十年(2016-2025)高考数学真题分类汇编(全国通用)专题28圆锥曲线(椭圆、双曲线)填选题综合(93题)(学生版+解析)

这是一份十年(2016-2025)高考数学真题分类汇编(全国通用)专题28圆锥曲线(椭圆、双曲线)填选题综合(93题)(学生版+解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

考点01：椭圆方程及其性质
一、单选题
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：x2+y2=16（y>0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A．x216+y24=1（y>0）B．x216+y28=1（y>0）
C．y216+x24=1（y>0）D．y216+x28=1（y>0）
【答案】A
【分析】设点M(x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点M(x,y)，则P(x,y0),P'(x,0)，
因为M为PP'的中点，所以y0=2y，即P(x,2y)，
又P在圆x2+y2=16(y>0)上，
所以x2+4y2=16(y>0)，即x216+y24=1(y>0)，
即点M的轨迹方程为x216+y24=1(y>0).
故选：A
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2．若e2=3e1，则a=（ ）
A．233B．2C．3D．6
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由e2=3e1，得e22=3e12，因此4−14=3×a2−1a2，而a>1，所以a=233.
故选：A
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，F1,F2为椭圆C:x29+y26=1的两个焦点，点 P在C上，cs∠F1PF2=35，则|OP|=（ ）
A．135B．302C．145D．352
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PF1F2的面积，即可得到点P的坐标，从而得出OP的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出PF1PF2,PF12+PF22，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出PF12+PF22，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设∠F1PF2=2θ,00)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（ ）
A．32B．22C．12D．13
【答案】A
【分析】设Px1,y1，则Q−x1,y1，根据斜率公式结合题意可得y12−x12+a2=14，再根据x12a2+y12b2=1，将y1用x1表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设Px1,y1，则Q−x1,y1
则由kAP⋅kAQ=14得：kAP⋅kAQ=y1x1+a⋅y1−x1+a=y12−x12+a2=14，
由x12a2+y12b2=1，得y12=b2a2−x12a2，
所以b2a2−x12a2−x12+a2=14，即b2a2=14，
所以椭圆C的离心率e=ca=1−b2a2=32，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：kPB=−kAQ
故kAP⋅kAQ=kPA⋅−kPB=−14，
由椭圆第三定义得：kPA⋅kPB=−b2a2，
故b2a2=14
所以椭圆C的离心率e=ca=1−b2a2=32，故选A.
6．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1→⋅BA2→=−1，则C的方程为（ ）
A．x218+y216=1B．x29+y28=1C．x23+y22=1D．x22+y2=1
【答案】B
【分析】根据离心率及BA1⋅BA2=−1，解得关于a2,b2的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率e=ca=1−b2a2=13，解得b2a2=89，b2=89a2，
A1,A2分别为C的左右顶点，则A1−a,0,A2a,0，
B为上顶点，所以B(0,b).
所以BA1=(−a,−b),BA2=(a,−b)，因为BA1⋅BA2=−1
所以−a2+b2=−1，将b2=89a2代入，解得a2=9,b2=8，
故椭圆的方程为x29+y28=1.
故选：B.
7．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则MF1⋅MF2的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到MF1+MF2=2a=6，借助基本不等式MF1⋅MF2≤MF1+MF222即可得到答案．
【详解】由题，a2=9,b2=4，则MF1+MF2=2a=6，
所以MF1⋅MF2≤MF1+MF222=9（当且仅当MF1=MF2=3时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
8．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．22,1B．12,1C．0,22D．0,12
【答案】C
【分析】设Px0,y0，由B0,b，根据两点间的距离公式表示出 PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设Px0,y0，由B0,b，因为 x02a2+y02b2=1，a2=b2+c2，所以
PB2=x02+y0−b2=a21−y02b2+y0−b2=−c2b2y0+b3c22+b4c2+a2+b2，
因为−b≤y0≤b，当−b3c2≤−b，即 b2≥c2时，PBmax2=4b2，即 PBmax=2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即 0−b，即b2b>0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为
A．23B．12C．13D．14
【答案】D
【分析】先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.
【详解】因为△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，所以PF2=F1F2=2c,
由AP斜率为36得，tan∠PAF2=36,∴sin∠PAF2=113,cs∠PAF2=1213，
由正弦定理得PF2AF2=sin∠PAF2sin∠APF2,
所以2ca+c=113sin(π3−∠PAF2)=11332⋅1213−12⋅113=25∴a=4c,e=14，
故选：D.
11．（2018·全国II卷·高考真题）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为
A．1−32B．2−3C．3−12D．3−1
【答案】D
【详解】分析：设|PF2|=m，则根据平面几何知识可求|F1F2|,|PF1|，再结合椭圆定义可求离心率.
详解：在ΔF1PF2中，∠F1PF2=90∘,∠PF2F1=60°
设|PF2|=m，则2c=|F1F2|=2m,|PF1|=3m，
又由椭圆定义可知2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)m
则离心率e=ca=2c2a=2m(3+1)m=3−1，
故选D.
点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.
12．（2017·全国III卷·高考真题）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)满足ba=52，且与椭圆x212+y23=1有公共焦点，则双曲线C的方程为（ ）
A．x24−y23=1B．x28−y210=1
C．x25−y24=1D．x24−y25=1
【答案】D
【分析】双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出a2,b2即可.
【详解】由椭圆的标准方程为x212+y23=1，可得c2=12−3=9，即c=3，
因为双曲线C的焦点与椭圆x212+y23=1的焦点相同，所以双曲线C中，半焦距c=3，
又因为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)满足ba=52，即b=52a，
又由a2+b2=c2，即a2+52a2=9，解得a2=4，可得b2=5，
所以双曲线C的方程为x24−y25=1.
故选：D.
13．（2018·全国I卷·高考真题）已知椭圆C：x2a2+y24=1(a>0)的一个焦点为(2 ， 0)，则C的离心率为
A．13B．12C．22D．223
【答案】C
【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为2 ， 0，从而求得c=2，再根据题中所给的方程中系数，可以得到b2=4，利用椭圆中对应a,b,c的关系，求得a=22，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.
