2026年重庆中考数学二轮复习 专题03 圆相关求解填空类(3大题型)(重难专练)

这是一份2026年重庆中考数学二轮复习 专题03 圆相关求解填空类(3大题型)(重难专练)，共9页。
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
考向 圆
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
重●难●要●点●剖●析
考向 圆
题型1 垂径定理相关
1．（重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校2025年二模）如图，在给定的中，弦的弦心距，，，点在弦上，且，则面积的最大值为_____，此时的长为_____．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
∵，
∴点轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
∵，，
∴当点三点共线时，最大，则面积最大，
如图：过点作延长线的垂线，垂足为点，过点作于点，连接，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
在中，，
∵，
在中，
∴
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
故答案为：,．
2．（重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模）如图，在半径为4的中，，点B为的中点，点E为弦的中点，点F为弦的中点，则点O到的距离为______，线段______．
【答案】
【详解】解：连接，，过点F作交的延长线于H，如图，
∵，点B为的中点，
∴，
∵点E为弦的中点，
∴，，
∴，
∴，即点O到的距离为；
∵点F为弦的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
3．（重庆一中寄宿学校2024-2025学年一模）如图，是的内接三角形，半径，垂足为点H，点E是圆上一点且，过点E作于点若，则的长度为______，的长度为______．
【答案】
【详解】解：如图，过点B作于点K，连接，延长交于点L，
半径，垂足为点H，
，
在中，，
，
；
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，即点E是的中点，
直线，且，
在中，，
，
设与交于点M，
，
，
，
∴
，
，
，
，
，
；
故答案为：
4．（重庆市第二外国语学校2025年二模）如图，是的外接圆， ，于点，延长交于点，则的度数是___________；若，，则的长是___________
【答案】 /
【详解】解：如图，过点作于点，作于点，
∵是的外接圆， ，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：①，②．
5．（重庆市开州区2024-2025学年二模）如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若圆O的半径为2，，则____， _____．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接，
∵与相切，
∴，
∵，圆O的半径为2，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，，
∴，
∴；
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
又∵F为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
由勾股定理得；
故答案为：．
题型2 切线相关
6．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模）如图，四边形内接于，点D为的中点，连接，过圆心O，过点D作的切线交的延长线于点E．若，，则的半径为______， ______．
【答案】 5 2
【详解】解：连接并延长交于点，
∵点D为的中点，
∴，，
∵是的切线，
∴，
∵过圆心O，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
设的半径为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：5；2．
7．（重庆市第八中学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）如图，四边形内接于，为的直径，，，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点．若，则________；________．
【答案】 6
【详解】解：在中，，，
∴，，
∵，
∴，即平分，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
由题意可得，与圆相切，为的直径，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
由勾股定理可得，，
在中，，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
故答案为：6，
8．（重庆市巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）如图，内接于，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作的切线，交于点．如果，，则的长为______．
【答案】
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（2023年重庆实验外国语学校中考三模数学试题）如图，四边形内接于，连结，为的直径，是的中点．过点作的切线，交的延长线于点，且，，，则的长为________，的长为________．
【答案】
【详解】解：如图，连接，过点作于，连接，
∴，
又∵对着圆周角和，
∴，即，
∵，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等角对等边，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．（重庆市第一中学校2024-2025学年二模）如图， 为 外接圆， 为直径，延长 至 ， 过 作 的切线， 为切点，过 作 的切线交 于点 ，连接 交 于点 ，若 ， 则 的半径为______， ______．
【答案】
【详解】解：连接，并延长交于点M，
∵过作 的切线， 为切点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为 外接圆， 为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
连接，
设，
∴，
根据勾股定理，得，
解得，
故圆的半径为5；
∴，
∴，
∴，
∵过 作 的切线， 为切点，过 作 的切线交 于点 ，
，
设，
则，
根据勾股定理，得，
解得，
∴，
连接，
∵为 外接圆， 为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5，
题型3 圆的内接四边形
11．（重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模）如图，四边形内接于，是圆的直径，于点，连接，若．，，则的长度为_____，四边形的面积为_____．
【答案】；
【详解】解：连接、，
设，半径为，则
；
连接，过点作于点，
，
，
、、
设
、、
解得
四边形的面积为：．
