2026年辽宁中考数学二轮复习 专题03 二次函数(重难专练)

这是一份2026年辽宁中考数学二轮复习 专题03 二次函数(重难专练)，共60页。试卷主要包含了满足一次函数关系，如图所示，经过点等内容，欢迎下载使用。
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第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
考向01 二次函数图象与性质 考向02 二次函数与系数的关系
考向03 二次函数与方程、不等式的关系 考向04 二次函数的应用
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
重●难●要●点●剖●析
考向01 二次函数图象与性质
题型1 二次函数的性质
1．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ）
A．当且时，则B．当时，则
C．当且时，则D．当时，则
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可．
【详解】解：∵
∴抛物线的开口向上，
则对称轴为直线，
把代入，得，
∴顶点为，
∵两点，在抛物线，
∴当且时，（因时抛物线在x轴上方），
故，
此时
故A选项的结论正确；
当时，抛物线在时递减，
故越大，越小，
即，
故B选项的结论错误；
当且时，，
此时应满足或，
故C选项的结论错误；
当时，抛物线在时递增，
故越大，越大，
即，
故D选项的结论错误；
故选：A
题型2 二次函数图象上点的坐标特征
1. 已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．
（1）求函数的“升幂函数”的函数表达式；
（2）如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标；
（3）点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为．
①若点与点重合，求的值；
②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式；
③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）①或；②；③或
【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解，
（2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解，
（3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，、关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得：， ，当，，，当， ，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得：，即可求解，
【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
故答案为：，
【小问2详解】
解：设点，则，
∵，在点上方，
∴， 解得：，
∴；
小问3详解】
解：①根据题意得：，则，
∵点与点重合，
∴，解得：或，
②根据题意得：，
∴对称轴为，、关于对称轴对称，
∵，则，
∴，解得：，
∴，，
∵点在点的上方，
∴，解得：，
∴，
当，点在点右侧时，，，
当，点在点左侧时，，，
∴，
③∵，
∴，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，，，
当时，直线与函数的图象有3个交点，
当时，直线与函数的图象有2个交点，
直线与函数交于、两点，，即：，
∴，，，
直线与函数交于、两点，，即：，
∴，，，
∵，
∴，整理得：，
当时，
，解得：或（舍），
∴，
∴，解得：，
∴，
或．
考向02 二次函数与系数的关系
题型3 二次函数与系数的关系
1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．
（1）求点的坐标及的值．
（2）直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时，
①求证：；
②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值．
（3）二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
【答案】（1）点的坐标为，的值分别为
（2）①见解析②或
（3）
【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）先求出，，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答．
（2）①设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，设点E的坐标为，求出，设，，则，，即可解答．
②当时，，当时，，再分类讨论，即可解答．
（3）易得，当时，取得最小值为，解出；当时，函数的最大值为，解得；当时，，解得，或（舍去），，即可解答．
【小问1详解】
解：当时，，
解得，
∴，
将代入，得，
∴，
将，分别代入，得
，
解得．
答：点的坐标为，的值分别为．
【小问2详解】
①证明：如图，
设直线的解析式为，将，分别代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
设点E的坐标为
∵，
∴，
将代入得，
将代入，得，
∴，
，
∴
②如图
当时，，
∴，
∴，
即，解得．
当时，，
∴，
∴，
即，解得，
∴或．
【小问3详解】
∵次函数与二次函数组成新函数，
∴，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大．且当时，取得最小值．
∵当时，函数的最小值为，最大值为，
∴当时，取得最小值为，即，
解得．
∵时，函数的最大值为，
∴当时，函数的最大值为，即，
解得；
当时，，
解得，或（舍去），
∴，
∵，
∴，
解得，．
题型4 二次函数与最值
1. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接．
（1）求证：；
（2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）见解析 （2）四边形面积的最大值为．
【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立；
