(重庆专用)中考数学二轮复习重难点分类训练专题06 三角函数实际问题(2份，原卷版+解析版）

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(1)求楼房的高度；
(2)在（1）的条件下，若无人机保持现有高度且以4米/秒的速度沿平行于的方向继续匀速向前飞行，请问：经过多少秒，无人机刚好离开小新的视线？
【答案】(1)米；
(2)经过15秒，无人机刚好离开小新的视线．
【分析】（1）作，交于，，交于，由题意可知，，米，米，四边形为矩形，与飞行方向平行，可得，，的长度， ，求得，进而可得楼房的高度；
（2）延长与飞行方向相交于，由（1）知米，米，可得，则，，易知，求出，再由无人机的速度即可得到时间．
【详解】（1）解：作，交于，，交于，
由题意可知，，米，米，
则米，
∴米，
∵，，易知四边形为矩形，与飞行方向平行，
∴，米，，
∴米，
∴米；
（2）延长与飞行方向相交于，
由（1）知米，米，
∴，
∴，
∴，，
∴米，
∵无人机保持现有高度且以4米/秒的速度沿平行于的方向继续匀速向前飞行，
∴无人机刚好离开小新的视线的时间为：秒，
即：经过15秒，无人机刚好离开小新的视线．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
2．（重庆市北碚区西南大学附属中学校2022-2023学年九年级下学期月考数学试题）2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，人间有爱，各地消防迅速出动，冲锋在前，共抗险情．消防员在缙云山山脚A观测到一处着火点D的仰角为30°，然后沿着坡比为的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，测得斜坡CD的坡角为37°，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．
(1)求着火点D距离山脚的垂直高度；
(2)已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）
（参考数据：，，，）
【答案】(1)着火点D距离山脚的垂直高度为米
(2)
【分析】（1）过点分别作水平线的垂线，垂足分别为，延长交于点，则四边形是矩形，则，分别解，，即可求解；
（2）结合（1）的结论求得，解中，根据图形求得的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
过点分别作水平线的垂线，垂足分别为，延长交于点，则四边形是矩形，则，
依题意，，，，
在中，，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴,,
在中，，
∴(米)，
即着火点D距离山脚的垂直高度为米；
（2）解：依题意，，
∴，
∵中，，
又,
∴（米），
∵消防员在平地的平均速度为4m/s，
∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数关系是解题的关键．
3．（重庆实验外国语学校2022-2023学年九年级下学期数学开学试题）如图，某建筑物楼顶挂有广告牌，小华准备利用所学的在角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小华从点A处滑坡度为的斜坡步行30米到达点P处，测得广告牌底部C的仰角为45°，广告牌顶部B的仰角为53°，小华的身高忽略不计，已知广告牌米．（参考数据：，，）
(1)求P处距离水平地面的高度；
(2)求建筑物的高度．
【答案】(1)
(2)67m
【分析】（1）过点P作于H，根据坡比设，，用勾股定理求得，求解得出即可．
（2）过点P作于G，先证四边形为矩形，得，在利用三角形函数解可得的长，从而得解．
【详解】（1）过点P作于H，
∵，
∴设，，
∴，
∵从点A处滑坡度为的斜坡步行30米到达点P处，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点P作于G，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，，，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角与坡比问题，熟练掌握仰角与坡比的定义，勾股定理，三角函数，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键
4．（重庆市沙坪坝区南开中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）在一场足球比赛中，进攻方甲队三名球员、、，与乙队的防守球员的位置如图所示．此时足球在球员脚下，他想将球绕过对手传至队友处，再由经线路回传给队友．已知对手在的北偏东60°方向，米．球员在对手的正东方向，米．球员在队友的正北方向，且在队友的北偏东37°方向．（参考数据：，，，，）
(1)求传球线路的长（结果精确到1米）；
(2)根据对手的跑动和拦截范围估计，对手可以破坏掉在点5米范围内的球．球员经线路传球给队友的同时，队友沿方向去接球，已知球速为10m/s，球员的平均速度为8m/s．计算说明球员是否能避开防守顺利接到球？
【答案】(1)12米
(2)无法拦截
【分析】（1）延长交于点，过点作，垂足为P，证明平行四边形是矩形，分别求出即可得到结论；
（2）求出的长，再进行比较即可得出结论．
【详解】（1）延长交于点，过点作，垂足为P，
，
∴四边形是平行四边形
∴平行四边形是矩形
，米，
，
，
米
米
米
米，
米
答：的长为12米
（2）设点C与球相遇于点E，连接，设后C与球相遇，则：
解得，，
所以，米，米，
∵
∴大于5，
故无法拦截
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用．解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
5．（重庆市九龙坡区育才中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图所示，为学校旁边一座小山的截面图．已知是水平线，经测量米，、、是斜坡，斜坡的坡角为，坡长为米，，斜坡的坡比为，过点作垂足为．（参考数据：）
