2026年重庆中考数学二轮复习 专题06 三角函数相关实际问题(4大题型)(重难专练)

这是一份2026年重庆中考数学二轮复习 专题06 三角函数相关实际问题(4大题型)(重难专练)，共9页。
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
考向 解直角三角形
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
重●难●要●点●剖●析
考向 解直角三角形
题型1 选择时间短的路线
1．（重庆市第七中学校2024-2025学年二模）如图，小红和小刚两人相约周末从城市A出发前往位于城市A南偏东方向处的度假村B游玩．小红选择驾驶燃油车从点A出发，沿西南方向行驶到购物中心C花费30分钟时间购买物资，再驾车前往位于购物中心C正东方向千米处的度假村B．小刚驾驶电动汽车从点A出发，到位于点A东北方向的充电站D充电，充电时间为120分钟，完成充电后立即从点D出发，前往位于点D正南方向的度假村B．
(1)求出发点A与购物中心C的距离；（结果保留根号）
(2)已知小红驾驶燃油车的速度为60千米/时，小刚驾驶电动汽车的速度为80千米/时，请计算说明小红和小刚谁先到达度假村B．（参考数据：，，）
【答案】(1)发点A与购物中心C的距离为千米
(2)小刚先到达度假村，理由见解析
【详解】（1）解：作于点，设，
在中，，
∴，，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵千米，
∴，
解得，
∴千米，
答：发点A与购物中心C的距离为千米；
（2）解：小刚先到达度假村．理由如下：
作于点，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴千米，千米，
同理，是等腰直角三角形，
∴千米，千米，
∴千米，
千米，
∴小红用时小时，
小刚用时小时，
∵，
∴小刚先到达度假村．
2．（重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模）如图，小红和小明相约去动物园游玩，表示公园大门，表示金鱼馆，为熊猫馆，为恐龙馆．小红的游览路线是，小明的游览路线为，两人最终在处汇合．在的南偏西方向，在的西南方向1200米处，与的距离为1000米，在的正东方向米处．（（参考数据：）
(1)求的长度（结果保留根号）；
(2)若小明的平均游览速度是小红平均游览速度的两倍（停留在、的玩耍时间相同），谁先到达处熊猫馆？请通过计算说明（结果保留整数）．
【答案】(1)米
(2)小明先到达C处熊猫馆，计算说明见解析
【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于H，
由题意得，，
在中，米，
米；
在中，由勾股定理得米，
∴米，
答：的长度为；
（2）解：如图所示，过点A作于T，
在中，，
∴米，
米，
∴米，
在中，由勾股定理得米，
∴米；
∵，
∵，
∴小明先到达C处熊猫馆．
3．（重庆一中寄宿学校2024-2025学年一模）2025年元旦节，小刚和小颖相约一同骑行去景区B处游玩，原计划他们在A处汇合，一同沿A→B骑行，但实际汇合后，小刚临时接到消息要去C处的奶奶家拿东西，故小刚沿着A→C→B的路线骑行，但小颖仍按照原计划沿A→B骑行．经测量，B在A 的正南方向上，且在C的西南方向上，C在A的南偏东30°方向上，米．(参考数据：，)
(1)求汇合点A与景区B距离(结果精确到个位)；
(2)两人在A处同时出发，且途中两人均保持匀速行驶，小颖的骑行速度为300米/分，小刚的骑行速度为360米/分，若小刚在奶奶家花费的时间忽略不计，请通过计算谁先到达景点B？
【答案】(1)2459米
(2)小颖
【详解】（1）解：过点C作，垂足为D
在Rt中，
∴，，
在Rt中，
∴，
∴米
答：汇合点A与景区B距离为2459米；
（2）解：小颖所用的时间为分
小刚所用的时间为分
∵
∴小颖先到达景点B．
4．（重庆市第二外国语学校2025年二模）每逢九月、十月，万州中学的三角梅花瀑便成为校园一景，吸引着众多师生课间打卡．如图，点、、、在同一平面内．某日小庆和小阳两人同时从点出发前往打卡地点处，点在点南偏东方向，由于、两地间正在举行活动不能直接通行，所以他们沿不同路线前往．小庆先从点向北偏东方向步行到点，再从点向南偏西方向步行到点；小阳先从点出发步行到点，已知点在点的北偏东方向，再从点向正东方向步行600米到点．（参考数据：，，，）．
(1)求、两地间的距离（结果保留根号）；
(2)小庆步行速度是每分钟60米，小阳步行速度是每分钟80米，两人在各点处停留的时间忽略不计，谁先到达打卡地点？请通过计算说明．
【答案】(1)、两地间的距离为．
(2)小庆先到达打卡点．见解析
