专题01 阅读材料题（双空题精选）练习含答案--2026年中考数学一轮专题

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\l "_Tc16452" 【类型1 因式分解】1
\l "_Tc5338" 【类型2 有理数的混合运算】12
\l "_Tc31833" 【类型3 函数】27
\l "_Tc846" 【类型4 方程】33
►类型1 因式分解
1．（2024·重庆·模拟预测）一个四位正整数N，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数N叫“间倍数”，例如4621满足，，则4621是“间倍数”．最小的“间倍数”是 ；已知“间倍数”且n，a，b均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”N都能被3整除，当时，符合题意的最大“间倍数”N为 ．
2．（2024·重庆·模拟预测）一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“珊瑚数”．对于一个“珊瑚数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“明佳数”，规定：．如果M是最大“珊瑚数”，则是 ，对于任意四位自然数（a、b、c、d是整数且，），规定：．已知P、Q是“珊瑚数”，其中P的千位数字为m（m是整数且），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且），且．若能被13整除，则的最小值是 ．
3．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ．
4．（2024·四川成都·二模）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是 ；第48个平方优数是 ．
5．（2024·四川乐山·二模）定义：若（n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“智慧数”．
（1）当时，请任意写出一个智慧数： ；
（2）当时，则“智慧数”n的最大值为 ．
6．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b的平方差，即，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”.若将“双方数”从小到大排列，前3个“双方数”的和为 ；第100个“双方数”为 ．
7．（2024·重庆九龙坡·三模）如果一个四位数，前两位数字之和为8，后两位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“同城数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴2614是“同城数”，则．若“同城数”，则 ．
已知是“同城数”（，，，均为正整数），若是整数，则满足条件的所有之和是 ．
8.（2024·重庆·二模）若一个四位自然数，满足百位数字与千位数字的平方差恰好是去掉千位与百位数字后得的两位数，则称这个四位数为“活泼数”，例如，因为，故2521是一个“活泼数”；若一个四位自然数，各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1，个位数字比百位数字大1，则称这个四位数为“可爱数”，例如1425，因为，，故1425是一个“可爱数”．对于一个“活泼数”，规定：，对于一个“可爱数”，规定：，则 ；当的百位数字为4时，若是整数，则所有满足条件的奇数四位数的和是 ．
9．（2024·重庆沙坪坝·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，，1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，，5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为 ；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是 ．
10．（2024·重庆大渡口·二模）对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数，若的十位数字分别小于的百位数字与个位数字，则称为“义渡数”．当三位自然数为义渡数”时，重新排列各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“义渡数”，且，则最小的“义渡数”是 ；若三位自然数是“义渡数”（其中，，，、、均为整数），且的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数的最大值是 ．
11．（2024·重庆·模拟预测）一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数”，将“对称数”M的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新的“对称数”记为，记，若“对称数”A，满足能被7整除，则A的最小值为 ；在能被7整除的情况下，对于“对称数”，有，且k为正整数，当取得最大值时， ．
►类型2 有理数的混合运算
12．（2024·重庆潼南·模拟预测）定义：如果一个四位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足千位上的数字与个位上的数字的2倍的差等于百位上的数字与十位上的数字的2倍的差，则称这个四位数为差倍数．设为一个差倍数，将的千位数字与百位数字交换位置，十位和个位交换位置后得到的新数再与相加的和与11的商记为．例如：8612是“差倍数”，则，已知差倍数（，且为整数），则 ；四位数是一个差倍数，且千位数字满足，是7的整数倍，则满足条件的的最大值为
13．（2024·重庆南岸·模拟预测）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，若为“逢双数”，则这个数为 ；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为 ．
14．（2024·重庆·模拟预测）定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位上的数字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数．设A为一个开合数，将A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数再与A相加的和记为．例如：852是“开合数”，则．
已知开合数（，且为x整数），则 ；
若三位数A是一个开合数，若百位数字小于个位数字，是一个整数，且能被个位数字与百位数字的差整除，则 ．
15．（2024·重庆开州·二模）一个两位正整数m，若m满足各数位上的数字均不为0，称m为“相异数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数n.把m放在n的左边组成第一个四位数A，把m放在n的右边组成第二个四位数B，记，计算 ；若s，t都是“相异数”，s个位上的数字等于t十位上的数字，且被11除余7，，则满足条件的所有s的和为 .