(1)求坡顶到水平线的距离；
(2)某徒步爱好者小明沿着这个截面按照的路线走完全程，求小明所走的总路程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，在中，，，设，，根据，进而得出；
（2）过作于，于，中，，，设，，则，得出，中，得出，得出，根据，即可求解．
【详解】（1）解：垂足为，斜坡的坡角为，坡长为米
，，
中，，
设，
；
解得：，
，
答：坡顶到水平面的距离为．
（2）过作于，于
，
，
，
，
中，，，
设，，则，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
斜坡的坡比为，
中，，
，
，，
，
，
，
，
，，
．
答：小明所走的总路程是．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系，构造直角三角形是解题的关键．
6．（2022年重庆市第一中学校九年级下学期阶段性消化作业（四）（一诊）数学试题）3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的处发现，航标在处的北偏东45°方向200米处，以航标为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．
(1)由于水位下降，巡航船还发现在处北偏西15°方向300米的处，露出一片礁石，求、两地的距离；（精确到1米）
(2)为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．（参考数据：，）
【答案】(1)265米
(2)会影响，长度为100米，理由见解析
【分析】（1）过点作，垂足分别为，根据方位角求得，解，即可求解；
（2）根据题意，设，勾股定理求得，即可求解．
【详解】（1）如图，过点作，垂足分别为，
根据题意可得，
，
中，米，
米，米，
米，
米，
中，米；
（2）会影响，长度为100米，理由如下，
米，
中，米，
，
该条航道被这片浅滩区域影响，
根据题意，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，
设米，
中，米，
根据对称性，可得被影响的航道长度为100米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，理解题意构造直角三角形是解题的关键．
7．（重庆市北碚区西南大学附属中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图是某景区的观光扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3∶2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从E点看D点的仰角为30°，段扶梯长20米．（参考数据：，）
(1)求点A到的距离．
(2)段扶梯长度约为多少米？（结果保留1位小数）
【答案】(1)30米
(2)
【分析】（1）作于H，设，根据勾股定理列方程求解即可；
（2）延长交于N，作于G，首先根据等腰直角三角形的性质得到，然后根据30°角的函数值求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，作于H，
∵扶梯的坡度为3∶2，
∴设，
∵，
∴，即，
∴解得（舍去），
∴米，
∴点A到的距离为30米；
（2）延长交于N，作于G，如图所示：
∵
∴
在中，，
∴
∵
∴
∵四边形是矩形
∴
在中，
∴．
【点睛】此题主要考查勾股定理，锐角三角函数的实际应用，解题的关键熟练掌握以上知识点并正确作出辅助线．
8．（重庆市渝中区巴蜀中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向的点处，它沿着点的南偏东的方向航行千米到达点处，此时点位于点的北偏东．
(1)求此时渔船距离直线的距离（结果保留根号）．
(2)渔船到达点后，按原航向继续航行一段时间后，到达点等待补给，此时渔船在点的南偏东的方向．在渔船到达点的同时，一艘补给船从点出发，以每小时千米的速度前往处，请问补给船能在分钟内到达点吗？
（参考数据：）
【答案】(1)渔船距离直线的距离为千米
(2)能，理由见详解
【分析】（1）过点作于点，根据题意得出是等腰直角三角形，进而即可求解；
（2）过点作于点，根据（1）得出是等腰直角三角形，根据题意得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，然后计算出补给船分钟的路程，比较即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
依题意，，，
∴，
在中，，
即渔船距离直线的距离为千米；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作于点，
依题意，
∴，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵一艘补给船从点出发，以每小时千米的速度前往处，
分钟小时，，
∵，
∴补给船能在分钟内到达点．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，方位角的计算，掌握勾股定理，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
9．（重庆市渝中区巴蜀中学校2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东方向上的B处．
(1)问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
(2)假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．
①请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？并说明理由．
②如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：，）
【答案】(1)海里
(2)①海轮到达处没有触礁的危险，理由见解析；②海轮从处继续向正北方向航行，有触礁的危险，理由见解析