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
由题意得：，，
，
在中，，
，
答：、两地间的距离为．
（2）解：小庆先到达打卡点，理由如下：
如图，过点作于点，
，
在中，，，
，
在中，，
，，
分钟，
，
分钟，
小庆先到达打卡点．
题型2 选择路程少的路线
5．（重庆市开州区2024-2025学年二模）如图，甲、乙两艘渔船同时从A港出发，前往位于港正北方向的捕鱼点捕鱼，甲渔船沿点的北偏西方向航行到观测点B，再沿B点的北偏东方向航行千米到达捕鱼点，乙渔船沿东北方向航行到观测点，再沿点的北偏西方向到达捕鱼点．
(1)求A港到捕鱼点的距离；（结果保留根号）
(2)若甲、乙两艘渔船的速度相同（在观测点B，观测的时间相同），哪艘渔船先到达捕鱼点？请通过计算说明．（参考数据：，，
【答案】(1)
(2)甲渔船先到达捕鱼点
【详解】（1）解：过点B作，垂足为E，则：
，，千米，
∴千米，
∴千米，
∴千米．
（2）解：过点作于点，如图，
∴
由题意可知，，千米，
∴千米，，
在中，千米，
千米，
∴千米，
∵，
∴，
∴，
在中，千米，
∴千米，千米，
∴千米，
∵
∴，
由甲、乙两艘渔船的速度相同，可得甲渔船先到达捕鱼点．
6．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模）如图，港在港的正北方向42海里处，港在港的正东方向30海里处，港，港在港的正东方向，且港在港北偏东方向，港在港的东北方向．（参考数据：）
(1)求，两港之间的距离；（结果保留小数点后一位）
(2)甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港装运新的物资．若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
【答案】(1)59.2海里
(2)乙货轮先到达港，理由见解析
【详解】（1）过点作，交的延长线于点，
根据题意，四边形为矩形，
∵海里，
∴海里，
在中，，
∴（海里），
答：两港之间的距离为59.2海里；
（2）甲船路线为：，
∵在中，海里，
∴（海里），
（海里），
∵在中，，
∴海里，
∴（海里），
（海里），
（海里）．
∴甲船行驶的总路程为
（海里）
∵乙船路线为：，
∴乙船行驶的总路程为
（海里）
∵甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠两港的时间相同），
∴乙货轮先到达港．
7．．（重庆市第八中学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，）
(1)求、两港之间的距离（结果保留根号）．
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
【答案】(1)海里
(2)甲货轮先到达港
【详解】（1）解：作于点，如图所示，
则，
由题意可知，，，海里，
∴，
∴，
在中，（海里），
（海里），
∴海里，
答：、两港之间的距离为海里．
（2）解：作于点，如图所示，
则，
由题意可知，，，
由（1）可知，，（海里），
∴，，
∴，，，，
∵，即，
解得，
∴海里，
海里，
∴（海里），
（海里），
∵，甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），
∴甲货轮先到达港．
8．（重庆市巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，A、B、C、D、E为同一平面内的五个景点．已知景点 E 位于景点 A 的东南方向 米处，景点D 位于景点 A 的北偏东方向1500米处，景点C位于景点B 的北偏东方向， 若景点A、B 与景点 C、D 都位于东西方向，且景点 C、B、E在同一直线上．
(1)填空： °， °；
(2)求景点 A 与景点 B之间的距离．（结果保留根号）
(3)小明从景点A出发， 从A→D→C， 小红从景点 E出发， 从E→B→C，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点 C．（参考数据： ）
【答案】(1)，
(2)米
(3)小红先到达景点C，理由见解析
【详解】（1）解：，
故答案为：45；60；
（2）解：如图，过点E作于点H，
在中，米，
则（米），
由题意可知：，
∵，
∴（米），
∴米；
（3）解：如图，过点A作，交的延长线于点F，过点B作于点G，
则四边形为矩形，
∴，米，
在中，米，
则（米），（米），
∴米，
在中，米，，
∴（米），（米），
∴米，
∴（米），
在中，米，，
则（米），
∴（米），
∵，
∴小红先到达景点C．
题型3 判断是否及时到达
