四川省泸州市泸县2026届高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份四川省泸州市泸县2026届高三数学上学期10月月考试题含解析，共6页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁.等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写
在答题卡上.
2．考生必须保持答题卡的整洁.
第 I 卷 选择题（58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知复数 ，则复数 z 在复平面内对应 点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先利用复数乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义确定对应点所在的象限.
【详解】因为 ，
所以该复数在复平面内对应的点为 ，在第一象限.
故选：A
2. 巴黎奥运会在 2024 年 7 月 27 日至 8 月 12 日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观
看户次超 46 亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22
，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第 25 百分位数为（ ）
A. 2.03 B. 2.21 C. 2.12 D. 3.55
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数的概念求解即可．
【详解】将数据从小到大排列，0.08，1.62，1.88，2.03，2.21，2.24，2.25，2.35，2.59，2.74，2.74，2.88，
3.55，3.64，4.22，4.39，5.53，
，取第五位数据 2.21，
故选：B．
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3. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得答案.
【详解】因为随机变量 服从正态分布 ，即 ，
所以 .
故选：B.
4. 不等式 的解集为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】解分式不等式即可.
【详解】由 得 ，即 且 ，
解之得 或 .
故选：D
5. 角 的终边过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式可得 ，利用三角函数的定义求出 即可.
【详解】因为角 的终边过点 ，
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所以 ，
所以 ，
故选：C
6. 甲、乙、丙、丁 4 人排成一排，则甲不在排首的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】列出 4 人全排列的种类数，再除去甲在排首的种类数，即可计算出所求概率.
【详解】将 4 人全排列共有 种排列，
若甲在排首，将其余 3 人全排列共有 种，则甲不在排首的排列共有 种，
因此甲不在排首的概率为 .
故选：D
7. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间 t 分钟后
的温度 T 满足 ， 称为半衰期，其中 是环境温度.若 ，现有一杯 80°C
的热水降至 75°C 大约用时 1 分钟，那么此杯热水水温从 75°C 降至 45°C 大约还需要（参考数据：
）（ ）
A. 10 分钟 B. 9 分钟 C. 8 分钟 D. 7 分钟
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目所给的函数模型，代入数据可计算得出 的值，利用参考数据即可计算得出结果.
【详解】将所给数据代入 得， ，
即 ，所以
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当水温从 75°C 降至 45°C 时，满足 ，
可得 ，即 分钟.
故选：A.
8. 已知 为常数，函数 存在极大值，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先确定定义域，根据 存在极大值，确定其导函数 存在零点且零点处由正变负，对其二
次求导通过 的正负确定 的单调性从而确定 的取值范围进而可解不等式.
【详解】因为存在 ，所以要求 ，故函数的定义域为 ，
因为函数 存在极大值，所以其导数 需存在零点，且零点处由正变负，
求导得： ，
令 ，即 .二阶导数 ，
当 时， 在定义域 上恒成立，所以 在 上单调递增， 此时函数
可能存在极小值或无极值，不存在极大值，不符合题意；
当 时， 时，即 ， 时，即 ；
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；故 的极小值为
，
若函数 存在极大值，则 ，故 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，故 化简为 ，所以 .
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
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要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9. 某社会机构统计了某市四所大学 年毕业生人数及自主创业人数如下表：
A 大学 B 大学 C 大学 D 大学
毕业生人数 （千人）
自主创业人数 （千
人）
根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为 ，则（ ）
A. 与 正相关 B.
C. 当 时，残差为 D. 样本的相关系数 为负数
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据回归直线的斜率可判断 A 选项；将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出 的值，可判
断 B 选项；利用残差的概念可判断 C 选项；利用样本的相关系数的概念可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，因为回归直线的斜率为 ，所以， 与 正相关，A 对；
对于 B 选项，由表格中的数据可得 ， ，
所以，样本中心点为 ，
将样本中心点的坐标代入回归直线方程得 ，解得 ，B 对；
对于 C 选项，当 时， ，
所以，当 时，残差为 ，C 对；
对于 D 选项，因为 与 正相关，所以，样本的相关系数 为正数，D 错.
故选：ABC.