16．（2024·重庆渝北·模拟预测）若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数． （其中， 且a， b， c， d均为整数）为“吉祥数”，则 ， 定义， 若能被17整除，且存在整数k，使得 ，则满足条件的M 的值为 ．
17．（2024·重庆江津·模拟预测）一个三位数m，每个数位上的数字均不为0，且满足百位十位个位，称为“步步高升数”，将“步步高升数”m个位与百位交换得到，记．例如：128满足，则称128为“步步高升数”，将“步步高升数”128个位与百位交换得到821，记．
若p是一个“步步高升数”，则的最大值为 ，一个“步步高升数”p是3的倍数，且满足是一个完全平方数，则所有满足条件的p的平均值为 ．
18．（2024·重庆·模拟预测）100岁被称为期颐之年，这个称呼来源于《礼记・曲礼上》中的“百年日期颐”．现规定：一个正四位数各数位上的数字均不为0，若去掉十位和个位后组成的两位数与去掉千位和百位后组成的两位数之和为100，则称这个四位数为“期颐数”，例如：四位数2377，∵，∴2377是“期颐数”；又例如：四位数3684，∵，∴3684不是“期颐数”，则能被2整除的“期颐数”共有 个；对于“期颐数”m，若将千位与百位交换，十位与个位交换，得到另一个四位数，则．若四位数为“期颐数”，其中，则四位数A为 ．
19．（2024·重庆铜梁·一模）在中国文化中，“6”被视为完美的数字，因为它寓意和谐、顺遂和圆满，因此，“66”可以被解读为双倍顺遂或更加完美．一个四位自然数，若各个数位上的数字均不为0．且满足|−|．则称这个四位数M为“双顺数”．例如：对于9226，∵，∴9226是“双顺数”；对于2689，∵，∴2689不是“双顺数”．则最大的“双顺数”是 ；如果将一个“双顺数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数，并且规定：．若是整数，则符合条件的M的最小值是 ．
20．（2024·重庆·模拟预测）一个四位自然数，若它的千位数字比十位数字少，百位数字比个位数字多，则称为“一生一世数”．如：四位数，∵，，∴是“一生一世”；四位数，∵，∴不是“一生一世数”，则最大的“一生一世数”为 ．若一个四位数是“一生一世数”，且，，若能被整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 ．
21．（2024·重庆·模拟预测）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．
例如：24就是一个“4喜数”，因为；25就不是一个“n喜数”，因为．44 （填“是”或“不是”）“n喜数”；最大的“7喜数”是 ．
22．（2024·四川成都·模拟预测）定义：如果一个四位数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“契合数”．例如：四位数，，是“契合数”，则最小的“契合数”为 ；若一个“契合数”满足的和能被7整除，则满足条件的最大的“契合数”为 ．
23．（2024·重庆·模拟预测）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被整除，则满足条件的数的最小值是 ．
24．（2024·重庆·一模）一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且都不等于0，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于100，那么就称这个数为“奋进数”．把“奋进数”的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数3268，因为，所以3268是“奋进数”，且．如果四位自然数（，且为整数）是一个“奋进数”，则 （用含的代数式表示），另外规定等于的前两位数字之和．如果是一个“奋进数”，为偶数，且（为整数），则满足条件的的最小值是 ．
25．（2024·重庆·一模）对于任意一个四位数，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大，则称这个四位数根为“差双数”，记为的各个数位上的数字之和．例如：，，是“差双数”， ；，， 不是“差双数”．若与都是“差双数”，且，则“差双数”是 ；已知M，N均为“差双数”，其中， ，，，，，，，，，是整数，已知能被整除，且为整数，则满足条件的所有的的值之和为 ．
26．（2024·重庆·一模）一个四位自然数m各个数位上的数字均不相等且不为零，若m满足百位数字与十位数字之和恰好是千位数字和个位数字之和的倍，则称这个四位数为“倍数”．一个“倍数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若，则 ；在此条件下，记，若除以余数是，则满足条件的值为 ．
►类型3 函数
27．（2024·四川成都·三模）对于平面直角坐标系中的点P和线段，其中、两点，有如下定义：若在线段上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的“附庸点”．在点，，中，线段的“附庸点”是 ；在直线上存在线段的“附庸点”M，N，且，则b的取值范围是 ．
28．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点0,1是函数图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
①；②；③．
（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
29．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标与横坐标互为相反数，则称这个点为“相反点”，如，都是“相反点”．已知二次函数，请完成下列问题：
（1）若，则此二次函数上的“相反点”为 ．
（2）在的范围内，若此二次函数图像上存在两个“相反点”，则的取值范围为 ．
30．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ．
①函数是“倍值函数”；
②函数的图象上的“倍值点”是和；
③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是；
④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为．
31．（2024·浙江杭州·三模）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”．
（1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 ．
（2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 ．
32．（2024·重庆·一模）若一个正整数M能分解成，其中p与q都是两位数，且p与q的个位数字相同，十位数字相加等于10，则称M为“方加数”，并把M分解成的过程，称为“方加分解”．例如：因为，13与93的个位数字相同，十位数字相加等于10，所以262是“方加数”，则最小的“方加数”是 ；把一个四位“方加数”M进行方加分解，即中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位上的数字之和能被3整除，则满足条件的M的最大值为 ．
►类型4 方程
33．（2024·重庆大渡口·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 .
34．（2024·重庆江津·三模）一个四位正整数（各个数位均不为0），它的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个数为“说一不二数”．例如3253、6597都是“说一不二数”，将一个四位正整数M的百位和十位交换位置后得到四位数N，．（1）最小的“说一不二数”为 ，
（2）若T为“说一不二数”，且T能被13整除，则满足条件的所有T中，之和为 ．