9．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题）如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：）
(1)求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号）
(2)巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1）
【答案】(1)海里
(2)能，见解析
【详解】（1）解：过点作交的延长线于点，
由题意得：，，，，
∴，，，
在中，，
设，
则，
在中，，
∴，
解得：，
∴海里；
（2）解：过点作于点O，
在中，，，
∴，
∴小艇从到用时（小时），
而检查用时分钟小时，
∴小艇从到再检查用时（小时），
由题意得：，
∵中，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴用时：（小时），
∵，
∴能及时将维修配件送达灯塔M．
10．（2024年重庆大渡口区九年级中考一诊考试数学试题）某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，)
(1)求线段CD的长度；(结果精确到0.01km)
(2)已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计)
【答案】(1)
(2)能
【详解】（1）分别过点B、C作于E，于F，
依题意可知：，，，，，
∴，
∴四边形是矩形，，
∵，，
∴
又∵，
∴
（2）16分钟秒，
∵，，，
∴，
∴从A点运送到D点的时间为：，
∴送货司机按既定路线进行运送能按时送达．
11．（2023年重庆实验外国语学校中考三模数学试题）五一假期，不少人选择乘坐飞机出游．妈妈和小明从航站楼入口点处前往登机口点处登机．已知点位于点东北方向且米．点的正东方向有另一入口点，商店位于点的正北方向，同时位于点的南偏东，米．

(1)求两个入口的距离；（结果保留根号）
(2)妈妈和小明到达航站楼时间为上午9：00，登机时间为9：30.妈妈见时间尚早，决定和小明一起先去商店处逛逛，他们沿路线行走，步行速度为60米/分，在商店处逗留25分钟，请计算说明妈妈和小明是否能准时登机？（参考数据：，）
【答案】(1)米
(2)能
【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，
四边形是矩形，
，
在中，，，
（米），
在中，，，
（米），
（米），
答：两个入口的距离为米．
（2）解：在中，，，
（米），
在中，，，
（米），
四边形是矩形，
（米），
（米），
，
妈妈和小明可以能准时登机．
12．（重庆市第一中学校2024-2025学年二模）去年，第9号台风“苏拉”登陆我国沿海地区，风力强、影响范围广，有极强的破坏力．如图，台风中心从A地由南向北移动，1小时后到达B地．已知点C为一海港，在C港测得：A地在C地南偏东方向、距离为300千米处；B地在C地东南方向上．（参考数据：，，，）
(1)当台风中心到达B地时距海港C还有多远？（结果保留根号）
(2)当台风中心到达B地后方向立即发生了改变，沿北偏西方向快速移动，风速比之前增强了，影响范围进一步扩大，以台风中心为圆心，周围千米以内为受影响区域，此时C港接到紧急通知：要求所有人员在30分钟内撤离海港．请通过计算说明C港人员能否在受台风影响前及时撤离？
【答案】(1)
(2)能在受台风影响前及时撤离
最后对运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：过点C作于D，
由题意得：，，，
在中，，，
在中，（千米），
答：当台风中心到达B地时距海港C还有千米．
（2）解：过点F作于点H，连接．
在，，∴，
∴，
∴，
∴台风速度为，
∴现在台风在直线l上的速度为
假设30分钟台风行驶到点F处，则，
∵，
∴在中，，，
∴，
∴在中，，
而，
∵，
∴不会收到影响，能及时撤离．
题型4 求实际距离
13．（重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模）除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，小李从点B处出发，沿坡度为的山坡走了到达坡顶点A处，亮亮则到达离点A水平距离为的点C处观看，此时烟花在与B，C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的正上方点E处绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为，亮亮在C处测得点E的仰角为．（点A，B，C，D，E在同一平面内；参考数据：，）
