专题08 三角形与相似三角形（山东专用）2026年中考数学二轮复习 练习（含答案+解析）

这是一份专题08 三角形与相似三角形（山东专用）2026年中考数学二轮复习 练习（含答案+解析），共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S△ABC=12，则BE的长为( )
A. 1.5
B. 3
C. 4
D. 6
2.如图，直线CF/​/DE，∠ACB=90∘，∠A=30∘.若∠1=18∘，则∠2等于( )
A. 42∘B. 38∘C. 36∘D. 30∘
3.如图，在△ABC中，按如下步骤作图：
①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D，
②分别以点C和D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F．
根据以上作图，若AD=4，DB=2，BC=3 2，则线段AE的长为( )
A. 11 23B. 112C. 5D. 4 2
4.如图，△ABC中有AD，D点在BC上.根据图中标示的度数，求p+q+r之值是多少？( )
A. 140
B. 150
C. 160
D. 180
5.如图，▵ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE.下列结论错误的是( )
A. S▵DEF=14S▵BCFB. S▵ADE=12S四边形BCED
C. S▵DBF=12S▵BCFD. S▵ADC=S▵AEB
6.如图，在三角形纸片ABC中，∠B=57∘，∠C=38∘，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点B落在AC边上的点E处，折痕AD交BC于点D;再将纸片沿着过点E的直线折叠，使点C落在BC边上的点G处，折痕EF交BC于点F.下列结论成立的是( )
A. DG=EGB. GE⊥AEC. ∠DAE=42∘D. DE=2GF
7.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处.若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是( )
A. 0.9cmB. 1.3cmC. 1.6cmD. 2cm
8.如图，在三角形纸片ABC中，∠B=57°，∠C=38°，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点B落在AC边上的点E处，折痕AD交BC于点D；再将纸片沿着过点E的直线折叠，使点C落在BC边上的点G处，折痕EF交BC于点F.下列结论成立的是( )
A. DG=EGB. GE⊥AEC. ∠DAE=42°D. DE=2GF
9.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E.若AB：BC=3：4，则BF：FD为( )
A. 5：3
B. 5：4
C. 4：3
D. 2：1
10.如图，已知△ABC≌△DEC，∠A=60°，∠B=40°，则∠DCE的度数为( )
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
11.如图，在等边△ABC中，AB=8，点D在AB上，点E在BC上，且AD=BE=2.连接AE与CD交于点F，则CF⋅CD=( )
A. 36
B. 42
C. 48
D. 60
二、多选题：本题共1小题，共4分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
12.下列命题的逆命题为真命题的是( )
A. 若a2=b2，则a=bB. 若|a|>|b|，则a3>b3
C. 三角形的中位线平行于第三边D. 等腰三角形的两个底角相等
三、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
13.如图，C是AB的中点，且CD=BE，请添加一个条件： ，使得△ACD≌△CBE．
14.如图，已知l1//l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1=70°时，∠2= ______°.
