2026年重庆中考数学二轮复习 专题04 阅读材料题填空类(3大题型)(重难专练)

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第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
考向 数论
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
重●难●要●点●剖●析
考向 数论
题型1 求满足条件的最值
1．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考三诊数学试题）对任意一个四位自然数M，如果满足千位数字与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，那么称这个数为“等和数”．例如：，因为，所以3452是“等和数”，则最小的“等和数”是______；已知一个“等和数”使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且能被5整除，则M的最大值为______．
【答案】 1001 6693
【详解】解：取千位数字最小为1，百位数字最小为0，
则千位与百位之和为1，十位与个位之和也需为1，
故十位为0，个位为1，得最小“等和数”为1001；
设M的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，
由“等和数”定义，有，
一元二次方程有两个相等的实数根，
则判别式，
代入，得，
即，故，
于是，
又能被5整除，
因3与5互质，故能被5整除，a可取1或6，
若使M最大，取，则，又，
∴，
若使M最大，取，则，得．
验证：，，相等；
方程，即，两个相等的实数根，
且能被5整除，满足条件．
最小的“等和数”为1001，M的最大值为6693．
故答案为：1001；6693．
2．（重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校2025年二模）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个自然数为“等和数”.例如：四位数，因为，所以是“等和数”按照这个规定，最小的“等和数”是___________；一个“等和数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记,，若是11的倍数，则满足条件的的最大值是_________．
【答案】
【详解】解：一个四位数，满足，
要求最小的“等和数”，则可取，，
∴，
当，时，，
∴最小的“等和数”是．
由题意，，
，
，
∴，
∵是11的倍数，
∴是77的倍数。
设，因左边为偶数，k为偶数，
令，得，
根据，故，
∵十位恒为0，
则只有时满足，故，
由，得，即，
∴当，时，取得最大值，此时，
∴满足条件的M的最大值是，
故答案为：，．
3．（重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模）已知各位数字均不为零的四位自然数，若满足那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数，因为且，所以是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是___________；若是“和九数”，记，且为整数，则满足条件的的最大值为___________．
【答案】；
【详解】最小的“和九数”需满足千位数字最小，且各位数字非零，
，得．
由“和九数”定义，，且，
故，
，
，
为整数， 能被13整除．
当时，能被13整除，．
当时，能被13整除，．
当时，能被13整除，．
的最大值为．
故填：和．
4．（重庆一中寄宿学校2024-2025学年一模）对于一个四位数，若它的各个数位上的数字互不相等且均不为零，且各数位上数字之和的3倍是一个平方数，则称这个数为“方三数”．那么最小的“方三数”为__________；若一个“方三数”．去掉其千位与个位数字得到一个两位数，去掉千位与十位数字得到一个两位数，若除以21余数为3，则满足条件的的最大值为__________．
【答案】
【详解】解：当这个四位数是1234时，不是平方数，不符合题意；
当这个四位数是1235时，不是平方数，不符合题意；
当这个四位数是1236时，是平方数，符合题意，
所以最小的“方三数”为；
∵一个“方三数”，
∴是一个平方数，
去掉其千位与个位数字得到一个两位数，则，
去掉千位与十位数字得到一个两位数，则，
∴，
∵除以21余数为3，，
∴，
∴，
∴是一个平方数，且这个平方数必定是的倍数，
∵，，
∴，即
∴或，
∵满足条件的的最大值，
∴取值时按照千位、百位、十位、个位的顺序尽量从大往小取值，
当时，，
当，时，则，找不到各个数位上的数字互不相等且均不为零的和，不合题意；
