中考数学二轮复习重难点复习题型09 二次函数综合题 类型七 二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）（2份打包，原卷版+解析版）

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题型九 二次函数综合题 类型七 二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）1.（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．(1)求线段AC的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；（2）求出对称轴为x=1，设P（1，t），用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M（m,m2-2m-3），分情况讨论，当，，分别列出等式求解即可．(1)与x轴交点：令y=0，解得，即A（-1，0），B（3，0），与y轴交点：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），∴AO=1,CO=3,∴;(2)抛物线的对称轴为：x=1，设P（1，t），∴，，∴ ∴t=-1，∴P（1，-1）；(3)设点M（m,m2-2m-3），，，,①当时，，解得，（舍），，∴M（1，-4）；②当时，，解得，，（舍），∴M（-2，5）；③当时，，解得，，∴M或；综上所述：满足条件的M为或或或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．2.（2021·四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，则BF的长即为所求．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y=a（x-2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a=，∴该抛物线的表达式为y=x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴当y=0时，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6，∴A（-2，0），B（6，0），∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，∴BE2=BC2+CE2，∴∠BCE=90°，∴△BCE是直角三角形；（3）如图，在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，
则BF的长即为所求．连接CP，∵CP为半径，∴ ，又∵∠FCP=∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴ ，FP=EP，∴BF=BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF=CE，E（2，8），∴F（，），∴BF=【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．3.（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．
 （1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；（3）如图2，是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点及其对应点的坐标【答案】（1）；（2），；（3），；，；，；，； ，；，．【分析】（1）由和，且D为顶点列方程求出a、b、c，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①过点作，交抛物线于点，②在下方作交于点，交抛物线于；（3）为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当；②当；③当．【详解】解：（1）将和代入得 又∵顶点的坐标为∴∴解得 ∴抛物线的解析式为：．（2）∵和∴直线的解析式为：∵抛物线的解析式为：，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，则C点坐标为，B点坐标为．①过点作，交抛物线于点，则直线的解析式为，结合抛物线可知，解得：（舍），，故． ②过点作轴平行线，过点作轴平行线交于点，由可知四边形为正方形，∵直线的解析式为∴与轴交于点，在下方作交于点，交抛物线于∴又∵OC=CG， ∴≌，∴，，又由可得直线的解析式为，结合抛物线可知，解得（舍），，故．综上所述，符合条件的点坐标为：，． （3）∵，∴直线的解析式为设M的坐标为，则N的坐标为∴ ∵，∴直线的解析式为∵为等腰直角三角形∴①当时，如下图所示则Q点的坐标为∴∴解得：（舍去），，∴此时，；，；②当时，如下图所示则Q点的坐标为∴∴解得：（舍去），，∴此时，；，；③当时，如图所示则Q点纵坐标为 ∴Q点的坐标为∴Q点到MN的距离=∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：（舍去），，∴此时，；，．综上所述，点及其对应点的坐标为：，；，；，；，； ，；，．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形．该题综合性较强，属于中考压轴题．4.（2021·湖北中考真题）抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积；（3）若是对称轴上一定点，是抛物线上的动点，求的最小值（用含的代数式表示）．【答案】（1）；（2）4；（3）【分析】（1）与轴相交于点，得到，再根据抛物线对称轴，求得，代入即可．（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，可知、两点关于对称轴对称，是等腰直角三角形得到，设，根据等腰直角三角形的性质求得E点坐标，从而求得的面积．（3），根据距离公式求得，注意到的范围，利用二次函数的性质，对进行分类讨论，从而求得的最小值．【详解】解：（1）由抛物线（）与轴相交于点得到抛物线的对称轴为，即，解得∴抛物线的方程为（2）过点E作交AB于点M，过点F作，交AB于点N，如下图：∵是等腰直角三角形∴，又∵轴∴∴为等腰直角三角形∴设，则，∴又∵∴解得或当时，，符合题意，当时，，不符合题意综上所述：．（3）设，在抛物线上，则将代入上式，得 当时，，∴时，最小，即最小=当时，，∴时，最小，即最小，综上所述【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公式等知识，熟练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键．5.（2020•泸州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．①求直线BD的解析式；②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a，即可得出结论；（2）①先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；②先确定出点Q的坐标，设点P（x，x2+x+4）（1＜x＜4），得出PG＝x﹣1，GQx2+x+3，再利用三垂线构造出△PQG≌△QRH（AAS），得出RH＝GQx2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，进而得出R（x2+x+4，2﹣x），最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，∴a，∴抛物线的解析式为y（x+2）（x﹣4）x2+x+4；（2）①如图1，设直线AC的解析式为y＝kx+b'，将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得，∴，∴直线AC的解析式为y＝2x+4，过点E作EF⊥x轴于F，∴OD∥EF，∴△BOD∽△BFE，∴，∵B（4，0），∴OB＝4，∵BD＝5DE，∴，∴BFOB4，∴OF＝BF﹣OB4，将x代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（）+4，∴E（，），设直线BD的解析式为y＝mx+n，∴，∴，∴直线BD的解析式为yx+2；②∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点Q（1，1），如图2，设点P（x，x2+x+4）（1＜x＜4），过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，∴PG＝x﹣1，GQx2+x+4﹣1x2+x+3，∵PG⊥l，∴∠PGQ＝90°，∴∠GPQ+∠PQG＝90°，∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，∴∠PQG+∠RQH＝90°，∴∠GPQ＝∠HQR，∴△PQG≌△QRH（AAS），∴RH＝GQx2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，∴R（x2+x+4，2﹣x），由①知，直线BD的解析式为yx+2，∴x＝2或x＝4（舍），当x＝2时，yx2+x+44+2+4＝4，∴P（2，4）．6.（2020·甘肃兰州?中考真题）如图，抛物线经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，点M的坐标为（，－9）或（，11）．【解析】【分析】（1）将A（-3，0），B（5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
（2）先求得AC的长，然后取D（2，0），则AD=AC，连接BD，接下来，证明BC=BD，然后依据SSS可证明△ABC≌△ABD，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD；
（3）作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作AM′⊥AB，作BM⊥AB，分别交抛物线的对称轴与M′、M，依据点A和点B的坐标可得到tan∠BAE=，从而可得到tan∠M′AE=2或tan∠MBF=2，从而可得到FM和M′E的长，故此可得到点M′和点M的坐标．【详解】解:（1）将A（-3，0），B（5，-4）两点的坐标分别代入，得解得故抛物线的表达式为y＝． （2）证明：∵AO=3，OC=4，
∴AC==5．
取D（2，0），则AD=AC=5．