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 是偶函数 B. 函数 是奇函数
C. 函数 在 上为增函数 D. 函数 的值域为
【答案】AD
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【解析】
【分析】利用函数单调性的定义及判定方法，可判定 A 正确，B 错误；利用复合函数的单调性可判定 C 不
正确，D 正确.
【详解】由题意，函数 的定义域为 关于原点对称，
又由 ，
所以函数 是偶函数，所以 A 正确，B 错误；
由函数 ，
当 时， ，且 单调递增，
所以 在区间 单调递减；
当 时， ，且 单调递增，所以 在区间 单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
所以函数 的值域为 ，所以 C 不正确，D 正确.
故选：AD.
11. 已知函数 ，则（）
A. B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，用和差化积公式及二倍角公式化简可以判断；对于 B，利用导数研究 的单调性，进
而可求 的最值；对于 C，利用 B 的单调性比较自变量的大小即可比较函数值的大小；对于 D，运用分
析法，多次使用和差化积、积化和差公式即可推导.
【 详 解 】 对 于 A，
，
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由和差化积公式: 得：
,
其中 ，故 所以 即 A 正确；
对于 B，对 求导, ，
在 上，令 得 令 得
所以 在 和 单调递减,在 单调递增,
故 在区间 上的最大值为 ,且 ,故 B 错误；
对于 C，当 时 单调递增,故 在 上单调递增,
而当 时, ，且 ,故 正确；
对于 D，
，
由和差化积公式: 得
因为 ，所以 ，所以 ，
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所以
而 ,
,
由积化和差得
,其中 ,
上述不等式显然成立，故 D 正确,
故选：ACD
【点睛】结论点睛：和差化积与积化和差公式
和差化积公式：
.
积化和差公式：
，
，
，
.
第 II 卷 非选择题（92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若集合 ，则集合 __________．
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【答案】
【解析】
【分析】先求出集合 ，再根据并集的定义即可得解.
【详解】 ，
所以 .
故答案为： .
13. 已知函数 的图象过定点 ，则 的值为________．
【答案】2
【解析】
【 分 析 】 利 用 对 数 函 数 图 象 恒 过 定 点 的 性 质 ， 令 ， 计 算 出 函 数
所过的定点坐标，最后计算 的值．
【详解】因为 （ ），
所以函数 的图象恒过定点 ，令 ，解得 ，
当 时， ，
所以函数 的图像过定点 ，即 ，
所以 ， ．
故答案为：2．
14. 在 中，已知角 ，角 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D，AD=2.则 AB+2AC 的最小值为
___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.
【详解】 ，
依题意 是角 的角平分线，
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由三角形的面积公式得 ，
化简得 ， ，
.
当且仅当 ， 时等号成立.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 ， ，其中 ， ，且 的
图象相邻两条对称轴之间的距离为 .
（1）将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，然后向左平移 个单位长
度，得到函数 的图象，求函数 的单调递增区间.
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1）单调递增区间是
（2）
【解析】
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【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数 ，再由对称轴间距离求周期及 ，由图
象变换得到 解析式，写出单调区间即可；
（2）先求出 的正余弦值，再利用角的变换 求出其余弦即可.
【小问 1 详解】
相邻两条对称轴之间的距离为 ，
， ，
经过变换可得 ，
令 ， ，得 ， ，
单调递增区间是 .
【小问 2 详解】
，
.
16. 一网络公司为某贫困山区培养了 名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，
从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这 名“乡土直播员”中每天直播时间不少于 小时的评为“网
红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面 列联表：
网红乡土直播员 乡土直播达人 合计
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男 10 40 50
女 20 30 50
合计 30 70 100
（1）根据列联表判断是否有 的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？
（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取 人，在这 人中选 人作为“乡土直播推广大使”．设
被选中的 名“乡土直播推广大使”中男性人数为 ，求 的分布列和期望．
附： ，其中 ．
【答案】（1）有 的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系；（2）分布列见解析；期望为 ．
【解析】
【分析】
（1）利用公式求解 的观测值 ，若 ，则有 的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系，
若 ，则没有 的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系；
（2）先利用分层抽样得出在这 人中男性人数与女性人数，分析在这 人中选 人作为“乡土直播推广大使”
时，男性人数 的所有可能取值，然后根据超几何分布列出 的分布列.