详解：根据题意，可知c=2，因为b2=4，
所以a2=b2+c2=8，即a=22，
所以椭圆C的离心率为e=222=22，故选C.
点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中a,b,c的关系求得结果.
14．（2017·浙江·高考真题）椭圆x29+y24=1的离心率是（ ）
A．133B．53C．23D．59
【答案】B
【解析】由题可知，a=3，b=2，求出c，即可求出椭圆的离心率．
【详解】因为椭圆x29+y24=1中a=3，b=2，
所以c=a2−b2=5，
得e=ca=53，
故选：B．
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值．
15．（2019·北京·高考真题）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，则
A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2bD．3a=4b
【答案】B
【分析】由题意利用离心率的定义和a,b,c的关系可得满足题意的等式.
【详解】椭圆的离心率e=ca=12,c2=a2−b2,化简得3a2=4b2,
故选B.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.
16．（2016·全国III卷·高考真题）已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A．13B．12C．23D．34
【答案】A
【详解】试题分析：如图取P与M重合，则由A(−a,0),M(−c,b2a)⇒直线AM:y=b2a−c+a(x+a)⇒E(0,b2a−c)同理由B(a,0),M(−c,b2a)⇒G(0,b2a+c)⇒b2a−c=2b2a+c⇒a=3c⇒e=13,故选A.
考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.
【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.
17．（2018·上海·高考真题）设P是椭圆x25+y23=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A．22B．23C．25D．42
【答案】C
【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．
【详解】椭圆x25+y23=1的焦点坐标在x轴，a=5，
P是椭圆x25+y23=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=25．
故选C．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．
18．（2016·全国I卷·高考真题）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( )
A．13B．12
C．23D．34
【答案】B
【详解】试题分析：不妨设直线l:xc+yb=1，即bx+cy−bc=0⇒椭圆中心到l的距离|−bc|b2+c2=2b4
⇒e=ca=12，故选B.
考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.
【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线l:xc+yb=1，即bx+cy−bc=0⇒椭圆中心到l的距离|−bc|b2+c2=2b4⇒e=ca=12，利用方程思想和数形结合思想建立方程|−bc|b2+c2=2b4是本题的关键节点.
二、多选题
19．（2020·山东·高考真题）已知曲线C:mx2+ny2=1.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为n
C．若mn0，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解，m>n>0时表示椭圆，m=n>0时表示圆，mn0时表示两条直线.
【详解】对于A，若m>n>0，则mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1，
因为m>n>0，所以1m0，则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n，
此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；
对于C，若mn0，则mx2+ny2=1可化为y2=1n，
y=±nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
三、填空题
20．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是 ．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2−12c2=0，根据离心率得到直线AF2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：x=3y−c，代入椭圆方程3x2+4y2−12c2=0，整理化简得到：13y2−63cy−9c2=0，利用弦长公式求得c=138，得a=2c=134，根据对称性将△ADE的周长转化为△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13.
【详解】∵椭圆的离心率为e=ca=12，∴a=2c，∴b2=a2−c2=3c2，∴椭圆的方程为x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2−12c2=0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，∵AF2=a，OF2=c，a=2c，∴∠AF2O=π3，∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为33，斜率倒数为3， 直线DE的方程：x=3y−c，代入椭圆方程3x2+4y2−12c2=0，整理化简得到：13y2−63cy−9c2=0，
判别式Δ=63c2+4×13×9c2=62×16×c2，
∴DE=1+32y1−y2=2×Δ13=2×6×4×c13=6，
∴ c=138， 得a=2c=134，
∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2，AE=EF2，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE周长为DF2+EF2+DE=DF2+EF2+DF1+EF1=DF1+DF2+EF1+EF2=2a+2a=4a=13.
故答案为：13.

21．（2018·北京·高考真题）已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线N：x2m2−y2n2=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 ．
【答案】 3−1 2
【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中m2,n2关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c+3c，再根据椭圆定义得c+3c=2a，解得椭圆M的离心率.
【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法
由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c+3c，再根据椭圆定义得c+3c=2a，所以椭圆M的离心率为ca=21+3=3−1.
双曲线N的渐近线方程为y=±nmx，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为π3，∴n2m2=tan2π3=3， ∴e2=m2+n2m2=m2+3m2m2=4，∴e=2.

故答案为：3−1 ；2．
［方法二］： 数形结合＋齐次式求离心率
设双曲线x2m2−y2n2=1的一条渐近线y=nmx与椭圆x2a2+y2b2=1在第一象限的交点为Ax0,y0，椭圆的右焦点为F2(c,0)．由题可知，A,F2为正六边形相邻的两个顶点，所以∠AOF2=60°（O为坐标原点）．
所以tan60°=nm=3．因此双曲线的离心率e=m2+n2m=m2+3m2m=2．
由y=nmx与x2a2+y2b2=1联立解得Aabmm2b2+a2n2,abnm2b2+a2n2．
因为△AOF2是正三角形，所以|OA|=c，因此，可得a2b2m2m2b2+a2n2+a2b2n2m2b2+a2n2=c．
将n=3m,b2=a2−c2代入上式，化简、整理得4a4−8a2c2+c4=0，即e4−8e2+4=0，解得e=3−1，e=3+1（舍去）．
所以，椭圆的离心率为3−1，双曲线的离心率为2．
故答案为：3−1 ；2．
［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形
由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为y=3x，于是双曲线N的离心率为1+(3)2=2．
设双曲线x2m2−y2n2=1的一条渐近线与椭圆x2a2+y2b2=1在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点分别为F1,F2．在△AF1F2中，∠AF1F2=π6,∠AF2F1=π3,∠F1AF2=π2．
由正弦定理得AF1sin∠AF2F1=AF2sin∠AF1F2=F1F2sin∠F1AF2．
于是AF1+AF2sin∠AF2F1+sin∠AF1F2=F1F2sin∠F1AF2．
即椭圆的离心率e=2c2a=sinπ2sinπ6+sinπ3=3−1．
故答案为：3−1 ；2．
【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；
方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂；
方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．
22．（2019·全国III卷·高考真题）设F1，F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 .
