2026年重庆中考数学二轮复习 专题07 二次函数综合压轴题(角相关4大题型)(重难专练)

这是一份2026年重庆中考数学二轮复习 专题07 二次函数综合压轴题(角相关4大题型)(重难专练)，共17页。试卷主要包含了，与y轴交于点C，等内容，欢迎下载使用。
第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
考向 二次函数角度相关
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
重●难●要●点●剖●析
考向 二次函数角度相关
题型1 角相等
1．（重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线上一点，抛物线的对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)为直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标．此时点保持不动，将线段沿直线继续平移，求平移过程中的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，得到抛物线，的对称轴与轴交于点，线段上有一点，连接，过点作交抛物线于点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)，的最小值为
(3)点的坐标为或，过程见解析
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
，
解得，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
如图，延长交于点，交于点，作，垂足为，设点的坐标为，
∵轴，
∴，，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴也是等腰直角三角形，
∵，
∴，
，
∵，
∴当时，取得最大值，此时点的坐标为，
∵两点之间，线段最短，
∴，当、、三点共线时，取得最小值，
又∵垂线段最短，
∴当时，最小，此时点、、恰好共线，
∴当时，取得最小值，如图，
∵，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴点与点重合，
在直角中，，
∴，
∴的最小值为．
综上所述，的面积最大时，点的坐标为；平移过程中，的最小值为．
（3）解：∵，，
∴沿射线平移等同于向右和向上同时移动相同的单位长度，
设抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，
由平移规律可得，
将点代入，得，
，
解得（负值舍去），
∴，对称轴为直线，
∴点的坐标为，
设点的坐标为，点的坐标为，
①当点在右侧时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵， ，
∴，，，，
∴，
解得或，
∵点在线段上，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
②当点在左侧时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，
同理可得，
∴，，
∵，，，，
∴，
解得或，
∵，
∴，，此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
2．（重庆市第二外国语学校2025年二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．直线经过，两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，点，为轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)；
(3)，
【详解】（1）解：对于：
令，则，则；
令，则，则．
把点，代入中，
得，
解得，
所以，该抛物线的函数表达式为；
（2）解：设，则，，
此时，，
，
且，
当时，取得最大值，此时．
对于：令，则，，则，
点，为轴上的动点，，
将向上平移1个单位长度得到，
，
；
（3）解：，．过程如下：
抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，
，即，
，，
轴，
，
，
．
分两种情况讨论：
①当时，，
，即，
解得：，，
，，
②当时，，
，即，无解．
综上，，．
3．（重庆市开州区2024-2025学年二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式：
(2)如图1，连接、，过点B作交抛物线于点D，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点E、点F为x轴负半轴上一动点，连接、、，当四边形的面积最大时，求点P的坐标及的最小值：
(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线．点M为直线上一点．将直线绕点M逆时针旋转得到直线，其中，直线与新抛物线交于点N．若，请直接写出所有符合条件的点N坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【详解】（1）解：代入点，得
解得
∴；
（2）解：令，得，
∴，
设直线的解析式为，
代入点，得，
解得，
∴，
∵，
∴可设直线的解析式为，
代入点，得，
解得，
∴，
令，
解得，，
令，得，
∴，
如图，连接，过点P作轴，交于点M，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
设直线的解析式为，
代入点，得，
解得，
∴，
设，则，，
∴，
∴当时，的面积最大，即四边形的面积最大，
，
∴此时点P的坐标为，
如图，作直线，使得，且，则，连接，过点P作，
∴，
∴即为的最小值，
设，
由题意，得，
设直线的解析式为，
代入，得，
∴，
∴，
设点，则，，，
又∵，
∴，
解得（舍去），或，
当时，；
（3）解：∵，，
∴，
，
故抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，
故，
分两种情况讨论：
第一种：如图，若是的外角，则，交x轴于点E，取点，则，
由题意，得，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，平分，
设点E到的距离为h，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入点，得，
解得，
∴，
联立，得，
解得（由图可知，不合题意，舍去），，
当时，，
∴；
第二种：如图，若是的内角，则，顺时针旋转第一种情况下的得到，
由题意，得，
∴，
∴，点在上，
由旋转的性质，易得，，轴，
，
∴，
设直线的解析式为，
代入点，得，
解得，
∴，
联立，得，
解得（由图可知，不合题意，舍去），，
当时，，
∴，
综上，或．
