2026年重庆中考数学初三年级三角函数专题练习（含答案解析

这是一份2026年重庆中考数学初三年级三角函数专题练习（含答案解析，共16页。
（1）求小岛C、D间的距离；（结果保留根号）
（2）甲、乙两军舰同时从B岛出发前往A岛进行航行训练，甲军舰沿B→A航行，乙军舰沿B→D→A航行，甲军舰的速度与乙军舰的速度之比为4：7．两军舰同时到达A岛处，求小岛A、B间的距离（结果精确到1海里）．
2．春节期间，某公园举办“迎新春•闹花灯”主题活动．公园平面图如图所示，已知花灯区C在祈福区A的正北方向，游客服务中心D在A的北偏东30°方向，美食区B在A的北偏西75°方向相距400米处，C在B的东北方向，且C在游客服务中心D的南偏西75°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求美食区B和花灯区C之间的距离；（结果保留根号）
（2）小顺和小意相约游玩，小顺从美食区B出发沿B→C路线行走，小意从祈福区A出发沿A→D路线行走，两人同时出发，小顺的速度是小意速度的2倍．当小顺到祈福区A的距离恰好是小意到祈福区A的距离的3倍时，求小意此时与游客服务中心D之间的距离．（结果保留整数）
3．如图，一辆应急保障车在A点接到指令，得知山区观测站M的通讯设备出现故障．在A点测得观测站M位于A的南偏西60°方向上．应急保障车沿正西方向行驶20公里到达B点，此时测得观测站M位于B的南偏西30°方向上，同时测得物资补给站C位于B的西南方向．已知补给站C在观测站M的正西方向上．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求观测站M到应急保障车行驶路线AB的距离为多少公里（结果保留根号）；
（2）应急保障车到达B点后，立即执行双路行动：一名工作人员乘坐摩托车从B点出发，沿BC前往补给站C领取维修配件（领取时间忽略不计），之后沿CM赶往观测站M，速度为30公里/小时，同时维修员乘应急保障车沿BM前往观测站M检测设备，速度为25公里/小时，预计设备检测时间为35分钟；请通过计算说明：摩托车能否在维修员完成检测前，及时将维修配件送达观测站M（结果保留小数点后一位）？
4．春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示A、B、C、D四个观景点，这四个观景点在同一平面内，点D在点A的正东方向，点C在点D的南偏东45°方向，且在点A的南偏东60°方向，点B在点C的正西方向，且在点A的南偏西30°方向，CD=32千米．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)
（1）求AB的长度（结果保留根号）；
（2）若小张和小李分别从观景点A、B出发，小张以2千米/小时的速度从观景点A步行到观景点B，小李从观景点B以4千米/小时的速度从观景点B跑步到观景点C，在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距23千米？（结果保留一位小数）
5．某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东30°方向，且在A的南偏东60°方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西30°方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着A﹣D﹣C的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，7≈2.65）
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着BC飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？
6．如图，A港在E港北偏西75°方向，且在B港的正北方向30海里处，C港在B港的正东方向，D港在C港的北偏东60°方向，E港在D港的正北方向15海里处，且在B港的东北方向．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6）
（1）求C，D两港之间的距离（结果保留根号）；
（2）甲货船从A港出发，向B港运送物资，乙货船从C港出发，向D港运送物资，甲船速度为乙船速度的1.5倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港多少海里（结果精确到0.1海里）？
7．如图，A，B，C，D，E分别是某公园同一平面内的五个打卡点，B在A的正东方向，E在A的正北方向，D在A的东北方向且在E的北偏东75°方向，C在D的正南方向且在B的北偏西30°方向．经测量A，E两打卡点相距200米．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求D，E两打卡点之间的距离（结果保留整数）；
（2）若C、D相距100米，甲、乙两人分别从C、A两处出发前往B处打卡，乙出发1003米后，甲再出发，若甲乙两人均保持匀速行驶，且甲的速度与乙的速度之比为2：3，求甲距离C处多少米时，甲乙两人恰好相距100米．（结果保留一位小数）
8．如图，A、B、C、D是某景区平面上的四个打卡景点，其中B位于A的正东方向400米处，D位于A的南偏东30°方向400米处，C位于B打卡点的正南方向，D位于C的西南方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，7≈2.65)
（1）求B、C两处打卡景点之间的距离；（结果保留一位小数）
（2）现甲从A地出发沿AD前往D地打卡，乙从B地出发沿BA前往A地打卡，两人同时出发，乙的速度是甲速度的1.5倍，当两人首次相距200米时甲距离A地多远．（结果保留一位小数）
9．如图，A，B，C，D是某科技公司的四个试验基地，且A，B，C，D在同一平面内，B位于A的正东方向60km处，D位于A的南偏东30°方向40km米处，C位于B的正南方向，D位于C的南偏西60°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）
（1）求B和C两试验基地之间的距离；（结果保留整数）
（2）现甲从A基地出发沿AD前往D地办公，乙从B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到A基地距离的23倍时，甲距离A基地多少千米？（结果保留整数）
10．某物流调度中心开展无人机配送航线巡检任务．如图，A处是调度中心，位于B处正北方向7千米处；C处是配送枢纽，在B处正东方向；D处是信号点，在A处南偏东60°方向6千米处，且在C处的东北方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)
（1）求B，C间的距离（结果保留根号）；
（2）甲，乙两架巡检无人机同时出发．甲从D处沿某方向匀速飞行，乙从A处沿正南方向匀速飞行，甲的速度与乙的速度之比为3：2．两人在AB上某处相遇，相遇时乙共飞行了多少千米？（结果保留小数点后一位）
11．“渝超”足球联赛2025﹣2026赛季正如火如荼进行中．如图，A，B，C，D在同一平面内，在某次进攻回合中，球员乙在B处发任意球，球员甲、丙、丁分别位于A处、C处、D处接球．已知A位于B的北偏东60°方向且位于C的北偏东30°方向40米处，B位于C的北偏西75°方向上，D位于C的正东方向且位于A的南偏东30°方向上．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，15≈3.87）
（1）求AB的长度（结果保留根号）；
（2）当丙在C处接到乙传球后立即沿C→D方向跑动，同时甲从A处沿A→D方向朝球员丁跑动．在甲与丁相遇前某时刻，丙将球传给了甲，此时甲与丙刚好相距30米，若甲速度为丙速度的3倍，请问此时球员丙离开C处多少米（结果保留小数点后一位）？
12．如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心A的北偏东30°方向距离60海里处，位于岛屿C的北偏西45°方向，岛屿C位于补给中心A的正东方．（参考数据：3≈1.73，6≈2.45)
（1）求岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离；（结果保留到小数点后一位）
（2）某渔船在B处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给中心A发送信号并同时以每小时30海里的速度向正西方向追赶鱼群．补给中心A接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从A出发（接受信号及通知时间忽略不计），沿正北方向以每小时303海里的速度前往协同捕捞．当两船相距207海里时，它们开始启动协同捕鱼作业．请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？（结果保留根号）
13．寒假期间，我校以“寻访古迹，知行合一”为主题开展历史文化系列研学活动，打造沉浸式的移动学习场景．如图是本次游学涉及的古城区域示意图，已知文庙B位于书院A的南偏东30°方向，且位于箭楼C的正西方100米处；钟楼D位于箭楼C的东北方向且与其正西方的书院A相距240米；牌坊E位于钟楼D的北偏西30°方向．
（1）求点A到点B的距离；（结果保留根号）
（2）小希与小福均在该古城游学，小希从书院A出发沿A→E方向行走，小福从钟楼D出发沿D→E方向行走．若小希与小福同时出发且小希的速度是小福速度的2倍，当小希与钟楼D的直线距离恰好是小福离开钟楼D的距离的4倍时，求小福离开钟楼D的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）
14．寒假期间，小渝和小北打算奔赴冰雪浓郁的哈尔滨．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，该地徒步旅游路线分为北环线：A→B→D→A和南环线：A→C→B→A，其中B在A的正东方向6km处，C在A的南偏东60°方向，D在A的北偏东15°方向，D也在B的北偏西30°方向．（参考数据：3≈1.73，6≈2.45)
（1）求北环线的长度（结果保留根号）；
（2）小渝选择走北环线，小北选择走南环线，两人同时从景点A出发，小渝在A→B途中发现小北的照相机落在自己背包里了，于是小渝决定到B之后前往C与小北汇合，已知小渝的步行速度与小北的步行速度之比为5：4，结果两人同时到达景点C（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位）
15．随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，设置了四个智能站点A，B，C，D（位于同一平面）．如图，A在B的南偏西75°方向72米处，C在A的东北方向，且在B的正北方向，D在A的北偏东30°方向，且在C的正西方向．（参考数据：3≈1.73）