（2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：对于直线，
令，则；令，则，
∴，，
∴，，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵点的坐标为，
∴，，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形面积
∵，
∴当，四边形面积有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键．
考向03 二次函数与方程、不等式的关系
题型5 待定系数法求二次函数解析式
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______．

【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解．
【详解】解：把点，点代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案为：．
题型6 二次函数与x轴交点问题
1．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，都在该抛物线上，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
根据函数图象和图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图可知函数与轴的交点在负半轴，
，故①正确；
∵抛物线与轴的一个交点的坐标为，
∴当时，，即，故②错误；
∵点都在该抛物线上，且，
∴点关于直线对称，
，故③正确．
故选：B．
题型7 二次函数与不等式
1．（2025·辽宁营口·二模）已知函数，定义新函数．
(1)若新函数的解析式为，求函数与的解析式；
(2)在（1）条件下，点在函数上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，且当时．
①若点重合，求的值；
②过点作轴的平行线交函数图象于点，函数，求函数关于的解析式（写出自变量的取值范围）；的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出面积的最大值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①或2
②；存在，面积的最大，最大值为
【分析】（1）根据求得，再根据，比较即可求得a、b值，从而求解；
（2）①把代入和代入，从而得到，再解方程即可求解；
②先求出点A、B、C的坐标，从而求得、长，代入，即可求解；再根据，分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：①∵点重合，，
∴，
把代入，得，
把代入，得，
∴，
化简整理，得，
解得：，．
∴m的值为或2，
②把代入，得，
∴，
∵轴交函数的图象于点，
∴，
∵轴交函数图象于点，
∴点纵坐标为，
把代入，得，
∴，
∴，
∴当时，
，
当时，
，
∴
∵，
∴当时，
，，
∵，，
∴当时，，取得最大值，最大值为，最大值为，
此时，面积的最大，最大值；
当时，
，
，
∵，，对称轴为直线，
∴，有最小值，当时，，都随着m的增大而增大，
∵，
∴，
∴，
∴当时，，都取得最大值，
最大值为2，最大值为6，
∴此时，面积的最大，最大值，
∵，
∴存在，面积的最大，最大值为．
【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查二次函数与一次函数交点，二次函数的图象性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
考向04 二次函数的应用
题型8 二次函数的简单应用
15．（2025·辽宁鞍山·二模）投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分.某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是米，水平距离米时达到最大高度，最大高度为米.
(1)如图，以该学生所在直线为y轴，球落地的水平距离所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）；
(2)若实心球落地后距离投掷点米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分.
【答案】(1)
(2)这名同学实心球成绩不能得满分，计算见解析
【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可；
（2）令，解得x，与比较即可；
【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为，
设抛物线的表达式为，
将代入，得，
解得．
∴该实心球运动时符合的抛物线解析式为；
（2）解：令，
解得（负值已舍去），
∴实心球出手点与着陆点的水平距离为．
∴这名同学实心球成绩不能得满分．
题型9 二次函数综合应用
19. 为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
【答案】（1）
（2）这根材料的长度够用
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
由题意，可知：，
∴关于轴对称，
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
故这根材料的长度够用．
重●难●提●分●必●刷
（建议用时：60分钟）
1．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．点C的纵坐标为240D．点在该函数图象上
【答案】D
【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可．
【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，故选项A错误；
∴，，
当时，点运动到点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项B错误；
∴当，即点在点时，
∴；
∴点的纵坐标为；故选项C错误；
当时，点运动到点，则：，
∴，
∴，
∴点在该函数图象上，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键．
2．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
