高考数学选填压轴题型第12讲与球相关的外接与内切问题专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学选填压轴题型第12讲与球相关的外接与内切问题专题练习(原卷版+解析)，共45页。
研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：
（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.
（2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决.
（3）球自身的对称性与多面体的对称性；
二．解题策略
类型一 柱体与球
【例1】（2020·河南高三（理））已知长方体的表面积为，，则该长方体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】
1.（2020·河南高三模拟）已知三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2020·安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为，则这个球的表面积为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2020·河南高三（理））有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）
（附：）
A．个B．个C．个D．个
类型二 锥体与球
【例2】5．已知球O的半径为，以球心O为中心的正四面体的各条棱均在球O的外部，若球O的球面被的四个面截得的曲线的长度之和为，则正四面体的体积为_________．
【来源】重庆市2021届高三下学期二模数学试题
【举一反三】
1.（2020四川省德阳一诊）正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．
2．（2020·宁夏育才中学）《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为
3．（2020·贵阳高三（理））在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是一个正三角形，若平面平面，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
类型三 构造法（补形法）
【例3】已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，，，，是线段上一点，且.过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】
1.（2020宁夏石嘴山模拟）三棱锥中，侧棱与底面垂直，，，且，则三棱锥的外接球的表面积等于 ．
2.（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为
A．B．C．D．
3．（2020·贵州高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
类型四 与球体相关的最值问题
【例4】（2020·福建高三期末（理））在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】
1.（2020·广东高三（理））我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·遵义市南白中学高三期末）已知，，，四点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·河南高三（理））菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，沿对角线AC将三角形ACD折起，当三棱锥D－ABC体积最大时，其外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
三．强化训练
一、选择题
1．（2020·广西高三期末）棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2、（2020辽宁省师范大学附属中学高三）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·安徽高三期末）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷13中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·北京人大附中高三）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，，，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020河南省郑州市一中高三）在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
6、（2020河南省天一大联考）某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2020·江西高三期末（理））如图，三棱锥的体积为，又，，，，且二面角为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2019·湖南长沙一中高三）在如图所示的空间几何体中，下面的长方体的三条棱长，，上面的四棱锥中，，，则过五点、、、、的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．三棱锥P—ABC中，底面ABC满足BA=BC， ，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（ ）
A．3B．C．D．
10．（2019·河北高三月考）在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=30°，，若将△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是( )
A．4πB．5πC．6πD．8π
11．（2020·梅河口市第五中学高三期末（理））设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12.（2020四川省成都外国语学校模拟）已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
13．已知球夹在一个二面角之间，与两个半平面分别相切于点.若，球心到该二面角的棱的距离为2，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【来源】江西省萍乡市2021届高三二模考试数学（文）试题
14．已知点在半径为2的球面上，满足，，若S是球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
15．已知半球与圆台有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
16．（2020·重庆八中高三）圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，该圆柱内有一个体积为V的球，则V的最大值为
17．（2020·江西高三）半正多面体(semiregular slid)亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为，则该二十四等边体外接球的表面积为
18．（2020·福建高三期末（理））在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，，若平面交于点，四棱锥的五个顶点都在球的球面上，则球半径为
19．（2020·黑龙江高三（理））设是同一个半径为4的球的球面上四点，在中，,,则三棱锥体积的最大值为
20．（2020·河北承德第一中学高三）正三棱锥S－ABC的外接球半径为2，底边长AB＝3，则此棱锥的体积为
21．（2020·江西高三（理））已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值为
22．已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为__________.
【来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试数学（文）试题
23．如图，在三棱锥中，平面，，，，是的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最小值为___
24．若正四棱锥的底面边长和高均为8，M为侧棱的中点，则四棱锥外接球的表面积为___________.
【来源】山西省运城市2021届高三上学期期末数学（文）试题
25．已知P为球O球面上一点，点M满足，过点M与成的平面截球O，截面的面积为，则球O的表面积为________.
【来源】广西钦州市2021届高三第二次模拟考试数学（理）试题
26．如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，设图中球和球的半径分别为1和3，，截面分别与球和球切于点和，则此椭圆的长轴长为___________.
【来源】江苏省盐城市阜宁县2020-2021学年高三上学期期末数学试题
27．在长方体中，，，，过点A且与直线平行的平面将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________.
【来源】江苏省六校2021届高三下学期第四次适应性联考数学试题
28．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为___________.