【分析】（1）过作交于点，求出，得海里，再证明是等腰直角三角形，得海里即可；
（2）①求出的长，即可；②过点作交于，求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：过点作交于点．
由题意可知，海里，，．
．
（海里），
在中，，
是等腰直角三角形，
（海里）（海里）．
答：处距离灯塔约海里．
（2）解：①海轮到达处没有触礁的危险，理由如下：
由题意知：海里，海里，
海里海里海里，
海轮到达处没有触礁的危险．
②海轮从处继续向正北方向航行，有触礁的危险，理由如下：
过点作交于，交延长线于点，
则，
，
，
海轮从处继续向正北方向航行，有触礁的危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形求解．
10．（重庆市万州区第二高级中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行，通道水平宽度BC为8米，∠BCD=135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i=1：．
（1）求通道斜面AB的长；
（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．
（答案均精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈2.24，≈2.45）
【答案】（1）通道斜面AB的长约为7.4米；（2）BE的长约为4.9米．
【分析】（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，再根据∠BCD=135°，通道斜面CD的长为6米，就可以得出通道的高度DM，AN=DM，再根据通道斜面AB的坡度i=1：，就可以求出通道斜面AB的长；（2）修改后的通道斜面DE的坡角为30°和DM高度可以求出EM长度，EC=EM-CM，BE=BC-EC即可得出答案
【详解】（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，
∵∠BCD=135°，
∴∠DCM=45°．
∵在Rt△CMD中，∠CMD=90°，CD=6，
∴DM=CM=CD=3，
∴AN=DM=3，
∵通道斜面AB的坡度i=1：，
∴tan∠ABN==，
∴BN=AN=6，
∴AB==3≈7.4．
即通道斜面AB的长约为7.4米；
（2）∵在Rt△MED中，∠EMD=90°，∠DEM=30°，DM=3，
∴EM=DM=3，
∴EC=EM﹣CM=3﹣3，
∴BE=BC﹣EC=8﹣（3﹣3）=8+3﹣3≈4.9．
即此时BE的长约为4.9米．
【点睛】本题考查了实际问题中三角形知识的应用，主要考查已知角和边的情况求其它三角形的边角情况.
11．（重庆市第一中学校2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，某火车站位于东西方向火车轨道上，小区在火车站的西北方向400米处，小区在火车站的北偏东15°方向上，小区在小区的北偏东60°方向上．
(1)求火车站与小区之间的距离（精确到1米）；
(2)火车在行驶过程中，周围300米内都能听到它发出的噪声，深夜更加明显，一列火车从火车站向西行驶，火车发出的噪声会影响小区的住户吗？如果受到影响，需要在轨道旁安装降噪装置，请求出需安装降噪装置的轨道长度；如果不受影响，请说明理由（参考数据：，）．
【答案】(1)546米
(2)受影响，安装降噪装置的轨道长度200米
【分析】（1）根据题意，得过点B作于点D，得到根据米，求得米，米，结合计算即可．
（2）过点B作于点M，得到，根据米，求得米，小于300米，判定受到影响，以300米为腰长，以为高构造等腰三角形，根据勾股定理计算米，根据三线合一性质，得到米 ．
【详解】（1）如图，根据题意，得
所以
过点B作于点D，
所以
所以，
因为米，
所以米，米，
所以（米）．
（2）受到影响，理由如下：
过点B作于点M，
所以，
因为米，
所以米，小于300米，
所以小区B受到影响，
以300米为腰长，以为高构造等腰三角形，根据勾股定理计算米，根据三线合一性质，
所以米 ．
【点睛】本题考查了解斜三角形，解直角三角形的应用，判定是否受影响，熟练掌握化斜为直的基本辅助线，正确判定是否受到影响是解题的关键．
12．（重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处，测得小岛C在B的东北方向，且在点A的北偏东方向．（参考数据：，，，，）
(1)求的距离（结果保留整数）；
(2)由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿赶往小岛C维修，同时向维修站D发出信号，在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿前往小岛C，已知D在A的正东方向上，C在D的北偏西方向，通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C．
【答案】(1)的距离为77海里
(2)维修船能在货船之前到达小岛C
【分析】（1）过C作交延长线于M，由题意可得，设，则，通过勾股定理和三角函数进行列方程求解即可；
（2）结合三角函数和平行线的性质进行求解并比较即可得到解答．
【详解】（1）过C作交延长线于M，
由题意得，海里，
由题意得，在中，，
∴，
设 ，则，
在中，，
∴，
解得，
∴海里，
在中，，
∴海里；
（2）∵海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
∴海里，
∵，，
∴，
∴，
∴海里，
货船从B到C用时：（小时），
∵6分钟小时，
∴（小时）
∴（海里），
∵（海里），
∴能在货船之前到达小岛C．
【点睛】本题考查了三角函数的综合、勾股定理的应用、分式方程的应用和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
13．（2022年重庆市第八中学校中考全真模拟考试强化训练（四）数学试题）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛千米的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．