（1）求AD的长度（结果保留根号）；
（2）两个物流机器人同时从不同站点出发执行运输任务，机器人甲从C出发沿着CD前往D处取货，机器人乙从D出发沿着DA前往A装货，乙的速度是甲的2倍．机器人之间通过车间通信系统保持实时数据同步，有效通讯距离为33米．请通过计算说明，当甲距离C多少米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围？（结果保留小数点后一位）．
16．国庆期间，重庆动物园以“欢度国庆”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C馆在A馆的正北方向，游客中心D在A馆的北偏东30°方向，B馆在A馆的北偏西75°方向相距400米处，C馆在B馆的东北方向，且C馆在游客中心D的南偏西75°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，37≈6.08）
（1）求B馆和C馆之间的距离；（结果保留根号）
（2）小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B馆出发沿B﹣C路线行走，小红从A馆出发沿A﹣D路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的1.5倍，当小明到A馆的距离恰好是小红到A馆的距离的2倍时，求小红与游客中心D之间的距离．（结果保留整数）
17．日前，国家体育总局办公厅印发通知，“2026年全国新年登高健身大会”拉开帷幕．小易和小方积极响应号召，相约周末去爬山，如图，点A和点B分别为两个入口，点B在点A的正东方向5千米处，点D为供大家休息的凉亭，点D在点A的东北方向上，点C为山顶，在D处测得DC的坡角为α，tanα=125，点C在点B的北偏西30°方向5千米处，点A、B、C、D在同一平面内．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求凉亭D与山顶C之间的距离（结果保留根号）；
（2）小易从入口B出发，沿着BC方向匀速运动，同时小方从入口A出发，沿北偏东某方向上的一条小路匀速直线运动，两人在BC上某处相遇后再一起前往山顶C．已知小易与小方的速度比为2：3，求两人相遇时离山顶C的距离（结果保留小数点后一位）．
18．今年元旦节小明和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小明家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西75°方向；博物馆C位于小福家B的北偏东60°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）；
（2）小明从自己家出发，沿A→D→C方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿B→C方向匀速前往博物馆C，已知小明和小福的速度之比为3：4．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小明正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路BE与CD的夹角∠BED＝60°（∠BDC＜90°），且BE的距离比BC的距离还少2千米，于是两人商定小明在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数）．
19．寒假期间，小金和小童打算奔赴冰韵浓郁的哈尔滨．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，沿途更是风光旖旎，一路美景相伴．该地徒步旅游路线分为北环线：A→B→D→A和南环线：A→C→B→A，其中B在A的正东方向6km处，C在A的南偏东60°方向，D在A的北偏东15°方向，D也在B的北偏西30°方向．（参考数据：3≈1.73，6≈2.45）
（1）求北环线的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）小金选择走北环线，小童选择走南环线，两人同时从景点A出发，小金在A→B途中发现小童的照相机落在自己背包里了，于是小金决定到B之后前往C与小童汇合，已知小金的步行速度与小童的步行速度之比为8：7，结果两人同时到达景点C（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位）
20．期末考试完后，小金约小月周末去逛购物中心．如图，A，B，C，D在同一平面内，小金家B位于小月家A北偏西60°方向，购物中心D在小月家南偏西30°方向30千米处，地铁站C在购物中心D北偏西30°方向．由于BD之间的道路施工，小金只得先到位于家正西方向的地铁站C，再乘坐地铁前往购物中心D．（参考数据：2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45）
（1）求小金家B和购物中心D之间道路的长度（结果保留根号）；
（2）小月得知小金要先前往地铁站坐地铁，便决定等小金进地铁站时再出发．当小金刚上地铁便立即给小月发信息，小月收到消息后立即从家中乘私家车沿AD方向行驶（接收信息时间忽略不计）．地铁开车后，由于小金乘坐的路段处于地下深处信号弱的地段和小金通讯设备的自身原因，导致远距离无法和小月通信，只有当小金和小月直线距离不超过55千米时，通讯才能恢复．已知小金所乘坐的地铁和小月所乘坐的私家车同时沿各自路线出发，且地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，求小金乘坐地铁行走多远时，方可再次向小月发送信息（结果保留1位小数）
21．某山区为应对突发情况，设立救援指挥部．已知指挥部A，补给点B，山脚在同一条直线上，标记点C在指挥部A的东北方向，补给点B的北偏西60°方向，瞭望塔D在标记点C的北偏东75°方向F=mgcsθ=6002米处，且距补给点B的距离与标记点C距补给点B的距离相等．瞭望塔D距山脚E2007米．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，7≈2.65）
（1）求指挥部A与山脚E的距离（结果保留整数）；
（2）某次救援行动中，有求救者在山脚E求救，巡逻队员发现后通知救援队并让求救者向补给点B撤离，同时救援队员从瞭望塔D出发，并以求救者1.5倍的速度赶往补给点B，当救援队员与求救者相距100米时可建立联系．求救援队员行驶多少米后能与求救者联系．（结果保留小数点后一位）．
22．周末小希和小福计划去公园游玩，如图，A，B，C，D在同一平面内，已知公园D位于小希家A的正东方向，小福家B位于小希家A的东北方向4km处，在小福家的南偏东75°方向有一公交车站C，公交车站C恰好位于公园D的北偏西30°方向，也位于小希家北偏东60°方向处．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）
（1）求小希家A与公交车站C的距离；（结果保留根号）
（2）小福沿B→C→D的路线前往公园，小希则沿着A→D的路线前往公园，原计划小希与小福同时从自己家出发，结果小希因事耽搁，当小福到达公交车站C，并乘上公交车出发时，小希恰好从自己家驾车出发，若公交车与小希驾车的速度之比为3：4（均为匀速运动），请问两人在到达公园前，若两人相距22km，小希离自己家A多少千米？（结果保留1位小数）
23．元旦节期间，重庆动物园以“庆元旦迎新年”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C馆在A馆的正北方向，游客中心D在A馆的北偏东30°方向，B馆在A馆的北偏西75°方向相距200米处，C馆在B馆的东北方向，且C馆在游客中心D的南偏西75°方向．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449）
（1）求B馆和C馆之间的距离；（结果保留根号）
（2）小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B馆出发沿B﹣C路线行走，小红从A馆出发沿A﹣D路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的2倍，当小明到A馆的距离恰好是小红到A馆的距离的3倍时，求小红与游客中心D之间的距离．（结果保留小数点后一位）
24．如图，四边形ABCD是彩云湖公园的环湖步道，点A，B，C，D在同一平面内，经测量，点B在点A的南偏东45°方向，且A、B两地相距900米，点D在点A的北偏东75°方向，点C在点B的北偏东75°方向，点A在点C的北偏西60°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求A、C两地的距离（结果保留根号）；
（2）小育从点C出发沿CA慢跑到终点A，同时小才从点D出发，沿DA步行到终点A，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点A的距离之比为5：1，求此时小才与点A的距离（结果保留一位小数）．
25．为提高队员海域执行任务能力，相关部门决定进行一次海上演练．如图，A、B、C、D、E在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务．点B在观测点A的北偏西15°方向3002海里处，同时在观测点D的北偏西60°方向处；观测点D既在A的北偏东60°方向处，同时又在C的北偏西30°方向处．C处在点A的正东方向，观测点E在AC上且距离A点100海里处．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)
（1）求AD的距离（结果保留根号）；
（2）观测结束后，甲巡逻艇从观测点E出发沿EC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿DC往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇和甲巡逻艇之间的直线距离为200海里时可开始共同执行任务，请问乙巡逻艇距离D处多少海里时，两巡逻艇开始共同执行任务？（结果保留小数点后一位）
2026年三角函数专题练习
参考答案与试题解析
一．解答题（共25小题）
1．为了提高海上航行能力，军舰甲、乙在如图所示的海域进行航行训练．A，B，C，D为同一平面内的四座小岛．D岛位于A岛的正东方向，B岛位于D岛的北偏西30°方向20海里处，C岛位于B岛的东南方向，C岛位于D岛的正北方向，AB大于20海里．（参考数据：2=1.41，3≈1.73，5≈2.24）
（1）求小岛C、D间的距离；（结果保留根号）
（2）甲、乙两军舰同时从B岛出发前往A岛进行航行训练，甲军舰沿B→A航行，乙军舰沿B→D→A航行，甲军舰的速度与乙军舰的速度之比为4：7．两军舰同时到达A岛处，求小岛A、B间的距离（结果精确到1海里）．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥CD，交DC延长线于E，
