2026年上海市静安区高三二模数学试卷及答案解析

这是一份2026年上海市静安区高三二模数学试卷及答案解析，共5页。试卷主要包含了04， 设i是虚数单位，计算， 若，则______．等内容，欢迎下载使用。
2026.04
考生注意：
1．本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟．作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、准考证号等信息，粘贴考生本人条形码．
2．本考试分设试卷和答题纸．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在草稿纸、试卷上作答一律不得分．
3．可使用符合规定的计算器．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1. 直径为的球的表面积为______．（计算结果保留）
2. 设i是虚数单位，计算：______．
3. 在的二项展开式中，的系数为______．（用数字作答）
4. 双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示）
5. 若，则______．
6. 某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为．根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为．规定：活塞销的直径在到之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是______．（结果保留三位小数）
参考数据：若随机变量，则，，．
7. 现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______．
8. 已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______．
9. 在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______．
10. 如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______．
11. 若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______．
12. 设，函数，给出下列三个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，，则．
其中所有正确结论的序号是______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置上，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
14. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
15. 袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（ ）．
A. “至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子”
B. “至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子”
C. “恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子”
D. “至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子”
16. 设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论：
①存在最小值，且最小值小于零；
②存在最大值，且最大值大于零．
则下列判断正确的选项是（ ）．
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确
C. ①和②都错误D. ①和②都正确
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17～19题每题14分，第20～21题每题18分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表．
（1）用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数）
（2）为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表．
试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平）
附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式；
18. 已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）．
（1）依次写出数列的前项；
（2）设数列的前项和为，求．
19. 如图，在长方体中，，，，是的中点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）
20. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值；
（3）过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
21. 已知函数（且）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标；
（3）若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围．
参考答案及解析：
1、【答案】
【解析】
【详解】由题意知球的半径，
所以球的表面积.
2. 设i是虚数单位，计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法及复数的乘方求解即可.
【详解】，
所以.
3. 在的二项展开式中，的系数为______．（用数字作答）
【答案】15
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】二项展开式的通项公式为.
令，解得，则.
故的系数为15.
4. 双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示）
【答案】
【解析】
【分析】首先得到双曲线的两条渐近线，再利用正切两角和差公式求解即可.
【详解】由题可得，，因此渐近线方程为，
两条渐近线斜率为​，​.
两直线夹角，夹角公式为​​​，
代入得，​
由于​且，因此夹角大小为.
5. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可求解.
【详解】，
故.
6. 某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为．根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为．规定：活塞销的直径在到之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是______．（结果保留三位小数）
参考数据：若随机变量，则，，．
【答案】0.954
【解析】
【详解】依题意，活塞销的直径，，
因此，
所以随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是0.954
7. 现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______．
【答案】
【解析】
【详解】用分别表示交换1次，2次后白球还在A罐中的事件，
依题意，，，，
由全概率公式得，
所以交换2次后，白球还在A罐子中的概率是.
8. 已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______．
【答案】
【解析】
【详解】当时，，
，
又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2，
，
．
9. 在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】设的中点为，在底面的投影为，则就是与底面所成角，再解三角形求正弦值即可．
【详解】设的中点为，在底面的投影为，如图，
由对称性可知在上，
就是与底面所成角，
又
，，
又是等腰直角三角形，，
，，
．
10. 如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线、的方程，联立求解得到点坐标，根据两点间的距离公式即可求出.
【详解】因为，，所以.
以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，，即.
因为为边的中点，所以.
因为，所以.
直线：，即.
直线：，即.
联立，解得，即.
故.
11. 若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______．
【答案】
【解析】
【分析】设，根据复数的几何意义分析可得，，联立方程运算求解即可.
【详解】设，，，，
因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆，
可得；
且，则，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
则，，，可得，
联立方程，解得，
且，则，可得，，
所以.
12. 设，函数，给出下列三个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，，则．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】②③
【解析】
【分析】对①：结合的单调性，令即可得反例；对②：利用函数性质判断的单调性，则可求出各段的上界，再令计算即可得；对③：分及进行讨论，当时，利用点到直线的距离公式计算即可得解；当时，计算出即可得解.
【详解】对①：若，即时，有，
则在区间上单调递增，故①错误；
对②：由，
则当时，单调递增，当时，单调递增，
当时，单调递减，当时，单调递减，
则时，，当时，，
当时，，
要使得存在最大值，则，解得，故②正确；
对③：由题意可得，若，则在上，
则，
由，则；
若，则，
有，故；
综上可得：恒成立，故③正确.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置上，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和函数值得变化趋势即可判断．
【详解】解：
定义域为
故排除，
又，
函数为偶函数，
图象关于轴对称，故排除，
，
当时，的变化是越来越快，故排除
故选：．
【点睛】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
14. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由解得或，即集合，
由可得，解得，即集合；
所以.
15. 袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（ ）．
A. “至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子”
B. “至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子”
C. “恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子”
D. “至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子”
【答案】C
【解析】
【分析】利用对立事件、互斥事件的定义判断即可．
【详解】记随机取出两枚棋子，均为黑色棋子为事件，一枚黑色棋子、一枚白色棋子为事件，均为白色棋子为事件.
对于A：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“至多有一枚黑色棋子” 包含事件、事件.
两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.A不满足.
对于B：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是黑色棋子”为事件.
两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.B不满足.
