2026年高考数学一轮专题训练：空间向量及其运算 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：空间向量及其运算 [含答案]，共14页。
A．12B．35C．23D．34
2．（2025春•江苏校级期中）如图，三棱锥O﹣ABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，且OM→=3MA→，CN→=12CB→，则MN→=（ ）
A．−14a→+13b→+13c→B．−34a→+12b→+12c→
C．14a→+13b→+13c→D．34a→+12b→+12c→
3．（2025春•姜堰区期中）已知向量a→=(x，4，−2)，b→=(−2，y，1)，若a→∥b→，则（ ）
A．xy＝﹣8B．xy＝﹣2C．xy＝2D．xy＝8
4．（2025春•邗江区校级期中）已知A，B，C，D是空间直角坐标系O﹣xyz中的四点，P是空间中任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．若A（﹣4，﹣3，2）与B（a，b，c）关于平面yOz对称，则a+b+c＝3
B．若AB→=AC→+AD→，则A，B，C，D共面
C．若PD→=16PA→+43PB→−16PC→，则A，B，C，D共面
D．若A（0，0，2），B（1，2，0），C（2，m，n）三点共线，则m+n＝2
5．（2025春•福建期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA→=a→，PB→=b→，PC→=c→，且AM→=MB→，PN→=2NC→，则MN→=（ ）
A．12a→+12b→+23c→B．12a→+12b→−23c→
C．−12a→−12b→+23c→D．12a→−12b→+23c→
6．（2025春•福建期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，D(32，1，22)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A．S2＜S1＜S3B．S3＜S1＜S2C．S3＜S2＜S1D．S1＜S3＜S2
7．（2025春•福建期中）如图，在棱长为22的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，且AF→在DE→方向上的投影向量为λDE→，则λ的值为（ ）
A．16B．−16C．66D．−66
8．（2025春•芗城区校级期中）如图在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC、BD相交于O，M为OC1的中点，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，则MC→=（ ）
A．14a→+14b→−12c→B．14a→−14b→−12c→
C．−14a→−14b→+12c→D．−34a→+14b→−12c→
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•福建期中）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若非零空间向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，b→⊥c→，则有a→∥c→
B．若直线l的一个方向向量为e→=(3，0，1)，平面α的一个法向量为n→=(−23，0，2)，则l∥α或l⊂α
C．若向量a→=(−1，m，2)，b→=(2，−1，n)，且a→∥b→，则mn＝﹣2
D．若向量a→=(4，1，2)，b→=(1，3，1)，c→=(1，t，−1)，且a→，b→，c→共面，则t＝﹣8
（多选）10．（2025春•碑林区校级期中）以下说法正确的有（ ）
A．若平面向量a→，b→，c→两两夹角相等，且|a→|=1，|b→|=1，|c→|＝3，则|a→+b→+c→|=2
B．已知向量a→=（1，2），b→=（2，2），则向量a→在向量b→方向上的投影向量的坐标为(32，32)
C．已知点O是△ABC内的一点，若2OA→+OB→+3OC→=0→，S△ABC，S△BOC分别表示△ABC，△BOC的面积，则S△ABC：S△BOC＝3：1
D．已知点O是△ABC内的一点，若OA→⋅(AB→|AB→|+CA→|CA→|)=OB→⋅(BA→|BA→|+CB→|CB→|)=OC→⋅(BC→|BC→|+CA→|CA→|)=0，则点O是△ABC的垂心
（多选）11．（2025春•高邮市期中）在空间直角坐标系中，A（2，0，1），B（0，2，1），C（1，1，0），D（0，0，0），则（ ）
A．向量AC→在向量AB→上的投影向量为12AB→
B．若某直线的方向向量为a→=(1，−1，0)，则该直线与平面ABD平行
C．异面直线AC与BD所成角的余弦值为1515
D．点C在平面ABD内的射影为点C′(12，12，1)
（多选）12．（2024秋•乐山期末）已知空间向量a→=（﹣2，1，2），b→=（1，−12，m），则下列选项正确的是（ ）
A．|a→|＝9
B．若a→⊥b→，则m=54
C．若a→∥b→，则m＝1
D．若m＝1，则cs＜a→，b→＞=−19
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•莲湖区期中）已知a→，b→是两个单位向量，且2a→−b→+c→=0→，则|c→|的取值范围是 ．
14．（2025春•杨浦区期中）已知空间向量a→=(1，−2，3)，b→=(2，m，6)，若a→∥b→，则实数m的值为 ．
15．（2025春•盐城期中）已知直线l的方向向量为b→=(0，−1，1)，则向量a→=(1，2，3)在直线l上的投影向量坐标为 ．