【答案】3,15
【分析】根据椭圆的定义分别求出|MF1|、|MF2|，设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.
【详解】由已知可得a2=36 , b2=20 , ∴c2=a2−b2=16 , ∴c=4，
又M为C上一点且在第一象限,△MF1F2为等腰三角形，
∴|MF1|=|F1F2|=2c=8．∴|MF2|=4．
设点M的坐标为(x0 , y0)(x0>0 , y0>0)，则S△MF1F2=12⋅|F1F2|⋅y0=4y0，
又S△MF1F2=12×4×82−22=415 , ∴4y0=415，解得y0=15，
∴x0236+(15)220=1，解得x0=3（x0=−3舍去），
∴M的坐标为(3,15)．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
23．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦点F1(−c,0)，F2(c,0) (c>0)，若过F1的直线和圆x−12c2+y2=c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【答案】 255 55
【分析】不妨假设c=2，根据图形可知，sin∠PF1F2=23，再根据同角三角函数基本关系即可求出k=tan∠PF1F2=255；再根据椭圆的定义求出a，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设c=2，设切点为B，
sin∠PF1F2=sin∠BF1A=ABF1A=23，tan∠PF1F2=232−22=255
所以k=255, 由k=PF2F1F2,F1F2=2c=4，所以PF2=855，PF1=PF2×1sin∠PF1F2=1255，
于是2a=PF1+PF2=45，即a=25，所以e=ca=225=55．
故答案为：255；55．
考点02：双曲线方程及其性质
一、单选题
24．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的7倍，则C的离心率为（ ）
A．2B．2C．7D．22
【答案】D
【分析】由题可知双曲线中a,b的关系，结合a2+b2=c2和离心率公式求解
【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c，
由题知，b=7a，
于是a2+b2=c2=a2+7a2=8a2，则c=22a，
即e=ca=22.
故选：D
25．（2025·天津·高考真题）双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线交于第一象限的点P，若PF1+PF2=3F1F2，则双曲线的离心率e=（ ）
A．2B．5C．2+12D．5+12
【答案】A
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出PF1=3c+aPF2=3c−a=PA，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设F2p2,0，双曲线的半焦距为c，Px0,y0，则p=2c，
过F1作x轴的垂线l，过P作l的垂线，垂足为A，显然直线AF1为抛物线的准线，
则PA=PF2，
由双曲线的定义及已知条件可知PF1−PF2=2aPF1+PF2=6c，则PF1=3c+aPF2=3c−a=PA，
由勾股定理可知AF12=y02=PF12−PA2=12ac，
易知y02=4cx0,∴x0=3a，即x02a2−y02b2=9a2a2−12acc2−a2=1，
整理得2c2−3ac−2a2=0=2c+ac−2a，∴c=2a，即离心率为2.
故选：

26．（2025·北京·高考真题）双曲线x2−4y2=4的离心率为（ ）
A．32B．52C．54D．5
【答案】B
【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c，即可求出离心率．
【详解】由x2−4y2=4得，x24−y2=1，所以a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5，
即a=2,c=5，所以e=ca=52，
故选：B．
27．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,−4)，点(−6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．2
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距2c，结合双曲线定义计算可得2a，即可得离心率.
【详解】由题意，设F10,−4、F20,4、P−6,4，
则F1F2=2c=8，PF1=62+4+42=10，PF2=62+4−42=6，
则2a=PF1−PF2=10−6=4，则e=2c2a=84=2.
故选：C.
28．（2024·天津·高考真题）双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P在双曲线右支上，直线PF2的斜率为2．若△PF1F2是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．x22−y28=1B．x24−y28=1C．x28−y22=1D．x28−y24=1
【答案】A
【分析】可利用△PF1F2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF2=m，由面积公式求出m，由勾股定理得出c，结合第一定义再求出a.
【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2=90°，设PF2=m，
∠PF2F1=θ1,∠PF1F2=θ2，由kPF2=tanθ1=2，求得sinθ1=25，
因为∠F1PF2=90°，所以kPF1⋅kPF2=−1，求得kPF1=−12，即tanθ2=12，
sinθ2=15，由正弦定理可得：PF1:PF2:F1F2=sinθ1:sinθ2:sin90°=2:1:5，
则由PF2=m得PF1=2m,F1F2=2c=5m，
由S△PF1F2=12PF1⋅PF2=12m⋅2m=8得m=22，
则PF2=22,PF1=42,F1F2=2c=210,c=10，
由双曲线第一定义可得：PF1−PF2=2a=22，a=2,b=c2−a2=8，
所以双曲线的方程为x22−y28=1.
故选：A
29．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A．55B．255C．355D．455
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由e=5，则c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=5，
解得ba=2，
所以双曲线的渐近线为y=±2x，
当渐近线为y=−2x时，圆心(2,3)到该渐近线的距离d=|2×2+3|22+1=755>1，不合题意；
当渐近线为y=2x时，则圆心(2,3)到渐近线的距离d=|2×2−3|22+1=55，
所以弦长|AB|=2r2−d2=21−15=455.
故选：D
30．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线x2−y29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．1,1B．−1,2C．1,3D．−1,−4
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得kAB⋅k=9，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，则AB的中点Mx1+x22,y1+y22，
可得kAB=y1−y2x1−x2,k=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2，
因为A,B在双曲线上，则x12−y129=1x22−y229=1，两式相减得x12−x22−y12−y229=0，
所以kAB⋅k=y12−y22x12−x22=9.
