四川省2026届高三数学上学期12月月考试题含解析

这是一份四川省2026届高三数学上学期12月月考试题含解析，共20页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知命题 ，则 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由存在量词命题否定结构即可求解.
【详解】 的否定为： ，
故选：D
2. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解集合 B，根据交集和补集的运算可得答案.
【详解】因为 ，所以 或 ，
所以 .
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故选：D
3. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A. 1 B. C. i D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 ，
故选：C
4. 已知函数 ，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先对函数求导，然后将 代入求解即可.
【详解】已知 ，则 ，
因此可得： .
故选：B
5. 如图，在 中， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解.
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【详解】由题意可得， ， ，所以 ， ，
所以 ，因为 ，
所以 ,
所以
故选：
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系先求 ，进而将弦化为切即可求解.
【详解】由 ，解得 ，
所以 ，
故选：A.
7. 已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，则 （ ）
A. 24 B. 20 C. 16 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式和前 项和公式进行求解即可.
【详解】由题意得， ，其中 分别是等差数列 的首项和公差，
化简得 ，解得 .
所以 .
故选：B.
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8. 已知函数 ，若函数 有三个零点 ，则 的
取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 ，得 ，即 与 有三个交点，作出 的图象，利
用数形结合即可求解.
【详解】由 ，得 ，由已知 与 有三个交点，
由 ，
令 ，得 ，
由 单调递减，又 在 单调递增，
所以 在 单调递减，
作出 的函数图象：
由图象可知： ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
二、选择题；本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
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9. 已知实数 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由作商法判断 A；由作差法判断 B；举反例判断 C；由指数函数的性质判断 D.
【详解】对于 A，因为 ，
所以 ， ，所以 ，故 A 正确；
对于 B，因为 ，
所以 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，
不妨取 ，
则 ，
因为 ，
即 ，故 C 错误；
对于 D，因为 ，
所以 为单调递增函数，
又因为 ，
所以 ，故 D 错误.
故选：AB.
10. 《易经》是中华智慧的源头活水，从太极混沌中孕育阴阳两仪，如天地初开；两仪互动，化出四象，似
四季轮转；四象再演，生成八卦，如雷风山水布列八方．一画开天，万象生辉——这不仅是符号的演化，
更是古人读懂宇宙的诗意密码．如图是根据八卦模型抽象得到的正八边形 ，其中 是
该正八边形的中心，则下列结论正确的是（ ）
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A. 与 的夹角为
B.
C. 在 方向上的投影向量为
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据正八边形的性质和平面向量的共线、数量积、投影向量等知识逐项判断计算即可.
【详解】对于 A：
与 的夹角为 与 的夹角，即 ，A 错误；
对于 B：
，B 正确；
对于 C：
在 方向上的投影向量为
，C 正确；
对于 D：
因为正八边形的中心角为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 D 正确.
故选：BCD.
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11. 已知函数 的定义域为 ，函数 是奇函数，且满足 ，当
，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的周期为 8
B.
C. 函数 在区间 上的最大值为 4
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题中所给的两个条件分别可得函数关于 点成中心对称，关于直线 对称，进而可得函
数的一个周期判断 A 选项；再由周期性可得 BD 选项的值；再由周期性将函数在区间 上最大值转化
为区间 上最大值可判断 C 选项.
【详解】因为函数 的定义域为 ，函数 是奇函数，
所以 ，令 ，则 ，
即 ①，所以函数关于 点成中心对称.
又因为 ，用 替换 得 ②，所以函数关于 对称.
联立①②得 ，用 替换 得 ，即 .
所以 ，所以 8 是函数的一个周期，故 A 正确；
对于 B： ，故 B 错误；
对于 C：因为 8 是函数的一个周期，所以函数 在区间 上与在区间 上的图象完全相同，
当 ， ，
所以函数在 上单调递减， ，所以 C 正确；
对于 D：由 ，所以 ， ，
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又因为函数关于 点成中心对称，且函数的定义域为 ，所以 .
再由 ，得 ， ， ，
， ，
所以 ，
.
所以 D 错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12 已知函数 ，若 ，则 _____．
【答案】4
【解析】
【分析】由题意利用 推出 ，结合指数以及对数的运算化简 的表达
式，即可求得答案.
【详解】由 ，得 ，则
，
则
，
故答案为：4
13. 如图是函数 的部分图象，则 的解析式为_____．
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【答案】
【解析】
【分析】根据图象确定 A 和最小正周期，即可求出 ，利用点的坐标即可求出 ，即得答案.