16．（2025春•邗江区期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面四边形ABCD为矩形，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，AA1＝2，AB＝AD＝1，则AC1＝ ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•沭阳县期中）已知a→=(3，2，−1)，b→=(2，1，2)．
（1）求(a→−b→)⋅(a→+2b→)；
（2）当(ka→−b→)∥(a→+b→)时，求实数k的值．
18．（2025春•沭阳县期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，棱长都为2，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，设AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→，M，N分别是棱AA1，BC的中点，点P为棱C1D1上的动点．
（1）用a→，b→，c→表示A1N→；
（2）若P为棱C1D1的中点，求|MP→+NC1→|；
（3）是否存在点P，使AP⊥A1N，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．
19．（2025春•高邮市期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足DC＝3BD，E为线段AD的中点，设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→．
（1）试用向量a→，b→，c→表示向量OE→；
（2）若OA＝OB＝4，OC＝3，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°，求OE→⋅BC→的值．
20．（2025春•江苏校级期中）在如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1=22，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→．
（1）用a→，b→，c→表示AC1→，BD1→，AC→；
（2）求AC1的长；
（3）求异面直线BD1与AC所成角的余弦值．
高考数学一轮复习 空间向量及其运算
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春•姜堰区期中）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E为PA的中点，点F满足PF→=2FC→，点Q满足PQ→=λQD→，若B、E、F、Q四点共面，则λ＝（ ）
A．12B．35C．23D．34
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】由共面向量的基本定理得出BQ→=mBE→+nBF→，利用空间向量的减法可得出PQ→=(1−m−n)PB→+12mPA→+23nPC→，设PQ→=kPD→，利用空间向量的线性运算得出PQ→=kPA→−kPB→+kPC→，进而可得出关于k、m、n的方程组，解出k的值，即可得出λ的值．
解：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E为PA的中点，点F满足PF→=2FC→，点Q满足PQ→=λQD→，
如下图所示：
因为B、E、F、Q四点共面，且BE→、BF→不共线，
则存在m、n∈R，使得BQ→=mBE→+nBF→，
即PQ→−PB→=m(PE→−PB→)+n(PF→−PB→)，
所以PQ→=(1−m−n)PB→+mPE→+nPF→=(1−m−n)PB→+12mPA→+23nPC→，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD→=BC→，即PD→−PA→=PC→−PB→，
所以PD→=PA→−PB→+PC→，
设PQ→=kPD→，则PQ→=kPA→−kPB→+kPC→，
因为PA→、PB→、PC→不共面，所以1−m−n=−k12m=k23n=k，解得k=25，所以PQ→=25PD→，
又因为PQ→=λQD→，故λ=23，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
2．（2025春•江苏校级期中）如图，三棱锥O﹣ABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，且OM→=3MA→，CN→=12CB→，则MN→=（ ）
A．−14a→+13b→+13c→B．−34a→+12b→+12c→
C．14a→+13b→+13c→D．34a→+12b→+12c→
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】B
【分析】利用空间向量的运算法则求解即可．
解：三棱锥O﹣ABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，且OM→=3MA→，CN→=12CB→，
则MN→=MO→+OC→+CN→
=−OM→+OC→+12CB→
=−34OA→+OC→+12(OB→−OC→)
=−34OA→+12OB→+12OC→
=−34a→+12b→+12c→．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