把代入，
得，
即顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴，
整理得，
则，
∴，
∴
故答案为：或．
3．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
【答案】该抛物线的表达式为
【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为，，即，
设该抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
该抛物线的表达式为．
4．（2025·辽宁沈阳·二模）已知分别是关于自变量x的函数，点在的图象上，点在的图象上．定义：我们把称为与的“m界距离”．
例如：若函数，当时，时，，则把2称为与的“2界距离”．
(1)若，求与的“界距离”；
(2)在平面直角坐标系中，的图象如图所示；
①设与，的“m界距离”为d，求d与m的表达式，并写出m的取值范围；
②连接，以为边作正方形（点按逆时针顺序排列），当与有交点时，求m的取值范围．
【答案】(1)3
(2)①当或时，，当时，；②或
【分析】（1）分别求出两个函数自变量为的函数值即可得到答案；
（2）①先求出，则当或时，，当时，，分别求出时，两个函数的函数值，再根据定义求解即可；②分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种情形，分别求出临界情形下m的值即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
在中，当时，，
∴与的“界距离”为；
（2）解：①联立，解得或，
∴，
由函数图象可得，当或时，，当时，，
在中，当时，
在中，当时，，
∴当或时，，
当时，；
②如图2-1所示，当时，则，此时与一定没有交点，不符合题意；
如图2-2所示，当，且点M恰好在抛物线的图象上时，
∴此时点Q和点M关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线，
∴倍的点Q到对称轴的距离，
∴，
解得或（舍去）；
如图2-3所示，当，且点N恰好在抛物线的图象上时，
同理可得点N的坐标为，即，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵当和时，点P和点Q重合，
∴，
∴当时，与有交点；
如图2-4，当时，且点M恰好在抛物线的图象上时，
同理可得倍的点Q到对称轴的距离，
∴，
解得或（舍去）；
∴当时，与有交点；
综上所述，当或时，与有交点．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，正方形的性质，求一次函数和反比例函数值等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
5．（2025·新疆喀什·模拟预测）某工厂计划投资生产、两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图①所示：产品的利润（万元）与投资量（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示．
(1)请直接写出利润与关于投资量的函数关系式______，______；
(2)如果工厂以9万元资金投入生产、两种产品，要求产品的投资金额不超过产品的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)投资A产品3万元，投资B产品6万元时，该工厂能获得最大利润，最大利润是33万元
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、不等式在实际问题中的应用以及二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设，，分别利用待定系数法求得解析式即可；
（2）设投资产品万元，则投资产品万元，根据题意得关于的不等式组，解得的取值范围，根据（1）中的两个函数关系式得出关于的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设，
点在该函数的图象上，
，
，
，
设，
点在该函数图象上，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：设投资产品万元，则投资产品万元，
由题意可得：
，
解得：，
该工厂能获得的利润为：
，
∵对称轴为，当时，利润随着的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值是，
投资产品3万元，则投资产品6万元时，该工厂能获取最大利润，最大利润为33万元．
6．（2025·辽宁营口·二模）某公司研发了一款成本为11元的新型玩具，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个）与销售单价（元）（x为正整数）满足一次函数关系，如图所示．
(1)根据图象，写出与的函数关系式；
(2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元?
【答案】(1)
(2)销售单价为20或21元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）设该公司每天获得的利润为w元，根据“利润（销售单价成本单价）销售量”可得，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
把和代入得：，
解得，
∴与的函数关系式为．
（2）解：设每天获得的利润为w，
则，
∵二次函数的对称轴为直线，且，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，
∵x为正整数，
∴当或21时，w取得最大值，最大值为或
答：销售单价为20或21元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元．
7．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点．
(1)求c的值，并用含a的式子表示b；
(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．
①若，，求的长；
②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】(1)0，
(2)①4；②且
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
