四川省泸州市泸县2026届高三数学上学期12月月考试题含解析

这是一份四川省泸州市泸县2026届高三数学上学期12月月考试题含解析，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 2 至 4
页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若命题 ， ，则 p 否定是（ ）
A. , B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】含有一个全称量词的否定，将全称量词改为存在量词再把结论否定即可.
【详解】命题 ， ，则 p 否定是 ，
故选：D
2. 若全集 ，则集合 的非空真子集的个数为（ ）
A. 7 B. 6 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用补集的定义求出集合 ，进而求出非空真子集的个数.
【详解】集合 ，而 ，则 ，
所以集合 的非空真子集的个数为 .
故选：B
3. 若实数 ， 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
第 1页/共 18页
【解析】
【分析】根据不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意， ，
所以 ，A 选项错误.
当 时， ，B 选项错误.
根据不等式的性质可知 ，C 选项正确.
根据不等式的性质可知 ，D 选项错误.
故选：C
4. 某次朗诵比赛，9 位评委分别给某选手评分，最后去掉一个最高分和一个最低分，得到 7 个有效分.7 个
有效分与 9 个原始分比较，一定不变的数字特征是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的概念和性质，判断正确结果.
【详解】对于 A：平均数
原始分 = {1，1，1，1，1，1，1，8，9}，原始平均数 .
有效分 = {1，1，1，1，1，1，8}，有效平均数 = 2.
平均数改变，因此不满足“一定不变”，故 A 错误；
对于 B：中位数
原始 9 个分数排序后，中位数是第 5 个值（奇数个数据）.去掉最高分（第 9 个）和最低分（第 1 个）后，
剩余 7 个分数排序后为原序列的第 2 至第 8 个值，其中位数是第 4 个值，正好对应原序列的第 5 个值.
因此，无论原始分如何，中位数一定不变.故 B 正确；
对于 C：众数
众数是出现次数最多的值.移除最高和最低分可能改变频率分布，导致众数改变.
例如，原始分 = {1，1，2，3，4，5，6，7，7}，众数为 1 和 7（各出现 2 次）；有效分 = {1，2，3，4，5，
6，7}，所有值出现 1 次，无众数（改变）.
因此不满足“一定不变”，故 C 错误；
对于 D：方差
方差衡量数据离散程度。移除极端值（最高和最低分）通常会减小方差，因为减少了数据波动.
第 2页/共 18页
例如，原始分 = {1，8，8，8，8，8，8，8，9}，方差 大于 0；有效分 = {8，8，8，8，8，8，8}，方差 =
0（减小）.
因此不满足“一定不变”，故 D 错误.
故选：B.
5. 若直线 与圆 相切，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，圆心 到直线 的距离 ，再解方程即可．
【详解】圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 1，
根据题意得圆心 到直线 的距离 ，
解得 ．
故选：D．
6. 已知双曲线 的虚轴长为 4，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线虚轴长可得 ，再根据 的关系可得 的值，从而得双曲线 C 的离心率.
【详解】因为双曲线 的虚轴长为 4，
所以 ，则 ，
所以 ，
第 3页/共 18页
所以双曲线 C 的离心率为 .
故选：A.
7. 已知数列 满足 ，设甲： ，乙： 为等差数列.则甲是乙的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用赋值思想，结合等差数列的定义及通项公式来表达并加以判断即可.
【详解】令 ，则 ，因为 ，
所以 ，即 为等差数列，故充分性成立.
反之，若 为等差数列，设公差为 ，
则 ，
当 时， ，故必要性不成立.
故选：A.
8. 已知 ，且 ，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 ，通过平方得到 ，再结合通过三角函数关系得到
， ，进而逐项判断即可.
【详解】因为 ，两边平方，得 ，即 ，所以
，故 B 错误．
第 4页/共 18页
由上及二倍角正弦公式，得 ，因为 ，
所以 ， ， ，又 ，
所以 ．结合 ，解得 ， ，故 A 错误．
因为 ，所以 ，故 C 正确， ，故 D 错误．
故选：C．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 ，其中 ， 为虚数单位，且复数 和 均为纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】设 ，先由复数的运算求得 ，利用复数的模长公式计算即可求得 .
【详解】设 ，则 ，由题意可得 ，且 ，得 .
又 ，则 ，解得 .
于是 ，所以 .
故选：AD.
10. 已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 为函数 的最小正周期 B. 函数 的图象关于 对称
C. 函数 的值域为 D. 当 时，函数 有 5 个零
点
【答案】ABD
【解析】
第 5页/共 18页
【分析】由代入检验，根据正弦函数的对称性与周期性，可得 AB 的正误；由升幂公式与绝对值定义，化简
函数解析式，结合正弦与余弦的函数性质，可得 C 的正误；由方程与函数的关系，结合三角函数的图象，
作图，可得 D 的正误.