对于选项A： 可得k=1,kAB=9，则AB:y=9x−8，
联立方程y=9x−8x2−y29=1，消去y得72x2−2×72x+73=0，
此时Δ=−2×722−4×72×73=−2880,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2．过F2向一条渐近线作垂线，垂足为P．若PF2=2，直线PF1的斜率为24，则双曲线的方程为（ ）
A．x28−y24=1B．x24−y28=1
C．x24−y22=1D．x22−y24=1
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出b，设∠POF2=θ，由tanθ=bOP=ba得到OP=a，OF2=c.再由三角形的面积公式得到yP，从而得到xP，则可得到aa2+2=24，解出a，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为F2c,0，不妨设渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0，
所以PF2=bca2+b2=bcc=b，
所以b=2.
设∠POF2=θ,则tanθ=PF2OP=bOP=ba，所以OP=a，所以OF2=c.
因为12ab=12c⋅yP,所以yP=abc，所以tanθ=yPxP=abcxP=ba，所以xP=a2c，
所以Pa2c,abc，
因为F1−c,0，
所以kPF1=abca2c+c=aba2+c2=2aa2+a2+4=aa2+2=24，
所以2a2+2=4a，解得a=2，
所以双曲线的方程为x22−y24=1
故选：D
32．（2022·天津·高考真题）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，抛物线y2=45x的准线l经过F1，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若∠F1F2A=π4，则双曲线的方程为（ ）
A．x216−y24=1B．x24−y216=1
C．x24−y2=1D．x2−y24=1
【答案】D
【分析】由已知可得出c的值，求出点A的坐标，分析可得AF1=F1F2，由此可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线y2=45x的准线方程为x=−5，则c=5，则F1−5,0、F25,0，
不妨设点A为第二象限内的点，联立y=−baxx=−c，可得x=−cy=bca，即点A−c,bca，
因为AF1⊥F1F2且∠F1F2A=π4，则△F1F2A为等腰直角三角形，
且AF1=F1F2，即bca=2c，可得ba=2，
所以，ba=2c=5c2=a2+b2，解得a=1b=2c=5，因此，双曲线的标准方程为x2−y24=1.
故选：D.
33．（2021·全国甲卷·高考真题）已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°,PF1=3PF2，则C的离心率为（ ）
A．72B．132C．7D．13
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出PF1,PF2，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为PF1=3PF2，由双曲线的定义可得PF1−PF2=2PF2=2a，
所以PF2=a，PF1=3a；
因为∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2−2×3a⋅a⋅cs60°，
整理可得4c2=7a2，所以e2=c2a2=74，即e=72.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键.
34．（2021·天津·高考真题）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|CD|=2|AB|．则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．3C．2D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为(c,0)，进而可得准线为x=−c，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得a2=12c2，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)的公共焦点为(c,0)，
则抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=−c，
令x=−c，则c2a2−y2b2=1，解得y=±b2a，所以|AB|=2b2a,
又因为双曲线的渐近线方程为y=±bax，所以|CD|=2bca，
所以2bca=22b2a，即c=2b，所以a2=c2−b2=12c2，
所以双曲线的离心率e=ca=2.
故选：A.
35．（2021·全国甲卷·高考真题）点3,0到双曲线x216−y29=1的一条渐近线的距离为（ ）
A．95B．85C．65D．45
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：x216−y29=0，即3x±4y=0，
结合对称性，不妨考虑点3,0到直线3x+4y=0的距离：d=9+09+16=95.
故选：A.
36．（2021·北京·高考真题）若双曲线C:x2a2−y2b2=1离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）
A．2x2−y2=1B．x2−y23=1C．5x2−3y2=1D．x22−y26=1
【答案】B
【分析】分析可得b=3a，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】∵e=ca=2，则c=2a，b=c2−a2=3a，则双曲线的方程为x2a2−y23a2=1，
将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得2a2−33a2=1a2=1，解得a=1，故b=3，
因此，双曲线的方程为x2−y23=1.
故选：B
37．（2020·全国III卷·高考真题）设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】∵ca=5，∴c=5a，根据双曲线的定义可得||PF1|−|PF2||=2a，
S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|=4，即|PF1|⋅|PF2|=8，
∵F1P⊥F2P，∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2，
∴(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1|⋅|PF2|=4c2，即a2−5a2+4=0，解得a=1，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
38．（2020·全国I卷·高考真题）设F1,F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为（ ）
A．72B．3C．52D．2
【答案】B
【分析】由△F1F2P是以P为直角直角三角形得到|PF1|2+|PF2|2=16，再利用双曲线的定义得到||PF1|−|PF2||=2，联立即可得到|PF1||PF2|，代入S△F1F2P= 12|PF1||PF2|中计算即可.