（1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案；
（2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，抛物线，
可得，
∴该抛物线解析式为，
将点代入，抛物线，
可得，解得；
（2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，，
当时，可有点，
如下图，
∵轴，
∴，
将代入，可得，即，
将代入，可得，即，
∴；
②当点P从点O运动到点的过程中，
∵轴，，
∴，
将代入，可得，即，
将代入，可得，即，
∴，
令，即，解得或，
若，可有，即点在轴右侧，如下图，
当时，可有，其图像开口向下，对称轴为，
若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大，
则，解得，
当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意；
若，可有，即点在轴左侧，如下图，
当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，
若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大，
则，解得，
∴．
综上所述，a的取值范围为且．
8．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，．
(1)求，的值及点的坐标．
(2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由．
(3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半．
①若点与点重合，点恰好落在上，求的值；
②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值．
【答案】(1)，
(2)不能，理由见解析
(3)①；②
【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论；
（3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解；
②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为
∴
解得：，
∴，
∴；
（2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则
∴当时，
解得：或
∴或
∵抛物线经过点，对称轴为直线
∴经过点和
∴不能经过点,
（3）①∵，
当重合时，则
∵是的中点，
∴,
∵点恰好落在上，经过点
∴
解得：；
②∵直线交于点，，
∴，
∴直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴，
∴
联立
消去得，
∴，则
∵点的横坐标是点横坐标的一半．
∴即，
将代入，
∴①，
整理，得，
，
由，
则，
整理得，，
则或，
∵点为直线与的唯一公共点，
∴②
则或，
当时，代入②解得，
或，
当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意，
∴．
当时，代入②解得，不符合题意，
故
9．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为．
(1)求，的值．
(2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为．
①求的值；
②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值．
【答案】(1)
(2)①3；②或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点P和点D的坐标，再表示出即可得到答案；
②可证明轴，即，则当四边形是直角梯形时，只有或，据此画出对应的示意图，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过，，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得抛物线得解析式为，
∴点P的坐标为，
在中，当时，，
∴点C的坐标为；
∵抛物线过点，，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
当时，，
∴，，
∴，，
∴；
②∵，，
∴轴，即，
∴当四边形是直角梯形时，只有或，
如图2-1所示，当时，
∵点C的坐标为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
如图2-2所示，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点Q作轴于H，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
10．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可；
（3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
解得：；
（2）由（1）知：，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵点B为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时，
为直线与抛物线的交点，
∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又∵直线之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图：
∴当时，解得：，
即：，
∴的最大值为：．
2023、2024、2025年考法解读
2026年考法预测
中考数学中二次函数的各种代数考点主要考向分为四类：
一、二次函数的图象与性质（每年1~2道，3~6分）
二、二次函数与系数的关系（每年2~3题，12~15分）
三、二次函数与方程、不等式的关系（每年2~3道，6~10分）
四、二次函数的应用（每年1道，6~10分）
二次函数一直都是中考数学中的重要考点，特别是浙江省统一中考后，二次函数的各代数考点基本都是中考卷与中考模拟卷中压轴题的必考考点。当二次函数出成选择、填空题的压轴题时，常考察二次函数的性质、与不等式的关系、最值等考点；当二次函数出成第23题时，常考察二次函数与系数的关系、待定系数法求解析式、最值等综合考点。因为二次函数的各种考点又多又可变形应用，所以考生需要在熟知二次函数的各考点的基础之上，多做练习，举一反三。