15.如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为(0,4)，点B，C均在x轴上.将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，则点C′的坐标为 ．
16.如图，▵ABC为等边三角形，AB=4，AD⊥BC，点E为线段AD上的动点，连接CE，以CE为边作等边△CEF，连接DF，则线段DF的最小值为 ．
17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30∘，∠2=20∘，则∠B= ．
18.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且边长为12，则直角边AC+BC= ．
19.如图，在△ABC中，AB=6，∠BAC=30∘，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
20.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2.若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为 ．
21.定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为___________________．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6．
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)；
①作∠BAC的平分线AD，交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线，交AB于点E，交AD于点F．
(2)连接DE，求线段DE的长．
23.(本小题8分)
已知：如图：在△ABC中，D，F分别为边AB、BC的中点，∠AED=∠DFB．
求证：(1)△AED≌△DFB；
(2)∠C=∠EDF．
24.(本小题8分)
已知：如图，D是∠AOB内部一点．
求作：等腰△COE，使点C，E分别在射线OA，OB上，且底边CE经过点D．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠A=90°，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
(1)求∠BOC的度数；
(2)过点O作DE/​/BC交AB于点D，交AC于点E.若AC=2，BC=3，求△ADE的周长．
26.(本小题8分)
在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，∠BAC的平分线AD交BC于点D，如图1．
(1)求∠ADC的度数;
(2)已知AB=3，分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F，如图2.求DF的长．
27.(本小题8分)
如图1，一扇推拉式窗户，AB为固定的窗框底边，AC为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，MN为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边AC上的点M处，另一端点N在窗框底边AB上滑动(窗户关闭时，AC，MN叠合在AB边上)，支撑杆MN的长度固定不变.窗户打开一定角度后，AM即与AN构成一个旋转角∠MAN，其俯视图如图2所示，窗户的旋转角∠MAN的大小控制在一定范围内(0°≤∠MAN≤160°)，MN=20cm．
(1)如图3，窗户旋转角∠MAN=90°时，测得∠MNA=45°，求此时AM和AN的长(结果保留根号)；
(2)在(1)的基础上，继续打开窗户，旋转角∠MAN从90°继续增大，旋转后点M，N的对应点分别为点M′，N′，∠M′N′A=37°时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度(结果精确到0.1cm)．
(参考数据：sin37°≈0.6,cs37°≈0.8,tan37°≈0.75, 2≈1.41, 14≈3.74)
28.(本小题8分)
如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE,CF相交于点D，若BD=CD．
(1)求证：▵BDF≌▵CDE；
(2)求证：AD平分∠BAC；
(3)若∠C=50 ∘，求∠DAC的度数．
29.(本小题8分)
如图，DF是△ABC的中位线，AB=CD，AC=DE.求证：∠E=∠BCA．
30.(本小题8分)
新学期，同学们布置教室.如图1所示，教室前门ABCD宽度AB=1m，门轴A到墙角E的距离AE=0.5m，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被黑板墙EB′阻挡，EB′⊥EA，门边BC靠在墙B′C′的位置．
(1)门打开的最大角度∠BAB′=______°；
(2)教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧PR与墙EA的距离为0.5m，且该矩形课桌PIQR的边PI与教室前墙EB′平行，若要使得开关门不受阻挡，则PI与EB′的距离需大于多少？(结果保留两位小数)
(3)如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后△AB′E中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为35cm的圆柱形桶，能放的进去吗？请说明理由.(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73, 5≈2.24)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为S△ABC=12BC⋅AD=12，AD=4，
所以BC=6，
因为AE是中线，
所以BE=12BC=3．
故选：B．
利用三角形面积公式求出BC，再根据中线的定义求出BE即可．
本题考查三角形的面积，掌握三角形面积公式及中线的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵∠1=18∘，∠ACB=90∘，∴∠ACF=90∘+∠1=108∘，
∵CF//DE，∴∠ADE=∠ACF=108∘，
∵∠ADE+∠2+∠A=180∘，∠A=30∘．∴∠2=180∘−30∘−108∘=42∘.故选：A．
由直角三角板的性质可知∠ACF=90∘+∠1=108∘，再根据平行线的性质得∠ADE=∠ACF=108∘，由三角形内角和定理即可得出结论．本题考查平行线的性质，三三角形内角和定理，关键是平行线性质定理的应用．
3.【答案】D
【解析】解：连接DE，

由作法得CD平分∠ACB，
∴∠ECD=∠FCD(角平分线的定义)，
∵EF垂直平分CD，
∴CE=DE(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠FCD=∠EDC，
∴DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC
∴ADAB=DEBC=AEAC(相似三角形的对应边成比例)，
∵AD=4，DB=2，BC=3 2，
∴44+2=DE3 2，
∴DE=2 2，
∴CE=DE=2 2，
∴AEAE+2 2=46，
∴AE=4 2.