由题意可知，∠ADC＝90°，BD＝20海里，∠BDC＝30°，∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，∠BED＝90°，
∵∠BDC＝30°，BD＝20海里，
∴BE＝CE＝BD•sin30°＝10，DE=BD⋅cs30°=20×32=103（海里），
∴CD＝DE﹣CE＝（103−10）海里，
∴小岛C、D间的距离(103−10)海里．
（2）如（1）中图，过点B作BH⊥AD于H，
∴四边形BHDE是矩形，DH＝BE＝10海里，BH=DE=103海里，
∵甲军舰的速度与乙军舰的速度之比为4：7，两军舰同时到达A岛处，
∴B→A与B→D→A的航行路程之比为4：7，即ABBD+AD=47，
设AB＝4x 海里，则BD+DH+AH＝7x 海里，
∴AH＝7x﹣10﹣20＝（7x﹣30）海里，
∵AB2＝AH2+BH2，
∴(4x)2=(7x−30)2+(103)2，
解得：x=70±10511，
∴4x=280±40511，
∵AB大于20海里，
∴4x=280+40511≈34．
∴小岛A、B间的距离为34海里．
2．春节期间，某公园举办“迎新春•闹花灯”主题活动．公园平面图如图所示，已知花灯区C在祈福区A的正北方向，游客服务中心D在A的北偏东30°方向，美食区B在A的北偏西75°方向相距400米处，C在B的东北方向，且C在游客服务中心D的南偏西75°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求美食区B和花灯区C之间的距离；（结果保留根号）
（2）小顺和小意相约游玩，小顺从美食区B出发沿B→C路线行走，小意从祈福区A出发沿A→D路线行走，两人同时出发，小顺的速度是小意速度的2倍．当小顺到祈福区A的距离恰好是小意到祈福区A的距离的3倍时，求小意此时与游客服务中心D之间的距离．（结果保留整数）
【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，
由题意得，∠ACB＝45°，∠CAB＝75°，AB＝400米，
∴∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
在Rt△ABH中，
∵∠AHB＝90°，
∴BH＝ABcs60°＝200米，AH=ABsin60°=200sin60°=2003，
在Rt△ACH中，
∵∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，
∴CH=AH=2003米，AC=AHsin45°=2006米
∴BC=BH+CH=(200+2003)米．
答：美食区B和花灯区C之间的距离为(200+2003)米．
（2）小顺和小意相约游玩，小顺从美食区B出发沿B→C路线行走，小意从祈福区A出发沿A→D路线行走，两人同时出发，小顺的速度是小意速度的2倍．
如图，假设小顺到达点K，小意到达点L，
由题，设AL＝x米，则BK＝2x米，AK＝3x米，
过K作KM⊥AB于M，
∴∠KMB＝∠KMA＝90°，
在Rt△BKM中，MB＝BKcs60°＝x米，KM=BKsin60°=3x米，
∴AM＝（400﹣x）米，
在Rt△AKM中，
∵AK2＝KM2+AM2，
∴(3x)2=(3x)2+(400−x)2
∴x1=−80+806，x2=−80−806（不合题意，舍去），
∴AL=−80+806米，
由（1）知AC=2006米，
过点C作CN⊥AD于N，
∴∠ANC＝∠CND＝90°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝45°，
在Rt△ACN中，CN=ACsin30°=1006米，AN=ACcs30°=3002米，
在Rt△CDN中，∵∠CDN＝45°，
∴DN=CN=1006米
∴DL=AN+DN−AL=3002+1006−(806−80)≈552（米），
答：小意与游客中心D之间的距离约为552米．
3．如图，一辆应急保障车在A点接到指令，得知山区观测站M的通讯设备出现故障．在A点测得观测站M位于A的南偏西60°方向上．应急保障车沿正西方向行驶20公里到达B点，此时测得观测站M位于B的南偏西30°方向上，同时测得物资补给站C位于B的西南方向．已知补给站C在观测站M的正西方向上．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求观测站M到应急保障车行驶路线AB的距离为多少公里（结果保留根号）；
（2）应急保障车到达B点后，立即执行双路行动：一名工作人员乘坐摩托车从B点出发，沿BC前往补给站C领取维修配件（领取时间忽略不计），之后沿CM赶往观测站M，速度为30公里/小时，同时维修员乘应急保障车沿BM前往观测站M检测设备，速度为25公里/小时，预计设备检测时间为35分钟；请通过计算说明：摩托车能否在维修员完成检测前，及时将维修配件送达观测站M（结果保留小数点后一位）？
【解答】解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，
由题知，∠DBM＝90°﹣30°＝60°，AB＝20公里，∠DAM＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BMA＝∠DBM﹣∠DAM＝30°＝∠DAM，
∴BM＝AB＝20公里，
∴MD=BM⋅sin60°=20×32=103（公里）；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，
结合（1）可知MD⊥AB，BM＝20公里，∠DBM＝60°，DM=103公里，
∴MD∥CE，DB＝BM•cs60°＝10公里，∠CED＝90°，
由题意知DE∥CM，
∴四边形CMDE为矩形，
∴CE=DM=103公里，
由题意知∠CBE＝45°，
∴BC=CEsin45°=106，CE=BE⋅tan45°=BE=103（公里），
∴CM=DE=BE−BD=(103−10)公里，
则摩托车所用时间为：106+103−1030≈24.5+17.3−1030≈1.1(ℎ)，
维修员所用时间为：(20÷25)+3560≈1.4(ℎ)，
∵1.4＞1.1，
∴摩托车能在维修员完成检测前，及时将维修配件送达观测站M．
4．春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示A、B、C、D四个观景点，这四个观景点在同一平面内，点D在点A的正东方向，点C在点D的南偏东45°方向，且在点A的南偏东60°方向，点B在点C的正西方向，且在点A的南偏西30°方向，CD=32千米．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)
（1）求AB的长度（结果保留根号）；
（2）若小张和小李分别从观景点A、B出发，小张以2千米/小时的速度从观景点A步行到观景点B，小李从观景点B以4千米/小时的速度从观景点B跑步到观景点C，在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距23千米？（结果保留一位小数）
【解答】解：（1）如图，
则∠ARB＝∠DSC＝90°，
在Rt△DSC中，
∵∠SDC＝45°，DC=32千米，
∴AR＝DS＝3千米，
由题可得，∠BAR＝30°，
在Rt△ABR中，
∵∠BAR＝30°，AR＝3千米，
∴AB=ARcs30°=23千米，
答：AB的长度为23千米；
（2）如答图，由题意，设x小时后，小张恰好与小李相距23千米，此时AM＝2x 千米，BN＝4x 千米，
∵AB=23千米，
∴BM=23−2x，
过点M作MT⊥CB于点T．
在Rt△BAR中，
∵∠BAR＝30°，
∴∠MBT＝60°
在Rt△BMT中，
∵∠MBT＝60°
∴BT=BM⋅cs60°=3−x，MT=BM⋅sin60°=3−3x，
∴NT=BN−BT=4x−(3−x)=5x−3，
在Rt△TNM中，MT2+TN2＝MN2，
(3−3x)2+(5x−3)2=(23)2，
解方程，得x1=437，x2＝0（舍），
则AM=2x=837≈2.0（千米），
答：小张出发2.0千米后恰好与小李相距23千米．
5．某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东30°方向，且在A的南偏东60°方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西30°方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着A﹣D﹣C的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，7≈2.65）
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着BC飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？
【解答】解：（1）由题可知AB＝2，∠ABC＝90°+30°＝120°，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
则△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ACB，AB＝BC＝2，
如图，过B作BE⊥AC于点E，则AE＝CE，
在Rt△ABE中，AE＝AB•cs∠BAE=3，
∴AC＝2AE＝23，
答：AC的长度为23千米；
（2）依题可知无人机在AD上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，
设无人机在DC上的M处，距气球N刚好1千米，即MN＝1，
设BN＝x，则AD+DM＝3x，
过N作NK⊥CM于点K，则∠NKC＝∠NKM＝90°，
∵∠DAC＝90°，∠ACD＝∠BAC＝30°，AC＝23，
∴AD＝2，CD＝4，
∴DM＝3x﹣2，CM＝6﹣3x，
在Rt△NCK中，∠NKC＝90°，∠NCK＝∠ACB+∠ACD＝60°，NC＝2﹣x，
∴CK=12NC＝1−12x，NK=32NC=3−32x，
则MK＝CM﹣CK＝5−52x，
在Rt△MNK中，NK2+MK2＝MN2，
即（3−32x）2+（5−52x）2＝12，
解得x＝2±77，
∵BN＜BC＝2，且开始清晰拍摄热气球，则需进位，不能退位，
∴BN＝x＝2−72≈1.7（千米）；
答：热气球飞离B处1.7千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球．
6．如图，A港在E港北偏西75°方向，且在B港的正北方向30海里处，C港在B港的正东方向，D港在C港的北偏东60°方向，E港在D港的正北方向15海里处，且在B港的东北方向．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6）