(1)小李从斜坡B处走到A处，高度上升了多少米？
(2)烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现说明书上写着烟花的燃放高度为，请你帮他们计算一下，说明书上写的烟花燃放高度与实际燃放高度（图中）是否相符？
【答案】(1)高度上升了100米
(2)烟花燃放高度与实际燃放高度相符
【详解】（1）解：过点作，
由题意，得：，
设，则，
∴，
∴，
∴；
答：高度上升了100米；
（2）过点作于点，
由题意得：四边形为矩形，，
∴，，，
设，则：，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
∵烟花的燃放高度为，即为，
故烟花燃放高度与实际燃放高度相符．
14．（重庆市万州区2024—2025学年一模）如图，四边形是彩云湖公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的南偏东方向，且、两地相距900米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，）
(1)求两地的距离（结果保留根号）；
(2)小育从点出发沿慢跑到终点，同时小才从点出发，沿步行到终点，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点的距离之比为，求此时小才与点的距离（结果保留一位小数）．
【答案】(1)米；
(2)194.6米．
【详解】（1）解：过点A作，垂足为M，如图：
由题意知：，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，，
（米）
（米），
∴（米）
在中，，，
∴，
∴，
（米），
答：A、C两地的距离为米；
（2）解：当小育跑到一半时，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米），
过E作，垂足为N，如图：
在中，，，
∴，
，
在中，，
，，
解得：，（米）
答：小才与点A的距离为194.6米．
15．（重庆市珊瑚初级中学校2023-2024学年九年级下学期一模）如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向：（参考数据：
(1)求的距离（结果保留根号）；
(2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿AC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留小数点后一位）？
【答案】(1)海里
(2)海里
【详解】（1）解：如图所示，过点作，交的延长线于点，
假设，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴的距离为海里；
（2）解：设乙行驶的路程为，则甲行驶的路程为，根据题意得，
,
，
解得，
∴乙巡逻艇距离D处海里．
16．（2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题）为提高队员海域执行任务能力，相关部门决定进行一次海上演练．如图，A、B、C、D、E在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务．点B在观测点A的北偏西方向海里处，同时在观测点D的北偏西方向处；观测点D既在A的北偏东方向处，同时又在C的北偏西方向处．C处在点A的正东方向，观测点E在上且距离A点100海里处．（参考数据：，，）
(1)求的距离（结果保留根号）；
(2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点出发沿往处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点出发沿往处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇和甲巡逻艇之间的直线距离为200海里时可开始共同执行任务，请问乙巡逻艇距离处多少海里时，两巡逻艇开始共同执行任务？（结果保留小数点后一位）
【答案】(1)海里；
(2)乙巡逻艇距离D处海里时，两巡逻艇开始共同执行任务．
【详解】（1）解：由观测点D既在A的北偏东方向处，
同时又在C的北偏西方向处知：，
∵点B在观测点D的北偏西方向处．
，
∵点B在观测点A的北偏西方向，
，
过点作，垂足为F，则，．
在中，，，
（海里），
（海里），
在中，，，
（海里）．
（2）解：由（1）得：在中，，，，
∴（海里），（海里），
设乙巡逻艇距离处海里的处时，此时甲巡逻艇到处，两巡逻艇开始共同执行任务，连接，
