1.5.1 角平分线的性质定理及其逆定理-课件--北师大版数学八年级下册（新教材）

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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月1日1.5.1 角平分线的性质定理及其逆定理第一章 三角形的证明及其应用班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟本次练习题围绕“1.5.1 角平分线的性质定理及其逆定理”核心知识点设计，重点考查角平分线的定义、性质定理、逆定理，以及定理的简单应用和综合运用，衔接前序三角形、全等三角形、垂直平分线等相关知识，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握角平分线的解题规范，规避定理与逆定理混淆、应用条件遗漏、距离判断错误等常见问题。一、基础梳理（必记内容）（一）角平分线的定义（基础）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。补充说明：① 角平分线是一条射线，不是直线或线段，它的端点是角的顶点；② 一个角有且只有一条平分线；③ 角平分线将角分成两个度数相等的小角，且两个小角的和等于原角的度数。（二）角平分线的性质定理（重点，必记）1. 定理内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2. 几何表示：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则PD = PE。3. 应用前提（易错点）：① 点必须在角的平分线上；② 距离是指点到角两边的垂线段长度，而非点到角顶点的距离，且两条垂线段必须垂直于角的两边（PD⊥OA、PE⊥OB缺一不可）；③ 性质定理可直接用于证明两条垂线段相等，无需通过全等三角形证明，简化推理过程。4. 证明思路：可通过构造两个直角三角形，利用AAS定理证明全等，进而推出PD = PE（简要推导：OC平分∠AOB→∠AOC=∠BOC，PD⊥OA、PE⊥OB→∠PDO=∠PEO=90°，OP=OP，Rt△PDO≌Rt△PEO，故PD=PE）。（三）角平分线的逆定理（重点，必记）1. 定理内容：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。2. 几何表示：如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD = PE，则点P在∠AOB的平分线上（即射线OP平分∠AOB）。3. 应用前提（易错点）：① 点必须在角的内部（若点在角的外部，到角两边距离相等，不一定在角的平分线上）；② 点到角两边的距离必须是垂线段长度，且两条垂线段分别垂直于角的两边；③ 逆定理可用于判定一条射线是角的平分线（若一个点在角内部，且到角两边距离相等，则连接角顶点与该点的射线是角的平分线）。4. 补充说明：性质定理与逆定理是互逆关系——性质定理是“平分线上的点→到两边距离相等”（由线定点的性质）；逆定理是“到两边距离相等的点→在平分线上”（由点定线的判定）。（四）角平分线的综合应用技巧- 1. 证明线段相等：若已知点在某角的平分线上，且该点到角两边的垂线段已作出，直接利用性质定理得出垂线段相等；- 2. 判定角平分线：找到角内部一个到角两边距离相等的点，连接该点与角顶点的射线，即为角的平分线；- 3. 结合全等三角形：当无法直接用性质定理或逆定理时，可结合全等三角形证明垂线段相等或点在角平分线上，衔接前序知识；- 4. 结合垂直平分线：角平分线与垂直平分线常综合应用，可通过两者的性质推导线段相等、角相等。5. 易错提醒：① 混淆性质定理与逆定理的因果关系（性质是“线→点”，逆定理是“点→线”）；② 应用性质定理时，忽略“点在角平分线上”或“垂线段垂直于角的两边”这两个前提；③ 应用逆定理时，忽略“点在角的内部”这一前提；④ 误将“点到角顶点的距离”当作“点到角两边的距离”；⑤ 证明逆定理时，未结合直角三角形全等推导。二、选择题（每题3分，共15分）1. 下列关于角平分线的说法，正确的是（ ） A. 角平分线是一条直线 B. 角平分线把一个角分成两个互补的角 C. 从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线是角的平分线 D. 角平分线上的点到角顶点的距离相等 2. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD=3cm，则PE的长度为（ ）A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 3. 下列说法错误的是（ ） A. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B. 在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 C. 角的平分线是到角两边距离相等的点的集合 D. 任意一点到角两边的距离相等，都在这个角的平分线上 4. 在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，CD⊥AD于点D，则下列结论正确的是（ ） A. BD=CD B. AB=AC C. AD=BD D. ∠ABD=∠ACD 5. 下列能判定射线OP是∠AOB的平分线的是（ ） A. 点P在∠AOB内部，且PA=PB（PA⊥OA，PB⊥OB） B. 点P在∠AOB外部，且PA=PB（PA⊥OA，PB⊥OB） C. 点P在OP上，且PA=PB（PA⊥OA，PB⊥OB） D. 点P在∠AOB内部，且PA=PB 三、填空题（每题3分，共15分）1. 从一个角的________出发，把这个角分成两个________的角的射线，叫做这个角的平分线。2. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的________的距离相等。3. 角平分线的逆定理：在一个角的________，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的________上。4. 在△ABC中，AD平分∠BAC，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=4cm，则DF=________cm。5. 若点P在∠AOB的内部，且到OA、OB的距离相等，则射线OP是∠AOB的________，其依据是________。四、解答题（共70分）1. （10分）基础题，考查角平分线的定义、性质定理及逆定理。（1）请完整叙述角平分线的定义、性质定理（含几何表示）和逆定理（含几何表示）；（2）简述角平分线性质定理与逆定理的区别与联系。解：2. （12分）辨析题，考查角平分线定理的易错点及关系判断。（1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正：① 角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点都在角的平分线上；② 角平分线是一条线段，能把一个角分成两个相等的角；③ 点P到∠AOB两边的距离相等，则点P一定在∠AOB的平分线上；④ 角平分线上的点到角两边的线段相等。（2）为什么说角平分线的逆定理中，“点在角的内部”这一前提必不可少？请举例说明。解：3. （12分）基础证明题，考查性质定理及逆定理的简单应用。（1）如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE；（2）如图，点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OP平分∠AOB；（3）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE=AF。