当，时，则，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得和，此时；
当时，，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得，时，则，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得和，此时；
综上所述，满足条件的的最大值为，
故答案为：，．
5．（重庆市第二外国语学校2025年二模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足，那么称这个数为“好运数”．例如：四位数7431, ∵74-43=31, ∴7431是“好运数”；四位数9642, ∵96-64≠42,．∴9642不是“好运数”．若一个“好运数”为，则这个数为_______；若一个“好运数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则这个“好运数”的最小值是_______．
【答案】 8532 5413
【详解】解：（1）∵是“好运数”，
∴即，
由题意知x，y是互不相同且均不为0，范围均为1到9，
∴，，
∴这个数为8532；
（2）由得即，
，
∴能被9整除，即是9的倍数，
∵a，b，c，d互不相等且均不为0，且a，b，c，d的范围均为1到9，
∴时取最小值，
∴当，时，，没有符合的c，d值；
当，时，，没有符合的c，d值；
当，时，，没有符合的c，d值；
当，时，，没有符合的c，d值；
当，时，，则，，故满足条件的数是5413；
当，时，，没有符合的c，d值；
当，时，，则，，故满足条件的数是7248；
当，时，，则，，故满足条件的数是8165；
∴满足条件的数的最小值是5413．
故答案为8532；5413．
题型2 求满足条件的参数值
6．（重庆市开州区2024-2025学年二模）对于一个四位自然数，若它的千位数字是个位数字的2倍还多1，十位数字比百位数字多1，称为“腾跃数”．则最大的“腾跃数”为___________，若一个“腾跃数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若与均为整数，则符合条件的的值为___________．
【答案】 9894 7893
【详解】解：根据题意，得，，其中，，，所有数位均为整数，
∴，，
∴，，即最大为，最大为，
此时，，
∴最大的“腾跃数”为：；
根据题意得：与均为整数，
∵，，，
∴
，
∵为整数，
∴为整数，即为5的整数倍，
为整数，即为19的整数倍，
∴当，时，满足条件，此时，，
∴符合条件的为．
7．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模）各数位都不为0的四位正整数m，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m是“间和数”．将m的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记F（m）＝，则的值为________．已知t为“间和数”，其中，a，b，c均为整数，，，，若能被13整除，且（s为正整数），则t的值为__________
【答案】 55 4576
【详解】解：∵，
∴，，，
∴；
∵，
∴的千位上的数字是，百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是，
∵为“间和数”，
∴，
∴，
∴，
∵能被整除，
∴，
∴为整数，
∵，，均为整数，
∴为，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∵，
∴，
整理得，，
∵，为整数，为正整数，
∴，
∴，
故答案为：，．
8．．（重庆市第八中学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）对于一个各数位数字均不为零的四位自然数，若千位与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，则称为“一致数”，设一个“一致数”，满足且，将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，并记为，一个两位数，将的各数位数字之和记为，当（为整数）时，则所有满足条件的“一致数”中，满足为偶数时，的值为__________，的值为__________．
【答案】
【详解】解：设一个“一致数”满足且，
∴，，，
所以，
∵一个两位数，将N的各个数位数字之和记为，
∴当时，，
当时，，
∵，
∴当时，，得到，
当时，，得到，
∵满足为偶数时，
∴当时a为奇数，当时a为偶数，
当时a为偶数，，
∴是3的 倍数，也是9的 倍数，
∴是9的 倍数，
∵，
∴或，
当，此时，当时只有当时，是平方数，此时，，．
当，此时，当时只有当时，是平方数，此时，故舍去；
当时a为奇数，，由是3的 倍数可得是9的 倍数，
