，c=5，则b=2.设M(m，n)为双曲线C上任意一点，则m2-n24=1，即4m2-n2=4.而双曲线C的渐近线方程为2x±y=0，所以点M到两条渐近线的距离之积为|2m−n5×|2m+n5=|4m2−n2|5=45.
6.(2023·全国甲卷)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则|AB|=( )
A.55B.255
C.355D.455
解析：选D 根据双曲线的离心率e=5=ca，得c=5a，即c2=5a2，即a2+b2=5a2，所以b2=4a2，b2a2=4，所以双曲线的渐近线方程为y=±2x，易知渐近线y=2x与圆相交.
法一 由y=2x，(x−2)2+(y−3)2=1，得5x2-16x+12=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=165，x1x2=125.所以|AB|=1+22|x1-x2|=51652−4×125=455，故选D.
法二 因为圆心(2，3)到渐近线y=2x的距离d=|2×2−3|22+(−1)2=55，所以|AB|=21−d2=21−552=455，故选D.
7.已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足PF2·PF1=-2a2，则双曲线离心率的最小值为( )
A.6B.5
C.2D.3
解析：选D 设P(x0，y0)，双曲线的半焦距为c，则有|x0|≥a，x02a2-y02b2=1，F1(-c，0)，F2(c，0)，于是PF2=(c-x0，-y0)，PF1=(-c-x0，-y0)，因此PF2·PF1=x02-c2+y02=x02+x02a2−1b2-c2=c2a2·x02-b2-c2≥c2a2·a2-b2-c2=-b2，
当且仅当|x0|=a时取等号，则-2a2≥-b2，即b2a2≥2，离心率e=ca=1+b2a2≥3，所以双曲线离心率的最小值为3.
8.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y=2x，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MF1F2=( )
A.22B.23
C.32D.33
解析：选D 由题意得，因为该双曲线的一条渐近线方程是y=2x，则ba=2，又由c2=a2+b2，可得bc=23，由过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，可知M的横坐标为c，代入双曲线方程即可得c2a2-y2b2=1，c2a2-1=c2−a2a2=b2a2=y2b2，又由y>0，可知Mc，b2a，所以tan∠MF1F2=b22ac=12·ba·bc=12×2×23=33.
9.已知双曲线E ：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M，N 两点，若 S△MON≥34c2，则 E 的离心率的取值范围是( )
A.233，2B.233，3
C.2，3D.[3，2]
解析：选A 由题意得A(a，0)，渐近线y=±bax，将x=a代入得M，N坐标为(a，±b)，所以|MN|=2b.因为MN⊥x轴，所以S△MON=12·a|MN|=ab，由已知可得ab≥34c2=34(a2+b2)，两边同时除以a2，得ba≥341+ba2，所以3ba2-4ba+3≤0，即3ba−1ba−3≤0，解得33≤ba≤3，所以13≤ba2≤3，所以双曲线的离心率e=1+b2a2∈233，2.
10.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为 .
解析：∵e=ca=2，∴c=2a，又c2=a2+b2，∴4a2=a2+b2，b2=3a2，b=3a，∴双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±3x.
答案：y=±3x
11.(2025·贵州模拟)我们把离心率为5+12的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线”C：x225−2-y2b2=1(b>0)，则C的虚轴长为 .
解析：因为e=ca=1+b2a2=1+b225−2=5+12，即1+b225−2=6+254，解得b=2，所以C的虚轴长为4.
答案：4
12.已知F1，F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为 .
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|-|PF2|=2a=22，在△F1PF2中，由余弦定理，
得cs∠F1PF2=PF1|2+PF2|2−|F1F2|22PF1|·|PF2|=12，
∴|PF1|·|PF2|=8，
∴S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|·sin 60°=23.
答案：23
13.已知双曲线y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x+y=0，且焦点到这条渐近线的距离为1.
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M55，m在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上.
解：(1)依题意得ab=2，|2×0+c5=1，a2+b2=c2，解得a=2，b=1，c=5，故双曲线的方程为y24-x2=1.
(2)证明：因为点M55，m在双曲线上，所以m24-15=1.所以m2=245.又双曲线y24-x2=1的焦点为F1(0，-5)，F2(0，5)，所以MF1·MF2=−55，−5−m·−55，5−m=−552-(5)2+m2=15-5+245=0，所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上.
14.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的实轴长为2，右焦点F到x=32的距离为12.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线y=x-1与双曲线C交于M，N两点，求△MNF的面积.
解：(1)设双曲线C的焦距为2c(c>0)，
因为双曲线C的实轴长为2，
所以2a=2，解得a=1.
因为右焦点F到x=32的距离为12，
所以c−32=12，解得c=1或c=2.
因为c>a，所以c=2.可得b2=c2-a2=4-1=3，
所以双曲线C的方程为x2-y23=1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立直线和双曲线y=x−1，x2−y23=1，可得3x2-(x-1)2-3=0，即x2+x-2=0，解得x=1或x=-2.不妨设x1=1，x2=-2，所以y1=0，y2=-3.
所以S△MNF=12|MF|×|y2|=12|c-x1|×|y2|=12×1×3=32.即△MNF的面积为32.
15.(2025·南京模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)过点A(4，3)，离心率e=72.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点B(1，0)的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=1于点P，Q，求|PB||QB|的值.
解：(1)由题知16a2−9b2=1，ca=72，a2+b2=c2，
解得a2=4，b2=3，c2=7.
所以双曲线C的方程为x24-y23=1.
(2)设直线l：y=k(x-1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立x24−y23=1，y=k(x−1)，
得(3-4k2)x2+8k2x-4k2-12=0，
则Δ=144-144k2>0，-1