（1）求C，D两港之间的距离（结果保留根号）；
（2）甲货船从A港出发，向B港运送物资，乙货船从C港出发，向D港运送物资，甲船速度为乙船速度的1.5倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港多少海里（结果精确到0.1海里）？
【解答】解：（1）如图，连接BE，过点A作AG⊥BE交BE于点G，延长ED，BC交于点K，
∵A港在E港北偏西75°方向，E港在B港的东北方向，
∴∠AEH＝75°，∠BEK＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEH﹣∠BEK＝60°，
∵AG⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∵∠ABG＝45°，AB＝30，
∴在Rt△AGB中，BG=AG=sin45°×AB=22×30=152．
∵∠AEB＝60°，AG=152，
∴在Rt△AGE中，GE=AGtan60°=1523=56，
∴BE=BG+GE=152+56．
∵∠BEK＝45°，BE=152+56，∠K＝90°，
∴在Rt△BKE中，BK=EK=BE×sin45°=15+53，
∵ED＝15，
∴DK=EK−ED=15+53−15=53．
∵∠DCK＝90°﹣60°＝30°，DK=53，
∴在Rt△CKD中，CD=DKsin30°=103．
答：C，D两港之间的距离为103海里．
（2）如图，设甲货船从A港出发，行至N点，乙货船从C港出发，行至M点，此时两船首次相距25海里，即MN＝25，连接MN，过点M作MR⊥BN于点R，过点C作CP⊥RM于点P，延长ED，BC交于点K，
由题意可得：
甲船路程为乙船路程的1.5倍，
设两船首次相距25海里时，乙船的路程为S海里，则甲船的路程为1.5S海里，
即AN＝1.5S，CM＝S，
∵∠PCM＝60°，CM＝S，CP⊥RM，
∴∠CPM＝90°，
∴在Rt△CPM中，CP=cs60°×CM=12S，PM=sin60°×CM=32S．
∵MR⊥BN，
∴∠BRM＝90°，
∵∠BRM＝∠B＝∠BCP＝90°，
∴四边形BRPC是矩形，
∴BR=PC=12S，RP＝BC．
由（1）可知，∠DCK＝30°，DK=53，
在Rt△CKD中，CK=DKtan30°=15，
∵BK=15+53，
∴BC=BK−CK=15+53−15=53，
∴RP=BC=53，
∴RM=RP+PM=53+32S，
∵AB＝30，AN＝1.5S，BR=12S，
∴NR=AB−AN−BR=30−1.5S−12S=30−2S．
在Rt△NRM中，
∵∠NRM＝90°，
∴NR2+RM2＝MN2，
∴(30−2S)2+(53+32S)2=252，
解得S1=210+50719，S2=210−50719，
∴S1=210+50719≈17.9，S2=210−50719≈4.2，
∵NR＝30﹣2S＞0，
∴S1≈17.9不符题意，应舍去，
∴S≈4.2，
∴1.5S≈6.3．
答：当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港6.3海里．
7．如图，A，B，C，D，E分别是某公园同一平面内的五个打卡点，B在A的正东方向，E在A的正北方向，D在A的东北方向且在E的北偏东75°方向，C在D的正南方向且在B的北偏西30°方向．经测量A，E两打卡点相距200米．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求D，E两打卡点之间的距离（结果保留整数）；
（2）若C、D相距100米，甲、乙两人分别从C、A两处出发前往B处打卡，乙出发1003米后，甲再出发，若甲乙两人均保持匀速行驶，且甲的速度与乙的速度之比为2：3，求甲距离C处多少米时，甲乙两人恰好相距100米．（结果保留一位小数）
【解答】解：（1）如图1，D在A的东北方向且在E的北偏东75°方向，经测量A，E两打卡点相距200米，过点D作DF⊥AE交AE于点F，过点E作EH⊥AD于点H，
∴∠DEF＝75°，∠DAF＝45°，AE＝200米，
∴∠EDA＝∠DEF﹣∠DAF＝30°，∠DAF＝∠AEH＝45°，
∴cs∠DAF=AHAE=cs45°=22，sin∠EDA=EHDE=sin30°=12，
∴EH=AH=22AE=200×22=1002（米），DE=2EH=2002（米）；
（2）如图2，延长DC交AB于点M，
由题意可得，∠BCM＝30°，DC＝100米，∠CMB＝∠AMD＝∠FAM＝90°，∠B＝60°，
∴四边形AMDF是矩形，
由（1）可得∠DAF＝∠FDA＝45°，cs∠EDA=DHDE=cs30°=32，
∴AF＝DF，DH=32DE=32×2002=1006（米），
∴四边形AMDF是正方形，AD=AH+DH=1002+1006（米），
∴∠DAM＝45°，
∴sin∠DAM=DMAD=sin45°=22，
∴AM=DM=22AD=(1002+1006)×22=100+1003（米），
∴CM=DM−DC=1003（米），
∵cs∠BCM=CMBC=cs30°=32，tan∠BCM=BMCM=tan30°=33，
∴BC=CM÷32=1003÷32=200（米），BM=33CM=1003×33=100（米），
∴AB=AM+BM=100+1003+100=200+1003（米），
∵甲的速度与乙的速度之比为2：3，
∴甲的路程与乙的路程之比为2：3，
设甲的路程为2x，乙的路程为3x，此时甲在P处，乙在Q处，如图3，过点P作PN⊥AB于点N，
∵甲、乙两人分别从C、A两处出发前往B处打卡，乙出发1003米后，甲再出发，
∴PC＝2x，AQ=1003+3x，
∴BP＝BC﹣PC＝200﹣2x，BQ＝AB﹣AQ＝200﹣3x，
∵∠B＝60°，
∴BN=12BP=100−x，
在直角三角形BNP中，由勾股定理得：PN=PB2−BN2=3BN=1003−3x，
∴QN＝|BQ﹣BN|＝|（200﹣3x）﹣（100﹣x）|＝|100﹣2x|，
∵甲乙两人恰好相距100米，
∴PQ＝100米，
在直角三角形NPQ中，由勾股定理得：PN2+QN2＝PQ2，
∴(1003−3x)2+(100−2x)2=1002，
整理得：（7x﹣300）（x﹣100）＝0
解得：x1=100，x2=3007，
∵BP＝200﹣2x＞0，BQ＝200﹣3x＞0，
∴x＜2003，
∴x=3007，
∴甲距离C处2x=2×3007≈85.7米时，甲乙两人恰好相距100米．
8．如图，A、B、C、D是某景区平面上的四个打卡景点，其中B位于A的正东方向400米处，D位于A的南偏东30°方向400米处，C位于B打卡点的正南方向，D位于C的西南方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，7≈2.65)
（1）求B、C两处打卡景点之间的距离；（结果保留一位小数）
（2）现甲从A地出发沿AD前往D地打卡，乙从B地出发沿BA前往A地打卡，两人同时出发，乙的速度是甲速度的1.5倍，当两人首次相距200米时甲距离A地多远．（结果保留一位小数）
【解答】解：（1）如图，连接BD，过D作DH⊥BC于H，
由题意得∠BAD＝60°，AB＝AD＝400米，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝400米，∠ABD＝60°，
∴∠DBH＝30°，
∴BH=32BD＝2003米，DH=12BD＝200米，
∵∠DCH＝45°，
∴CH＝DH＝200米，
∴BC＝BH﹣CH＝2003−200≈146.4（米），
答：B、C两处打卡景点之间的距离约为146.4米；
（2）设两人首次相距200米时甲在N点，乙在M点，
则MN＝200米，
设AN＝x米，则BM＝1.5x米，
∴AM＝（400﹣1.5x）米，
过N作NP⊥AB于P，
∵∠ANP＝30°，
∴AP=12x米，PN=32x米，
∴PM＝（400﹣1.5x−12x）米，
∵PM2+PN2＝MN2，
∴（400﹣1.5x−12x）2+（32x）2＝2002，
∴x≈112.7或x≈224.1（不合题意舍去），
答：两人首次相距200米时甲距离A地112.7米．
9．如图，A，B，C，D是某科技公司的四个试验基地，且A，B，C，D在同一平面内，B位于A的正东方向60km处，D位于A的南偏东30°方向40km米处，C位于B的正南方向，D位于C的南偏西60°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）
（1）求B和C两试验基地之间的距离；（结果保留整数）
（2）现甲从A基地出发沿AD前往D地办公，乙从B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到A基地距离的23倍时，甲距离A基地多少千米？（结果保留整数）
【解答】解：（1）如图，作DE⊥AB于E，作CF⊥DE于F．
由题意得∠HAB＝∠B＝90°，∠HAD＝30°，∠DCP＝60°，
∴∠DAE＝∠HAB﹣∠HAD＝60°，
∴在Rt△ADE中，AE=AD⋅cs∠DAE=40×12=20km，
DE=AD⋅sin∠DAE=40×32=203km，
∴BE＝AB﹣AE＝60﹣20＝40km．
∵DE⊥AB，CF⊥DE，∠B＝90°，
∴四边形BEFC为矩形，∠CFD＝90°，
∴CF＝BE＝40km，∠FCP＝90°，
∴∠DCF＝∠PCF﹣∠PCD＝30°，
∴在Rt△DCF中，DF=CF⋅tan30°=40×33=4033km，
∴EF=DE−DF=203−4033=2033km，
∴BC=EF=2033km≈12km，
即B和C两试验基地之间的距离约为12km；
（2）现甲从A基地出发沿AD前往D地办公，乙从B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到A基地距离的23倍时，则：
如图，当两人的距离是甲到A基地距离的23倍时，甲运动到点M处，乙运动到点N处，
作MQ⊥AB于点Q，连接MN，则MN=23AM，∠MAQ＝90°﹣30°＝60°，
设AM＝xkm，则MN＝23xkm，
MN＝23 km．
∴BN＝2AM＝2xkm，
∴AN＝AB﹣BN＝（60﹣2x）km．
AQ＝AM•cs∠MAQ=12xkm；
MQ＝AM•sin∠MAQ=32x km．
∴QN=AN−AQ=60−2x−12x=(60−52x)km．
在Rt△MNQ中，根据勾股定理得：QN2+MQ2＝MN2，
即(60−52x)2+(32x)2=(23x)2，
整理得x2+60x﹣720＝0，
解得x1=−30+185≈10，x2=−30−185（负值，舍去）．
答：当两人的距离是甲到A基地距离的23倍时，甲距离A基地10km．
10．某物流调度中心开展无人机配送航线巡检任务．如图，A处是调度中心，位于B处正北方向7千米处；C处是配送枢纽，在B处正东方向；D处是信号点，在A处南偏东60°方向6千米处，且在C处的东北方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)