(1)渔船航行多远距离小岛最近（结果保留根号）？
(2)渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少．（结果精确到1千米，参考数据）
【答案】(1)；
(2)从处沿南偏东出发，最短行程．
【分析】（1）过点作的垂线交于点，则为所求，根据已知条件得到即可解答；
（2）根据特殊角的锐角三角函数值得到，从而求出的长度，再求出的度数，即可得到的度数．
【详解】（1）解：过点作的垂线交于点，
∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，
由题意可知：，，
∴，
∴渔船航行时，距离小岛最近．
（2）解：在中，，
，，
，
∵，，
，
．
答：从处沿南偏东出发，最短行程．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
14．（重庆市第一中学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处，烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进，15分钟后，他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．
(1)求妈妈步行的速度；
(2)求明明从C处到D处的距离．（参考数据：，结果保留两位小数）
【答案】(1)；
(2)1.37km．
【分析】（1）根据正切函数求出BD的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可；
（2）过点C作交AB延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形BEFD，可得，表示出DF，CF，进而得出结论．
【详解】（1）根据题意可知：，
∴，
∴，
答：妈妈步行的速度为；
（2）如图，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，
∵，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AE=CE，
设，
过点D作于点F，得矩形BEFD，
∴，，
∴，
在Rt△CDF中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：明明从C处到D处的距离约为1.37km．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义．
15．（重庆市大渡口区第九十五初级中学2022-2023学年九年级上学期11月月考数学试题）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m．
(1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）；
(2)下雨时收拢“天幕”，从65°减少到45°，求点下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：，，，）
【答案】(1)遮阳宽度约为
(2)点下降的高度约为
【分析】（1）在中，利用正弦可得的长，由此即可得；
（2）设点下降到点，过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再分别解直角三角形可得的长，然后根据线段和差即可得．
【详解】（1）解：由题意得：是轴对称图形，
，
，，
，
，
答：遮阳宽度约为．
（2）解：如图，设点下降到点，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
，
，即，
当时，，
当时，，
则，
答：点下降的高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、轴对称图形、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
16．（2022年重庆市沙坪坝区初中学业水平暨高中招生适应性考试数学试题）如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：，）
(1)求步道BC的长；
(2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？
【答案】(1)步道BC的长为24米；
(2)此次改建费用足够．
【分析】（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点C作CF⊥BE，垂足为F，根据题意可得∠BFC=90°，EF=CG，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE的长，再在Rt△GCD中，利用锐角三角函数的定义求出CG，DG的长，从而求出BF的长，最后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答；
（2）根据四边形ABCD的面积=△ABE的面积+梯形BEGC的面积+△CGD的面积，进行计算即可求出四边形ABCD的面积，然后再求出此次改建费用，进行比较即可解答．
【详解】（1）过点B作于点E，过C作于点F，于点G．
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在矩形CGEF中，，
∴，
在，，且，
∴．
∴，
∴．
答：步道BC的长为24米．
（2）在中1，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴
，
∴总共花费：，
∵，
答：此次改建费用足够．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（重庆市重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年九年级上学期开学自主学习检查数学试题）夜晚， 小明站在两路灯之间的点 处， 小明身高， 如图， 若，他在路灯下的影子为，在路灯下的影子为．
(1)若，，求路灯的高度?