3．（2025春•姜堰区期中）已知向量a→=(x，4，−2)，b→=(−2，y，1)，若a→∥b→，则（ ）
A．xy＝﹣8B．xy＝﹣2C．xy＝2D．xy＝8
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】A
【分析】直接利用向量共线的充要条件求出结果．
解：向量a→=(x，4，−2)，b→=(−2，y，1)，若a→∥b→，
所以x−2=4y=−21，解得xy＝﹣8．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（2025春•邗江区校级期中）已知A，B，C，D是空间直角坐标系O﹣xyz中的四点，P是空间中任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．若A（﹣4，﹣3，2）与B（a，b，c）关于平面yOz对称，则a+b+c＝3
B．若AB→=AC→+AD→，则A，B，C，D共面
C．若PD→=16PA→+43PB→−16PC→，则A，B，C，D共面
D．若A（0，0，2），B（1，2，0），C（2，m，n）三点共线，则m+n＝2
【考点】空间向量及其线性运算；共面直线及四点共面．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】C
【分析】利用对称求解判断A；
利用共面向量定理及推论判断BC；
利用向量共线求解判断D．
解：A选项，由A（﹣4，﹣3，2）与B（a，b，c）关于平面yOz对称，得a＝4，b＝﹣3，c＝2，a+b+c＝3，A选项正确；
B选项，由AB→=AC→+AD→及共面向量定理得A，B，C，D共面，B选项正确；
C选项，16+43+(−16)≠1，则点A，B，C，D不共面，C选项错误；
D选项，AB→=(1，2，−2)，AC→=(2，m，n−2)，由点A，B，C共线，得AB→∥AC→，
则21=m2=n−2−2，解得m＝4，n＝﹣2，m+n＝2，D选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查了共面向量定理及推论，属于基础题．
5．（2025春•福建期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA→=a→，PB→=b→，PC→=c→，且AM→=MB→，PN→=2NC→，则MN→=（ ）
A．12a→+12b→+23c→B．12a→+12b→−23c→
C．−12a→−12b→+23c→D．12a→−12b→+23c→
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】C
【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解即可．
解：由题意可知，PA→=a→，PB→=b→，PC→=c→，且AM→=MB→，PN→=2NC→，
MN→=MB→+BC→+CN→=12AB→+BC→−13PC→
=12(PB→−PA→)+(PC→−PB→)−13PC→
=−12PA→−12PB→+23PC→=−12a→−12b→+23c→．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
6．（2025春•福建期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，D(32，1，22)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A．S2＜S1＜S3B．S3＜S1＜S2C．S3＜S2＜S1D．S1＜S3＜S2
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】B
【分析】求点D在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影，进而可求S1，S2，S3，即可比较大小．
解；由题意知，点D在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影分别为D1（32，1，0），D2（0，1，22），D3（32，0，22），
因为AD1→=（−12，1，0），AC→=（﹣2，4，0），所以AC→=4AD1→，所以A，D1，C三点共线，
所以S1＝S△ABC=12×2×4＝4，S2=S△OCD2=12×4×22=42，S3=S△OAD2=12×2×22=22，
所以S3＜S1＜S2．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算应用问题，是基础题．
7．（2025春•福建期中）如图，在棱长为22的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，且AF→在DE→方向上的投影向量为λDE→，则λ的值为（ ）
A．16B．−16C．66D．−66
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】B
【分析】将正四面体嵌套正方体内，建系标点，利用空间向量的坐标运算求投影向量．
解：根据题意可知，在棱长为22的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，
E，F分别为BC，CD的中点，且AF→在DE→方向上的投影向量为λDE→，
如图，将正四面体嵌套正方体内，并以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
因为正四面体ABCD的棱长为22，可知正方体的棱长为2，
则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，2），D（2，0，2），E（1，2，1），F（1，1，2），