【详解】由图象可知 ，函数的最小正周期为 ，故 ，
则 ，将点 代入得 ，
故 ，即 ，结合 ，得 ，
故 ，
故答案为：
14. 已知在长方形 中， ，点 为 的中点，沿直线 进行翻折，形成四棱锥
如图．则下列说法正确是_____．
①存在点 使得 ；②三棱锥 可以四个侧面都是直角三角形；③点 在翻折过程中，
存在三棱锥 的表面积不变；④点 在翻折过程中，存在三棱锥 的体积为 ．
【答案】
【解析】
【分析】对于①：利用线面垂直的判定定理和性质，推出矛盾；对于②：存在一种情况符合条件即可；对
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于③：当翻折至 到 的距离等于原 到 的距离时，即 和 面积与原面积相等，三棱
锥 表面积不变．；对于④：通过讨论三棱锥 体积的最大值可判断正确与否．
【详解】由于在长方形 中， ， ， 为 中点，
则 ，可得 为等腰直角三角形，
且 ， ， ，
故
所以 ．则：
对于 ：已知 ，若 ，
又 ，且 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，故 ．
但翻折后，而 与 的夹角为 ，即 不成立．故 错误；
对于 ：由条件得 ， ， ，
在 中，显然 不成立，
故若 是直角三角形，分以下两种情况：
第一种： ，则 ，
而 ， ，显然 不存在；
第二种： ，则
而 ， ，则 ，即 ，
即 是直角三角形．
而 ， ， ，即 ，即 ，
故 为等腰直角三角形，
又已求得 ，即 为直角三角形，
存在这样的 满足条件．故 正确；
对于 ：三棱锥 表面积= + + + ．
；
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；
当翻折至 到 的距离等于原 到 的距离时， 和 面积与原面积相等，
故三棱锥 表面积不变．故 正确．
对于 ：设 为点 到平面 的距离，
三棱锥 体积 = ．
而 =4，则 ．
翻折时 的最大值为 到 的距离（即等腰 的高），即 ，则 ，
此时 ， 故存在 使得 ．故 正确．
故答案为： ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知在长方体 中， ，点 为 的中点，点 为 的中
点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成的角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论；
（2）根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【小问 1 详解】
如图，以 D 为坐标原点，以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
由于 ，则 ，
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故 ,
设平面 的法向量为 ，则 ,
即 ，令 ，则 ，
则 ，即 ，
而 平面 ，故 平面 ；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，故 ，而 ，
故 ，
则异面直线 与 所成的角的余弦值为 .
16. 已知数列 的前 项和为 ．
（1）求证：数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证，进而求 ；
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（2）利用分组求和即可求解.
【小问 1 详解】
由题意有： ，
所以 ，
又 ，
所以数列 是以 为公比，首项为 的等比数列，
所以 ，所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）有： ，
所以
；
17. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 为边 的中点， ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理角化边化简已知等式，再结合余弦定理即可求得答案；
（2）由题意可得 ，平方后可得 ，再利用余弦定理得到 ，
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即可求出 的值，利用三角形面积公式即可求得答案.
【小问 1 详解】
由题意知在 中， ，
则 ，
即得 ，即 ,
可得 ，结合 ，得 ；
【小问 2 详解】
由题意知 为边 的中点， ，
则 ,则 ，
可得 ，即
又 ，则 ，结合 ，
可得 ，
故 的面积为 .
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形．
，且平面 平面 ．
（1）若 是直角三角形，且 ，求证： ．
（2）若 是等边三角形，求平面 与平面 夹角的余弦值．
（3）若 是等腰直角三角形， ，在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所
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成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得到 平面 ，从而得到 ，利用线面垂直的判定
定理得到 平面 ，从而得到 ；
（2）取 中点 ，由 是等边三角形得到 ，利用面面垂直的性质定理得到 平面
，以 为原点建系，写出坐标，求平面 的法向量和平面 的法向量，设平面 与平面
的夹角为 ，利用数量积求出 ，从而得解.
（3）取 中点 ，由 得到 ，利用面面垂直的性质定理得到 平面 ，以
为原点建系，设 ，则 ，利用向量求出 的坐标，求出平面 的法向
量 ，设直线 与平面 的夹角为 ，利用数量积求出 ，计算得解.
【小问 1 详解】
取 中点 ，连接 ， ，
且 ， 是矩形，
且 ， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
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；
【小问 2 详解】
取 中点 ，连接 ， 是等边三角形， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
以 为原点，过 作 的平行线作为 轴，
分别以 ， 所在直线为 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
， ， ， ， ，
是等边三角形， ， ，
， ，设平面 的法向量为 ，
， ，解得 ， ，取 ，则 ，
， ， ，
， ，设平面 的法向量为 ，
， ，
解得 ，取 ，解得 ，则 ，
， ， ， ， ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
平面 与平面 夹角的余弦值为 .
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【小问 3 详解】
由（2）知， ， ， ， ，
是等腰直角三角形， ，
， ， ，
设 ，则 ，设 ，
， ， ， ，
， ， ， ，
，
， ，设平面 的法向量为 ，
， ，
解得 ，取 ，解得 ，则 ，
， ，
， ， ，
设直线 与平面 的夹角为 ，
则 ，
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直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
， 或 ，
， ， ， 是线段 的中点，
即在线段 上存在点 ，且 是线段 的中点，
使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ， .
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的极值；
（3）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）当 时，无极值；当 时，极小值
（3）
【解析】
【分析】（1） 时求 ，由点斜式求出切线的方程即可．
（2）先求 ，再判断 和 的 的取值范围，确定极值点即可求出极值.
（3）先构造函数 ，再求导利用分离常数法即可求出实数 的取值范围.
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【小问 1 详解】
当 时， ，
，
时， ，
切线的斜率 ，
切线的方程为 .
【小问 2 详解】
函数 的定义域为 ，
，
当 时， ，
在 单调递增，无极值．
当 时，令 得 ，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
在 处取极小值 ．
【小问 3 详解】
当 时 恒成立，
即 ，
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令 ，即 ，
，
为了使 在 时恒成立， ，
即 ，
令 ，
，
当 时， ，
在 时是减函数
当 取最大值 ， ，
当 ， ， 图象是连续的，
，当 时， ，
在 上单调递增， ，不符合题意，
时， 在 时恒成立.
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