4．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点B在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点D，过点D作，交于点E，求的最大值，及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M是新抛物线上一点，当时，写出符合条件的点M的横坐标，并选一种情况写出解答过程．
【答案】(1)
(2)最大值为2，此时，点的坐标为
(3)点的坐标为或．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点B（点B在x轴的正半轴上），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：对于，当时，，
∴，
∴，
又，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴有最大值，最大值为2，此时，点的坐标为；
（3）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴新抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，
∴，
∵点M是新抛物线上一点，
∴设，
∵，则有：
①当点在上方时，如图，则，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴点的坐标为；
②当点在下方时，如图，则与交于点，
设点，则，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立方程，
解得或（不合题意，舍去）
∴，
∴点，
综上，当时，点的或．
题型2 角互余
5．（重庆市巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点，的坐标分别为，
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点，求四边形的面积最大值，及此时点的坐标；
(3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)四边形的面积最大值为，
(3)或
【详解】（1）解：将A、B点坐标代入抛物线解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
，
设直线的解析式为，
将B、C两点坐标代入，得
，
解得，
直线的解析式为，
如图，过点P作交于点D，连接，设，则，
，
，
，
当时，四边形的面积最大，最大值为，
；
（3）由题意知，分两种情况求解，
如图，作，
，
即直线与抛物线的交点即为点M，
C、M关于抛物线的对称轴直线对称，
；
如图，作直线使交于点F，
又，
，
即直线与抛物线的交点即为点M，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
设直线的解析式为，
将C、F点坐标代入得，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
，
综上所述，点的坐标为或．
6．（重庆市第一中学校2024-2025学年二模）如图所示，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点、两点，与轴的正半轴交于点．已知点，点，连接．
(1)求拋物线的解析式；
(2)如图1，点为抛物线第一象限内的一点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，点是线段的中点，将抛物线沿着射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线上，是否存在点使?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值为16，此时点的坐标为
(3)或
【详解】（1）解：代入，得，
解得：，
拋物线的解析式为．
（2）如图，作轴交轴于G，交直线于E，
令，则，即，
，，
，
又，
，
轴，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设，
则，
当时，有最大值8，即，此时，
，
，
的最大值为16，此时点的坐标为．
（3），，
抛物线沿着射线的方向平移个单位，，
抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位，
新抛物线的解析式为：，
由（2）中的结论得，，即，
，
；
如图，以为斜边作等腰直角，设
∴
，
∴
∴
由得，代入方程组
解得：或
∴或
设直线的解析式为，代入，或
∴或
解得：或
∴直线的解析式为或
联立，解得或（结合函数图象，舍去）
联立，解得或（结合函数图象，舍去）
的坐标为或．
7．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考三诊数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作轴，垂足为H，作交于点Q，点G是y轴上的动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线交于另一点D．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的求解过程．
【答案】(1)
(2)
(3)点K的坐标为或
【详解】（1）解：对于，当时，，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
∴，
∵，
∴，
将，代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，，，
∴设直线的解析式为，
代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为，
代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
如图，作交轴于，令交于，
∴设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∴，
∵，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最大时，取得最大值，
设且，则，
∴，
∵，
∴当时，的值最大为，此时的值也最大，
当时，，即，
∴，
∴、关于轴对称，
连接交轴于，连接，
由轴对称的性质可得：，
∴的最小值为的长，
∴设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得，即，
∴，即的最小值为；
（3）解：∵原抛物线为，直线的解析式为，
∴设将该抛物线沿射线方向平移（即向右平移个单位长度，向上平移的单位长度）得到新的抛物线，
∴新抛物线解析式为，
∵新抛物线经过点C，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴新抛物线解析式为，
联立，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴；
如图，当点在直线的上方时，连接交轴于，取的中点，连接，则，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
