专题16 相似三角形（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）(原卷版+解析版)

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►考向一 相似三角形的判定与性质
1.（2024•德州）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ）
A．B．C．D．
2.（2024•济南）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在中，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长．
►考向二 相似与四边形的综合
1.（2024•东营）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2.（2024•泰安）综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结，与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和，将纸片展平，连结，，，同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分剧点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
3.（2024•威海）如图，在中，对角线，BD交于点，点在上，点在CD上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
4.（2024•烟台）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
5.（2024•淄博）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
6.（2024•山东）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A．B．3C．D．4
►考向三 相似与圆的综合
1.（2024•泰安）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．

2.（2024•威海）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
1.（2024•淄博）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段DE所成的比始终相等．请予以证明．
一、单选题
1．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图1是某班级的花架，图2是其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25九年级上·山东济南·期中）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23九年级上·山东滨州·期末）下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
二、填空题
4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）在中华人民共和国75周年华诞到来之际，某学校开展了“我心绘版图 美丽白纸坊”手绘地图活动．小明绘制了一张比例尺为的青岛城区交通游览图，栈桥的图上长度约为，则栈桥的实际长度约为 m．
5．（2023·山东菏泽·一模）题目：“如图，纸片的直角边，是纸片边上不与、、重合的一点，欲过点剪下一个与相似的三角形．问有几种不同的剪法．”对于其答案，甲答：当点在斜边AB上时有三种不同的剪法；乙答：当点在直角边上时有三种不同剪法；丙答：当点在直角边上时有四种不同的剪法．回答正确的人是 ．

6．（2023·山东济南·三模）如图，在矩形中， ，，E是的中点，F是线段上的一点，连接，把沿折叠，使点B落在点G处，连接，的延长线交线段于点H．给出下列判断：①；②；③当时，的长度是 ④线段长度的最小值是 ；⑤当点G落在矩形的对角线上，的长度是3或；其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）

三、解答题
7．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于．
(1)若是的中点，则______；
(2)若，则______；
(3)若，则______；
(4)若，猜想______，并证明．
8．（24-25九年级上·山东济南·期中）小敏同学在学习了投影一章的知识后，想利用相关知识测量小区内一座假山的高度，于是他设计了这样的方案：
如图1，假山的顶端有一盏路灯E，小敏同学在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量路灯下标杆投影的长度，以及标杆底段B到假山正下方点D的距离，利用三角形相似的相关知识便可以求出假山的高度．
(1)若，，请用关于a，b的代数式表示假山的高度．
(2)在实际操作中，小敏测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点D处根本无法直接到达，小敏稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到C点处，测得此时标杆在路灯下的影长变为，根据这些数据便可以计算假山的高度，请你帮助小敏求出假山的高度．
9．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图（1），在四边形中，对角线平分，．
(1)求证：；
(2)小宇为了研究图（1）中线段之间的数量关系，设．
①建立模型：请求出关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；
②画出图象：请在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出①中该函数的图象；
③归纳性质：请写出①中该函数的一条性质：_____；
(3)问边与边的和是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
10．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）在一次数学课上，小颖和小慧用两个全等的等腰直角三角板进行探究活动，使的一个顶点落在边上，再绕这个点旋转，与边、分别交于点M、N．
(1)如图1，小颖把的直角顶点D放在的中点处，然后绕点D旋转，她发现四边形的面积始终保持不变．若，则四边形的面积为________；（直接写出答案）
(2)如图2，小慧把顶点F放在边上任意一点处，然后绕点F旋转，她认为与始终相似．小慧的判断正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由；
(3)如图3，小颖把顶点F放在的中点处，然后绕点F旋转，与的延长线交于点N．请探究线段、、的数量关系，并给出证明．
11．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图①，黄金矩形纸片中，，折出一个正方形后，余下的矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比．
(1)求黄金矩形的宽与长的比；
(2)用黄金矩形纸片进行如下操作（如图②）：
第一步：折出正方形；
第二步：对折正方形，展开，折痕为，连接；
第三步：折叠纸片使落在所在的直线上，发现折痕恰好经过点A，展开，折痕与交于点M；
第四步：过点M作线段，垂足为R．
求证：矩形也是黄金矩形；
(3)如图③，若点G为正方形的边上（不与端点重合）一动点，，连接，折叠纸片使落在上，点F的对应点为点N，折痕交于点M，过点M作线段，垂足为R．当四边形的周长为3时，直接写出矩形的周长．
12．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中为太阳能电板，均为钢架且垂直于地面为水平钢架且垂直于CD，测得．若某一时刻的太阳光线垂直照射．
(1)求钢架的长；
(2)求太阳能电板的影子的长（结果保留小数点后两位）．
13．（24-25九年级上·山东青岛·期中）（1）如图①，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；
（2）如图热，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；
（3）正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；（用含的代数式表示）
（4）如图③，正方形的边长为，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________．（用含，的代数式表示）
14．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接．
(1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）．
(2)如图1所示，若为任意锐角，证明：．
(3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程．
15．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，中，分别为上的点，，将绕点A逆时针旋转，连接，且三点恰好在一条直线上．
(1)如图①，连接，求证：；
(2)如图②，若为直角三角形，，延长交于点F，若，求的值；
(3)如图③，若为等腰三角形，，点G为内一点，连接，且，请直接写出 的长．
课标要求
考点
考向
1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
2. 通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。
3. 掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
4. 了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似。
5. 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方。
6．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
7. 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
相似三角形
考向一 相似三角形的判定与性质
考向二 相似与四边形的综合
考向三 相似与圆的综合
考点 相似三角形
解题技巧
已知一对等角，则找另一对等角或该角的两边对应成比例；
有两边对应成比例，则找夹角相等或第三边也对应成比例；
证明两直角三角形相似时，往往证明一对锐角相等即可；
证明两等腰三角形相似时，往往证明顶角相等或者底角相等.