可得AF→=(1，1，2)，DE→=(−1，2，−1)，
则AF→在DE→方向上的投影向量为(AF→⋅DE→DE→2)DE→=−16×6=−16DE→，
所以λ的值为−16．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，属于中档题．
8．（2025春•芗城区校级期中）如图在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC、BD相交于O，M为OC1的中点，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，则MC→=（ ）
A．14a→+14b→−12c→B．14a→−14b→−12c→
C．−14a→−14b→+12c→D．−34a→+14b→−12c→
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】A
【分析】利用向量的线性运算法则，CM→=12CC1→+12CO→=12CC1→+14(CB→+CD→)，进而可得答案．
解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC、BD相交于O，M为OC1的中点，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，
所以CC1→=AA1→=c→，AD→=BC→=b→，AB→=DC→=a→，
CM→=12CC1→+12CO→=12CC1→+14CA→=12CC1→+14(CB→+CD→)=12c→−14b→−14a→=−14a→−14b→+12c→．
故MC→=14a→+14b→−12c→．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•福建期中）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若非零空间向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，b→⊥c→，则有a→∥c→
B．若直线l的一个方向向量为e→=(3，0，1)，平面α的一个法向量为n→=(−23，0，2)，则l∥α或l⊂α
C．若向量a→=(−1，m，2)，b→=(2，−1，n)，且a→∥b→，则mn＝﹣2
D．若向量a→=(4，1，2)，b→=(1，3，1)，c→=(1，t，−1)，且a→，b→，c→共面，则t＝﹣8
【考点】空间向量的共线与共面；空间向量基本定理及空间向量的基底；平面的法向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】BCD
【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：分析可知e→⊥n→，结合线面关系分析判断；对于C：根据向量共线的判断定理分析求解；对于D：根据向量共面的判定定理分析求解．
解：对于选项A：例如a→=(1，0，0)，b→=(0，1，0)，c→=(0，0，1)，即a→，b→，c→为空间直角坐标系各轴正方向上的单位向量，显然满足a→⊥b→，b→⊥c→，
但a→，c→不共线，故A错误；
对于选项B：向量为e→=(3，0，1)，平面α的一个法向量为n→=(−23，0，2)，因为e→⋅n→=3×(−23)+0+1×2=0，即e→⊥n→，
所以l∥α或l⊂α，故B正确；
对于选项C：由于a→∥b→，
则存在λ∈R，使得a→=λb→=(2λ，−λ，nλ)，
则−1=2λm=−λ2=nλ，解得λ=−12m=12n=−4，所以mn＝﹣2，故C正确；
对于选项D：若向量a→，b→，c→共面，
则存在实数x，y，使得c→=xa→+yb→=(4x+y，x+3y，2x+y)，
则4x+y=1x+3y=t2x+y=−1，解得x=1y=−3t=−8，故D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的坐标运算，向量的共面，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）10．（2025春•碑林区校级期中）以下说法正确的有（ ）
A．若平面向量a→，b→，c→两两夹角相等，且|a→|=1，|b→|=1，|c→|＝3，则|a→+b→+c→|=2
B．已知向量a→=（1，2），b→=（2，2），则向量a→在向量b→方向上的投影向量的坐标为(32，32)
C．已知点O是△ABC内的一点，若2OA→+OB→+3OC→=0→，S△ABC，S△BOC分别表示△ABC，△BOC的面积，则S△ABC：S△BOC＝3：1
D．已知点O是△ABC内的一点，若OA→⋅(AB→|AB→|+CA→|CA→|)=OB→⋅(BA→|BA→|+CB→|CB→|)=OC→⋅(BC→|BC→|+CA→|CA→|)=0，则点O是△ABC的垂心
【考点】空间向量的数量积运算；平面向量的投影向量．
【专题】计算题；整体思想；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】ABC
【分析】选项A：利用向量模长公式，结合两两夹角相等的条件（120°），计算向量和的模长．选项B：应用投影向量公式，计算向量a→在b→方向上的投影坐标．选项C：通过向量线性组合关系，结合面积比例公式，推导面积比．选项D：分析向量点积条件是否对应垂心的定义．
解：选项A：平面向量a→，b→，c→两两夹角为120°模长分别为1、1、3．将沿x轴放置，
b→与a→夹角120°，c→与a→夹角240°，计算得a→+b→+c→=(−1，−3)，模长为2，故正确．