由两点间的距离公式可知BD==5．
∵C（0，-4），B（5，-4），
∴BC=5．
∴BD=BC．
在△ABC和△ABD中，AD=AC，AB=AB，BD=BC，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠CAB=∠BAD，
∴AB平分∠CAO；（3）存在．如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．

抛物线的对称轴为x=，则AE=．
∵A（-3，0），B（5，-4），
∴tan∠EAB=．
∵∠M′AB=90°．
∴tan∠M′AE=2．
∴M′E=2AE=11，
∴M′（，11）．
同理：tan∠MBF=2．
又∵BF=，
∴FM=5，
∴M（，-9）．
∴点M的坐标为（，11）或（，-9）．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM和M′E的长是解题的关键7.（2020·内蒙古通辽?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.【解析】【分析】（1）根据直线求出点B和点D坐标，再根据C和D之间的关系求出点C坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P坐标为（m，0），表示出M和N的坐标，再利用三角形面积求法得出S△BMD=，再求最值即可；（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.【详解】解：（1）∵直线过点B，点B在x轴上，令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，∴B（6，0），D（0，-6），∵点C和点D关于x轴对称，∴C（0，6），∵抛物线经过点B和点C，代入，，解得：，∴抛物线的表达式为：；（2）设点P坐标为（m，0），则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，m-6），∴MN=-m+6=，∴S△BMD=S△MNB+S△MND===-3（m-2）2+48当m=2时，S△BMD最大=48，此时点P的坐标为（2，0）；（3）存在，由（2）可得：M（2，12），N（2，-4），设点Q的坐标为（0，n），当∠QMN=90°时，即QM⊥MN，如图，可得，此时点Q和点M的纵坐标相等，即Q（0，12）；当∠QNM=90°时，即QN⊥MN，如图，可得，此时点Q和点N的纵坐标相等，即Q（0，-4）；当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图，分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，∵∠MQN=90°，∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，∴∠NQF=∠QME，∴△MEQ∽△QFN，∴，即，解得：n=或，∴点Q（0，）或（0，），综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.