故选：D．
根据作法得AD平分∠ACB，EF垂直平分CD，所以∠ECD=∠FCD，CE=DE，从而证明DE/​/BC，可得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形性质可得ADAB=DEBC=AEAC，解比例方程即可求解．
本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ABC是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
4.【答案】C
【解析】解：在△ACD中，∠DAC=30°，∠C=70°，∠ADC=r°，
由三角形内角和定理得：∠DAC+∠C+∠ADC=180°，
∴30°+70°+r°=180°，
∴r=80，
∴∠ADC=r°=80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，∠B=q°，∠BAD=p°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=p°+q°，
∴p°+q°=80°，
∴p+q=80，
∴p+q+r=80+80=160．
故选：C．
先由三角形内角和定理得r=80，再根据三角形外角性质得p+q=80，由此即可得出p+q+r的值．
此题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的外角性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】略
6.【答案】A
【解析】解题思路：根据△ADE是由△ABD翻折得到可求解∠DAE的度数，由此可判断C选项;根据翻折前后的角度，可求解∠EDG与∠DEG的度数，由“等角对等边”可判断A选项，求解∠AEG的度数可判断B选项;假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项．
7.【答案】A
【解析】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，则∠OEC=90°，
∵∠BOC=90°，
∴∠BOD+∠COE=90°，
由题意可知，OB=CO，OA=OB=OC=2m，BD=1.6m，DF=1.3m，BD⊥OA，
∴∠BDO=90°，
∴OD= OB2−BD2= 22−1．62=1.2(m)，
∴OF=OD+DF=1.2+1.3=2.5(m)，
∵∠BDO=∠OEC=90°，
∴∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
在△OBD和△COE中，
∠BDO=∠OEC∠OBD=∠COEOB=CO，
∴△OBD≌△COE(AAS)，
∴OE=BD=1.6m，
∴EF=OF−OE=2.5−1.6=0.9(m)，
即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m，
故选：A．
过点C作CE⊥OA于点E，由题意可知，OB=CO，OA=OB=OC=2m，BD=1.6m，DF=1.3m，BD⊥OA，再由勾股定理得OD=1.2m，则OF=OD+DF=2.5m，然后证明△OBD≌△COE(AAS)，得OE=BD=1.6m，则EF=OF−OE=0.9m，即可得出结论．
本题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：C选项，在△ABC中，∠B=57°，∠C=38°，
∴∠BAC=180°−57°−38°=85°，
∵△ADE是由△ABD翻折得到，
∴∠DAE=∠DAB=85°2=42.5°，故C选项错误；
A选项，∵△ADE是由△ABD翻折得到，∠DAE=∠DAB=42.5°，
∴∠AED=∠B=57°，
∴∠ADE=∠ADB=180°−57°−42.5°=80.5°，
∴∠EDG=180°−∠ADE−∠ADB=180°−80.5°×2=19°，
∵△EFG是由△EFC翻折得到，
∴∠EGF=∠C=38°，
∴∠EGD=180°−∠EGF=180°−38°=142°，
在△EGD中，∠DEG=180°−142°−19°=19°，
∵∠EDG=∠DEG=19°，
∴DG=EG，故A选项正确；
B选项，∵∠AED+∠DEG=57°+19°=76°，
即∠AEG=76°，
∴GE与AE不垂直，故B错误；
D选项，过点G作GM⊥DE交DE于点M，如图，
假设DE=2GF，
∵△EFG是由△EFC翻折得到，
∴∠EFC=∠EFG=90°，
∵DG=EG，
∴△DGE为等腰三角形，
∵GM⊥DE，
∴DM=EM，即DE=2EM，
∴GF=EM，
在Rt△EMG中，sin∠DEG=sin19°=MGEG，
在Rt△EFG中，sin∠EGF=sin38°=EFEG，
∵sin19°≠sin38°，
∴MG≠EF，
又∵EM= EG2−MG2≠GF= EG2−EF2，与已知不符，故D选项错误．
故选：A．
根据△ADE是由△ABD翻折得到可求解∠DAE的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解∠EDG与∠DEG的度数，由“等角对等边”可判断A选项，求解∠AEG的度数可判断B选项；假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项．
本题考查了三角形的翻折问题，垂直的定义，等腰三角形的判定与性质以及直角三角形中正弦值的求解，在翻折过程中由边长和角度不变，可求解翻折前后的角度是解决本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵AB：BC=3：4，
∴设AB=3x，BC=4x，
∵∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠ABC=90°，
∵∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴ABAC=ADAB，
∴3x5x=AD3x，
∴AD=95x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠AEB=∠AFD，
∵∠AFD=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∵∠ABE=∠ADF=90°，
∠BAE=∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴BEDF=ABAD，
∴BFDF=ABAD=3x95x=53，
故选：A．
设AB=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC= AB2+BC2=5x，根据相似三角形的性质得到AD=95x，根据等腰三角形的性质得到BE=BF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−60°−40°=80°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE=∠ACB=80°．
故选：C．
利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解．
本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
11.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠DAC=60°，AB=AC=BC=8，
∵AD=BE=2，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴∠DAF=∠ACD，
∵∠ADF=∠ADC，
∴△DAF∽△DCA，
∴AD：DC=DF：AD，
∴DF⋅DC=AD2=4，
∴CF⋅CD=(CD−DF)⋅CD=CD2−DF⋅DC=CD2−4，
过D作DH⊥BC于H，
∴∠DHB=90°，
∴∠BDH=90°−60°=30°，
∴BH=12BD，
∵BD=AB−AD=8−2=6，
∴BH=3，
∴DH= 3BH=3 3，
∵CH=BC−BH=8−3=5，
∴CD2=CH2+DH2=52，
∴CF⋅CD=CD2−4=48．
故选：C．
由等边三角形的性质推出△ABE≌△CAD(SAS)，得到∠DAF=∠ACD，判定△DAF∽△DCA，推出DF⋅DC=AD2=4，得到CF⋅CD=CD2−4，过D作DH⊥BC于H，由含30度角的直角三角形的性质得到BH=12BD=3，DH= 3BH=3 3，由勾股定理求出CD2=CH2+DH2=52，于是得到CF⋅CD=48．
本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，关键是判定△ABE≌△CAD(SAS)，推出∠DAF=∠ACD，判定△DAF∽△DCA，得到DF⋅DC=AD2．
12.【答案】AD
【解析】解：A、若a=b，则a2=b2，正确，故A符合题意；
B、如果a3>b3，那么|a|不一定大于|b|，例如：a=−1，b=−3，满足a3>b3，但是|a|∠B，
∴∠APC>∠C，
若△APC为“反直角三角形”，
①当∠APC−∠C=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=CD=12BC=4，
∴AD= AB2−BD2=3，
∵∠B=∠C，
∴∠APC−∠B=∠BAP=90°，
∵∠B=∠B，∠ADB=∠PAB=90°，
∴△ADB∽△PAB，
∴ABBP=BDAB，
∴5BP=45，
∴BP=254；
②当∠APC−∠CAP=90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M，
∴∠APC−∠APM=∠CPM=90°，
∴∠CAP=∠APM，
∴AM=PM，
∵PM⊥BC，AD⊥BC，
∴PM//AD，
∴△CMP∽△CAD，
∴CPCD=PMAD=CMAC，
设CP=x，则BP=8−x，
∴x4=PM3=CM5，
∴PM=34x，CM=54x，
∴AC=AM+CM=PM+CM=34x+54x=5，
∴x=52，
∴BP=8−52=112；
③当∠CAP=∠C+90°时，
∵sin∠C=ADAC=35，sin30°=12，且35>12，
∴∠C>30°，
∴∠BAC120°，即∠CAP>∠BAC，
∴此种情况不存在，
④当∠CAP=∠APC+90°时，
∵当点P与点B重合时，∠APC最小，此时∠APC=∠B>30°，
同理③可证，此种情况不存在；
综上可知，BP的长为254或112，
故答案为：254或112．
22.【答案】①作图如下：

②作图如下：
DE=4
【解析】解：(1)①根据角平分线的尺规作图作∠BAC的平分线AD，交BC于点D，如图所示：
②根据垂直平分线的尺规作图作线段AD的垂直平分线，交AB于点E，交AD于点F，如图所示．
(2)由条件可知AB=2AC=12，∠BAC=90°−30°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD=30°，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴DE=AE，
∴∠ADE=∠EAD=30°，
∴∠BED=30°+30°=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BDE=180°−30°−60°=90°，
∴BE=2DE，
则AB=BE+AE=2DE+DE=3DE，
即12=3DE，
∴DE=4．
(1)①根据角平分线的尺规作图过程进行解答即可；
②根据垂直平分线的尺规作图过程进行解答即可；