选项B：向量a→=(1，2)在b→=(2，2)上的投影向量为a→⋅b→|b→|2b→=68(2，2)=(32，32)故正确．
选项C：已知点O在△ABC内，满足2OA→+OB→+3OC→=0°将向量方程改写为：2(A→−O→)+(B→−O→)+3(C→−O→)=0，
整理得：2A→+B→+3C→=6O→⟹O→=2A→+B→+3C→6，
这表明点O是点A、B、C的加权平均，权重分别为2、1、3，
设△ABC的面积为S△ABC，△BOC的面积为S△BOC，
假设A（0，0），B（b，0），C（c，d），则点O的坐标为：O(b+3c6，d2)，
S△BOC=12|b⋅(d2−d)+b+3c6⋅(d−0)+c|=12|−bd2+bd+3cd6−cd2|=12|−3bd6+bd+3cd6−3cd6|=12⋅bd3=bd6．
而△ABC的面积为：S△ABC=12⋅b⋅d．
因此，面积比为：S△ABCS△BOC=12bd16bd=3．S△ABC：S△BOC＝3：1，故正确．
选项D：因为OA→⋅(AB→|AB→|+CA→|CA→|)=OB→⋅(BA→|BA→|+CB→|CB→|)
=OC→⋅(BC→|BC→|+CA→|CA→|)=0，说明向量垂直，
已知条件表明OA垂直于角A的平分线，OB垂直于角B的平分线，OC垂直于角C的平分线，
因此点O是三角形ABC的旁心，而不是垂心故错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
（多选）11．（2025春•高邮市期中）在空间直角坐标系中，A（2，0，1），B（0，2，1），C（1，1，0），D（0，0，0），则（ ）
A．向量AC→在向量AB→上的投影向量为12AB→
B．若某直线的方向向量为a→=(1，−1，0)，则该直线与平面ABD平行
C．异面直线AC与BD所成角的余弦值为1515
D．点C在平面ABD内的射影为点C′(12，12，1)
【考点】空间向量的投影向量与投影；空间向量法求解直线与平面所成的角．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】AC
【分析】根据投影向量的定义求向量AC→在向量AB→上的投影向量，判断A；
求平面ABD的法向量，再根据直线的方向向量与法向量的关系及直线与平面的位置关系判断B求；
AC→，BD→，结合向量夹角公式求异面直线AC与BD所成角的余弦值，判断C；
通过判断点C不在平面ABD内，判断D．
解：对于A，因为A（2，0，1），B（0，2，1），C（1，1，0），D（0，0，0），
所以AC→=(−1，1，−1)，AB→=(−2，2，0)，
所以向量AC→在向量AB→上的投影向量为AC→⋅AB→|AB→|⋅AB→|AB→|=422×22AB→=12AB→，A正确；
对于B，设平面ABD的法向量为n→=(x，y，z)，则n→⋅DA→=0n→⋅DB→=0，
又DA→=(2，0，1)，DB→=(0，2，1)，所以2x+z=02y+z=0，取x＝1，可得y＝1，z＝﹣2，
所以n→=（1，1，﹣2）为平面ABD的一个法向量，
因为a→=(1，−1，0)，故n→•a→=1﹣1+0＝0，
所以该直线可能在平面ABD内或与平面ABD平行，B错误；
对于C，由已知AC→=(−1，1，−1)，DB→=(0，2，1)，设异面直线AC与BD所成的角为θ，
所以csθ=|cs〈AC→，DB→〉|=|AC→⋅DB→|AC→||DB→||=13×5=1515，
所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为1515，C正确；
对于D，因为D（0，0，0），C′(12，12，1)，所以DC′→=(12，12，1)，
又n→=（1，1，﹣2）为平面ABD的一个法向量，所以DC→⋅n→=12+12−2≠0，
所以点C(12，12，1)不在平面ABD内，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了投影向量的定义，属于中档题．
（多选）12．（2024秋•乐山期末）已知空间向量a→=（﹣2，1，2），b→=（1，−12，m），则下列选项正确的是（ ）
A．|a→|＝9
B．若a→⊥b→，则m=54
C．若a→∥b→，则m＝1
D．若m＝1，则cs＜a→，b→＞=−19
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】BD
【分析】根据向量a→的坐标即可求出a→的长度，从而判断A的正误；
根据a→⊥b→得出a→⋅b→=0，从而判断B的正误；
根据a→∥b→可得出−21=1−12=2m，解出m，然后可判断C的正误；
根据m＝1及向量夹角的余弦公式即可判断D的正误．
解：∵a→=(−2，1，2)，∴|a→|=4+1+4=3，A错误；
若a→⊥b→，则a→⋅b→=−2−12+2m=0，解得m=54，B正确；
若a→∥b→，则−21=1−12=2m，解得m＝﹣1，C错误；
若m＝1，则cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=−2−12+23×32=−19，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，平行向量和垂直向量的坐标关系，向量夹角的余弦公式，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•莲湖区期中）已知a→，b→是两个单位向量，且2a→−b→+c→=0→，则|c→|的取值范围是 [1，3] ．
【考点】空间向量的加减运算；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】[1，3]．
【分析】根据空间向量的运算性质即可求解．