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程）4. （12分）综合证明题，考查定理与等腰三角形、全等三角形的综合应用。（1）在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，求证：BD=CD，AD⊥BC；（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，若CD=3cm，求DE的长度，并证明AC=AE；（3）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，求证：AD平分∠BAC。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程）5. （12分）应用题，考查角平分线定理在实际场景中的应用。（1）一块三角形草坪ABC，∠BAC的平分线AD交BC于D，现要在AD上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，说明点P的位置，并求若PD=2m，点P到AB的距离；（2）某工厂有两个车间A、B，位于一条公路的同侧，现要在公路旁建一个仓库P，要求仓库P到两个车间A、B的距离相等，且到公路的距离等于到车间A的距离，用文字说明仓库P的位置确定方法；（3）工人师傅要制作一个角平分线工具，已知一个角为60°，用尺规作出这个角的平分线，并说明依据（结合性质定理或逆定理）。解：6. （12分）综合题，考查角平分线定理的灵活运用（与垂直平分线、直角三角形综合）。（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE垂直平分AB，交AB于点E，求证：AD=BD；（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF，且AE=AF；（3）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，交AD于点O，交AB于E，交AC于F，求证：∠EAD=∠EDA。解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和证明步骤）参考答案（简要提示）一、选择题：1.C 2.B 3.D 4.A 5.A二、填空题：1. 顶点；相等 2. 两边 3. 内部；平分线 4. 4 5. 平分线；角平分线的逆定理三、解答题：1.（1）定义、性质定理、逆定理及几何表示略；（2）区别：性质定理是“线→点”（角平分线上的点到两边距离相等），逆定理是“点→线”（到两边距离相等的点在角平分线上）；联系：二者互逆，可相互推导 2.（1）①错误，改正：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，在角内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②错误，改正：角平分线是一条射线；③错误，改正：点P在∠AOB内部，且到OA、OB的距离相等，则点P在∠AOB的平分线上；④错误，改正：角平分线上的点到角两边的垂线段相等；（2）举例略（角外部到角两边距离相等的点，不在角的平分线上） 3.（1）证明略（利用角平分线性质定理）；（2）证明略（利用角平分线逆定理）；（3）证明略（AD平分∠BAC→DE=DF，AD=AD，Rt进行新课OECBAD通过刚刚的折纸活动，你能得出什么结论？角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥ OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。求证：PD = PE。证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠PDO =∠PEO = 90°。∵ ∠1 =∠2，OP = OP，∴△PDO ≌△PEO（AAS）。∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）。性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.应用所具备的条件：定理的作用：证明线段相等.应用格式：∵ OP 是∠AOB 的平分线，∴ PD = PEPD⊥OA，PE⊥OB，角平分线的判定你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请你证明自己结论的正确性。在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE.求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.∴ OP 平分∠AOB.∵PD = PE ，OP = OP ，证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，∴∠ODP =∠OEP = 90°.∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL).∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等).判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.例1 如图，在△ABC中，∠BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长.解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF，∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD = 30°.在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，C 返回1．已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为(　　)2．[2025江门月考]如图，在△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分AC，DB＝DE，则∠C的度数为(　　)A．30° B．45° C．60° D．75°【点拨】【答案】C 返回6 返回3．4． 返回3 cm小明将两把完全相同的直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2 cm，5 cm，则OC的长度是____________.5． 返回6．如图，CB＝CD，∠D＋∠ABC＝180°，CE⊥AD于点E.(1)求证：AC平分∠DAB；【证明】如图，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F. ∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°.∵∠D＋∠ABC＝180°，∠CBF＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF.又∵CD＝CB，∴△CDE≌△CBF(AAS)．∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB.(2)若AE＝10，DE＝4，求AB的长. 返回角平分线性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等判定定理角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上