【来源】江苏省南京市秦淮中学2021届高三下学期期初学情调研数学试题
29．已知四面体的棱长均为分别为棱上靠近点的三等分点，过三点的平面与四面体的外接球的球面相交,得圆，则球的半径为___________，圆的面积为__________．
【来源】河南省九师联盟2021届高三下学期3月联考理科数学试题
第12讲 与球相关的外接与内切问题
一．方法综述
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。
研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：
（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.
（2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决.
（3）球自身的对称性与多面体的对称性；
二．解题策略
类型一 柱体与球
【例1】（2020·河南高三（理））已知长方体的表面积为，，则该长方体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得出，由这两个等式计算出，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.
【详解】依题意，，，
所以，，
故外接球半径，
因此，所求长方体的外接球表面积.故选：A.
【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径.
【举一反三】
1.（2020·河南高三模拟）已知三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据条件可知该三棱柱是正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图，
则其外接球的半径，
外接球的表面积.故选：D
【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径.
2.（2020·安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为，则这个球的表面积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知作出截面图形如图，可知正三角形的边长等于正方体的面对角线长，正方体与其外接球的位置关系如图所示，可知外接球的直径等于正方体的体对角线长，设正方体的棱长为,外接球的半径为，则，，所以，所以外接球的表面积为，
故选：.
【点睛】本题考查正方体的外接球、正方体的截面和空间想象能力，分析出外接球的半径与正三角形的边长的关系是本题的关键，
3．（2020·河南高三（理））有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）
（附：）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【解析】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，
这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体，
易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球，
则最上层球面上的点距离桶底最远为cm，
若想要盖上盖子，则需要满足，解得，
所以最多可以装层球，即最多可以装个球．故选：
类型二 锥体与球
【例2】5．已知球O的半径为，以球心O为中心的正四面体的各条棱均在球O的外部，若球O的球面被的四个面截得的曲线的长度之和为，则正四面体的体积为_________．
【来源】重庆市2021届高三下学期二模数学试题
【答案】
【解析】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为，半径为1，故球心O到正四面体各面的距离为，设正四面体棱长为a，如图所示，则斜高，体高，在和中，，
即，∴，∴．
【举一反三】
1.（2020四川省德阳一诊）正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．
【答案】
【解析】如图，
设正四面体ABCD的棱长为，过A作AD⊥BC，
设等边三角形ABC的中心为O，则，
，
，即．
再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，
则，即．
∴正四面体ABCD的外接球的体积为.故答案为：．
2．（2020·宁夏育才中学）《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为
【答案】
【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，
其外接球的直径是，设圆柱的底面圆半径为，母线长为，
则，解得，又，
，解得，
外接球的半径为，
外接球的体积为．
3．（2020·贵阳高三（理））在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是一个正三角形，若平面平面，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】过作，交于，取的中点，连接，取的三等分点（），取的中点，在平面过分别作的垂线，交于点，可证为外接球的球心，利用解直角三角形可计算．
【详解】如图，过作，交于，取的中点，连接，在的三等分点（），取的中点，在平面过分别作的垂线，交于点．
因为为等边三角形，，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因平面，故．
又因为四边形为正方形，而为的中点，故，故，
因，故平面．
在中，因，故，故平面，
同理平面．
因为正方形的中心，故球心在直线上，
因为的中心，故球心在直线上，故为球心，为球的半径．
在中，，，
故，所以球的表面积为．
类型三 构造法（补形法）
【例3】已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，，，，是线段上一点，且.过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示：
设，连接、、，可知点为的中点，
因为四边形为矩形，，则为的中点，所以，且，
设，且，，
所以，球的半径为，
在中，，，，，
在中，，，
由余弦定理可得，
平面，平面，
平面，则，
，，
设过点的球的截面圆的半径为，设球心到截面圆的距离为，设与截面圆所在平面所成的角为，则.
当时，即截面圆过球心时，取最小值，此时取最大值，即；
当时，即与截面圆所在平面垂直时，取最大值，即，
此时，取最小值，即.
由题意可得，，解得.
所以，，因此，球的表面积为.
故选：B.
【举一反三】
1.（2020宁夏石嘴山模拟）三棱锥中，侧棱与底面垂直，，，且，则三棱锥的外接球的表面积等于 ．
【答案】
【解析】把三棱锥，放到长方体里,如下图:
,因此长方体的外接球的直径为,
所以半径,则三棱锥的外接球的表面积为.