【详解】解：（1）由题中 列联表，
可得 ．
∴有 的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系．
（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取 6 人，
男性人数 人；女性人数为 人．
由题，随机变量 所有可能的取值为 ， ， ．
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， ， ，
∴ 的分布列为
0 1 2
∴ 的数学期望 ．
【点睛】独立性检测的一般步骤为：
（1）根据样本数据制成列联表；
（2）根据公式 （其中 ）计算 的观测值 ；
（3）查表比较 与临界值的大小比较，作出判断.
求离散型随机变量分布列及期望的求法：
（1）理解随机变量 的意义，写出 的所有可能值；
（2）求出 的每个值所对应的概率，列出分布列，并根据分布列的性质对结果进行检验；
（3）格据分布列求出数学期望.
17. 已知数列 满足： ， ， （ ）．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；
(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解
【小问 1 详解】
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证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴数列{ }是以 为首项，4 为公比的等比数列．
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
当 时，
当 n=1 时， 满足上式．
所以， ．
18. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 .
（1）求 B；
（2）若 D 是边 AC 的中点， ， ，求△ABC 的面积；
（3）若△ABC 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
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（3）
【解析】
【 分 析 】（ 1） 利 用 正 弦 定 理 可 得 ， 利 用 三 角 恒 等 变 换 可 得
，可求 ；
（2）由已知可得 ，两边平方化简可得 ，求得 ，进而可求面积；
（3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得 ，求得 的范围，可求解.
【小问 1 详解】
因为 ，所以由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ；
【小问 2 详解】
因为 D 是边 AC 的中点，所以 ，
所以 ，又因为 ， ， ，
所以 ，化简得 ，即 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ；
【小问 3 详解】
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由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以
，
因为△ABC 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的取值范围 .
19. 已知函数 ， 与 在函数 的图象上，回答下列问
题：
（1）当 时，证明 ；
（2） 上有 三点（ 均不为 且互不相等），满足 成等
差数列且 ．
①若不存在 三点，使 成等差数列，求 的取值范围；
②若 ，证明： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②证明见解析
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【解析】
【分析】（1）通过运算将所证不等式转化为 ，再令 整体换元转化为证明
，然后构造函数研究函数单调性证明不等式可得；
（2）①先求解存在 三点，使 成等差数列的情况，取补集可得.由题意得
由此代入 消元运算变形转化为 有解，构造函数求值域即可；②将不等式变
形转化，构造函数 ，利用单调性证明不等式 可得.
【小问 1 详解】
由 ，
则 ，又 与 在 上.
则 ；
且
；
要证 ，
因为 ，即证 ，
不妨设 ，令 ，则 ，
则 ，
故只需证 .
令 ， ，
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则 ，
再令 ，
则 ，则 上单调递增，
故 ，故当 时， 恒成立，
由 ，得 ，
则 ，所以 在 上单调递减，
故 ，得证
【小问 2 详解】
①由 等差数列且 ，则 ，
解得 ，
下面先研究若存在 三点，使 成等差数列的充要条件.
故 ；
又 ，
成等差数列 ，
由 ，
存在 三点，使 成等差数列 有解.
当 时， ，故 ，
当 时， ，故 ，
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故当 时， ；
令 ， 且 ，则 ，
所以 ，令 ， 且 ，
则 ，
再令 ， 且 ，
则 ，
令 ，因为 在 单调递减，且 ，
故当 时， ，即 ，则 在 单调递增；
当 时， ，即 ，则 在 上单调递减，
故 ，故 ，
故 在 上单调递减，且在 上也单调递减；
又因为当 ， ；当 时， ；
当 ， 且 .
综上可知 且 ，
所以有 ，且 ， 且 ，又 ，
所以若不存在 三点，使 成等差数列，则有 或 ，
故 的取值范围为 ；
②令 ， .
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则所证不等式 .
令 ， ，
则 ，
故 在 单调递增，则有 ，
即 ，得证.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于多元问题的处理，如第（1）问中整体元的构造，令 ，
从而将不等式转化为一元不等式构造新函数证明；再如第（2）问中将 关系代入消元得
，再变形处理令 整体代换并分离参数转化为方程 有解问题，进而
构造函数令 ， 且 求解值域可得.
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