四川省泸州市泸县第五中学2026届高三上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 2 至 4
页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若命题 ， ，则 p 的否定是（ ）
A. B. ，
C. ， D. ，
2. 若全集 ，则集合 的非空真子集的个数为（ ）
A 7 B. 6 C. 3 D. 2
3. 若实数 ， 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 某次朗诵比赛，9 位评委分别给某选手评分，最后去掉一个最高分和一个最低分，得到 7 个有效分.7 个
有效分与 9 个原始分比较，一定不变的数字特征是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
5. 若直线 与圆 相切，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线 的虚轴长为 4，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列 满足 ，设甲： ，乙： 为等差数列.则甲是乙的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
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C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知 ，且 ，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 ，其中 ， 为虚数单位，且复数 和 均为纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 为函数 的最小正周期 B. 函数 的图象关于 对称
C. 函数 值域为 D. 当 时，函数 有 5 个零
点
11. 如图，棱长为 2 正方体 中， 为 的中点，点 满足 ，
，则（ ）
A 当 时， 平面
B. 对于任意 ，三棱锥 的体积是定值
C. 存在 ，使得 与平面 所成的角为
D. 的取值范围为
第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，
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确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共 8 个小题，共 92 分．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ， ， ，则 k 的值为________．
13. 某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为 .若每轮射击中命中目标得 1 分，
未命中目标得 0 分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于 3 分的概率为______.
14. 已知等比数列 满足 ，若将 除以 5 所得余数记为 ，则 __________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量 ，设函数 ，
（1）求函数 的单调增区间；
（2）若在 在 上有解，求 m 的取值范围；
16. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，且过点 ，斜率为 1 的直线 l 经过该抛物线的焦点 F，
且与抛物线相交于 C，D 两点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求线段 CD 的长；
（3）求 的值．
17. 如图， 垂直于梯形 所在平面， 为 PA 的中点，
，四边形 为矩形.
（1）求证： 平面 ；
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（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18. 已知函数 ．
（1）当 时，判断 在区间 内的单调性；
（2）若 有三个零点 ， ， ，且 ．
（i）求 a 的取值范围；
（ⅱ）证明： ．
19. 某市场调查公司对某品牌手机的用户满意度进行调查．他们随机抽取了 400 名用户进行问卷调查，定义
满意度评分 X 为：满意为 1 分，不满意为 0 分．
（1）设 p 为总体中满意用户的真实比例，求样本中满意用户比例 的期望 和
方差 ．
（2）利用切比雪夫不等式，求样本满意度与真实满意度偏差不超过 0.03 的概率的下界．
（3）若调查结果显示满意度为 0.75，而该公司声称真实满意度为 0.8，根据切比雪夫不等式和小概率原理，
判断该声称是否可信．
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