【详解】因为 ，故
B 正确；
因为 ，
因为 ，
所以 为函数 的一个周期，
又 ，
因为 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，结合选项 B 可得
函数的大致图象，结合图象故 A 正确；
经分析可知 ， ，所以 ，故 C 错误；
结合 和 图象易知两个图象有 5 个交点，故 D 正确.
故选：ABD.
11. 如图，棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，点 满足 ，
，则（ ）
第 6页/共 18页
A. 当 时， 平面
B. 对于任意 ，三棱锥 的体积是定值
C. 存在 ，使得 与平面 所成的角为
D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间中点线面的位置关系，以及线面垂直的判定定理，判断选项 A 的正误；根据三棱锥的体
积公式，判断选项 B 的正误；根据向量法求线面角，判断选项 C 的正误；根据正方体的性质，建立空间直
角坐标系，根据空间向量数量积的坐标表示，判断选项 D 的正误；判断结果即可.
【详解】对 A 选项，当 时， 与 重合，平面 即平面 ，
根据三垂线定理可知 ，
因为 ，所以 平面 ，所以 A 选项正确；
对 B 选项，由正方体性质可知，点 到平面 的距离为定值，即三棱锥 的高为定值，但
的面积是变化的，
所以对于任意 ，三棱锥 的体积不是定值，所以 B 选项错误；
对 C 选项，以 为坐标原点，以 分别为 轴建系，如图所示：
第 7页/共 18页
则 ，设 ，
所以 ， ，
设面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，即面 的法向量为 ，
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
当 时，可得 ，
化简得 ，解得 或 （舍），
所以存在 ，使得 与平面 所成的角为 ，所以 C 选项正确；
对 D 选项，可知 ，
所以 ，
所以 ，所以 D 选项正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，
确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共 8 个小题，共 92 分．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ， ， ，则 k 的值为________．
【答案】
第 8页/共 18页
【解析】
【分析】根据向量的平行关系求解即可．
【详解】由题意可知， ，则 ，
故答案为： ．
13. 某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为 .若每轮射击中命中目标得 1 分，
未命中目标得 0 分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于 3 分的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用独立重复试验的概率公式求解.
【详解】解：进行五轮射击后，甲的总得分不小于 3 分的概率为：
.
故答案为：
14. 已知等比数列 满足 ，若将 除以 5 所得余数记为 ，则 __________.
【答案】2
【解析】
【分析】先求出等比数列通项公式 ，则计算得到数列 为： ；
所以数列 是周期为 4 的数列，所以 ；
【详解】设等比数列 的公比为 ，因为 ，所以 ，所以 ；
则数列 为
因为 是 除以 5 所得的余数，所以数列 为： ；
所以数列 是周期为 4 的数列，所以 ；
故答案为：2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量 ，设函数 ，
第 9页/共 18页
（1）求函数 的单调增区间；
（2）若在 在 上有解，求 m 的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积公式、结合两角差的正弦公式、辅助角公式，化简可得 解析式，根据正弦函
数的单调增区间，代入计算，即可得答案.
（2）根据 x 的范围，可得 的范围，整理可得 ，根据二次函数的
性质，分析计算，即可得答案.
【小问 1 详解】
由题意
，
令
解得 ，
的单调增区间为
【小问 2 详解】
， ，
，则 ，即 ，
，
第 10页/共 18页
又
当 时，m 取最大值 ，
又 ， ，
m 的取值范围是 .
16. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，且过点 ，斜率为 1 的直线 l 经过该抛物线的焦点 F，
且与抛物线相交于 C，D 两点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求线段 CD 的长；
（3）求 的值．
【答案】（1）
（2）8 （3）1
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的方程；
（2）求得直线 l 的方程，与椭圆方程联立，可得 ， ，利用弦长公式求解即可；
（3）利用焦半径公式，结合（2）求解即可.
【小问 1 详解】
设抛物线的标准方程可以为 ，
因为抛物线过点 ，所以 ，解得 ，
因此，抛物线的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
由抛物线的标准方程为 ，可得焦点 ，
所以直线 l 的方程为： ，即 ，
设 和 的坐标 和 .
第 11页/共 18页
由 ，得 ，整理得 ，
所以 ， ；
；
【小问 3 详解】
由（2）可知点 和 到焦点 的距离分别为： ，
所以
.
17. 如图， 垂直于梯形 所在平面， 为 PA 的中点，
，四边形 为矩形.