2.（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如图所示，将直三棱柱补充为长方体，
则该长方体的体对角线为，
设长方体的外接球的半径为，则，,
所以该长方体的外接球的体积，故选C.
3．（2020·贵州高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】【分析】如图所示画出几何体，再计算体积得到答案.
【详解】由三视图知该几何体是一个四棱锥，可将该几何体放在一个正方体内，如图所示：
在棱长为2的正方体中，
取棱的中点分别为，
则该几何体为四棱锥，其体积为.故选：
类型四 与球体相关的最值问题
【例4】（2020·福建高三期末（理））在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】设正三棱锥底面的边长为，高为h，由勾股定理可得，则，三棱锥的体积，对其求导，分析其单调性与最值即可得解.
【详解】
解：设正三棱锥底面的边长为，高为h，根据图形可知
，
则.
又正三棱锥的体积
，则，
令，则或（舍去），
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，V取得最大值，故选：D.
【点睛】本题考查球与多面体的最值问题，常常由几何体的体积公式、借助几何性质，不等式、导数等进行解决，对考生的综合应用，空间想象能力及运算求解能力要求较高.
【举一反三】
1.（2020·广东高三（理））我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意可知平面.设，则.，当且仅当时取得最大值.依题意可知是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为，故半径.所以外接球的体积为.
特别说明：由于平面，是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为为定值，即无论阳马体积是否取得最大值，堑堵外接球保持不变，所以可以直接由直径的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B
2．（2020·遵义市南白中学高三期末）已知，，，四点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
根据,可得直角三角形的面积为3,
其所在球的小圆的圆心在斜边的中点上,
设小圆的圆心为, 由于底面积不变,高最大时体积最大,
所以与面垂直时体积最大，最大值为为，即,如图,
设球心为,半径为，则在直角中,即,
则这个球的表面积为,故选C.
3．（2020·河南高三（理））菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，沿对角线AC将三角形ACD折起，当三棱锥D－ABC体积最大时，其外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】当平面ACD与平面ABC垂直时体积最大，如图所示，利用勾股定理得到
和，计算得到答案.
【详解】易知：当平面ACD与平面ABC垂直时体积最大.
如图所示：
为中点，连接，外接球球心的投影为是中心，在上
，， ，
设半径为，则，
解得： ，表面积 故选：D
三．强化训练
一、选择题
1．（2020·广西高三期末）棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球，
由题意可知面交于，连接，则
且其外接球的直径为AE，易求正四面体ABCD的高为.
设外接球的半径为R，由得.
设正三棱锥的高为h，因为，所以.
因为底面的边长为a，所以，
则正三棱锥的三条侧棱两两垂直.
即正三棱锥的表面积，故选：A.
2、（2020辽宁省师范大学附属中学高三）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，
把三棱锥补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，
则，
∴三棱锥外接球的半径
∴三棱锥外接球的表面积为．
故选：C．
3．（2020·安徽高三期末）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷13中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设正四面体、正方体、正八面体的棱长以及外接球半径分别为
则,
即故选：B
4．（2020·北京人大附中高三）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，，，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由四边形为矩形，得，又，且，∴平面，
则平面平面，设三角形的外心为，则.
过作底面，且，则.即四棱锥外接球的半径为．
∴四棱锥外接球的表面积为.故选B．
5．（2020河南省郑州市一中高三）在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：如图所示：
三棱锥中，平面，
M是线段上一动点，线段长度最小值为，
则：当时，线段达到最小值，
由于：平面，所以：，
解得：，所以：，则：，
由于：，所以：则：为等腰三角形．所以，
在中，设外接圆的直径为，则：，所以外接球的半径，
则：，故选：C．
6、（2020河南省天一大联考）某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为.故答案为：C.
7．（2020·江西高三期末（理））如图，三棱锥的体积为，又，，，，且二面角为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因，所以平面，且为二面角的平面角，
又，，，由勾股定理可得，，
因为，所以三棱锥的体积，解得，
又为锐角，所以，
在中，由余弦定理得，
即，则，故，
由平面得，
故平面，即，取中点，
在直角和直角中，
易得，故为外接球球心，
外接圆半径，故外接球的表面积.故选：A.