∴是9的 倍数，
∵，
∴，此时，当时只有当时，则是平方数，此时，故舍去；
综上所述，．
故答案为：；．
9．（重庆市巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）若一个四位自然数的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好等于个位数字的平方，则称这个四位数为“方和数”．若“方和数”且（），将“方和数”的千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调得到新数，规定，若为整数，除以13余7，则的值为______________，满足条件的的值为______________．
【答案】 10 6554
【详解】解：由题意可得：，
，∵为整数，；
，
∴，；
设，，，
，
故，，
，，，．
故答案为：10；6554．
10．（2023年重庆实验外国语学校中考三模数学试题）一个三位自然数，百位数字比个位数字多，十位数字为，则称这个数为“二九数”，则最大的“二九数”是________．若是“二九数”，将的百位数字作为新数的个位数字，将的十位数字作为新数的百位数字，将的个位数字作为新数的十位数字．若满足与的差是的倍数，则的值是________
【答案】
【详解】解：最大的“二九数”百位数字最大为，则个位数字为，十位数字为，故为；
设的个位数字为，则百位数字为，十位数字为，
∴，，
∴与的差为：，
∵差是的倍数，且，
∴是的倍数，
∵，
∴时，符合题意
则，
故答案为：；．
题型3 求满足条件的最值的和或差
11．（重庆市第一中学校2024-2025学年二模）如果一个三位自然数的各个数位上的数字均不为，且满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“等和数”．例如：，，是“等和数”．又如：，，不是“等和数”．最小的“等和数”为________；若是一个“等和数”，将的十位数字添加在的百位数字之前得到一个四位数，在的末位之后添加数字1得到一个四位数，若能被整除，则满足条件的的最大值与最小值的差为________．
【答案】

【详解】解：设的百位、十位、个位数字分别为，，，
，且为，，，均为的整数，
，，，
；
设，其中，
是将十位数字添加在百位数字之前得到的四位数，
，
是在的末位之后添加数字得到的四位数，
，
，
代入，
可得：，
整理得：，
能被整除，
能被整除，
当时，，
只有时，能被整除，
，
；
当时，，
只有当时，能被整除，
，
；
当时，，
，
不符合题意；
当时，，
，
不符合题意；
当时，，
若时，则有，
则能被整除，
，
，
当时，，
当时，能被整除，
此时，
，
不符合题意；
当时，，
当时，能被整除，
此时，
，
不符合题意；
当时，，
当时，能被整除，
，
不符合题意；
当时，，
当时，能被整除，
此时，
，
不符合题意，
综上所述，、、，
其中最大值为，最小值为，差值为．
故答案为：，．
12．（重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模）对于一个四位正整数，若它的各位数字都不为零，且十位数字比千位数字小3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数为“三生三世数”，例如：是一个“三生三世数”：又如不是一个“三生三世数”，则最大的“三生三世数”是___________；若将的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的四位数为数的“翻转数”，记作，例如：，其“翻转数”．若一个“三生三世数”的十位数字为，个位数字为，设，若能被6整除，则所有满足题意的四位正整数的最大值与最小值的和是___________．
【答案】
【详解】解：根据“三生三世数”定义，
设千位数字A、百位数字B、十位数字C、个位数字D，
∵各位数均不为零，且，
∴A取最大值9，则；B取最大值9，则，
∴最大的“三生三世数”为：，
根据题意，“三生三世数”的十位数字为，个位数字为，则千位上的数为：，百位上的数为：，
∴，
M的“翻转数”，
∴
，
∵被6整除，即是6的倍数，
∴，
∴是6的倍数，
由题意得到，，，
∴取值范围，取值范围，
∴枚举所有对，满足是6的倍数的有：，
∴ 对应M值：；；，
∴满足条件的M中，最大值为7943，最小值为4612，
∴和为，
故答案为：①；②．
13．（重庆市万州区2024—2025学年一模）对于一个四位自然数，若千位数字与个位数字之和等于9，百位数字与十位数字之和等于7，则称这个四位数为“至尊数”．将“至尊数”的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调组成新的四位数，并规定，则___________；若一个四位自然数N是“至尊数”，且能被7整除，则满足条件的N的最大值与最小值的差为___________．
【答案】 70 8082