作于，则为等腰直角三角形，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，即，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴；
如图，当点在直线的下方时，延长交于，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，则，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
同理可得：直线的解析式为，
联立，
解得或（不符合题意，舍去），
此时；
综上所述，点K的坐标为或．
8．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；
(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)；
(2)周长的最大值为，此时点P的坐标为；
(3)存在，坐标为或．
【详解】（1）解：把，代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：设，
轴，H在直线上，
，
；
在中，令得，令得，
，，
，
，
轴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
此时，
的周长的最大值为，此时点P的坐标为．
（3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下：
当在轴上方时，延长，交于，如图：
在中，令得或，
，
由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，
新抛物线函数表达式为，
把代入得：，
解得舍去或，
新抛物线函数表达式为，
在中，令得或，
，
由，可得直线函数表达式为，
设，
，，
，
，
，
，
解得，
，
由，可得直线函数表达式为，
联立，
解得或，
；
当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，
由，得直线函数表达式为，
联立，
解得或，
；
综上所述，的坐标为或．
题型3 角的倍数关系
9．（重庆市第七中学校2024-2025学年二模）如图，一次函数与二次函数交于点和点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为直线下方抛物线上一动点，轴交于点M，，垂足为N，求的最大值，及此时点P的坐标；
(3)将二次函数图象向某个方向平移，平移后（2）中求得的点P的对应点为，且新抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F的左侧），交y轴于点G．H为新抛物线位于第四象限上的一动点，过H作轴，垂足为K，连接．若，直接写出新抛物线的解析式和点H的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时，点
(3)，
【详解】（1）解：把点代入一次函数，则，
，
把，代入二次函数表达式，
得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：如图所示，设直线分别与x、y轴交于点T、R，
一次函数，当时，；当时，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
轴，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
点P为直线下方抛物线上一动点，
设点，则点，
则，
则
，
当时，有最大值，最大值为，
，
此时，点；
（3）平移后（2）中求得的点P的对应点为，
则函数向左平移2个单位向下平移2个单位，
则新抛物线的表达式为： ，
当时，，则，
当时，，
，
，
如图所示，设与y轴交于点W，
轴，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得：，
，
设直线的解析式为，把代入，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
解得：，（不合题意舍去），
在第四象限，
．
10．（重庆市巴渝学校2024-2025学年二模）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设四边形的面积为S，求S的最大值；
(3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为
(3)
【详解】（1）解：将代入，得：
；
（2）解：过点作轴于点，如图所示，
令，则，
，
，
为第四象限内抛物线上一点，设点，
，
，
，
，
当时，有最大值，；
（3）解：设交轴于点，如图，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得：
，
，
令，
解得：，
点的横坐标为，
把代入得：，
点的坐标为．
11．（重庆市开州区大进初级中学2024-2025学年九年级下学期三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动时，连接，求的最小值；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)存在，点的横坐标为，理由见解析
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，
解得．
该抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线与轴交于点，且当时，，
，
，
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，
解得，
直线的解析式为，
设点，则，，
，
轴，
，
，
当取最大值时，取得最大值，
即，
，
∴当时，取得最大值，
则
点的坐标为；
设滑动后的对应点分别为，过点作的平行线，截取，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵为定值，
当三点共线时，有最小值，
∴有最小值，即有最小值，
∵，
∴，
∴的最小值为，即的最小值为，
（3）解：存在，点的横坐标为，使得，理由如下：
在轴负半轴上取点，使得，连接，如图．
设点的坐标为，则，．
在中，
，
，
解得，
，
．
，
，
，
，
．
又∵，
∴，
∴，即，
设，
∴，
解得或（舍去）．
存在点，当点的横坐标为时，．
12．（2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值；
(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程．
【答案】(1)
(2)，
(3)11或
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
代入抛物线得：
，解得：，
∴．
（2）解：如图：过点F作轴交于点G，交x轴于点L，设抛物线对称轴交x轴于点T，过点B在x轴下方作，过点N作于点M，使，则，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵轴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