【详解】由已知，不妨设F1(−2,0),F2(2,0)，
则a=1,c=2，因为|OP|=2=12|F1F2|，
所以点P在以F1F2为直径的圆上，
即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，
故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2=16，又||PF1|−|PF2||=2a=2，
所以4=||PF1|−|PF2||2= |PF1|2+|PF2|2−2 |PF1||PF2|=16−2 |PF1||PF2|，
解得|PF1||PF2|=6，所以S△F1F2P= 12|PF1||PF2|=3
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
39．（2020·天津·高考真题）设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A．x24−y24=1B．x2−y24=1C．x24−y2=1D．x2−y2=1
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点1,0可求得直线l的方程为x+yb=1，即得直线的斜率为−b，再根据双曲线的渐近线的方程为y=±bax，可得−b=−ba，−b×ba=−1即可求出a,b，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为1,0，所以直线l的方程为x+yb=1，即直线的斜率为−b，
又双曲线的渐近线的方程为y=±bax，所以−b=−ba，−b×ba=−1，因为a>0,b>0，解得a=1,b=1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
40．（2019·全国II卷·高考真题）设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．2B．3
C．2D．5
【答案】A
【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ⊥x轴，
又∵PQ=|OF|=c，∴|PA|=c2, ∴PA为以OF为直径的圆的半径，
∴A为圆心|OA|=c2．
∴Pc2,c2，又P点在圆x2+y2=a2上，
∴c24+c24=a2，即c22=a2, ∴ e2=c2a2=2．
∴e=2，故选A．
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
41．（2019·全国III卷·高考真题）双曲线C：x24−y22=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若PO=PF，则△PFO的面积为
A．324B．322C．22 D．32
【答案】A
【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由a=2 , b=2 , c=a2+b2=6 , ．
∵PO=PF , ∴xP=62，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y=22x上，
∴S△PFO=12OF⋅yP=12×6×32=324，故选A．
【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
42．（2019·全国I卷·高考真题）双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40°B．2cs40°C．1sin50°D．1cs50°
【答案】D
【分析】由双曲线渐近线定义可得−ba=tan130° , ∴ba=tan50°，再利用e=ca=1+ba2求双曲线的离心率．
【详解】由已知可得−ba=tan130° , ∴ba=tan50°，
∴e=ca=1+ba2=1+tan250°=1+sin250°cs250°=sin250°+cs250°cs250°=1cs50°，故选D．
【点睛】对于双曲线：x2a2−y2b2=1a>0 , b>0，有e=ca=1+ba2；对于椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，有e=ca=1−ba2，防止记混．
43．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=34−x2图像上的点，则|OP|=（ ）
A．222B．4105C．7D．10
【答案】D
【分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y=34−x2的图象上，即可求出点P的坐标，得到|OP|的值．
【详解】因为|PA|−|PB|=20)，而点P还在函数y=34−x2的图象上，所以，
由{y=34−x2x2−y23=1(x>0)，解得{x=132y=332，即|OP|=134+274=10．
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
44．（2019·天津·高考真题）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|=4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为
A．2B．3C．2D．5
【答案】D
【分析】只需把AB=4OF用a,b,c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
【详解】抛物线y2=4x的准线l的方程为x=−1，
双曲线的渐近线方程为y=±bax，
则有A(−1,ba),B(−1,−ba)
∴AB=2ba，2ba=4，b=2a，
∴e=ca=a2+b2a=5．
故选D．
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．
45．（2019·北京·高考真题）已知双曲线x2a2−y2=1（a＞0）的离心率是5 则a=
A．6B．4C．2D．12
【答案】D
【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.
【详解】 ∵双曲线的离心率e=ca=5 ，c=a2+1 ，
∴a2+1a=5 ，
解得a=12 ，
故选D.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
46．（2018·浙江·高考真题）双曲线x23−y2=1的焦点坐标是
A．−2,0，2,0B．−2,0，2,0
C．0,−2，0,2 D．0,−2，0,2
【答案】B
【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据c2=a2+b2求焦点坐标.
【详解】因为双曲线方程为x23−y2=1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，
因为c2=a2+b2=3+1=4,c=2，所以焦点坐标为(±2,0)，选B.
【点睛】由双曲线方程x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)可得焦点坐标为(±c,0)(c=a2+b2)，顶点坐标为(±a,0)，渐近线方程为y=±bax.
47．（2018·全国II卷·高考真题）双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0, b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为
A．y=±2xB．y=±3xC．y=±22xD．y=±32x
【答案】A
【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：∵e=ca=3,∴b2a2=c2−a2a2=e2−1=3−1=2,∴ba=2,
因为渐近线方程为y=±bax，所以渐近线方程为y=±2x，选A.
点睛：已知双曲线方程x2a2−y2b2=1(a,b>0)求渐近线方程：x2a2−y2b2=0⇒y=±bax.
48．（2018·全国III卷·高考真题）设F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1（）的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若PF1=6OP，则C的离心率为
A．5B．3C．2D．2
【答案】B
【详解】分析：由双曲线性质得到PF2=b，PO=a然后在Rt△POF2和在△PF1F2中利用余弦定理可得．
详解：由题可知PF2=b,OF2=c
∴PO=a
在Rt△POF2中，cs∠PF2O=PF2OF2=bc
∵在△PF1F2中,cs∠PF2O=PF22+F1F22−PF122PF2F1F2=bc
∴b2+4c2−6a22b⋅2c=bc⇒c2=3a2
∴e=3
故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
49．（2018·全国I卷·高考真题）已知双曲线C：x23−y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若△OMN为直角三角形，则|MN|=
A．32B．3C．23D．4
【答案】B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到∠FON=30°，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN的倾斜角为60°或120°，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60°，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得M(3,3),N(32,−32)，利用两点间距离公式求得MN的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为±33，且右焦点为F(2,0)，
从而得到∠FON=30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，
可以得出直线MN的方程为y=3(x−2)，
分别与两条渐近线y=33x和y=−33x联立，
求得M(3,3),N(32,−32)，
所以MN=(3−32)2+(3+32)2=3，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
50．（2018·全国III卷·高考真题）已知双曲线C： x2a2−y2b2=1(a>0 ， b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为
A．2B．2C．322D．22
【答案】D
【详解】分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．
详解：∵e=ca=1+(ba)2=2
∴ba=1
所以双曲线的渐近线方程为x±y=0
所以点（4，0）到渐近线的距离d=41+1=22
故选D
点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．
51．（2018·天津·高考真题）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6, 则双曲线的方程为
A．x23−y29=1B．x29−y23=1
C．x24−y212=1D．x212−y24=1
【答案】A
【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为Fc,0（c>0），则xA=xB=c，
由c2a2−y2b2=1可得：y=±b2a，
不妨设：Ac,b2a,Bc,−b2a，双曲线的一条渐近线方程为bx−ay=0，
据此可得：d1=bc−b2a2+b2=bc−b2c，d2=bc+b2a2+b2=bc+b2c，
则d1+d2=2bcc=2b=6，则b=3,b2=9，
双曲线的离心率：e=ca=1+b2a2=1+9a2=2，
据此可得：a2=3，则双曲线的方程为x23−y29=1.
本题选择A选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x2a2−y2b2=λλ≠0，再由条件求出λ的值即可.
52．（2019·浙江·高考真题）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是
A．22B．1
C．2D．2
【答案】C
【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a=b，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a=b，所以c=2a
则该双曲线的离心率为 e=ca=2，
故选C．
【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
53．（2017·天津·高考真题）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A．x24−y212=1B．x212−y24=1C．x23−y2=1D．x2−y23=1
【答案】D
【详解】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：
c=2c2=a2+b2ba=tan60∘=3，解得：a2=1,b2=3，
双曲线方程为：x2−y23=1.