（1）求B，C间的距离（结果保留根号）；
（2）甲，乙两架巡检无人机同时出发．甲从D处沿某方向匀速飞行，乙从A处沿正南方向匀速飞行，甲的速度与乙的速度之比为3：2．两人在AB上某处相遇，相遇时乙共飞行了多少千米？（结果保留小数点后一位）
【解答】解：（1）A处位于B处正北方向7千米处，C处位于B处的正东方向，D处位于A处南偏东60°方向6千米处，D处在C处的东北方向
如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，
由题意知，∠A＝60°，AD＝6千米，
∴，6×32=33（千米），
∴BE＝AB﹣AE＝7﹣3＝4（千米），
∵DE⊥AB，CF⊥DE，AB⊥BC，
∴四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝4千米，
∵CF⊥DE，∠FCD＝45°，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴CF＝DF＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝33−4≈1.2（千米），
即B与C之间的距离为1.2千米；
（2）如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇，
∵甲的速度是乙的速度的2倍，两人同时出发，
∴甲的路程是乙的路程的2倍，
∴DG=2AG，
设AG＝x千米，则DG=2x千米，
∴GE＝AG﹣AE＝（x﹣3）千米，
在Rt△GED中，由勾股定理得GE2+DE2＝DG2，
∴（x﹣3）2+（33）2＝（2x）2，
解得，x＝35−3≈3.7（负根已经舍去），
即当两人相遇时，乙一共跑了3.7千米．
11．“渝超”足球联赛2025﹣2026赛季正如火如荼进行中．如图，A，B，C，D在同一平面内，在某次进攻回合中，球员乙在B处发任意球，球员甲、丙、丁分别位于A处、C处、D处接球．已知A位于B的北偏东60°方向且位于C的北偏东30°方向40米处，B位于C的北偏西75°方向上，D位于C的正东方向且位于A的南偏东30°方向上．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，15≈3.87）
（1）求AB的长度（结果保留根号）；
（2）当丙在C处接到乙传球后立即沿C→D方向跑动，同时甲从A处沿A→D方向朝球员丁跑动．在甲与丁相遇前某时刻，丙将球传给了甲，此时甲与丙刚好相距30米，若甲速度为丙速度的3倍，请问此时球员丙离开C处多少米（结果保留小数点后一位）？
【解答】解：（1）如图所示，
根据题意，∠ABE＝60°，∠ACK＝30°，∠BCK＝75°，AC＝40米，
∴∠ABF＝30°，∠FBC＝90°﹣∠BCK＝15°，
∴∠ABC＝30°+15°＝45°，∠ACB＝30°+75°＝105°，
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
过点C作CM⊥AB于点M，则∠AMC＝∠BMC＝90°，
∴∠BCM＝45°，∠ACM＝60°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴BM=CM=12AB=20(米)，AM=3CM=203(米)，
∴AB=AM+BM=203+20(米)；
（2）如图所示，∠CAL＝30°，∠DAL＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠CAD＝∠ACD＝60°，即△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD＝AD＝40 米，
根据题意，点P，Q分别表示丙，甲，设t秒时甲与丙刚好相距30米，设丙的速度为v，则甲的速度为3v，
∴CP＝vt，AQ＝3vt，则DP＝40﹣vt，DQ＝40﹣3vt，
过点P作PN⊥AD于点N，
∵∠D＝60°，
∴∠DPN＝30°，则DN=12DP=20−12vt，PN=3DP=203−32vt，
∴QN=DQ−DN=40−3vt−(20−12vt)=20−52vt，
在Rt△PQN中，PQ2＝PN2+QN2，
∴302=(203−32vt)2+(20−52vt)2，
整理得：7（vt）2﹣160vt+700＝0，
∴vt=160±(−160)2−4×7×7002×7=80±10157，
解得，vt1=80−10157≈80−10×3.877=5.9，vt2=80+10157≈80+10×3.877≈17.0，
当vt＝5.9时，CP＝5.9米，AQ＝3vt＝3×59＝17.7米，
当vt＝17.0时，CP＝17.0米，AQ＝3vt＝3×17.0＝51.0＞40米，不符合题意，舍去；
∴球员丙离开C处5.9米．
12．如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心A的北偏东30°方向距离60海里处，位于岛屿C的北偏西45°方向，岛屿C位于补给中心A的正东方．（参考数据：3≈1.73，6≈2.45)
（1）求岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离；（结果保留到小数点后一位）
（2）某渔船在B处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给中心A发送信号并同时以每小时30海里的速度向正西方向追赶鱼群．补给中心A接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从A出发（接受信号及通知时间忽略不计），沿正北方向以每小时303海里的速度前往协同捕捞．当两船相距207海里时，它们开始启动协同捕鱼作业．请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？（结果保留根号）
【解答】解：（1）如图，过点B作BD⊥AC于点D，
由题意得：AB＝60海里，∠DAB＝90°﹣30°＝60°，∠DCB＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△ABD中，BD＝AB•sin60°＝303（海里），
在Rt△CBD中，BC=BDsin45°=306≈73.5（海里）．
答：岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离为73.5海里．
（2）如图，设大型渔船出发后经过t小时，两船可以开始启动协同捕鱼作业．
此时大型渔船到达点P，渔船到达点Q，过点Q作QH⊥AP交AP延长线于点H，
由题意可知：大型渔船行驶路程AP=303t海里，渔船行驶路程BQ＝30t海里，PQ=207海里，
由（1）可知，BD=303海里，
在Rt△ABD中，AD＝AB•cs∠DAB＝60×cs60°＝30（海里），
∵BD⊥AC，AH⊥AC，∠DAH＝90°，
∴四边形ADBH是矩形，
∴BH＝AD＝30海里，AH=BD=303海里，
∴PH=AH−AP=(303−303t)海里，QH＝BH﹣BQ＝（30﹣30t）海里，
在Rt△PHQ中，PQ2＝QH2+PH2，
∴(30−30t)2+(303−303t)2=(207)2，
整理得：(1−t)2=79，
解得：t1=1−73，t2=1+73，
∵30﹣30t≥0，
∴t≤1，
∴t＝1−73，
答：大型渔船出发后经过(1−73)小时后，两船开始启动协同捕鱼作业．
13．寒假期间，我校以“寻访古迹，知行合一”为主题开展历史文化系列研学活动，打造沉浸式的移动学习场景．如图是本次游学涉及的古城区域示意图，已知文庙B位于书院A的南偏东30°方向，且位于箭楼C的正西方100米处；钟楼D位于箭楼C的东北方向且与其正西方的书院A相距240米；牌坊E位于钟楼D的北偏西30°方向．
（1）求点A到点B的距离；（结果保留根号）
（2）小希与小福均在该古城游学，小希从书院A出发沿A→E方向行走，小福从钟楼D出发沿D→E方向行走．若小希与小福同时出发且小希的速度是小福速度的2倍，当小希与钟楼D的直线距离恰好是小福离开钟楼D的距离的4倍时，求小福离开钟楼D的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）
【解答】解：（1）过B作BF⊥AD于F，过C作CG⊥AD于G，
则四边形BCGF是矩形，
∠BAF＝90°﹣30°＝60°，BF＝CG，∠GCD＝90°﹣45°＝45°，
∵BC＝100m，
∴FG＝BC＝100m，
∵在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
∴AF=BFtan∠BAF=BFtan60°=33BF，
∵在Rt△DGC中，∠DGC＝90°，∠GCD＝45°，
∴DG＝BF，AD＝240m，
∵AF+FG+DG＝AD，
∴33BF+100+BF=240，
∴BF=210−703(m)，
∴在Rt△ABF中，AB=BFsin∠BAF=BFsin60°=(1403−140)m，
答：点A到点B的距离为(1403−140)m；
（2）设小希的位置为M，小福的位置为N，过M作MH⊥AD于H，
∵小希与小福同时出发且小希的速度是小福速度的2倍，
∴AM＝2DN，
设DN＝y（m），则AM＝2y（m），
根据题意，得∠EAD＝30°，∠ADE＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△AMH中，MH＝AM•sin∠MAH＝y（m），AH＝AM•cs∠MAH=3y（m），
∴DH=(240−3y)m，
∵小希与钟楼D的直线距离恰好是小福离开钟楼D的距离的4倍，即DM＝4DN，
∴DM2＝16DN2，
即y2+(240−3y)2=16y2，
解得y1=−203+2015≈−20×1.73+20×1.73×2.24≈42.9，
y2＝﹣203−2015（不符合题意，舍去），
答：小福离开钟楼D的距离约为42.9米．
14．寒假期间，小渝和小北打算奔赴冰雪浓郁的哈尔滨．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，该地徒步旅游路线分为北环线：A→B→D→A和南环线：A→C→B→A，其中B在A的正东方向6km处，C在A的南偏东60°方向，D在A的北偏东15°方向，D也在B的北偏西30°方向．（参考数据：3≈1.73，6≈2.45)
（1）求北环线的长度（结果保留根号）；
（2）小渝选择走北环线，小北选择走南环线，两人同时从景点A出发，小渝在A→B途中发现小北的照相机落在自己背包里了，于是小渝决定到B之后前往C与小北汇合，已知小渝的步行速度与小北的步行速度之比为5：4，结果两人同时到达景点C（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位）
【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BD于点E，