8．（2019·湖南长沙一中高三）在如图所示的空间几何体中，下面的长方体的三条棱长，，上面的四棱锥中，，，则过五点、、、、的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】问题转化为求四棱锥的外接球的表面积．，
∴．所以外接圆的半径为，由于平面，
则平面，平面，所以平面平面，
所以外接球的．所以．
9．三棱锥P—ABC中，底面ABC满足BA=BC， ，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【解析】设外接球半径为，P到底面ABC的距离为，，
则，
因为，所以，
因为，所以当时，，当时，，因此当时，取最小值，外接球的表面积取最小值，选B.
10．（2019·河北高三月考）在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=30°，，若将△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是( )
A．4πB．5πC．6πD．8π
【答案】C
【解析】取中点，设的外心为，连，
则
分别过作的平行线，交于点，
即，
为的外心，
平面平面，平面，
平面，平面，
同理平面，分别为，外心，
为三棱锥的外接球的球心，为其半径,
，
.故选:C
11．（2020·梅河口市第五中学高三期末（理））设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，由题意得，解得.记，
，由余弦定理，得，，当且仅当时取等号．
所以且平面底面时，三棱锥的体积最大.
分别过和的外心作对应三角形所在平面的垂线，垂线的交点即球心，
设和的外接圆半径分别为，，球的半径为，
则，.故，
球的表面积为.故选：A.
12.（2020四川省成都外国语学校模拟）已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，
由题意可得，三棱锥P-AEF的三条侧棱PA，PE，PF两两互相垂直，
且，，
把三棱锥P-AEF补形为长方体，则长方体的体对角线长为，
则三棱锥P-AEF的外接球的半径为，外接球的表面积为．故选：C．
13．已知球夹在一个二面角之间，与两个半平面分别相切于点.若，球心到该二面角的棱的距离为2，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【来源】江西省萍乡市2021届高三二模考试数学（文）试题
【答案】A
【解析】过三点作球的截面，如图：
设该截面与棱交于，则，，又，
所以平面，所以，所以，
依题意得，所以四点共圆，且为该圆的直径，
因为，所以也是该圆的直径，
所以四边形的对角线与的长度相等且互相平分，所以四边形为矩形，又，所以该矩形为正方形，所以，即圆的半径为，所以圆的表面积为.
故选：A
14．已知点在半径为2的球面上，满足，，若S是球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设外接圆圆心为，三棱锥外接球的球心为，，设为中点，连，如图，
则，且在上，，
设外接圆半径为，
，解得，
要使体积的最大，需到平面距离最大，
即为的延长线与球面的交点，最大值为，
所以三棱锥体积的最大值为．
故选：A
15．已知半球与圆台有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图1所示，设，，作于点，延长交球面于点，则，，由圆的相交弦定理及图2得，即，解得，
则圆台侧面积，
则，令，则或（舍去），
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值．
当时，，则．
在轴截面中，为圆台母线与底面所成的角，在中可得，
故选：D．
16．（2020·重庆八中高三）圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，该圆柱内有一个体积为V的球，则V的最大值为
【答案】
【解析】设圆柱的底面直径为，高为，则，解得.故圆柱的底面直径为，高为，所以圆柱内最大球的直径为，半径为，其体积为.
17．（2020·江西高三）半正多面体(semiregular slid)亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为，则该二十四等边体外接球的表面积为
【答案】
【解析】由已知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为的正四棱柱的外接球，,,
该二十四等边体的外接球的表面积.
18．（2020·福建高三期末（理））在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，，若平面交于点，四棱锥的五个顶点都在球的球面上，则球半径为
【答案】
【解析】如图1，三点共线，连结从而平面，则与的交点即为点，又与相似，所以；
如图2，设的外接圆圆心为，半径为，球半径为，在中，，由正弦定理得，所以，在中，解得，即，所以所求的球的半径为.
19．（2020·黑龙江高三（理））设是同一个半径为4的球的球面上四点，在中，,,则三棱锥体积的最大值为
【答案】
【解析】中，,，则，， ，
当时等号成立，此时
20．（2020·河北承德第一中学高三）正三棱锥S－ABC的外接球半径为2，底边长AB＝3，则此棱锥的体积为
【答案】或
【解析】设正三棱锥的高为h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，H为底面正三棱锥的中心
因为底面边长AB=3，所以
当顶点S与球心在底面ABC的同侧时，如下图
此时有 ，即，可解得h=3
因而棱柱的体积
当顶点S与球心在底面ABC的异侧时，如下图

有，即，可解得h=1
所以，综上，棱锥的体积为或
21．（2020·江西高三（理））已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值为
【答案】
【解析】如下图，由题意，，，
取的中点为，则为三角形的外心，且为在平面上的射影，所以球心在的延长线上，设，则，
所以，即，所以.