故选：D..
【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于a,b,c的方程，解方程组求出a,b，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为mx2−ny2=1(mn>0)，（2）与x2a2−y2b2=1共渐近线的双曲线可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0)，（3）等轴双曲线可设为x2−y2=λ(λ≠0)等，均为待定系数法求标准方程.
54．（2017·天津·高考真题）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A．x24−y24=1B．x28−y28=1C．x24−y28=1D．x28−y24=1
【答案】B
【详解】由题意得a=b,4−c=−1⇒c=4,a=b=22⇒x28−y28=1 ，选B.
【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于a,b,c的方程，解方程组求出a,b，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为mx2−ny2=1(mn>0)，（2）与x2a2−y2b2=1共渐近线的双曲线可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0)，（3）等轴双曲线可设为x2−y2=λ(λ≠0)等，均为待定系数法求标准方程.
55．（2017·全国II卷·高考真题）若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率的取值范围是
A．(2,+∞)B．(2,2)C．(1,2)D．(1,2)
【答案】C
【详解】c2=a2+1，e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2 ，
∵a>1，∴00，解得{n>−1n0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且∠NA1M=5π6，则（ ）
A．∠A1MA2=π6B．MA1=2MA2
C．C的离心率为13D．当a=2时，四边形NA1MA2的面积为83
【答案】ACD
【分析】由平行四边形的性质判断A；由F1M⊥F2M且MO=c结合M在渐近线上可求M的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得c2=13a2，计算后可判断C的正误，或者利用MA2A1A2=b2a=3并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.
【详解】不妨设渐近线为y=bax，M在第一象限，N在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得A1MA2N为平行四边形，故∠A1MA2=π−5π6=π6，
故A正确；
对于B，方法一：因为M在以F1F2为直径的圆上，故F1M⊥F2M且MO=c，
设Mx0,y0，则x02+y02=c2y0x0=ba，故x0=ay0=b，故MA2⊥A1A2，
由A得∠A1MA2=π6，故MA2=MA1×32即MA1=233MA2，故B错误；
方法二：因为tan∠MOA2=ba，因为双曲线中，c2=a2+b2，
则cs∠MOA2=ac，又因为以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N，则OM=c，
则若过点M往x轴作垂线，垂足为H，则OH=c⋅ac=a=OA2，则点H与A2H重合，则MA2⊥x轴，则MA2=c2−a2=b，
方法三：在△OMA2利用余弦定理知，MA22=OM2+OA22−2OMOA2cs∠MOA2，
即MA22=c2+a2−2ac⋅ac=b2，则MA2=b，
则△A1A2M为直角三角形，且∠A1MA2=π6，则2MA2=3MA1，故B错误；
对于C，方法一：因为MO=12MA1+MA2，故4MO2=MA12+2MA1⋅MA2+MA22，
由B可知MA2=b,MA1=233b，
故4c2=b2+43b2+2×b×233b×32=133b2=133c2−a2即c2=13a2，
故离心率e=13，故C正确；
方法二：因为MA2A1A2=b2a=3，则ba=23，则e=ca=1+b2a2=1+(23)2=13，故C正确；
对于D，当a=2时，由C可知e=13，故c=26，
故b=26，故四边形NA1MA2为2S△MA1A2=2×12×26×22=83，
故D正确，
故选：ACD.
61．（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cs∠F1NF2=35，则C的离心率为（ ）
A．52B．32C．132D．172
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到2b=3a或a=2b，即可得解，注意就M,N在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为B，
所以OB⊥F1N，因为cs∠F1NF2=35>0，所以N在双曲线的左支，
|OB|=a，|OF1|=c， |F1B|=b，设∠F1NF2=α，由即csα=35，则sinα=45，
|NA|=32a，|NF2|=52a
|NF2|−|NF1|=2a
52a−(32a−2b)=2a，
2b=a，∴e=52
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为cs∠F1NF2=35>0，所以N在双曲线的右支，
所以|OB|=a，|OF1|=c， |F1B|=b，设∠F1NF2=α，
由cs∠F1NF2=35，即csα=35，则sinα=45，
|NA|=32a，|NF2|=52a
|NF1|−|NF2|=2a
32a+2b−52a=2a，
所以2b=3a，即ba=32，
所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=132
选C
[方法二]：答案回代法
A选项e=52
特值双曲线
x24−y2=1,∴F1(−5,0),F2(5,0)，
过F1且与圆相切的一条直线为y=2(x+5)，
∵两交点都在左支,∴N(−655,−255)，
∴|NF2|=5,|NF1|=1,|F1F2|=25，
则cs∠F1NF2=35，
C选项e=132
特值双曲线x24−y29=1,∴F1(−13,0),F2(13,0)，
过F1且与圆相切的一条直线为y=23(x+13)，
∵两交点在左右两支，N在右支，∴N(141313,181313)，
∴|NF2|=5,|NF1|=9,|F1F2|=213，
则cs∠F1NF2=35，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，
若M,N分别在左右支，
因为OG⊥NF1，且cs∠F1NF2=35>0，所以N在双曲线的右支，
又|OG|=a，|OF1|=c，|GF1|=b，
设∠F1NF2=α，∠F2F1N=β，
在△F1NF2中，有|NF2|sinβ=|NF1|sin(α+β)=2csinα，
故|NF1|−|NF2|sin(α+β)−sinβ=2csinα即asin(α+β)−sinβ=csinα，
所以asinαcsβ+csαsinβ−sinβ=csinα，
而csα=35，sinβ=ac，csβ=bc，故sinα=45，
代入整理得到2b=3a，即ba=32，
所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=132
若M,N均在左支上，
同理有|NF2|sinβ=|NF1|sin(α+β)=2csinα，其中β为钝角，故csβ=−bc，
故|NF2|−|NF1|sinβ−sin(α+β)=2csinα即asinβ−sinαcsβ−csαsinβ=csinα，
代入csα=35，sinβ=ac，sinα=45，整理得到：a4b+2a=14，
故a=2b，故e=1+(ba)2=52，
故选：AC.
