2026年上海市静安区高三下学期二模数学试卷和答案

这是一份2026年上海市静安区高三下学期二模数学试卷和答案，共13页。试卷主要包含了04，00mm，根据长期生产数据，该， 7， 8  x， y  1等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
直径为 22cm 的球的表面积为
 1 i 3

设 i 是虚数单位，计算：  1 i  

在 x3 

1 6 
x

的二项展开式中， x2 的系数为（用数字作答）
双曲线
x2  2
y
4
 1的两条渐近线夹角大小是（结果用反三角函数值表示）
若sin 2  ct   1 ，则cs 2
tan 
 23

某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为 10.00mm，根据长期生产数据，该
活塞销的实际直径服从正态分布，方差2 为 0.02 mm2 ，规定：活塞销的直径在 9.96mm 到 10.04mm 之间为合格品，随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是（结果保留三位小数）
参考输数据：若随机变量 X ~ N 2,2  ，则 P  X    0.683 ，
P  2 X   2  0.954 ， P  3 X   3  0.997
现有两个罐子，都放有 3 个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A 罐中放有 2 个红球，1 个白球，
B 罐中放有 3 个红球，从两个罐子中各摸出 1 个球并交换，这样交换 2 次后，白球还在 A 罐子中的概率是
已知定义在 R 上的偶函数 y  f  x 的最小正周期为 2，当 0  x  1, f  x  x ，则当 7  x  8 时，
f  x 
在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体 ABCDEF 为“刍（chu）甍
（meng）”，若底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，EF=2，且 EF//AB， AED 和BFC 是等腰直角三角形，
∠AED=∠BFC=90°，则 FC 与底面 ABCD 所成角的正弦值为
如图所示，在ABC 中，BAC 
, AC
3
 2 AB , AB  1 ，P 为边 AC 的中点，D 在边 AB 上，且
AD  2 DB ，CD 交 BP 于点 R，则 CR 
若满足 z  5 ，且 z  5  z  5  6 的复数 z 有两个，分别设为 z1 , z2 ，则 z1  z2 
x  2,
a 2  x 2

设 a  0 ，函数 f  x   ,
x

1,
x  a
a  x  a ，给出下列三个结论：
x  a
① y  f  x 在区间a 1,  上单调递减
②当a  1 时， y  f  x 存在最大值
③设 M  x1, f  x1  x1  a, N  x2 , f  x2  x2  a ，则 MN  1.
其中所有正确结论的序号是
二、选择题
4
函数 y  x 3 的大致图像是（ ）
已知集合 A  x | x2  x  6  0, B  x | x  3  0 ，则 A  B  （ ）
1 x
2, 3
3,1

C. 3
D. 2
袋子里有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（ ）
“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B.“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子”
C.“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D.“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子”
设 M、N 分别是棱长为 1 的正方体的两个不同顶点，点 P 在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与 M、N 两点重合，关于 PM  PN ，给出下列两个结论：
① PM  PN 存在最小值，且最小值小于零
② PM  PN 存在最大值，且最大值大于零则下列判断正确的选项是（ ）
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确
C. ①和②都错误D. ①和②都正确
三、解答题
下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表
用计算器计算净化器的年销售量 y 关于年份代码 x 的线性回归方程（回归系数计算结果保留两位小数）
知晓
不知晓
合计
A 地区
80
20
100
B 地区
40
60
100
合计
120
80
200
为了调查 A、B 两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在 A、B 两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查，统计知晓与不知晓的人数，得到如下 2  2 列联表
试根据表中数据判断 A、B 两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异（规定显著水平
 0.05 ）
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码 x
1
2
3
4
5
年销售量 y（万台）
2
3.5
2.5
8
9
n
x  x  y
 y 


a 
i1ii
i1
i
附：关于回归方程 y  ax  b ，回归系数的计算公式
n i1
xi
 x 2

其中x, y 为样本点的中心：
n ad  bc 2


 b 

n i1
 yi
 a n x n
2 的计算公式2 
a  bb  d a  c c  d 
P 2  k  
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
已知等差数列an 的首项 a1  1 ，公差为 2，等比数列bn的首项b1  1 ，公比为 2，数列cn 满足
c   an ,
当n为奇数时
（n 为正整数）
n
bn ,
当n为偶数时
依次写出数列cn的前 6 项；
设数列cn的前 n 项和为 Sn ，求 S2n .
如图，在长方体 ABCD  A1B1C1D1 中，AB=4，BC=3， CC1  2 ，M 是 AB 的中点.
求四棱锥 A1  AMCD 的体积；
求平面 A1 ADD1 与平面 A1MC 所成的锐二面角的大小.（结果用反三角函数值表示）

2
2
2
2
在 xOy 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设椭圆 : xy  1a  b  0 ,  的左、右焦点分别为
ab
F , F , F F  2,  的离心率为 1 .
121 22
求椭圆 的方程；
过原点 O 作两条相互垂直的射线，与椭圆 分别交于 A、B 两点，证明：原点 O 到直线 AB 的距离为定值；
过椭圆 的右焦点 F2 且不与坐标轴垂直的直线 l 与椭圆 交于 P、Q 两点，点 M 是点 P 关于 x 轴的对称点，在 x 轴上是否存在一个定点 N，使得 M、Q、N 三点始终共线? 若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，说明理由.
已知函数 f  x  a ln x （ a  R 且 a  0 ）
x
当 a  1时，求函数 y  f  x 的极值；
若直线 y  x 1是曲线 y  f  x 的一条切线，求 a 的值和切点的坐标；
a
2
若函数 g  x   x  2  a 的图像与 y  f  x 的图像相交于相异两点 A 和 B，求 a 的取值范围.
4x
参考答案
一、填空题
1. 4842. i
3. 154.
arctan 4
3
5. 7
9
6. 0.9547. 5
9
8. 8  x
9.6
4
10.7
2
11. 32
5
12. ②③
二、选择题
13. A14. D15. C16. D
三、解答题
17.（1） y  1.85x  0.55
（2）有显著差异
18.（1）1 和 2 和 5 和 8 和 9 和 32 （2） S2n
 2n2  n  2  4n  2
33
19.（1）6 （2） arccs 322
22
x2  y2 2
20.（1）
43
1 （2）定值为
7
21 ，证明略
21.（1） 1
e
（2） a 的值为 1；切点坐标为（1,0） （3） a 2e, 