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴是“至尊数”，
∵由千位与十位对调、百位与个位对调得到，
∴，
∴；
设，
∵是“至尊数”，
∴，，
∵，
，
∴，
∵，，
，
，
∵能被7整除，
∴（为整数），
∴是7的倍数，
∴是7的倍数，
∵，，
∴的取值范围为，
∴的取值为或，
∴或，
当时，的值为：，
当时，的值为：，
∴，，
，
故答案为：，．
14．（重庆市珊瑚初级中学校2023-2024学年九年级下学期一模）如果一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，那么称这个四位数为“互异数”．例如：四位数3128，3，1，2，8互不相等，是“互异数”；又如：四位数2446．，不是“互异数”．若一个“互异数”为，则这个数的最大值是________；若一个“互异数”能被11整除，并且该数的各个数位上的数字之和能被5整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差是________．
【答案】 3897 8822
【详解】解：∵是“互异数”，数字，，，互不相等．
∴当，时，这个数有最大值为；
，
∵，是整数，
∴是的倍数，
∵是的倍数，
∴是的倍数，
设，
∵能被整除，
通过分情况讨论：
当时，或或，所有可能的数中最小值为，最大值为；
当时，，所有可能的数中均大于且小于；
当时，，所有可能的数中均大于且小于；
故最小值为，最大值为，差值为．
故答案为：，．
15．（2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题）如果一个四位自然数的各位数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“双九数”．例如四位数5247，各位数字互不相等且均不为0，满足，∴5247是“双九数”．最小的“双九数”是______；若一个“双九数”除以7余数为2，则满足条件的“双九数”的最大值与最小值的差是______．
【答案】 1287 6930
【详解】解：对于第一个空：由于a是千位数字，且数字不为0，故．
要使数最小，a取1，则．
b需满足与a和c数字不同，且不为0，
则b最小取2，则．
此时数字1，2，8，7互不相等，故最小“双九数”为1287．
对于第二个空：“双九数”可表示为．
由除以7余数为2，即除以7余数为2．
，，
除以7余数为2，即除以7余数为1．
枚举a从1到8：
时，，数字互异，；
时，，但，无效；
时，，但，即，无效；
时，，数字互异，；
时，，数字互异，；
时，，数字互异，；
时，故或，
时，数字互异，；
时，数字互异，；
时，，数字互异，；
满足条件的“双九数”为1584，4356，5742，6435，7128，7821，8514．
最小值为1584，最大值为8514，差值为．
故答案为：；．
重●难●提●分●必●刷
（建议用时：30分钟）
1．一个数位大于三位且各数位均不为零的正整数，如果从左到右和从右到左看都是同一个数，那么我们称这个数为“蝶形数”，例如：、、都是“蝶形数”．截取最前面的两位数字组成的两位数为，截取最后面的两位数字组成的两位数为，满足（为正整数），那么我们称其为“完美蝶形数”，则最小的四位“完美蝶形数”为______．对于一个五位“完美蝶形数”，，，，且，，均为整数其中个位数字与十位数字之和等于百位数字，若与其各个数位数字之和的差能被整除，规定，则所有满足条件的值的和为______．
【答案】
【分析】设四位“完美蝶形数”为，其中，，则，，所以由题意可得是完全平方数，然后分情况求解，再比较即可；设四位“完美蝶形数”为，其中，，，由题意可得，代入得，，又与其各个数位数字之和的差能被整除，则需能被整除，然后分情况求解即可．
【详解】解：设四位“完美蝶形数”为，其中，，
∴，，
∵（为正整数），
∴，
∴是完全平方数，
∵是完全平方数，
∴是完全平方数，
∵，，
∴或，
∵要使四位数最小，
∴尽可能小，
∴，
则当时，（舍去）或，此时“完美蝶形数”为；
则当时，，此时“完美蝶形数”为；
∵，
∴最小的四位“完美蝶形数”为；
设五位“完美蝶形数”为，其中，，，
∴，，
∵（为正整数），
∴，即，
∴是完全平方数，
∵个位数字与十位数字之和等于百位数字，
∴，代入得，，
∴与其各个数位数字之和的差
，
∵与其各个数位数字之和的差能被整除，
∴能被整除，
由是完全平方数，，，，，
当时，，，不符合题意；
当时，，，符合题意，
则“完美蝶形数”为，，，
∴；
当时，，，符合题意，
则“完美蝶形数”为，，，
∴；
当时，，，符合题意，
则“完美蝶形数”为，，，
∴；
当时，，，符合题意，
则“完美蝶形数”为，，，
∴；
当时，，，不符合题意；
当时，，，不符合题意；
当时，，，不符合题意；
当时，，，不符合题意；
∴所有满足条件的值为或或或，
∴所有满足条件的值的和．