三、填空题
62．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为 ．
【答案】32
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.
【详解】由题可知A,B,F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入x2a2−y2b2=1
得y=±b2a，即Ac,b2a,Bc,−b2a，故AB=2b2a=10，AF2=b2a=5，
又AF1−AF2=2a，得AF1=AF2+2a=2a+5=13，解得a=4，代入b2a=5得b2=20，
故c2=a2+b2=36,，即c=6，所以e=ca=64=32.
故答案为：32
63．（2024·天津·高考真题）设a∈R，函数fx=2x2−ax−ax−2+1.若fx恰有一个零点，则a的取值范围为 ．
【答案】−3,−1∪1,3
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数gx=2x2−ax与ℎx=ax−3,x≥2a1−ax,x0与a0时，计算函数定义域可得x≥a或x≤0，计算可得a∈0,2时，两函数在y轴左侧有一交点，则只需找到当a∈0,2时，在y轴右侧无交点的情况即可得；当a0时，则2x2−ax=ax−2−1=ax−3,x≥2a1−ax,x0,b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线于交M、N两点，若∠MAN=60∘，则C的离心率为 ．
【答案】233
【详解】如图所示，

由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|=32b，
∴|OP|=|OA|2−|PA|2=a2−34b2．
设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ，则tan θ=|AP||OP|=32ba2−34b2．
又tan θ=ba，
∴32ba2−34b2=ba，解得a2=3b2，
∴e=1+b2a2=1+13=233．
答案：233
点睛：
求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式，再根据b2=c2−a2和e=ca转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．
82．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是 ．
【答案】2
【详解】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.
详解：因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线y=±bax,即bx±ay=0的距离为|bc±0|a2+b2=bcc=b,所以b=32c，因此a2=c2−b2=c2−34c2=14c2, a=12c,e=2.
点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.
83．（2017·北京·高考真题）若双曲线x2−y2m=1的离心率为3，则实数m= ．
【答案】2
【详解】a2=1,b2=m,e2=c2a2=a2+b2a2=1+m=3，m=2.渐近线方程是y=±mx=±2x.
84．（2017·全国III卷·高考真题）双曲线x2a2−y29=1 a>0的一条渐近线方程为y=35x，则a= ．
【答案】5
【分析】依题意由双曲线方程可得双曲线的渐近线为y=±3xa，即可得到方程，解得即可.
【详解】解：双曲线x2a2−y29=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x，
又双曲线的渐近线为y=±3xa，可得3a=35，解得a=5．
故答案为：5．
85．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系xy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0) 交于A,B两点，若AF+BF=4OF，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】y=±22x
【详解】|AF|+|BF|=yA+p2+yB+p2=4×p2⇒yA+yB=p ，
因为x2a2−y2b2=1x2=2py⇒a2y2−2pb2y+a2b2=0⇒ ，所以yA+yB=2pb2a2=p⇒a=2b⇒渐近线方程为y=±22x.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2+By2=1的形式，当A>0，B>0，A≠B时为椭圆，当AB0)的离心率为52，则a= .
【答案】4
【详解】分析：根据离心率公式e=ca，及双曲线中a,b,c的关系可联立方程组，进而求解参数a的值.
详解：在双曲线中，c=a2+b2=a2+4，且e=ca=52
∴a2+4a=52,a2+4a2=54
a2=16
∵a>0,∴a=4
点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点,根据双曲线的离心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式e2=c2a2=1+b2a2，找到a,b之间的关系.
87．（2017·上海·高考真题）设双曲线x29−y2b2=1 (b>0)的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=
【答案】11
【详解】由双曲线的方程x29−y2b2=1(b>0)，可得a=3，
根据双曲线的定义可知PF1−PF2=±2a=±6，
又因为PF1=5，所以|PF2|=11.
88．（2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，双曲线x23−y2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点
P，Q，其焦点是F1 ，F2 ，则四边形F1 P F2 Q的面积是 ．
【答案】23
【详解】右准线方程为x=310=31010，渐近线方程为y=±33x，设P(31010,3010)，则Q(31010,−3010)，F1(−10,0)，F2(10,0)，则S=210×3010=23．
点睛:（1）已知双曲线方程x2a2−y2b2=1求渐近线：x2a2−y2b2=0⇒y=±bax；（2）已知渐近线y=mx可设双曲线方程为m2x2−y2=λ；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b，垂足为对应准线与渐近线的交点．
89．（2016·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，双曲线x27−y23=1的焦距是 .
【答案】210
【详解】试题分析：∵a2=7,b2=3,∴c2=a2+b2=7+3=10,∴c=10,∴2c=210．故答案应填：210
【考点】双曲线性质
【名师点睛】本题重点考查双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)揭示焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c=2a2+b2，渐近线方程为y=±bax，离心率为ca=a2+b2a．
90．（2016·浙江·高考真题）设双曲线x2–y23=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 ．
【答案】(27,8)．
【详解】试题分析：由已知得a=1,b=3,c=2，则e=ca=2，设P(x,y)是双曲线上任一点，由对称性不妨设P在双曲线的右支上，则142，解得x>72，所以720,b>0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(5,0)，则a= ；b= ．
【答案】 1 2
【详解】试题分析：依题意有{c=5−ba=−2,结合c2=a2+b2,解得a=1,b=2.
【考点】双曲线的基本概念
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
92．（2016·山东·高考真题）已知双曲线E：x2a2–y2b2=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．
【答案】2
【详解】试题分析：不妨设A(c,b2a),B(c,−b2a)，所以|AB|=2b2a,|BC|=2c，由2|AB|=3|BC|及c2=a2+b2，得：4(c2−a2)a=6c，两边同除以a，则有2e2−3e−2=0，解方程得，e=2或e=12（舍去），所以应该填2．
考点：双曲线的简单几何性质．
93．（2016·北京·高考真题）双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a= .