∴∠DAB＝90°﹣15°＝75°，∠ABD＝90°﹣30°＝60°，∠AEB＝∠AED＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝45°，
∵在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，
∴AE=AB⋅sin60°=6×32=33，
BE=AB⋅cs60°=6×12=3，
∵在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠D＝45°，
∴DE=AEtan45°=331=33，
AD=AEsin45°=3322=36，
∴BD＝BE+ED＝（3+33）km，
∴AB+BD+AD
＝6+3+33+36
＝9+33+36（km），
答：北环线的长度为（9+33+36）km；
（2）如图，过点C作CF⊥AB的延长线于点F，
∴∠AFC＝90°，∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CAF＝30°，
设小渝的步行速度为5xkm/h，小北的步行速度为4xkm/h，两人步行时间为t小时，
∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，∠CAF＝30°，
∴CF=12AC，AF=32AC，
∴BF=AF−AB=32AC−6，
在Rt△BCF中，由勾股定理得，BC2=(32AC−6)2+(12AC)2，
∵小渝与小北两人同时到达景点C，
∴6+BC5x=AC4x，
整理得，BC=5AC4−6，
∴(5AC4−6)2=(32AC−6)2+(12AC)2，
解得AC=80−3233，
∴BC=5×80−32334−6=82−4033，
因此南环线的长度为：
AC+BC+AB=80−3233+82−4033+6
=180−7233
＝60﹣243
≈18.5（km），
答：南环线的长度为18.5km．
15．随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，设置了四个智能站点A，B，C，D（位于同一平面）．如图，A在B的南偏西75°方向72米处，C在A的东北方向，且在B的正北方向，D在A的北偏东30°方向，且在C的正西方向．（参考数据：3≈1.73）
（1）求AD的长度（结果保留根号）；
（2）两个物流机器人同时从不同站点出发执行运输任务，机器人甲从C出发沿着CD前往D处取货，机器人乙从D出发沿着DA前往A装货，乙的速度是甲的2倍．机器人之间通过车间通信系统保持实时数据同步，有效通讯距离为33米．请通过计算说明，当甲距离C多少米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围？（结果保留小数点后一位）．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，
∴∠AEB＝∠BEC＝∠F＝90°，
由题意及图得∠DAF＝30°，∠FAC＝45°，∠ABS＝75°，AF∥BC，∠DCB＝90°，AB＝72米，
∴∠FAB＝∠ABS＝75°，
∴∠CAB＝∠FAB﹣∠FAC＝30°，
∴∠ACB＝∠ABS﹣∠BAC＝45°，BE=12AB=36米，
∴AE=AB⋅cs∠BAE=72×cs30°=363，CE=BEtan∠BCE=36tan45°=36，
∴AC=AE+CE=(363+36)米，
∴AF=AC⋅cs∠FAC=(363+36)cs45°=(186+182)米，
∴AD=AFcs∠FAD=186+182cs30°=(362+126)米；
（2）设当甲距离C的距离为x米时，两个机器人之间的直线距离为33米，此时甲所在位置为M，乙所在位置为N，如图，过点N作NP⊥CD，交CD的延长线于点P，
∴∠CPN＝90°，∠PDN＝90°﹣∠DAF＝60°，CM＝x，PN＝2CM＝2x，
∴PN=DNsin∠PDN=2x⋅sin60°=3x，PD＝DNcs∠PDN＝2x•cs60°＝x，
∵∠FAC＝45°，∠FAD＝30°，AC=(363+36)米，
∴AF=(186+182)米，
∴FD=AFtan∠FAD=(186+182)tan30°=(182+66)米，
FC=ACcs∠FAC=(363+36)cs45°=(186+182)米，
∴CD=CF−DF=126，
∴DM=CD−CM=126−x，
∴PM=PD+DM=126，
∵PN2+PM2＝MN2，
∴(3x)2+(126)2=332，
解得x=53≈8.7或x=−53（不符合题意，舍去）．
∴当甲距离C大于8.7米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围．
16．国庆期间，重庆动物园以“欢度国庆”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C馆在A馆的正北方向，游客中心D在A馆的北偏东30°方向，B馆在A馆的北偏西75°方向相距400米处，C馆在B馆的东北方向，且C馆在游客中心D的南偏西75°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，37≈6.08）
（1）求B馆和C馆之间的距离；（结果保留根号）
（2）小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B馆出发沿B﹣C路线行走，小红从A馆出发沿A﹣D路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的1.5倍，当小明到A馆的距离恰好是小红到A馆的距离的2倍时，求小红与游客中心D之间的距离．（结果保留整数）
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BM⊥AC于点M，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠AMB＝90°，
由题意得∠BAM＝75°，∠MBC＝45°，
∴∠ABM＝90°﹣∠BAM＝15°，∠ACB＝90°﹣∠MBC＝45°，
∴∠ABC＝∠MBC+∠ABM＝60°，
∵在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝400米，
∴BE＝AB•cs60°＝200（米），
AE＝AB•sin60°＝2003（米），
∵在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴EC＝AE＝2003（米），
∴BC＝BE+EC＝（200+2003）米，
答：B馆和C馆之间的距离为（200+2003）米；
（2）设小红到A馆的距离是x米，则小明到A馆的距离是2x米，
如图，此时小明，小红分别在P，Q处，连接AP，
则AP＝2x（米），AQ＝x（米），
∵小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的1.5倍，
∴BP＝1.5x米，
由（1）可知，BE＝200米，
∴EP＝BP﹣BE＝（1.5x﹣200）米，
在Rt△AEP中，∠AEP＝90°，
∴EP2+AE2＝AP2，
即(1.5x−200)2+(2003)2=(2x)2，
解得x1=−1200+400377，x2=−1200−400377（负值舍去），
∴AQ=(−1200+400377)米，
过点C作CF⊥AD，垂足为F，
由（1）可知，AC=2AE=2006（米），
在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，
∴AF=AC⋅cs30°=3002（米），FC=AC⋅sin30°=1006（米），
在Rt△CFD中，∠CDF＝45°，
∴DF=CF=1006（米），
∴DQ＝AF+DF﹣AQ
=3002+1006−(−1200+400377)
=3002+1006+1200−400377
≈493（米），
答：小红与游客中心D之间的距离是493米．
17．日前，国家体育总局办公厅印发通知，“2026年全国新年登高健身大会”拉开帷幕．小易和小方积极响应号召，相约周末去爬山，如图，点A和点B分别为两个入口，点B在点A的正东方向5千米处，点D为供大家休息的凉亭，点D在点A的东北方向上，点C为山顶，在D处测得DC的坡角为α，tanα=125，点C在点B的北偏西30°方向5千米处，点A、B、C、D在同一平面内．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求凉亭D与山顶C之间的距离（结果保留根号）；
（2）小易从入口B出发，沿着BC方向匀速运动，同时小方从入口A出发，沿北偏东某方向上的一条小路匀速直线运动，两人在BC上某处相遇后再一起前往山顶C．已知小易与小方的速度比为2：3，求两人相遇时离山顶C的距离（结果保留小数点后一位）．
【解答】解：（1）如图，过点C作CN⊥AB于点N，过点A作AE⊥DE于点E，DE与CN交于点M，
由题意得，AB＝5千米，BC＝5千米，∠DAE＝45°，∠CBN＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△BCN中，BC＝5千米，∠CBN＝60°，
∴BN=12BC=52千米，CN=32BC=532千米，
又∵AB＝5千米，
∴AN＝BN=52千米＝EM，
设AE＝MN＝x，则DE＝x，DM＝（52−x）千米，CM＝CN﹣MN＝（532−x）千米，
在Rt△CDM中，∠CDM＝α，
∵tanα=CMDM=125，即532−x52−x=125，
解得x=60−25314，
经检验，x=60−25314是原方程的解，
∴CM＝CN﹣MN=532−60−25314=303−307（千米），
∴CD=1312CM=653−6514千米，
即凉亭D与山顶C之间的距离为653−6514千米；
（2）设两人相遇在BC上的点M处，CM＝x千米，过A作AH⊥BC于H，如图：
在Rt△ABH中，AB＝5千米，∠ABH＝60°，
∴BH=12AB=52千米，AH=3BH=532千米，
∵BC＝5千米，
∴CH＝BC﹣BH=52千米，BM＝BC﹣CM＝（5﹣x）千米，
∴MH＝BM﹣BH＝5﹣x−52=（52−x）千米，
∵小易与小方的速度比为2：3，且两人同时出发，
∴小易与小方的路程比为2：3，即BM：AM＝2：3，
∴AM=32BM=32（5﹣x）=15−3x2（千米），
∵AH2+MH2＝AM2，
∴（532）2+（52−x）2＝（15−3x2）2，
解得x＝7+26（大于5，舍去）或x＝7﹣26≈2.1，
∴两人相遇时离山顶C的距离约为2.1千米．
18．今年元旦节小明和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小明家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西75°方向；博物馆C位于小福家B的北偏东60°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）；