过M作，垂足为P，，
在中，，，
，，，
在中，海里，
由勾股定理得：，
解得：，（舍去），
（海里），
答：乙巡逻艇距离D处海里时，两巡逻艇开始共同执行任务．
重●难●提●分●必●刷
（建议用时：40分钟）
1．如图，，，，，分别是某公园同一平面内的五个打卡点，在的正东方向，在的正北方向，在的东北方向且在的北偏东方向，在的正南方向且在的北偏西方向．经测量，两打卡点相距200米．（参考数据：）
(1)求，两打卡点之间的距离（结果保留整数）
(2)若、相距100米，甲、乙两人分别从、两处出发前往处打卡，乙出发米后，甲再出发，若甲乙两人均保持匀速行驶，且甲的速度与乙的速度之比为2：3，求甲距离处多少米时，甲乙两人恰好相距100米．（结果保留一位小数）
【答案】(1)米
(2)甲距离处米时，甲乙两人恰好相距100米
【分析】（1）如图，过点作交于点F，过点作于点，由题意得到，，米，则，，再根据三角函数得到米，米；
（2）延长交于点，先得到四边形是正方形，（米），（米），即可得到米，再由甲的速度与乙的速度之比为，设甲的路程为，乙的路程为，最后根据甲乙两人恰好相距100米时，列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作交于点F，过点作于点，
∵在的东北方向且在的北偏东方向，经测量，两打卡点相距200米，
∴，，米，
∴，，
∴，，
∴（米），（米）；
（2）解：延长交于点，
由题意可得，，米，，，
∴四边形是矩形，
由（1）可得，，
∴，（米），
∴四边形是正方形，（米），
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
∵，，
∴（米），（米），
∴（米），
∵甲的速度与乙的速度之比为，
∴甲的路程与乙的路程之比为，
设甲的路程为，乙的路程为，此时甲在处，乙在处，过点作于点，
∵甲、乙两人分别从、两处出发前往处打卡，乙出发米后，甲再出发，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵甲乙两人恰好相距100米，
∴米，
∵，
∴，
整理得
解得，
∵，，
∴，
∴，
∴甲距离处米时，甲乙两人恰好相距100米．
2．期末考试完后，小金约小月周末去逛购物中心．如图，A，B，C，D在同一平面内，小金家B位于小月家A北偏西方向，购物中心D在小月家南偏西方向30千米处，地铁站C在购物中心D北偏西方向．由于之间的道路施工，小金只得先到位于家正西方向的地铁站C，再乘坐地铁前往购物中心D．（参考数据：）
(1)求小金家B和购物中心D之间道路的长度（结果保留根号）；
(2)小月得知小金要先前往地铁站坐地铁，便决定等小金进地铁站时再出发．当小金刚上地铁便立即给小月发信息，小月收到消息后立即从家中乘私家车沿方向行驶（接收信息时间忽略不计）．地铁开车后，由于小金乘坐的路段处于地下深处信号弱的地段和小金通讯设备的自身原因，导致远距离无法和小月通信，只有当小金和小月直线距离不超过千米时，通讯才能恢复．已知小金所乘坐的地铁和小月所乘坐的私家车同时沿各自路线出发，且地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，求小金乘坐地铁行走多远时，方可再次向小月发送信息（结果保留1位小数）
【答案】(1)千米
(2)千米
【分析】（1）由方位角得到，，，在中通过解直角三角形求出即可解答；
（2）设当小金乘坐的地铁到达点E，小月所乘坐的私家车到达点F时，两人的直线距离恰好为千米，通讯开始恢复．设此时小金小月乘坐私家车行走了x千米，即，则，根据路程速度时间三者关系得到小金乘坐地铁行走了千米，即．过点F作于点N，根据解直角三角形表示出，的长，再在中由勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】（1）解：小金家B位于小月家A北偏西方向，购物中心D在小月家南偏西方向30千米处，
∴，，
小月家A在购物中心D的北偏东方向，
∴，
∴在中，，
∴小金家B和购物中心D之间道路的长度为千米．
（2）解：如图，设当小金乘坐的地铁到达点E，小月所乘坐的私家车到达点F时，两人的直线距离恰好为千米，通讯开始恢复．
设此时小金小月乘坐私家车行走了x千米，即，则，
∵地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，
∴在相同的时间内，小金乘坐地铁行走的路程是小月乘坐私家车行走的路程的2倍，
∴小金乘坐地铁行走了千米，即．
∵，，
∴在中，，
∴．
过点F作于点N，
∵，
∴在中，，
，
∴，
∵在中，，
∴，
整理得，
解得，
即，，
当时，小金乘坐地铁行走的路程为，不合题意；
当时，小金乘坐地铁行走的路程为（千米）．