【答案】2
【详解】试题分析：因为四边形OABC是正方形，所以∠AOB=45°，所以直线OA的方程为y=x，此为双曲线的渐近线，因此a=b，又由题意知|OB|=22，所以a2+b2=a2+a2=(22)2，a=2．故答案为2．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
考点
十年考情 (2016-2025)
命题趋势
考点 1: 椭圆方程及其性质
2024・新课标 Ⅱ 卷：轨迹方程求解；2023・新课标 Ⅰ 卷：离心率计算；2023・全国甲卷：焦点三角形中线段长度、向量垂直时线段乘积计算；2022・全国甲卷：离心率与斜率乘积关系、椭圆方程求解 (结合向量数量积);2021・新高考全国 Ⅰ 卷：焦点距离乘积最大值；2021・全国乙卷：离心率范围 (上顶点到点距离最值);2019・全国 I 卷：椭圆方程求解 (焦点弦相关);2018・全国 II 卷：离心率计算 (焦点三角形等腰、直角);2018・全国 I 卷：离心率计算 (焦点坐标已知);2017・浙江：离心率计算；2019・北京：离心率与 a,b 关系；2016・全国 III 卷：离心率计算 (直线与椭圆交点);2018・上海：椭圆定义 (焦点距离和);2016・全国 I 卷：离心率计算 (直线距离);2020・山东：曲线方程类型判断 (含椭圆);2022・新高考全国 Ⅰ 卷：焦点三角形周长；2018・北京：椭圆与双曲线离心率 (正六边形顶点);2019・全国 III 卷：椭圆上点坐标 (焦点三角形等腰);2021・浙江：直线与圆相切及椭圆离心率
1. 离心率计算为高频考点，常结合定义、焦点三角形、斜率等知识。2. 焦点三角形相关计算 (线段长度、乘积、面积) 是重点，注重与正余弦定理、向量结合。3. 椭圆方程求解及轨迹问题注重坐标法应用。
考点 2: 双曲线方程及其性质
2025・全国一卷：离心率计算 (虚轴与实轴关系);2025・天津：离心率计算 (与抛物线结合);2025・北京：离心率计算 (标准方程);2025・全国二卷：双曲线性质综合 (角度、线段比等);2024・全国甲卷：离心率计算 (焦点与点在双曲线上);2024・天津：双曲线方程求解 (焦点三角形面积);2024・新课标 Ⅰ 卷：离心率计算 (焦点弦);2023・全国甲卷：渐近线与圆相交弦长；2023・全国乙卷：中点坐标判断 (点差法);2023・天津：双曲线方程求解 (渐近线与焦点);2023・新课标 Ⅰ 卷：离心率计算 (向量关系);2023・北京：双曲线方程求解 (焦点已知);2022・全国乙卷：离心率计算 (直线与圆相切);2022・天津：双曲线方程求解 (与抛物线准线结合);2022・全国甲卷：渐近线与圆相切 (m 值)、离心率范围 (直线与双曲线无交点);2022・北京：双曲线方程参数 (渐近线已知);2022・浙江：离心率计算 (直线与双曲线、渐近线交点);2022・上海：实轴长；2021・全国甲卷：离心率计算 (焦点三角形角度)、点到渐近线距离；2021・天津：离心率计算 (与抛物线结合);2021・北京：双曲线方程求解 (离心率已知);2021・新高考全国 Ⅱ 卷：渐近线方程 (离心率已知);2021・全国乙卷：焦距计算 (渐近线已知)、焦点到直线距离；2020・全国 III 卷:a 值计算 (焦点三角形直角);2020・全国 I 卷：焦点三角形面积、离心率计算 (斜率已知);2020・天津：双曲线方程求解 (与抛物线结合);2020・全国 III 卷：离心率计算 (渐近线已知);2020・北京：焦点坐标与焦点到渐近线距离；2020・江苏：离心率计算 (渐近线已知);2020・山东：离心率计算 (与抛物线结合);2019・全国 II 卷：离心率计算 (两圆交点);2019・全国 III 卷：焦点三角形面积；2019・全国 I 卷：离心率计算 (渐近线与焦点)、离心率与渐近线倾斜角；2020・浙江：双曲线与函数交点距离；2019・天津：离心率计算 (抛物线准线与渐近线);2019・北京:a 值计算 (离心率已知);2019・江苏：渐近线方程 (点在双曲线上);2018・浙江：焦点坐标；2018・全国 II 卷：渐近线方程 (离心率已知);2018・全国 III 卷：离心率计算 (焦点到渐近线垂线)、点到渐近线距离；2018・全国 I 卷：焦点与渐近线交点距离；2018・天津：双曲线方程求解 (离心率与距离和);2019・浙江：渐近线与离心率；2018・江苏：离心率计算 (焦点到渐近线距离);2017・天津：双曲线方程求解 (等边三角形、离心率与直线平行);2017・全国 II 卷：离心率范围、离心率计算 (渐近线与圆相交);2017・全国 I 卷：焦点三角形面积、离心率计算 (圆与渐近线交点);2017・全国 III 卷:a 值计算 (渐近线已知);2017・山东：渐近线方程 (与抛物线结合);2018・北京:a 值计算 (离心率已知);2017・上海：焦点距离差；2017・江苏：四边形面积 (准线与渐近线);2016・江苏：焦距计算；2016・浙江：焦点距离和范围 (锐角三角形);2016・北京:a,b 值计算 (渐近线已知)、a 值计算 (渐近线为正方形边);2016・全国 I 卷:n 的取值范围 (双曲线方程);2016・全国 II 卷：离心率计算 (焦点三角形角度);2016・山东：离心率计算 (矩形顶点)
1. 离心率计算是核心，常结合渐近线、焦点、抛物线等知识。2. 渐近线相关问题 (方程、与圆 / 直线位置关系、距离) 考查频繁。3. 焦点三角形计算 (面积、线段长度) 注重定义与正余弦定理应用。4. 双曲线方程求解常与抛物线、几何图形 (矩形、正方形) 结合。