对于C：“恰好有一枚白色棋子”为事件，“都是黑色棋子”为事件.
两个事件不能同时发生，且并集不是全集（缺少事件），是互斥而不对立事件.C满足.
对于D：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是白色棋子”为事件.
两个事件不能同时发生，且并集是全集，是对立事件.D不满足.
16. 设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论：
①存在最小值，且最小值小于零；
②存在最大值，且最大值大于零．
则下列判断正确的选项是（ ）．
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确
C. ①和②都错误D. ①和②都正确
【答案】A
【解析】
【分析】分、为同一平面的相邻顶点、、为同一平面的不相邻顶点及、为体对角线上两顶点进行讨论，可求出对应的长度，取中点为，利用空间向量线性运算与数量积公式可得，再求出对应范围即可得解.
【详解】设中点为，
若、为同一平面的相邻顶点，则，
则，即，
，
此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零；
若、为同一平面的不相邻顶点，则，
则，即，
此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零；
若、为体对角线上两顶点，则，
则，即，
则，
此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，最大值等于零；
综上可得：①正确；②错误.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17～19题每题14分，第20～21题每题18分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表．
（1）用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数）
（2）为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表．
试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平）
附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式；
【答案】（1）
（2）在犯错误的概率不超过0.05 的前提下，认为A、B两地区的人群对该品牌净化的知晓情况有显著差异
【解析】
【分析】（1）计算出样本中心以及回归系数和，即可求解；
（2）利用列联表中的数据，代入公式计算观测值，并与临界值3.841进行比较，从而判断两个分类变量是否有关.
【小问1详解】
由表可知，样本中心 为：
.
.则 .
所以，净化器的年销售量 关于年份代码 的线性回归方程为：.
【小问2详解】
根据 列联表中的数据，计算 的观测值：
.
因为 ，
所以，在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为 A、B 两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况有显著差异.
18. 已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）．
（1）依次写出数列的前项；
（2）设数列的前项和为，求．
【答案】（1）数列的前项依次为
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据等差数列、等比数列的通项公式，分别求出和的通项，再按​的分段定义，依次代入到，区分奇偶项计算得到前项；
（2）将​拆分为前项中的奇数项和与偶数项和两部分：奇数项是的前个奇数项，构成新等差数列，用等差数列求和公式计算；偶数项是的前个偶数项，构成新等比数列，用等比数列求和公式计算，最后将两部分和相加得到​．
【小问1详解】
根据题意可得，，
所以，，，
，，，
所以数列的前项依次为．
【小问2详解】
．
所以．
19. 如图，在长方体中，，，，是的中点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用棱锥的体积公式求解；
（2）通过建立空间直角坐标系，得到两个平面的法向量进而求解二面角即可.
【小问1详解】
因为底面是直角梯形，上底，下底，高，
因此梯形面积 ，
四棱锥的高为到底面的距离，即，
因此体积 .
【小问2详解】
以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系，
根据题意得各点坐标，，，，
平面​的一个法向量为，
在平面中，向量，，设平面的法向量为，
则 令，得，即.
设锐二面角为，则 ，
​​ 因此锐二面角大小为.
20. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值；
（3）过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在定点 ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线 的方程，并与椭圆联立方程组，利用韦达定理及的条件，建立直线参数间的关系，再使用点到直线的距离公式即可证明.
（3）设直线 的方程为 ，并与椭圆联立方程组，求出 的值，结合三点共线则即可求解.
【小问1详解】
由题意知 ，即 .
又因为离心率 ，所以 ，所以 .
故椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
证明：设 。
因为 ，所以 .
设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 得 ，
由韦达定理得 .
代入 ，即 ，
整理得 。
代入韦达定理结果并化简得 。
原点 到直线的距离
所以原点 到直线 的距离为定值 .
【小问3详解】
存在定点 ，理由如下：
由（1）知 ，设直线 的方程为 ，
设 ，则 ，
联立方程组 ，消去 得 ，
由韦达定理得 .
设 ，若 三点共线，则 ，
即 ，整理得 .
将 代入上式，化简得 .
代入韦达定理结果，得 .
化简得 ，解得 .
所以存在定点 ，使得 三点始终共线.
21. 已知函数（且）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标；
（3）若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围．
【答案】（1）极大值，无极小值
（2），切点坐标为
（3）的取值范围
【解析】
【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值；
（2）先求导得到切线斜率公式，再根据 “切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数” 列三个方程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出和切点坐标；
（3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围．
【小问1详解】
当时，，的定义域为，
，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以在处取极大值，无极小值．
【小问2详解】
，
设切点为，切线的斜率为，所以①，
因为切点同时在曲线和切线上，所以②，
由①得③，由②得④，
③④得⑤，
将⑤代入②中得，即⑥，
设，，
令，
由，得，单调递增，
又，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
又，
所以是的唯一零点，
即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为．
【小问3详解】
令，即，整理得，
问题转化为在有个不同正根，
令，
，
若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意，
若，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意），
所以，解得，
所以的取值范围．
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码x
1
2
3
4
5
年销售量у（万台）
2
3.5
2.5
8
9
知晓
不知晓
合计
A地区
80
20
100
B地区
40
60
100
合计
120
80
200
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码x
1
2
3
4
5
年销售量у（万台）
2
3.5
2.5
8
9
知晓
不知晓
合计
A地区
80
20
100
B地区
40
60
100
合计
120
80
200
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828