（2）小明从自己家出发，沿A→D→C方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿B→C方向匀速前往博物馆C，已知小明和小福的速度之比为3：4．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小明正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路BE与CD的夹角∠BED＝60°（∠BDC＜90°），且BE的距离比BC的距离还少2千米，于是两人商定小明在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数）．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BD于点H，取AF＝AB交BD于点F，不妨设AH＝x，如图所示：
根据题意，可知AD＝5km，∠KDB＝75°，BM∥KD，∠ABM＝45°，
∵KD∥BM，
∴∠DBM＝∠KDB＝75°，
∴∠ABD＝∠DBM﹣∠ABM＝75°﹣45°＝30°，
∵AH⊥BD，
∴AB＝2AH＝2x，
∴BH=AB2−AH2=3x，
∵AF＝AB，AH⊥BD，
∴FH＝BH=3x，∠AFH＝∠ABH＝30°，
∵∠KDA＝90°，∠KDB＝75°，
∴∠BDA＝15°，
∴∠FAD＝∠BFA﹣∠BDA＝30°﹣15°＝15°，
∴∠FAD＝∠BDA，
∴AF＝DF＝2x，
∴HD＝FH+DF=3x+2x，BD＝BH+FH+DF＝23x+2x，
∵AH⊥BD，
∴AH2+HD2＝AD2，
x2+（3x+2x）2＝52，
x=5(6−2)4，
∴BD＝23×5(6−2)4+2×5(6−2)4=52≈7.1（km），
答：小福家B与学校D的距离为7.1千米．
（2）∵小明从自己家出发，沿A→D→C方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿B→C方向匀速前往博物馆C，已知小明和小福的速度之比为3：4．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小明正好到了DC方向的超市E处，
∴不妨设AD+DE＝3x，那么2BC＝4x，
∴BC＝2x，DE＝3x﹣AD＝3x﹣5，
∵BE的距离比BC的距离还少2千米，
∴BE＝2x﹣2，
过点D作DN⊥BE于点N，如图所示：
∵∠BED＝60°，
∴∠EDN＝30°，
∴EN=12DE=3x−52，
∴DN=DE2−EN2=3EN=3×3x−52=33x−532，
∴BN＝BE﹣EN＝2x﹣2−3x−52=4x−4−3x+52=x+12，
∵DN⊥BE，
∴BN2+DN2＝BD2，
∴（x+12）2+（33x−532）2＝（52）2，
∴x=11+1327（舍去负值），
∴BC＝2×11+1327≈8.4（km）．
答：博物馆C与小福家B的距离为8.4千米．
19．寒假期间，小金和小童打算奔赴冰韵浓郁的哈尔滨．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，沿途更是风光旖旎，一路美景相伴．该地徒步旅游路线分为北环线：A→B→D→A和南环线：A→C→B→A，其中B在A的正东方向6km处，C在A的南偏东60°方向，D在A的北偏东15°方向，D也在B的北偏西30°方向．（参考数据：3≈1.73，6≈2.45）
（1）求北环线的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）小金选择走北环线，小童选择走南环线，两人同时从景点A出发，小金在A→B途中发现小童的照相机落在自己背包里了，于是小金决定到B之后前往C与小童汇合，已知小金的步行速度与小童的步行速度之比为8：7，结果两人同时到达景点C（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位）
【解答】解：（1）过A点作AE⊥BD于点E，
∵D在A的北偏东15°方向，D在B的北偏西30°方向，
∴∠ADB＝45°，∠DBA＝60°，
∵∠DEA＝90°，
∴∠D＝45°，
∵在Rt△AEB中，AB＝6km，sin∠DAB=AEAB，cs∠DAB=EBAB，
∴AE＝AB•sin60°＝6×32=33（km），
EB＝AB•cs60°＝6×12=3（km），
∵在Rt△AED中，AE＝33km，sin∠D=AEAD，tan∠D=AEDE，
∴AD=AEsin45°=36（km），DE＝AE＝33（km），
∴北环线A→B→D→A的长度：
AB+BD+DA
＝AB+BE+ED+DA
＝6+3+33+36
≈21.5（km），
答：北环线的长度约为21.5km；
（2）如图，过点C作CF⊥AB于点F，则∠AFC＝90°，
由题意得：∠BAC＝30°，
设FC＝xkm，则AF=3xkm，AC＝2xkm，
∴BF=3x﹣6，
∵小金的步行速度与小童的步行速度之比为8：7，
∴AB+BCAC=87
∴6+BC2x=87，
解得：BC=16x−427=167x﹣6，
∵BF2+FC2＝BC2，
∴（3x﹣6）2+x2＝（167x﹣6）2，
3x2﹣123x+36+x2=25649x2−1927x+36，
6049x2+（123−1927）x＝0，
x（6049x+123−1927）＝0，
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2≈5.446，
∴AC＝2x≈10.892，
∴BC=167x﹣6≈6.448，
∴南环线的长度为：6+6.448+10.892≈23.3（km）．
答：南环线的长度约为23.3km．
20．期末考试完后，小金约小月周末去逛购物中心．如图，A，B，C，D在同一平面内，小金家B位于小月家A北偏西60°方向，购物中心D在小月家南偏西30°方向30千米处，地铁站C在购物中心D北偏西30°方向．由于BD之间的道路施工，小金只得先到位于家正西方向的地铁站C，再乘坐地铁前往购物中心D．（参考数据：2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45）
（1）求小金家B和购物中心D之间道路的长度（结果保留根号）；
（2）小月得知小金要先前往地铁站坐地铁，便决定等小金进地铁站时再出发．当小金刚上地铁便立即给小月发信息，小月收到消息后立即从家中乘私家车沿AD方向行驶（接收信息时间忽略不计）．地铁开车后，由于小金乘坐的路段处于地下深处信号弱的地段和小金通讯设备的自身原因，导致远距离无法和小月通信，只有当小金和小月直线距离不超过55千米时，通讯才能恢复．已知小金所乘坐的地铁和小月所乘坐的私家车同时沿各自路线出发，且地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，求小金乘坐地铁行走多远时，方可再次向小月发送信息（结果保留1位小数）
【解答】解：（1）由题意可知∠BAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，AD＝30，∠ADB＝30°，
在Rt△ABD中，BD=ADcs∠ADB=30cs30°=3032=203，
∴小金家B和购物中心D之间道路的长度为203千米．
（2）如图，设当小金乘坐的地铁到达点E，小月所乘坐的私家车到达点F时，两人的直线距离恰好为55千米，通讯开始恢复．
设此时小金小月乘坐私家车行走了x千米，即AF＝x，则DF＝AD﹣AF＝30﹣x，
∵地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，
∴在相同的时间内，小金乘坐地铁行走的路程是小月乘坐私家车行走的路程的2倍，
∴小金乘坐地铁行走了2x千米，即CE＝2x．
过点F作FN⊥CD于点N，
∵∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+30°＝60°，
∵∠DBC＝90°，∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCD中，CD=BDcs∠BDC=203cs30°=20332=40，
∴DE＝CD﹣CE＝40﹣2x．
在Rt△DFN中，FN=DF⋅sin∠FDN=(30−x)sin60°=32(30−x)=153−32x，
DN=DF⋅cs∠FDN=(30−x)⋅cs60°=12(30−x)=15−12x，
∴EN=DE−DN=(40−2x)−(15−12x)=25−32x，
在Rt△EFN中，EN2+FN2＝EF2，
∴(25−32x)2+(153−32x)2=(55)2，
整理得3x2﹣120x+1175＝0，
解得x=20±533，
即x1≈22.9，x2≈17.1，
当x≈22.9时，小金乘坐地铁行走的路程为2x＝2×22.9＝45.8＞CD，不合题意；
当x≈17.1时，小金乘坐地铁行走的路程为2x＝2×17.1＝34.2（千米）．
∴小金乘坐地铁行走34.2千米时，方可再次向小月发送信息．
21．某山区为应对突发情况，设立救援指挥部．已知指挥部A，补给点B，山脚在同一条直线上，标记点C在指挥部A的东北方向，补给点B的北偏西60°方向，瞭望塔D在标记点C的北偏东75°方向F=mgcsθ=6002米处，且距补给点B的距离与标记点C距补给点B的距离相等．瞭望塔D距山脚E2007米．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，7≈2.65）
（1）求指挥部A与山脚E的距离（结果保留整数）；
（2）某次救援行动中，有求救者在山脚E求救，巡逻队员发现后通知救援队并让求救者向补给点B撤离，同时救援队员从瞭望塔D出发，并以求救者1.5倍的速度赶往补给点B，当救援队员与求救者相距100米时可建立联系．求救援队员行驶多少米后能与求救者联系．（结果保留小数点后一位）．
【解答】解：（1）如图，过点C作FG⊥AE交AE于点G，过点B作MB⊥AE，过点D作DN⊥AE交于点N，
由题意可得∠A＝45°，∠FCD＝75°，∠MBC＝60°，BC＝BD，
∴∠CBG＝30°，
∴∠GCB＝180°﹣∠CGB﹣∠CBG＝60°，
∴∠DCB＝180°﹣∠FCD﹣∠GCB＝45°，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴∠DBN＝180°﹣∠CBG﹣∠CBD＝60°，BC=BD=CD2=600米，
在Rt△BCG中，CG＝BC•sin30°＝300米，BG=BC⋅sin60°=3003米，
在Rt△BND中，BN＝BD•sin30°＝300米，DN=BD⋅sin60°=3003米，
∵∠A＝45°，∠CGA＝90°，
∴AG＝CG＝300米，
在Rt△DNE中，NE=DE2−DN2=100米，
∴AE=AG+GB+BN+NE=300+3003+300+100=700+3003≈1219米；
（2）如图，设求救者为点Q，救援队为点P，过点Q作QH⊥BD于点H，
，
设QE＝x米，则PD＝1.5x米，
∴BP＝BD﹣PD＝（600﹣1.5x）米，＝BE﹣QE＝（400﹣x）米，