解：由2a→−b→+c→=0→，可得c→=b→−2a→，
根据|c→|=c→2=(b→−2a→)2=b→2−4a→⋅b→+4a→2，
因为a→，b→是单位向量，所以a→2=b→2=1，则|c→|=5−4a→⋅b→，
由于a→，b→是单位向量，设夹角为θ，a→•b→=csθ∈[−1，1]，
当a→⋅b→=−1时，|c→|=5+4=3（最大值），
当a→⋅b→=1时，|c→|=5−4=1（最小值），
所以|c→|的取值范围是[1，3]．
故[1，3]．
【点评】本题考查了空间向量的运算性质，属于基础题．
14．（2025春•杨浦区期中）已知空间向量a→=(1，−2，3)，b→=(2，m，6)，若a→∥b→，则实数m的值为 ﹣4 ．
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】﹣4．
【分析】直接利用向量共线的充要条件求出结果．
解：由于空间向量a→=(1，−2，3)，b→=(2，m，6)，若a→∥b→，
故12=−2m=36，解得m＝﹣4．
故﹣4．
【点评】本题考查的知识点：向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
15．（2025春•盐城期中）已知直线l的方向向量为b→=(0，−1，1)，则向量a→=(1，2，3)在直线l上的投影向量坐标为 （0，−22，22） ．
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（0，−22，22）．
【分析】直接利用向量的投影向量的定义和向量的线性运算求出结果．
解：直线l的方向向量为b→=(0，−1，1)，则向量a→=(1，2，3)在直线l上的投影向量坐标为|a→|⋅cs＜a→，b→＞⋅b→|b→|=(a→⋅b→)⋅b→|b→|2=（0，−22，22）．
故（0，−22，22）．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的投影向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16．（2025春•邗江区期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面四边形ABCD为矩形，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，AA1＝2，AB＝AD＝1，则AC1＝ 2 ．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】2．
【分析】取定空间的一个基底{AA1→，AB→，AD→}，表示出AC1→，再利用数量积的运算律求得答案．
解：根据题意可知，AA1→⋅AB→=AA1→⋅AD→=2×1×cs120°=−1，而AB⊥AD，则AB→⋅AD→=0，
而AC1→=AC→+CC1→=AB→+AD→+AA1→，则AC1→2=(AB→+AD→+AA1→)2
=AB→2+AD→2+AA1→2+2AB→⋅AD→+2AA1→⋅AB→+2AA1→⋅AD→=4+1+1+0﹣2﹣2＝2，
所以AC1=|AC1→|=AC1→2=2．
故2．
【点评】本题考查了数量积的运算，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•沭阳县期中）已知a→=(3，2，−1)，b→=(2，1，2)．
（1）求(a→−b→)⋅(a→+2b→)；
（2）当(ka→−b→)∥(a→+b→)时，求实数k的值．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）2；（2）﹣1．
【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解；
（2）由平行得到(ka→−b→)=λ(a→+b→)，构造等式求解即可．
解：（1）由于a→=(3，2，−1)，b→=(2，1，2)，
a→−b→=(1，1，−3)，a→+2b→=(7，4，3)，
所以(a→−b→)⋅(a→+2b→)=1×7+1×4−3×3=2，
（2）因为a→+b→=(5，3，1)≠0，
当(ka→−b→)∥(a→+b→)时，则存在λ∈R，使得(ka→−b→)=λ(a→+b→)，
即（3k﹣2，2k﹣1，﹣k﹣2）＝（5λ，3λ，λ），
所以3k−2=5λ2k−1=3λ−k−2=λ，解得k=−1λ=−1，
所以实数k的值为﹣1．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
18．（2025春•沭阳县期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，棱长都为2，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，设AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→，M，N分别是棱AA1，BC的中点，点P为棱C1D1上的动点．
（1）用a→，b→，c→表示A1N→；
（2）若P为棱C1D1的中点，求|MP→+NC1→|；
（3）是否存在点P，使AP⊥A1N，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的数乘及线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）A1N→=−a→+b→+12c→；
（2）31；
（3）存在，P为C1D1的中点．
【分析】（1）根据向量线性运算计算即可；
（2）根据向量线性运算计算得MP→+NC1→=32a→+12b→+32c→，结合向量模长计算公式以及向量数量积计算公式计算即可；