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
第 12页/共 18页
【分析】（1）设 交 于点 ，连接 ，根据三角形中位线可证明 ，进而通过线面平行
的判定定理证明问题；
（2）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量夹角公式求得答案.
【小问 1 详解】
设 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 为矩形，所以 为 的中点．
在 中， ， 分别为 ， 的中点，所以 ，
因为 平面 DEF， 平面 DEF，所以 平面 ；
【小问 2 详解】
因为 垂直于梯形 所在平面， ，所以 两两垂直，
如图以 为原点，分别以 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．
则 ， ， ， ，所以 ， ．
设平面 PBC 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 .
因为 垂直于梯形 所在的平面，所以 是平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为
所以 .
18. 已知函数 ．
（1）当 时，判断 在区间 内的单调性；
第 13页/共 18页
（2）若 有三个零点 ， ， ，且 ．
（i）求 a 的取值范围；
（ⅱ）证明： ．
【答案】（1）答案见解析
（2）（i） ；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）多次求导后，借助导数的单调性及正负即可判断原函数的单调区间；
（2）（i）法一：原条件可转化 有三个不等实根，从而构造函数 ，研究该函数即可得；法
二：将题意转化为 有三个根，令 ， ，研究
的单调性即可求 a 的取值范围；（ii）借助 的单调性，得到 ，从而将证明
，转化为证明 ，再设 ，从而将三个变量的问题转化为单变量问题，即可
构造函数 ，证明其在 上大于 即可.
【小问 1 详解】
当 时， ， ，
令 ， ，
令 ，可得 ，
则当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
第 14页/共 18页
故当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
【小问 2 详解】
（i） 有三个零点，即 有三个根，
法一：由 不是该方程的根，故 有三个根 ， ， ，且 ，
令 ， ，
当 ， ，当 时， ，
即 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
，当 趋近负无穷时， 趋近 ，
趋近 时， 趋近正无穷，当 趋近 时， 趋近正无穷，
趋近正无穷时， 趋近正无穷，故 时， 有三个根；
法二： 有三个零点，则 ，即 有三个根，
令 ， 在 上单调递增，又 ， ，
， ， ，使 ，
当 时，令 ， ，
当 时，解得： ，
时， 在 单调递增， ，此时无零点，
当 时，解得： ，
在 上单调递减，
第 15页/共 18页
在 上单调递增，
所以 ，解得： ，
当 时， ， ，
使 ，当 时，
，
使得 ，故 有三个零点 ，
且 .
（ⅱ）由 在 上单调递增， ，故 ，
由（i）可得 ，且 ，
即只需证 ，设 ，则 ，
则有 ，即有 ，故 ， ，
则 ，即 ，
即只需证 ，
令 ，
则 恒成立，
第 16页/共 18页
故 在 上单调递增，
则 ，即得证.
19. 某市场调查公司对某品牌手机的用户满意度进行调查．他们随机抽取了 400 名用户进行问卷调查，定义
满意度评分 X 为：满意为 1 分，不满意为 0 分．
（1）设 p 为总体中满意用户的真实比例，求样本中满意用户比例 的期望 和
方差 ．
（2）利用切比雪夫不等式，求样本满意度与真实满意度偏差不超过 0.03 概率的下界．
（3）若调查结果显示满意度为 0.75，而该公司声称真实满意度为 0.8，根据切比雪夫不等式和小概率原理，
判断该声称是否可信．
【答案】（1） ，
（2）
（3）没有足够理由怀疑该公司的声称
【解析】
【分析】（1）根据满意用户数量服从二项分布，求出满意用户数量的均值和方差，再根据样本中满意用户
的比例与满意用户数量的关系求解.
（2）根据切比雪夫不等式 ，将（1）结论代入，根据基本不等式求解.
（3）根据切比雪夫不等式及小概率事件的判断求解.
【小问 1 详解】
设 表示第 i 个用户的满意度， ，即 ．
样本中满意用户数量 服从二项分布 ，
则 ， .
样本满意度 ．
期望： ，
方差： .
第 17页/共 18页
【小问 2 详解】
要估计 的下界．
根据切比雪夫不等式：
这里 ．
由于 （当 时取等号），所以
代入切比雪夫不等式： ，
因此，样本满意度与真实满意度偏差不超过 0.03 的概率至少为 ．
【小问 3 详解】
调查结果显示 ，声称的真实满意度 ，偏差为 ．
根据切比雪夫不等式： ，
其中 ，
代入得
所以不能认为该事件为小概率事件．
但我们可以进一步分析：0 05 相当于 个标准差．
根据切比雪夫不等式：
所以不能认为该事件为小概率事件，因此没有足够的理由怀疑声称.
第 18页/共 18页