(2)结合角平分线以及垂直平分线的性质，证明∠BDE=90°，运用30度角的直角三角形的性质得BE=2DE，再列式化简得AB=BE+AE=3DE，最后代入数值计算，即可作答．
本题考查了角平分线的作法、线段垂直平分线的作法，熟练掌握以上知识点是关键．
23.【答案】证明：(1)∵点D、F分别为AB、BC的中点，
∴DF/​/AC，AD=BD，
∴∠A=∠FDB，
在△AED和△DFB中，
∠AED=∠DFB∠A=∠FDBAD=BD，
∴△AED≌△DFB(AAS)；
(2)由(1)知：△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠B，
∴DE/​/BC，
∴∠EDF=∠DFB，
∵DF//AC，
∴∠C=∠DFB，
∴∠EDF=∠C．
【解析】(1)根据三角形中位线定理得DF/​/AC，AD=BD，然后利用AAS即可证明△AED≌△DFB；
(2)由(1)△AED≌△DFB，得∠ADE=∠B，然后利用平行线的性质即可证明∠C=∠EDF．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键．
24.【答案】见解析．
【解析】解：如图，△COE即为所求．
①作∠AOB的角平分线；②过点D作角平分线的垂线，交OA于C、交OB于E，则△COE为所求等腰三角形(底边CE，CO=EO)．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意正确作出图形．
25.【答案】135° 5+2
【解析】解：(1)∵在△ABC中，∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=∠ABO=12∠ABC,∠OCB=∠ECO=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB，
=12(∠ABC+∠ACB)
=12×90°
=45°，
∴∠BOC=135°；
(2)∵DE/​/BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
由(1)得，∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，
∴∠DOB=∠DBO，∠EOC=∠ECO，
∴BD=DO，EC=OE，
∵DE=OD+OE，
∴DE=BD+EC，
∵在 Rt△ABC中，AC=2，BC=3，∠A=90°，
∴AB= BC2−AC2= 32−22= 5，
∴C△ADE=AD+DE+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC= 5+2．
(1)根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=90°，又由BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，即可求得∠BOC；
(2)由平分及平行的条件可得DE=BD+EC，利用勾股定理可求AB，从而可得周长为AB+AC，即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，掌握其相关知识点是解题的关键．
26.【答案】【小题1】
在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，
∴∠BAC=60∘．
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD=30∘．
∴∠ADC=180∘−∠ACB−∠CAD
=180∘−30∘−30∘
=120∘．
【小题2】
由(1)可知，∠ACD=∠CAD=30∘，
∴AD=CD，∠ADB=60∘．
∴∠CDF=60∘．
如图，连接CF．
由作图过程可知，MN是CD的垂直平分线，
∴FC=DF．
∴△CDF是等边三角形．
∴FC=DF=CD=AD．
∵AB=3，∠BAD=30∘，
∴AD=ABcs30∘=3 32=2 3．
∴DF=AD=2 3．

【解析】1. 略
2. 略
27.【答案】AM=AN=10 2cm；
5.6cm．
【解析】(1)窗户旋转角∠MAN=90°时，测得∠MNA=45°，
∴∠AMN=∠MNA=45°，
∵MN=20，
∴AM=AN=MN⋅sin45°=10 2(cm)；
(2)作M′H′⊥BA交BA的延长线于点H′，
∠M′N′H′=37°，M′N′=20cm，
∴M′H′=M′N′⋅sin37°=20×0.6=12(cm)，
H′N′=M′H′tan∠M′N′H′=12tan37∘=16(cm)，
∵AM′=AM=10 2，
AH′= AM′2−M′H′2=2 14(cm)．
∴AN′=H′N′−AH′=(16−2 14)cm
∴端点N在此过程中滑动的长度为：10 2−(16−2 14)≈5.6(cm)．
(1)先证明∠AMN=∠MNA=45°，再利用三角函数的意义进行计算即可；
(2)如图3中，作M′H⊥BA交BA的延长线于点H′，解直角三角形得出是AN′，进一步相减可得出结论．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
28.【答案】【小题1】
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE,CF相交于点D，
∴∠BFD=∠CED=90 ∘，∠BDF=∠CDE，
在▵BDF和▵CDE中，
∠BFD=∠CED∠BDF=∠CDEBD=CD,
∴▵BDF≌▵CDEAAS．
【小题2】
证明：由(1)知▵BDF≌▵CDE，
∴DF=DE，
又∠BFD=∠CED=90 ∘
∴AD平分∠BAC．
【小题3】
解：∵∠AFC=90 ∘,∠C=50 ∘，
∴∠BAC=90 ∘−∠C=40 ∘，
由(2)知，AD平分∠BAC．
∴∠DAC=∠DAB=12∠BAC=20 ∘，
∴∠DAC的度数是20 ∘．

【解析】1.