（3）设D1P→=λD1C→1，根据向量线性运算计算得AP→=a→+λb→+c→，再根据题意建立等式，计算即可．
解：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，棱长都为2，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，设AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→，M，N分别是棱AA1，BC的中点，
则A1N→=AN→−AA1→=−a→+b→+12c→．
（2）若P为棱C1D1的中点，
所以|MP→+NC1→|=|32a→+12b→+32c→|=(32a→+12b→+32c→)2=31．
（3）设D1P→=λD1C→1=λb→，0≤λ≤1，
则AP→=a→+λb→+c→，由（1）知A1N→=−a→+b→+12c→，
所以(a→+λb→+c→)⋅(−a→+b→+12c→)=0，
即−a→2+λb→2+12c→2+(1−λ)a→⋅b→+(12λ+1)b→⋅c→−12a→⋅c→=0，
化简得﹣1+2λ＝0，解得λ=12∈[0，1]，
所以这样的点P存在，且P为C1D1的中点．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（2025春•高邮市期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足DC＝3BD，E为线段AD的中点，设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→．
（1）试用向量a→，b→，c→表示向量OE→；
（2）若OA＝OB＝4，OC＝3，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°，求OE→⋅BC→的值．
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量基底表示空间向量．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】（1）OE→=12a→+38b→+18c→；
（2）−358．
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；
（2）由空间向量的数量积运算即可求解．
解：（1）由题意，DC＝3BD，E为线段AD的中点，
则OE→=OA→+AE→=OA→+12AD→
=OA→+12(AB→+BD→)=OA→+12(AB→+14BC→)
=OA→+12(OB→−OA→)+18(OC→−OB→)
=12OA→+38OB→+18OC→
=12a→+38b→+18c→；
（2）由题意，OA＝OB＝4，OC＝3，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°，
因为BC→=OC→−OB→=−b→+c→，
所以OE→⋅BC→=(12a→+38b→+18c→)⋅(−b→+c→)
=−12a→⋅b→+12a→⋅c→−38b→2+38b→⋅c→−18b→⋅c→+18c→2
=−12×(4×4×12)+12×(4×3×12)−38×16+38×(4×3×12)−18×(4×3×12)+18×9
=−4+3−6+94−34+98=−358．
【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
20．（2025春•江苏校级期中）在如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1=22，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→．
（1）用a→，b→，c→表示AC1→，BD1→，AC→；
（2）求AC1的长；
（3）求异面直线BD1与AC所成角的余弦值．
【考点】空间向量的数量积运算；异面直线及其所成的角；空间向量的数乘及线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）AC1→=a→+b→+c→，BD1→=−a→+b→+c→，AC→=a→+b→；（2）33；（3）310535．
【分析】（1）利用空间向量基本定理即可；
（2）利用模长公式求解即可；
（3）利用向量夹角公式求解即可．
（1）解：如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1=22，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→；
所以AC1→=AB→+BC→+CC1→=AB→+AD→+AA1→=a→+b→+c→，
BD1→=BA→+AD→+DD1→=−AB→+AD→+AA1→=−a→+b→+c→，
AC→=AB→+BC→=AB→+AD→=a→+b→；
（2）|a→|=1，|b→|=2，|c→|=22，
故|AC1→|2=(a→+b→+c→)2=a→2+b→2+c→2+2(a→⋅b→+b→⋅c→+c→⋅a→)=1+4+8+2×（1+4+2）＝27，
所以|AC1→|=33，即AC1的长为33；
（3）因为BD1→=b→+c→−a→，AC→=a→+b→，
同理可求得|BD1→|=15，|AC→|=7，
又因为BD1→⋅AC→=(b→+c→−a→)⋅(a→+b→)=9．
所以cs〈BD1→，AC→〉=BD1→⋅AC→|BD1→||AC→|=915×7=310535，
所以异面直线AC与BD1所成角的余弦值为310535．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．