∴小金乘坐地铁行走千米时，方可再次向小月发送信息．
3．年是“中国航天之父”钱学森先生归国周年，我校开展了“钱学森大讲堂”系列特色活动．甲同学和乙同学参加完活动后计划从礼堂A出发，前往校门C处领取纪念奖章．已知校门C在礼堂A的南偏西方向．出发前两人商定分头行动：甲同学需先前往位于礼堂A正西方向距离米的图书馆D，随后从D向南偏东方向经景观大道前往C处，乙同学先从A沿正南方向步行到达美术部B，再从B沿西北方向步行至C处．（参考数据：，，）
(1)求的长度（结果保留根号）
(2)若甲同学步行的平均速度为米/分，乙同学步行的平均速度为米/分，请通过计算说明谁先到达校门C处（结果精确到）
【答案】(1)；
(2)乙同学先到达校门C处；
【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是作出辅助线得到特殊角直角三角形：
（1）过作交于点，根据得到即可求出，结合角即可得到，即可得到答案；
（2）过作交于点，由（1）求出，，再在，中求出，，从而求出，，结合路程速度求出时间即可得到答案；
【详解】（1）解：过作交于点，
∵，
∴，
∵，，
，
∴，，
∴，，
∵甲同学从D向南偏东方向经景观大道前往C处，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：过作交于点，
∵，，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，，
∵甲同学步行的平均速度为米/分，乙同学步行的平均速度为米/分，
∴，，
∴，
∴乙同学先到达校门C处．
4．学习小组在一块空旷的草坪上开展数学活动，草坪上有，，，四个点，如图所示，测得点位于点的北偏东的方向上，点位于点的北偏东的方向上，且点位于点的正东方，点位于点的正南方米处，在点处观察点，测得点处在点的南偏西的方向上．(参考数据：，，)
(1)求的长(结果保留整数)；
(2)甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿折线→→方向运动，到达点，乙从处出发，沿折线→→方向运动，到达点．问谁走的路程远？(结果保留整数)
【答案】(1)米
(2)乙走的路程远，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及方向角的相关知识，关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义求出各边的长度．
（1）过点作、过点作，根据方向角推导出相关角度，先在中利用三角函数求出和，再在中求出，进而相加得到的长度；
（2）先在中求出，再在中求出和，结合求出，分别计算甲沿、乙沿的路程，比较两者大小即可得出结论
【详解】（1）解：如图，过点作交延长线于点，过点作于点，
由题意得：，，，，
，，
∴．
在中，，米，，
米，且米，
在中，，米，，
米，
(米)；
（2）在中，，，
米，且米，
在中，，，
(米)，
又，
米，
(米)，
甲走的路程(米)，
由（1）知米，米，
乙走的路程（米），
，即，
答：乙走的路程远．2023、2024、2025年考法解读
2026年考法预测
中考数学中三角函数相关实际问题的各种点主要考向分为三类：
一、路线选择（每年1道，10分）；
二、计算时间（每年1题，10分）；
三、求实际距离（每年1题，10分）；
考查内容稳定，已解答题为主，难度中等．
估计命题可能会尝试一些创新： 方案选择给出两种不同的测量方案，让你评判其可行性或计算误差。
真实情境题，结合无人机航拍等热点背景，考查信息提取能力。建议你重点加强“双直角三角形”（即有两个直角三角形共用一条边）的建模练习，这通常是解答题的拿分关键。
主要考查仰俯角、勾股定理与行程问题，三角函数的计算的综合，掌握仰俯角求路程，勾股定理的运用，三角函数的计算方法是解题的关键．除了要比较的大小，还需注意速度对于时间的影响。
此类题考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键。还需注意了解直角三角形的应用、矩形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质。
此类题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．还需了解平行线分线段成比例，相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
此类题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质．通过仰角俯角问题测量物体高度，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．