设，
则，，
∴，
∵，
∴当时，最大，
此时，，即，
由点到直线的最短距离可得当F、M、N三点共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交x轴于点S，此时，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由，得，，
∴，，
∴，，
∴，
∴最小值为．
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，
∴新抛物线的解析式为，
设直线解析式为，
代入，，
得：，解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
如图：连接，
∴
∴，
∴
如图，在直线上取一点S，使得，则，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K，
设，则，，
∴，解得：，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得：，解得：，
∴直线解析式为，
与抛物线联立得，
解得：（舍），，即点K的横坐标为11；
如图，利用对称性在直线上取另一点，使得，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K，
设，则，，
∴，解得：（舍），，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得：，解得：，
∴直线解析式为，
与抛物线联立得，解得：（舍），，
故点K的横坐标为．
综上所述，点K的横坐标为11或．
题型4 多角和差关系
13．（重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，作直线．已知是抛物线上的两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)试判断是否存在实数使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知点是抛物线在第一象限上的一点，过点作轴的垂线，交于点．当取得最大值时，在抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)不存在满足条件的，理由见解析
(3)点为或，见解析
【详解】（1）解：，．
将代入，得，
解方程组，得，
∴抛物线的解析式是；
（2）解：，，
．
．
关于的一元二次方程．
∴不存在满足条件的；
（3）解：∵抛物线与轴交于点，故．
，，则直线为．
设的坐标为，则．
．
当取得最大值时，．此时
，．
设的坐标为．
当点在点的左边，，如答图1．
，
．
．
，
∴直线为．
，且过点，
∴直线为．
直线经过点，
．
解方程，得（舍去）．
．
当点在点Q的右边，．
如答图2，过点作轴，与过点与轴平行的直线交于点．
则．
，
，
．
．
，即．
∴整理，得．
解方程，得（舍去）．
．
综上所述：满足条件的点为或．
14．（重庆市万州区2024—2025学年一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，，其中，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交轴于点，过作轴交于点．点与点为直线上的两个动点，满足点在点的上方且，连接，，当取得最大值时，求点的坐标及的最大值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，点为新抛物线上一点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)；，；
(3)点的坐标为或或或，过程见解析
【详解】（1）解：把点，代入，得
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：延长交轴于点H，
当时，得到，
∴
∴
∴
，
，
∴，即
∴
设直线的解析式为，
则，解得，
∴的解析为，
设点P的坐标为，则，
∴，
∵，
当时，有最大值，此时点P的坐标为；
将点沿着方向平移个单位得到（即向右平移1个单位，向下平移2个单位），
则，
则
∴四边形为平行四边形，
∴
∴
即的最大值为；
（3）解：将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，相当于将抛物线向右移动２个单位，再向下平移4个单位，
新抛物线的解析式为，
∵，
∴
如图，记直线与轴交于点L，交抛物线于点，
则，
∴即，解得
∴，
设直线的解析式为，把，代入得到，
，解得，
直线的解析式为，
联立得到，
解得或
在轴上取点，使得，则，
同理可得，直线的解析式为，联立得到
解得或
∴点的坐标为或或或
15．（重庆市鲁能巴蜀中学校2025年二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交轴于A，B两点在的左侧），交轴于点，连接AC，其中．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段下方抛物线上的一动点，连接交线段于点，过点作直线交拋物线于点，点是轴上的动点，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
(3)在（2）中当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点向右平移一个单位长度得到点，点为拋物线上的一动点并在拋物线的对称轴右侧，过点作直线交抛物线于点．连接PA，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）解：∵抛物线交 y 轴于点 C，
∴令，得，
∴．
∵
∴
∵点 A 在 B 左侧，
∴．
将 代入抛物线方程：
​，解得．
∴抛物线的表达式为：．
（2）解：设直线的解析式为，
则，解得：
∴直线的解析式为．
∵ ，
设的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为．
设，
设直线的解析式为，
则，解得：
∴直线的解析式为，
联立、得：，解得：，
∴，
如图：过P作轴，轴，则，
∴，，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，此时；
∵，，
∴，
∴；
如图：过点F作，过点B作垂足为G，
∴ ，
∴，
∴，
如图：过点F作于H，垂足为H，则四边形是矩形，
∴，
∴，
如图：过点作交于，则是直角三角形，
由垂线段最短可知：为的最小值，
设，则，
，
∴，解得：或2；
当时与点B重合，不符合题意，故，
∴，
∴的最小值；
（3）解：∵抛物线沿方向平移​个单位，
∴向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，
，化简得 ．
联立，解得：或（与点B重合舍去），
∴，
∵将点向右平移一个单位长度得到点，
∴，
设，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或，
∴或（与点K重合，不符合题意），
∵，
∴，
∵，
∴，