2．对于一个四位自然数，如果它的四个数位上的数字之和等于25，则称这个四位数为“灵动数”，例如：四位数2878，，是“灵动数”；又如：四位数3604，，不是“灵动数”．若“灵动数”p满足千位数字与百位数字的平方差是13，则p的最小值是_______；若都是“灵动数”，，（均为整数），规定，若m与n的和能被7整除，则的最大值为______
【答案】 7639 1471
【分析】本题考查新定义，整式的加减，因式分解，正确理解题意和较强的运算能力是解题的关键．
根据灵动数的定义和千位与百位数字平方差为13的条件，通过平方差公式确定千位和百位数字分别为7和6，再根据数字和为25求出十位和个位数字，按照最小的顺序进行组合即可；由m和n的表达式及灵动数条件得出和，再根据能被7整除，结合x和y的取值范围确定a和x的可能组合，并比较得出最大值即可．
【详解】解：设p的千位数字为e，百位数字为f，则，即，
e、f为整数，且，
，
解得，
设十位数字为c，个位数字为d，
为灵动数，
，即，
为使得p最小，则，
故p的最小值为7639；
，
，且为灵动数，
，，
，
，
能被7整除，
能被7整除，
，，，且为整数，
，
，，，且为整数，
，
，
当时，能被7整除，
则，
此时；
当时，能被7整除，
则，
此时；
当时，能被7整除，
则，
此时；
当时，能被7整除，
则，
此时；
综上，的最大值为，
故答案为：7639；．
3．我们规定：一个四位数，若满足各数位上的数字均不为0，且，则称这个四位数为“幸运数”．例如：四位数，因为，所以是“幸运数”．按照这个规定，最小的“幸运数”是________，一个“幸运数”，将的千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，又将的千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，，且能被4整除，则满足条件的的最大值是________．
【答案】
【分析】本题考查新定义下的数字问题，涉及用代数式表示数、整式的加减运算，关键是正确表示、并化简，再根据整除条件确定各数位数字的可能取值，进而找到最大的四位数．
（1）要找最小的“幸运数”，需使四位数的数位数字尽可能小：千位数字最小为1，百位数字最小为1，结合“幸运数”条件，且各数位数字不为0，取则，此时满足条件，且是最小的符合要求的四位数；
（2）首先根据数位表示法写出、，结合的条件化简，是千位与百位调换、十位与个位调换后的数，是千位与十位调换、百位与个位调换后的数，通过代数运算并代入，可化简得；根据能被4整除，推导出是4的整数倍，设(为正整数)，整理得，结合为的整数，分情况讨论的取值，找到符合条件的最大组合，最终确定最大的．
【详解】解：要得到最小的“幸运数”，四位数的千位数字最小取1，百位数字最小取1，
根据“幸运数”条件，且各数位数字不为0，取，则，
此时，满足条件，
故最小的“幸运数”为；
，
根据题意，，，
，
，
，
，
∵能被4整除，
∴是4的整数倍，设(为正整数或负整数)，
∴，
为1~9的整数，
∴当时，，为3的倍数，时，时，时(舍去)；
当时，，时(舍去)；
当时，，，不符合要求，舍去；
当时，，为5的倍数，时(舍去)；
当时，，时(舍去)；
当时，，，不符合要求，舍去；
要使最大，取，，则，不符合要求，舍去；
再取，，则，此时．
验证：，，满足“幸运数”条件；且能被4整除，符合要求．
故答案为：；．
2023、2024、2025年考法解读
2026年考法预测
中考数学中几何求解选择题的各种点主要考向分为两类：
一、最值相关（每年1道，4分）；
二、求参数值（每年2题，4分）；
考查内容稳定，以填空题为主，第一空难度较小。第二空难度很大且计算量大．
预计·以“数学文化”“古代数学著作”为背景的定义。题干关键词 转化方向“能被k整除” 设=k·m（m为整数）“各位数字之和” 用字母表示各数位
“存在”“至少有一个” 转化为方程有解、不等式有解“最大值”“最小值” 构造函数求最值。
此类题涉及的数学知识很多，一般以数与式的运算、方程(不等式)的计算等知识为背景，介绍新定义新方法新知识，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解,是根据新定义、新方法、新知识等进行运算、推理、迁移等的一种新题型,特别要熟练掌握多位数的设法、多位数的加减运算、多位数被某数整除的方法.
此类题解题策略为认真审题，仔细阅读题目给定的材料信息，弄清材料中新的数学定义、知识或结论，明确新材料的条件、原理、方法、步骤和结论，将获得的信息、知识、方法进行加工提炼、归将获得的信息、知识、方法进行加工提炼、归纳概括、判断推理、模仿运用;认真理解新信息的外延和内涵,搞清新信息成立的条件和运算的新规则，将新问题按照既定的新规则将它转化成旧问题来解决.
此类题解题认真理解新信息的外延和内涵,搞清新信息成立的条件和运算的新规则，将新问题按照既定的新规则将它转化成旧问题来解决;将文字语言转化成符号语言、图形语言，用字母表示数;进行数位的表示以及数位形式与代数和形式的转化;进行代数式、方程(组)、不等式(组)等的运算,从而解决问题.