本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明▵BDF≌▵CDE是解题的关键．
由BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE,CF相交于点D，得∠BFD=∠CED=90 ∘，∠BDF=∠CDE，而BD=CD，即可根据“AAS”证明▵BDF≌▵CDE；
2.
由(1)知▵BDF≌▵CDE，得DF=DE，由∠BFD=∠CED=90 ∘可得出AD平分∠BAC．
3.
由∠AFC=90 ∘，∠C=50 ∘，求得∠BAC=40 ∘，由AD平分∠BAC，可得∠DAC=12∠BAC=20 ∘．
29.【答案】证明：∵DF是△ABC的中位线，
∴DF/​/AB，
∴∠CDE=∠A，
在△CDE和△BAC中，
CD=BA∠CDE=∠ADE=AC,
∴△CDE≌△BAC(SAS)，
∴∠E=∠BCA．
【解析】根据三角形中位线定理得DF/​/AB，然后证明△CDE≌△BAC(SAS)，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
30.【答案】120 PI与EB′的距离需大于 3+12m 能放进直径为35cm的圆柱形桶
【解析】解：(1)120°．
∵EB′⊥EA，
∴∠AEB′=90°．
∵AB=1m，
∴AB′=1m．
∵AE=0.5m，
∴cs∠EAB′=0.51=12，
∴∠EAB′=60°
∴∠BAB′=120°，
故答案为120；
(2)如图，作PM⊥AB于点M，连接AP，
，
则PM=0.5m，∠AMP=90°，
由题意得AP=AB=1m，
∴AM= 12−0.52= 32(m)．
∵AE=0.5m，
∴EM=0.5+ 32= 3+12(m)，
∴PI与EB′的距离需大于 3+12m．
(3)能放进直径为35cm的圆柱形桶．理由如下：
如图，设圆心为O，△AB′E的内切圆半径为r m，连接切点OX，OY，OZ，则四边形EYOX为正方形，
，
∴EX=EY=r m，
∴AX=AZ=(0.5−r)m，B′Z=B′Y，
∵AE=0.5m，AB′=1m，∠E=90°，
∴EB′= 12−0.52= 32(m)，
∴B′Y=B′Z=( 32−r)m．
∵AB=1m，
∴AZ+B′Z=1，
∴0.5−r+ 32−r=1，
解得r= 3−14，
∴2r= 3−12≈0.365(m)，0.365m=36.5cm>35cm，
∴能放进直径为35cm的圆柱形桶．
(1)在Rt△AB′E中，由AE=0.5、AB′=1，得cs∠EAB′=AEAB′=12，故∠EAB′=60°，因此∠BAB′=120°；
(2)过P作PM⊥AB，在Rt△APM中，由AP=1、PM=0.5，得AM= 32，故EM=AE+AM= 3+12≈1.37m，即PI与EB′的距离需大于约1.37m；
(3)先求Rt△AB′E的内切圆半径r= 3−14，得直径2r≈36.5cm>35cm，故直径35cm的桶能放入．
本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用，属于中档题．