如图：当即，点Q位于对称轴的左侧，延长使其相交于点H，则，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：或（不合题意舍去），
∴点Q的横坐标为．
16．（重庆市珊瑚初级中学校2023-2024学年九年级下学期一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析式为交轴于两点，与轴交于点，连接．
(1)求三点的坐标；
(2)如图1，是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，求的最大值及点的坐标．
(3)如图2，将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)的最大值为1，点的坐标为
(3)或
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
设直线的解析式为，
代入，，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，则，其中，
则
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为1，
此时点的坐标为；
（3）解：，
∵，，
∴直线的解析式为，
∵将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴将抛物线向上平移2个单位长度，向右平移1个单位长度得到新抛物线，
∴，
∵，
∴，
①当在轴上方时，记此时点为，
∵，
∴，
∴设直线的解析式为，
代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或（舍去），
∴；
②当在轴下方时，记此时点为，
延长与交于点，
设点的坐标为，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得（舍去）或，
∴；
综上，所有符合条件点的坐标为或．
重●难●提●分●必●刷
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1．直线与抛物线分别交于轴上的点和y轴上的点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点N；当面积取得最大值时，求的最小值；
(3)记抛物线与轴的另一交点为点，将原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得新抛物线．点为新抛物线上的一动点，若满足，则求所有符合条件的点H的横坐标，并写出其中一种情况的解答过程．
【答案】(1)抛物线的表达式为；
(2)当面积取得最大值时，最小值为；
(3)所有符合条件的点的横坐标为或．
【分析】（1）先利用直线的表达式求得点、的坐标，然后利用待定系数法即可得抛物线的表达式；
（2）作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，设，与抛物线联立，消去，可得关于的一元二次方程，令判别式为0，可得，利用勾股定理可得和之间的距离，将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，四边形为平行四边形，可证当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，此时取得最小值，通过平移规律求得，根据勾股定理可得，即可得的最小值；
（3）由二次函数图象的平移可得，取点，连接，证明，可得，点为射线与抛物线的交点，由待定系数法可得直线的解析式为，与联立，即可得点的横坐标，作平行四边形，则，，点为射线与抛物线的交点，由待定系数法可得直线的解析式为，与联立，即可得点的横坐标．
【详解】（1）解：对于直线：，当时，；当时，，
∴，，
∵直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点，
∴，
解得，，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：∵为直线上方抛物线上一点，
∴作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，
设：，则，
∴有两个相等的实数根，
令，
解得，
∴：，
∴，
解得，，
即当时，面积取得最大值；
由（1）可知，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
将直线：向下平移2个单位长度得到直线，
：，
设直线与轴交于点，过点作于点，如上图所示，
则为等腰直角三角形，
对于直线：，当时，，即，
，
，
，
直线和直线的距离为，
为直线上任意一点，过点作于点，
；
将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，如上图所示，
则，，
四边形为平行四边形，
，
，
当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，
为定值，
此时取得最小值；
作轴于点，如上图所示，
则为等腰直角三角形，
，
，
即点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点，
，，，，
点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点，
，
，
点为点关于轴的对称点，，
，
当、、共线时，
此时，
当面积取得最大值时，最小值为．
（3）解：由可得，，
∴，，
根据题意可得，
取点，连接，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点为射线与抛物线的交点，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
由，可得，
解得，，
∴，
∵，，
∴，
作平行四边形，则，，
∴，
∴点为射线与抛物线的交点，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
由，可得，
解得，，
∴，
综上，所有符合条件的点的横坐标为或．
2．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为直线上方抛物线上一点，连接、、，当取得最大值时，过点作轴交轴于点，交于点，过作交轴于点，连接，点是直线上的一动点，点是直线上的一动点且，连接、，求此时点坐标及的最小值；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线．点是新抛物线对称轴上的一动点，连接、、、．是否存在点满足？若存在，请直接写出所有可能点的坐标及其中一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，的最小值为
(3)存在，的坐标为或
【分析】（1）先求得点，然后利用，求得点，然后利用待定系数法解题即可；
（2）先求出直线的表达式，接着不妨设点，那么，表示出，结合二次函数，求出其最值，以及，从而得到点坐标，接着求出直线，的表达式，得到点坐标，算得长度，接着判断四边形是平行四边形，那么，那么当取得最小值时，最小，过点作，过点作交于，那么四边形是平行四边形，可得到，从而推出当、、三点共线时，取最小值，最小值为，不妨设点，利用平行四边形的性质，结合平移，表示出，，接着利用勾股定理求得即可；