故，
过作于，设()，则,
设，则，故，
所以，则，
所以的面积，
令，则，
因为，所以当时，，即此时单调递增；当时，，此时单调递减．
所以当时，取到最大值为，即的面积最大值为．
当的面积最大时，三棱锥体积取得最大值为.
22．已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为__________.
【来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试数学（文）试题
【答案】
【解析】如下图所示，设，可得出，则球的直径为，球的半径为，
设截面圆的半径为，可得，，
由勾股定理可得，即，即，，所以球的半径为，则球的表面积为.
23．如图，在三棱锥中，平面，，，，是的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最小值为___
【答案】
【解析】平面，，将三棱锥补成长方体，
则三棱锥的外接球直径为，所以，，
设球心为点，则为的中点，连接，
、分别为、的中点，则，且，
设过点的平面为，设球心到平面的距离为.
①当时，；
②当不与平面垂直时，.
综上，.
设过点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆的半径为，则，因此，所求截面圆的面积的最小值为.
24．若正四棱锥的底面边长和高均为8，M为侧棱的中点，则四棱锥外接球的表面积为___________.
【来源】山西省运城市2021届高三上学期期末数学（文）试题
【答案】
【解析】在正四棱锥中M为侧楼PA中点,
四棱锥外接球即为棱台的外接球，如图，
四棱锥的底面边长和高均为8，
,
设球心为，则图中均为直角三角形，
设，
，，
, 都在球面上，
,
解得,
25．已知P为球O球面上一点，点M满足，过点M与成的平面截球O，截面的面积为，则球O的表面积为________.
【来源】广西钦州市2021届高三第二次模拟考试数学（理）试题
【答案】
【解析】如图所示：
设截面圆心为，
依题意得，
设，则，
又，
所以，即球的半径为，
所以，
又截面的面积为，
所以，
解得，
在中，，
解得，所以球的半径为，
所以球的表面积是，
故答案为：
26．如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，设图中球和球的半径分别为1和3，，截面分别与球和球切于点和，则此椭圆的长轴长为___________.
【来源】江苏省盐城市阜宁县2020-2021学年高三上学期期末数学试题
【答案】
【解析】如图，圆锥面与其内切球 分别相切与，连接，则，过作于，连接交于点，设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，在△中,
,

, ,
△△ , 解得,
,
即 , 所以椭圆离心率为
在△中
解得,
故答案为：
27．在长方体中，，，，过点A且与直线平行的平面将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________.
【来源】江苏省六校2021届高三下学期第四次适应性联考数学试题
【答案】
【解析】如图所示：平面将长方体分成两部分，有可能在平面上或平面上，根据对称性知，两球半径和的最大值是相同的，故仅考虑在平面上的情况，延长与交于点，作于点，
设，圆对应的半径为，根据三角形内切圆的性质，
在中，，，，
则，又当与重合时，取得最大值，由内切圆等面积法求得，则
设圆对应的半径为，同理可得，
又，解得.
故，，
设，则，，
由对号函数性质易知，函数单减，
则，即最大值为
故答案为：
28．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为___________.
【来源】江苏省南京市秦淮中学2021届高三下学期期初学情调研数学试题
【答案】
【解析】为等边三角形且其面积为，则，，如图所示，设点M为的重心，E为AC中点，
当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，
点M为三角形ABC的重心，，
中，有，，
所以三棱锥体积的最大值
29．已知四面体的棱长均为分别为棱上靠近点的三等分点，过三点的平面与四面体的外接球的球面相交,得圆，则球的半径为___________，圆的面积为__________．
【来源】河南省九师联盟2021届高三下学期3月联考理科数学试题
【答案】
【解析】
设点A在平面上的射影为，则为的中心，
所以，
由于为正三角形，故四面体外接球的球心在线段上，
设球的半径为，则，
即，解得；
设在平面上的射影为，
则即为过三点的平面截球所得截面圆的圆心．
设在平面上的射影为与交于点．
在中，为高的
,所以
所以
由
得
由球的截面性质得平面，
所以截面圆的半径，
所以圆的面积为.