故答案为：；．
12．（重庆市万州区2024—2025学年一模）如图，四边形是的内接四边形，点O在四边形内部，过点C作的切线交的延长线于点P，连接，，若，，则的度数为________．
【答案】/85度
【详解】解：连接，如图，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
13．（重庆市珊瑚初级中学校2023-2024学年九年级下学期一模）如图，四边形内接于，，，，，交的延长线于点，则_________；的半径为__________．
【答案】 3
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，且，
∴四边形为正方形，
∴；
∵，
∴，
假设，则，，
∵，
∴为的直径，
∴，
由勾股定理得，，
即，
解得（负值已舍），
∴，
∴的半径为；
故答案为：3,．
14．（2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题）如图，是四边形的外接圆，对角线，交于点，且平分，若的半径为，则___________，___________．
【答案】
【详解】解：∵平分，且，
∴．
∴．
∴是等边三角形，
∴，，
如图：作直径，连接，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
如图：作于F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，11．
15．（重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校2025年二模）如图，四边形 内接于半径为 的⊙O，且 ， ．过点 作 于点，则 _________ ；延长 交 于点，交 于点 ．连接 交 于点，连接，则 的面积为 ______．
【答案】 1 /
【详解】解：（1）连接、、，

∵，
∴，故，，
∵，，
∴、都是等腰直角三角形，
，
∵圆的半径，
∴
在中，
（2）连接、、，过点作，过点作
由（1）得，，
∴，
∵
∴，
∴为直径，即，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（）
∴
∴是等腰三角形，
∴是的中点，即，
∴，
∴
∴
故答案为1；．
重●难●提●分●必●刷
（建议用时：40分钟）
1．如图，点、、是上三点，是的直径．过点作交于点，连接．将沿翻折得到，点在的外部，延长交的延长线于点，若，则的长为__________，的值为__________．
【答案】
【分析】连接，根据，设，则，根据勾股定理得出，根据，得出，求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，最后根据线段间关系求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
根据折叠可得：，，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
，
解得：，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
根据勾股定理得：，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
．
2．如图，的半径与弦交于点，是的一条切线且与直径延长线交于点，若四边形是一个矩形，且，则_____，_____．
【答案】 13
【分析】根据矩形的性质和直径所对的圆周角是直角可判断点O在上，根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理得出，求出即可；连接，，根据矩形的性质和直径所对的圆周角是直角点O在上，根据切线的性质得出，则可判断，证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据求解即可．
【详解】解：∵四边形是一个矩形，
∴，
∴是的直径，即点O在上，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
连接，，
∵四边形是一个矩形，
∴，
∴是的直径，即点O在上，
∵是的切线，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
3．如图，的内接四边形的对角线为的直径，，延长、相交于点，的切线与的延长线相交于点．若，，则的半径为______；的值为______．
【答案】 3 /
【详解】解：，
，
，
为的直径，
，
，
，
即直径为，则的半径为；
连接，
是的切线，
，
，
即．
，
，
，
，
，
又中，，
，
，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴．
根据勾股定理，得，
再根据勾股定理，得，
∴．
根据勾股定理，得．
过点G作，交于点H，设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
在中，，
∴．
根据勾股定理，得，
即，
解得（舍去），，
∴，
∴．
故答案为：3；．
4．如图，的直径垂直于弦于点，是圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，，，若，，则的半径为________，的长度为________．
【答案】 3
【详解】解：∵C是的中点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的半径为3；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了圆与三角形综合，熟练掌握弧、弦关系，圆周角定理，勾股定理，特殊角的三角函数，是解题的关键．
5．如图，设点A，B，C，D在上，圆心O在上，于点E，分别过点A，C作的切线且两切线交于点F，连接，若，，则______，______．
【答案】 4
【详解】解：连接，，，，设与交于点G，与交于点H，如图所示：
∵，为的直径，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，根据勾股定理得：
，
∴；
∴，
∵、为的切线，
∴，，，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
，
∴．
故答案为：4；．
2023、2024、2025年考法解读
2026年考法预测
中考数学中几何求解选择题的各种点主要考向分为两类：
一、垂径定理相关（每年1道，4分）；
二、切线相关（每年1题，4分）；
三、内接四边形相关（每年1题，4分）；
考查内容稳定，以填空题为主，难度中等偏上．
· 核心题型：圆的基本性质、切线的判定与性圆与相似三角形/三角函数的综合题。这些是重庆中考的“常客”，圆与函数、动点问题的综合题通常作为选拔题出现。预测会延续“稳中微变”的风格。基础题考查圆的概念和定理；综合题则会与三角形、四边形、相似、三角函数等深度融合，重点考察几何推理和计算能力。动态几何与最值问题是一大热点。
主要考查了垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，求角的正切值，特殊角的三角函数，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，已知正切值求边长，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
主要考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
主要考查了圆的内接四边形、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，能利用相似三角形的判定与性质求解是解答的关键．