∵∠DBE＝60°，
∴QH=BQ⋅sin60°=(2003−32x)米，BH=12BQ=(200−12x)米，
∴PH＝BH﹣PB＝（x﹣400）米，
∵PH2+HQ2＝PQ2，
当PQ＝100米时，可得(x−400)2+(2003−32x)2=1002，
解得x1=2800+20077，x1=2800−20077，
x1=2800+80077＞400，故舍去，
∴x=2800−20077，
则1.5x=1.5×2800−20077≈486.4米，
即救援队员行驶约486.4米后能与求救者联系．
22．周末小希和小福计划去公园游玩，如图，A，B，C，D在同一平面内，已知公园D位于小希家A的正东方向，小福家B位于小希家A的东北方向4km处，在小福家的南偏东75°方向有一公交车站C，公交车站C恰好位于公园D的北偏西30°方向，也位于小希家北偏东60°方向处．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）
（1）求小希家A与公交车站C的距离；（结果保留根号）
（2）小福沿B→C→D的路线前往公园，小希则沿着A→D的路线前往公园，原计划小希与小福同时从自己家出发，结果小希因事耽搁，当小福到达公交车站C，并乘上公交车出发时，小希恰好从自己家驾车出发，若公交车与小希驾车的速度之比为3：4（均为匀速运动），请问两人在到达公园前，若两人相距22km，小希离自己家A多少千米？（结果保留1位小数）
【解答】解：（1）如图所示，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CG⊥BE于点G，过点C作CH⊥AD于点H，在GC上截取GF=3GB，连接BF，
∴四边形GCHE是矩形，
∴GC＝HE，CH＝GE，
由题意得：AB＝4，∠BAE＝45°，
∴AE=BE=cs∠BAE×AB=22，
由题意得：∠GBC＝75°，∠GBF＝60°，∠HAC＝30°，
∴∠BCF＝∠CBF＝15°，
∴BF＝CF，
设BF＝CF＝2a，
∴BG＝a，GF=3a，
∴CH=22−a，AH=22+(2+3)a，
在Rt△AHC中，tan∠HAC=CHAH=22−a22+(2+3)a=tan30°=33，
∴3(22−a)=3[22+(2+3)a]，
解得a=22−6，
∴CH=22−a=6，
∵∠HAC＝30°，
∴AC=2CH=26，
∴小希家A与公交车站C的距离为26km；
（2）小福沿B→C→D的路线前往公园，小希则沿着A→D的路线前往公园，
由题意得：∠ADC＝60°，
∴CD=CHsin60°=632=22，
∵∠HAC＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝90°，
∴AD=2CD=42，
设小希从自己家驾车出发的时间为t，设公交车的速度为3v，则小希驾车的速度为4v，
设t时，公交车位于点M，小希驾车位于点N，过点M作MK⊥AD于点K，连接MN，
由题意得，MD=22−3vt，ND=42−4vt，
∴MK=sin60°×MD=32(22−3vt)=6−323vt，
DK=cs60°×MD=12(22−3vt)=2−32vt，
∴NK=ND−DK=42−4vt−(2−32vt)=32−52vt，
∵MN=22，
∴(6−323vt)2+(32−52vt)2=(22)2，
解得：vt=122±4513，
∵MD=22−3vt＞0，
∴vt=122−4513，
∴AN=4vt=4×122−4513=482−16513≈48×1.41−16×2.2413≈2.4，
∴小希离自己家A约2.4千米．
23．元旦节期间，重庆动物园以“庆元旦迎新年”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C馆在A馆的正北方向，游客中心D在A馆的北偏东30°方向，B馆在A馆的北偏西75°方向相距200米处，C馆在B馆的东北方向，且C馆在游客中心D的南偏西75°方向．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449）
（1）求B馆和C馆之间的距离；（结果保留根号）
（2）小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B馆出发沿B﹣C路线行走，小红从A馆出发沿A﹣D路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的2倍，当小明到A馆的距离恰好是小红到A馆的距离的3倍时，求小红与游客中心D之间的距离．（结果保留小数点后一位）
【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，
由题意得，∠ACB＝45°，∠CAB＝75°，
∴∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵∠AHB＝∠AHC＝90°，AB＝200米，
∴BH=12AB=100（米），AH=32AB＝1003（米），
∵∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，
∴CH＝AH＝1003米，
∴BC＝BH+CH＝（100+1003）米；
（2）如图，假设小明到达点K，小红到达点L，
设AL＝x米，则BK＝2x米，AK＝3x米，
过K作LM⊥AB于M，
∴∠KMB＝∠KMA＝90°，
∴MB=12BK＝x米，KM=32BK=3x米，
∴AM＝（200﹣x）米，
∵AK2＝KM2+AM2，
∴（3x）2＝（3x）2+（200﹣x）2，
∴x＝4006−400（负值舍去），
∴AL＝（406−40）米，
由（1）知AC=2×1003=1006米，
过C作CN⊥AD于N，
∴∠ANC＝∠CND＝90°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝45°，
∴CN＝DN=12AC＝506米，AN=32AC＝1502米，
∴DL＝AN+DN﹣AL＝1502+506−406+40≈276.6（米），
答：小红与游客中心D之间的距离约为276.6米．
24．如图，四边形ABCD是彩云湖公园的环湖步道，点A，B，C，D在同一平面内，经测量，点B在点A的南偏东45°方向，且A、B两地相距900米，点D在点A的北偏东75°方向，点C在点B的北偏东75°方向，点A在点C的北偏西60°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求A、C两地的距离（结果保留根号）；
（2）小育从点C出发沿CA慢跑到终点A，同时小才从点D出发，沿DA步行到终点A，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点A的距离之比为5：1，求此时小才与点A的距离（结果保留一位小数）．
【解答】解：（1）过点A作AM⊥BC，垂足为M．
由题意知：∠ACB＝45°，∠ABC＝120°，∠ABM＝60°，∠DAC＝45°，∠BAC＝15°，
在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，∠BAM＝30°，
∵AB＝900（米）
∴AM=32AB=4503（米），BM=12AB=450（米），
在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACB＝45°，
∴AC=2AM=4506（米），
答：A、C两地的距离为4506米．
（2）当小育跑到一半时，设小才走到点E处，小育走到点F处，设AE＝2a（米），则EF=25a（米），
过E作EN⊥AF，垂足为N．
在Rt△AEN中，∠ANE＝90°，∠DAN＝45°，
∴∠AEN＝45°＝∠DAN，
∴AN=EN=2a，
在Rt△ENF中，∠ENF＝90°，
∴NF=EF2−EN2=32a，
∵AF=12AC=45062，
∴2a+32a=45062，
解得：a=22534，
∴AE=2a=22532≈194.6（米），
答：小才与点A的距离为194.6米．
25．为提高队员海域执行任务能力，相关部门决定进行一次海上演练．如图，A、B、C、D、E在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务．点B在观测点A的北偏西15°方向3002海里处，同时在观测点D的北偏西60°方向处；观测点D既在A的北偏东60°方向处，同时又在C的北偏西30°方向处．C处在点A的正东方向，观测点E在AC上且距离A点100海里处．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)
（1）求AD的距离（结果保留根号）；
（2）观测结束后，甲巡逻艇从观测点E出发沿EC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿DC往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇和甲巡逻艇之间的直线距离为200海里时可开始共同执行任务，请问乙巡逻艇距离D处多少海里时，两巡逻艇开始共同执行任务？（结果保留小数点后一位）
【解答】解：（1）由观测点D既在A的北偏东60°方向处，同时又在C的北偏西30°方向处知：∠ADC＝90°，
∵点B在观测点D的北偏西60°方向处，
∴∠ADB＝60°，
∵点B在观测点A的北偏西15°方向，
∴∠BAD＝15°+60°＝75°，
过点A作AF⊥BD，垂足为F，
则∠DAF＝30°，∠BAF＝45°，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠ABF＝45°，
∵AB=3002（海里），
∴AF＝BF＝300（海里），
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，∠FAD＝30°，
∴AD=AFcs30°=233AF=2003（海里）．
（2）由（1）得：在Rt△ADC中，AD=2003，∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，CD=ADtan60°=200（海里），AC＝2CD＝400（海里），
设乙巡逻艇距离D处x海里的M处时，此时甲巡逻艇到N处，两巡逻艇开始共同执行任务，连接MN，过M作MP⊥EC，垂足为P，
则MC＝（200﹣x）海里，
在Rt△MPC中，∠MPC＝90°，∠PMC＝30°，
∴PC=12MC=100−x2，PM=32MC=1003−3x2，PN＝AC﹣AE﹣EN﹣PC＝200−32x，
在Rt△MPN中，MN＝200海里，
由勾股定理得：(1003−3x2)2+(200−32x)2=2002，
解得：x＝150−505或x＝150+505（舍去），
150−505≈38.2（海里），
答：乙巡逻艇距离D处38.2海里时，两巡逻艇开始共同执行任务．
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