（3）先算得当点满足时，，以及新抛物线的对称轴为直线，接着设新抛物线的对称轴交x轴于点T，过点A作，交的延长线于点L，过点A作轴，交新抛物线的对称轴于点，过点作于点W，交x轴于点，先证明，得到，，设，则，接着证明，通过算得答案．
【详解】（1）解：当时，代入，解得，
∵抛物线交轴于点，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线交轴于，且过，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设直线的表达式为，代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为：，
不妨设点，那么，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴此时，
设直线的表达式为，代入，，
得，解得，
∴直线的表达式为：，
∵，
∴不妨设直线的表达式为，
将代入，得，解得，
∴直线的表达式为，
将代入，得，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当取得最小值时，最小，
过点作，过点作交于，如图所示：
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴当、、三点共线时，取最小值，最小值为，
如下图所示，、、三点共线：
不妨设点，
∵四边形是平行四边形，，，，
∴点向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点，
∴点向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点，
∴，
同理，∵四边形是平行四边形，，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：由（2）可知，，，，
∴，且点为的中点，
∵轴于点，交于点，
∴，垂直平分线段，，
∴，，，
∴，
∴，
∴当点满足时，
则，
∵将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线，
∴，
∴新抛物线的对称轴为直线，
如图，设新抛物线的对称轴交x轴于点T，
∴，
在上取，连接，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴点在第一象限，
如图，过点A作，交的延长线于点L，过点A作轴，交新抛物线的对称轴于点，过点作于点W，交x轴于点，
则四边形和为矩形，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
不妨设，则，
∵四边形和为矩形，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴点Q的坐标为或．
3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，点和点是直线上的两个动点，，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，抛物线与原抛物线交于点，点为抛物线上一点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)该抛物线的表达式为；
(2)点的坐标为，的最小值为；
(3)点的坐标为或．
【分析】（1）把代入，可得，把代入，可得，把，代入，可得，，即可得抛物线的表达式；
（2）设，作轴，交直线于点，则，可得，可得，可得当取得最大值时，点的坐标，作平行四边形，连接，，作轴于点，根据勾股定理可得，，作轴，轴，交于点，根据勾股定理可得，即为的最小值；
（3）由平移可得，联立两个抛物线的解析式，可得，作，作轴，交于点，作于点，作轴于点，则，可得，用待定系数法可得直线的解析式，与抛物线的解析式联立，可得点的坐标，在轴上取点，使得，则，可得，用待定系数法可得直线的解析式，与抛物线的解析式联立，可得点的坐标．
【详解】（1）解：把代入，可得，
∴，
把代入，可得，
∴，，
把，代入，
可得，
解得，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：把代入，可得，，
∴，，
设，
作轴，交直线于点，则，
∴，
由，可得，
∴，
当时，，
∴当取得最大值时，点的坐标为，
直线与轴的交点记为，
把代入，可得，
∴，，
作平行四边形，连接，则，，，
∴，，
∴，
作轴于点，则，
∴，
∴，
∴，
作轴，轴，交于点，则，，
在中，，
∴的最小值为．
（3）解：作轴于点，
∵，
∴，
∴，
抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移个单位，向上平移个单位，得到抛物线，
∴，
由得，
把代入得，
∴，
∵，
∴，
作，作轴，交于点，作于点，作轴于点，则，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，点为直线与抛物线的交点，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
由得，（点的横坐标），
把代入得，
∴，
在轴上取点，使得，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
由得，（点的横坐标），
把代入得，
∴，
∴点的坐标为或．
2023、2024、2025年考法解读
2026年考法预测
中考数学中二次函数压轴题的各种点主要考向分为两类：
一、最值相关（每年1道小题，4分）；
二、角度相关（每年1题小题，4分）；
考查内容稳定，，以解答题为主，难度中等偏上，计算难度较大。
这道题通常涉及二次函数与几何图形，预计2026年将依然保持高综合性，重点考查分类讨论和数形结合思想 。 高频考点：常以二次函数为背景，融合三角形相似、角度相关的存在性探究。你需要熟练掌握利用顶点式求解析式，并灵活运用线段比转化坐标。
考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数等；能根据题意构建相似三角形，并能熟练利用二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数进行求解是解题的关键．
主要考查了二次函数与坐标轴交点、求一次函数解析式、解直角三角形、勾股定理、二次函数图像平移、平行四边形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线和具备较强的计算能力是解题关键。
考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，图像的平移，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点等知识点．掌握二次函数的图像与性质，图像的平移，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质与判定，三角函数的定义，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度，利用几何性质构造角的和差关系是解题关键。