专题37 阿基米德三角形-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题37 阿基米德三角形【方法技巧与总结】如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边．1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为．5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为．6、点的坐标为；7、底边所在的直线方程为8、的面积为．9、若点的坐标为，则底边的直线方程为．10、如图1，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则.11、若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则．12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．图1【题型归纳目录】题型一：定点问题题型二：交点的轨迹问题题型三：切线垂直问题题型四：面积问题题型五：外接圆问题题型六：最值问题题型七：角度相等问题【典例例题】题型一：定点问题例1．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．    例2．已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．（1）证明：直线过定点．（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程．    例3．在平面直角坐标系中，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点．（1）证明：轴；（2）直线是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．    变式1．在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点．（1）证明：轴；（2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．    题型二：交点的轨迹问题例4．已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．    例5．已知动点在轴上方，且到定点的距离比到轴的距离大1，（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，且，交于点，求证：在定直线上．     例6．已知抛物线．的焦点为，直线与轴相交于点，与曲线相交于点，且．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，求证点的纵坐标为定值．    变式2．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点．（Ⅰ）若以，为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；（Ⅱ）过，分别作抛物线的切线，，证明：，的交点在定直线上．    变式3．抛物线的焦点为，抛物线过点．（Ⅰ）求抛物线的标准方程与其准线的方程；（Ⅱ）过点作直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线的准线上．    题型三：切线垂直问题例7．已知抛物线的方程为，点是抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点是的中点．（1）求证：切线和互相垂直；（2）求证：直线与轴平行；（3）求面积的最小值．    例8．已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，．（1）若点坐标为，求切线，的方程；（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直．    例9．已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点．（Ⅰ）求椭圆和抛物线的方程；（Ⅱ）设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．    变式4．抛物级的焦点到直线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）设直线交抛物线于，，，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证：．    题型四：面积问题例10．已知抛物线的方程为，点是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值．    例11．已知点，动点到点的距离比动点到直线的距离大1，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值    例12．已知点、，直线与相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之差为，点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；（Ⅱ）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值．    变式5．如图，已知抛物线上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，，且直线交线段于点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）（ⅰ）求证：为定值；（ⅱ）设，的面积分别为，，求的最小值．    变式6．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线经过抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线相交于、两点，过、两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值．    题型五：外接圆问题例13．已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程．    例14．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且．（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是的外接圆的圆心，求点的轨迹方程．    题型六：最值问题例15．如图，已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，与轴分别交于，．（1）求证：直线过定点，并求出该定点；（2）设直线与轴相交于点，记，两点到直线的距离分别为，；求当取最大值时的面积．    题型七：角度相等问题例16．如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线、，且与抛物线分别相切于、两点．（1）求的重心的轨迹方程；（2）证明．    例17．已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为．（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为、，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性．