(2)若和的高度都恰好等于（1）中的高度，小明在两路灯 之间行走（不包括点，点），则线段的长是否为定值? 若是， 请求出的长；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，
【分析】（1）由题可知，利用相似三角形对应边成比例得到，从而可求出的长度；
（2）由题可知，，利用相似三角形对应边成比例得到，，结合边的关系整理得到，结合 ，推出，从而得解．
【详解】（1）解：由题可知，，
则，
∵，，，
∴，，
又∵，
故，
解得；
（2）解：线段的长是定值为，理由如下，
由题可知，，
∴，，
，，
∵，,
∴，
化简得，
∵，，，
∴，
解得，
故线段的长是定值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质应用，根据相似三角形对应边成比例，采用数形结合的方法是解题的关键．
18．（2022年重庆市九龙坡区六校九年级下学期阶段性检测数学试题）如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．
(1)求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；
(2)渔船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在82分钟之内到达C处？（参考数据：）
【答案】(1)观测站A，B之间的距离为（+）海里
(2)可以在82分钟内到达C处
【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD＋AD＝AB，即可求解；
（2）过点作于点．先解Rt△ABF，得出BF的长，再解Rt△BCF，得出BC的长，从而求解．
【详解】（1）如图，过点作于点，
∴．
在Rt△PBD中，，
∴．
∴PD=海里．
∴∠BPD=90°-∠PBD=45°．
∴BD=PD=海里．
在Rt△ADP中，，
∴．
海里．
∴AB=AD+BD=（+）海里．
答：观测站A，B之间的距离为（+）海里；
（2）如图，过点作于点．∠BFC=∠BFA=90°．
在Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=AB=（）海里．
由题意，．
∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=45°．
在Rt△BCF中，，
∴BC=BF=（）海里．
补给船从B到C的航行时间为：分钟．
∴可以在82分钟内到达C处.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
19．（2022年重庆市巴南区重点中学指标到校考试数学试题）4月重庆市巴南区某景区红枫烂漫，迎来大量游客观赏，为了落实防疫要求，景区计划在西门A和东门B之间修建一条笔直的专用通道（其中B在A的正东方向上）．已知通道的一侧有一个半径为800米的圆形湖泊，湖泊正中央是多彩喷泉C，在通道上的有个观景台M，经测得喷泉C在观景台M的北偏东方向上，从观景台M向东走300米到达凉亭N处，此时测得喷泉C正好在凉亭N的东北方向上．（参考数据：）
(1)求观景台M与多彩喷泉C之间的距离是多少米？
(2)为了不破坏湖泊，修建的通道是否需要改变线路？请说明理由．
【答案】(1)1495.48米；
(2)修建的通道AB不需要改造．见详解．
【分析】（1）过C点作CD⊥AB于D，由于CD是△CDN与△CDM的公共直角边，可用CD表示出MD，ND，然后根据MN的长，求出CD，MC的长即可求解；
（2）比较CD的长与800米即可求解．
【详解】（1）解： 如图，过C点作CD⊥AB于D，
由题可知：∠CND=45°，∠CMD=90°-53°=37°．
设CD=x千米，，
则MD=， ，
则，
∵MN=300米，
∴MD-ND=MN，即，
∴，
解得 x=900．
，
，
答：观景台M与多彩喷泉C之间的距离是1495.48米
（2）解：修建的通道AB不需要改造．理由如下：
于D，
的长就是点C到AB的最近距离，
由（1）知，CD=900米＞800米，
∴修建通道AB不需要改造．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题．解直角三角形的应用关键是构建直角三角形，如果有共用直角边的，可以利用公共边来进行求解．
20．（重庆市沙坪坝区南开中学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图1，在集美景与科技于一体的重庆融创渝乐小镇，有一座号称“山城之光”的摩天轮建在山体上．如图2，小北在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°，然后乘坐扶梯到达山体平台B处，已知AB坡度i＝3：4，且米，BC＝50米，CD⊥BF于点C（A，B，C，D，E，F均在同一平面内，AE∥BF）．
(1)求平台上点B到山体底部地面AE的距离；
(2)求摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长．（精确到1米，参考数据：sin52°≈0.8，cs52°≈0.6，tan52°≈1.3）
【答案】(1)米
(2)100米
【分析】（1）过点作，根据AB坡度，且米，设，则，进而求得，即可求得，进而求得；
（2）延长交于点，解直角三角形,进而即可求得,
【详解】（1）解：如图，过点作，
AB坡度，且米，
设，则，
米，米
米
即平台上点B到山体底部底面AE的距离为48米；
（2）解：如图，延长交于点，
,，
四边形是矩形
则米，米，
在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°，
即，
在中，米
米
即摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数是解题的关键．