1、对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：；
2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；
3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1.核心关联：二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）中，a、b、c 的符号决定抛物线的核心特征，三者联动反映图象位置与性质；
2.系数作用拆解： ① a 的符号：决定开口方向（a＞0 向上，a＜0 向下），|a | 越大，开口越窄；
② b 的符号：与 a 共同决定对称轴位置（对称轴 x=-b2a），“左同右异”（a 与 b 同号，对称轴在 y 轴左侧；异号在右侧；b=0，对称轴为 y 轴）；
③ c 的符号：决定抛物线与 y 轴交点位置（c＞0 交 y 轴正半轴，c＜0 交负半轴，c=0 过原点）；
3.综合判断技巧： ① 由开口方向定 a；由对称轴位置结合 a 定 b；由 y 轴交点定 c；
② 特殊点辅助：x=1 时，y=a+b+c（判断该点在 x 轴上方 / 下方）；x=-1 时，y=a-b+c；
③ 根的判别式 Δ=b²-4ac：Δ＞0 抛物线与 x 轴有 2 个交点，Δ=0 有 1 个交点，Δ＜0 无交点；
4.易错提醒：勿单独由 b 的符号判断对称轴，必须结合 a 的符号；忽略 c=0 时抛物线过原点的隐含条件。
1.最值本质：抛物线顶点的纵坐标，由 a 的符号决定 “最大” 或 “最小”（a＞0 有最小值，a＜0 有最大值）；
2.核心公式与方法： ① 公式法：由顶点坐标直接得最值为 ； ② 顶点式法：y=a (x-h)²+k（a≠0）中，最值为 k（x=h 时取得）；
③ 配方法：将一般式化为顶点式，快速锁定顶点与最值；
3.定义域影响： ① 自变量 x 为全体实数时，最值在顶点处取得；
② 自变量 x 有取值范围（如 m≤x≤n）：
- 若顶点横坐标 h 在 [m,n] 内，最值为顶点纵坐标；
- 若 h＜m，最值在 x=m 处取得（a＞0 取最小值，a＜0 取最大值）； - 若 h＞n，最值在 x=n 处取得（a＞0 取最小值，a＜0 取最大值）；
4.解题步骤： ① 确定 a 的符号（判断最值类型）； ② 求对称轴与顶点坐标； ③ 结合自变量取值范围，判断最值取得的位置； ④ 代入计算最值；
5.易错提醒：忽略自变量取值范围直接用顶点纵坐标作为最值；配方法时常数项计算失误；混淆 “最大值” 与 “最小值” 的符号规律。
1.核心原则：根据已知条件选择最优表达式形式，利用 “待定系数法” 求解，关键是找准 3 个独立条件（或特殊条件）；
2.表达式选择技巧： ① 已知三点坐标（无特殊位置）：选一般式 y=ax²+bx+c（a≠0），代入三点列三元一次方程组求解；
② 已知顶点坐标（h,k）或对称轴、最值：选顶点式 y=a (x-h)²+k（a≠0），代入 1 个非顶点条件求 a； ③ 已知与 x 轴的两个交点坐标（x₁,0）、（x₂,0）：选交点式 y=a (x-x₁)(x-x₂)（a≠0），代入 1 个非交点条件求 a；
④ 已知过原点：表达式简化为 y=ax²+bx（c=0），再结合 2 个条件求解；
3.解题步骤： ① 设合适的函数表达式； ② 代入已知条件列方程（组）； ③ 求解系数（a、b、c 或 a、h、k）； ④ 代入表达式并整理（必要时化为一般式）；
4.易错提醒：
- 交点式中 x₁、x₂是与 x 轴交点的横坐标，符号易混淆；
- 顶点式中对称轴为 x=h，注意 h 的符号；
- 求解方程组时计算失误，建议代入原条件检验。
1.核心关联：二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）与 x 轴的交点横坐标，就是一元二次方程 ax²+bx+c=0 的实数根，本质是 “y=0 时 x 的取值”；
2.交点判断与求解： ① 交点个数：由根的判别式 Δ=b²-4ac 决定 ——Δ＞0（2 个不同交点）、Δ=0（1 个交点，顶点在 x 轴上）、Δ＜0（无交点）； ② 交点坐标求解： - 代数法：令 y=0，解一元二次方程 ax²+bx+c=0，根为 x₁、x₂，交点为 (x₁,0)、(x₂,0)； - 几何法：结合抛物线对称轴 ，若已知一个交点，利用对称性求另一个交点（如对称轴 x=1，一个交点 (3,0)，则另一个为 (-1,0)）；
3.特殊结论： ① 交点间距离：（由韦达定理推导）； ② 过原点的交点：c=0 时，必有一个交点为 (0,0)； ③ 与 x 轴相切：Δ=0，顶点纵坐标为 0；
4.易错提醒： - 混淆 “与 x 轴交点” 和 “与 y 轴交点”（与 y 轴交点令 x=0，求 y=c）； - 忽略 a≠0 的前提条件； - 计算 Δ 时符号错误，导致交点个数判断失误
1.核心本质：二次函数与不等式的关系，本质是 “抛物线在 x 轴上方 / 下方 / 某直线两侧时 x 的取值范围”，需结合开口方向和交点分析；
2.基本类型与解法（以 y=ax²+bx+c，a≠0 为例）： ① ax²+bx+c＞0（抛物线在 x 轴上方的 x 范围）： -若 a＞0、Δ＞0：x＜x₁或 x＞x₂（x₁＜x₂，交点横坐标）；
-若 a＞0、Δ=0：无实数解（抛物线与 x 轴相切，无上方部分）；
-若 a＞0、Δ＜0：全体实数（抛物线全在 x 轴上方）；
-若 a＜0、Δ＞0：x₁＜x＜x₂；
-若 a＜0、Δ≤0：无实数解；
② ax²+bx+c＜0（抛物线在 x 轴下方的 x 范围）：与①对称，反向推导即可；
③ 与直线 y=k 的不等式（如 ax²+bx+c＞k）：先整理为 ax²+bx+(c-k)＞0，转化为 “新抛物线与 x 轴的位置关系” 求解；
3.解题步骤： ① 确定抛物线开口方向（a 的符号）； ② 求抛物线与 x 轴的交点（或与直线 y=k 的交点）； ③ 结合图象直观判断 x 的取值范围（“上正下负” 原则）； ④ 用区间表示解集（注意端点是否包含，Δ=0 时端点不满足严格不等式）；
4.易错提醒： - 未判断 a 的符号直接写解集（开口方向决定解集 “分开” 或 “中间”）
1.核心本质：将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数的性质（最值、增减性）解决实际问题（如利润、面积、高度、行程等），关键是 “找准变量关系，建立合适的函数表达式”；
2.建模步骤（四步法）：
① 设变量：明确自变量（如单价、边长、时间）和因变量（如利润、面积、高度），用 x 表示自变量，y 表示因变量；
② 找关系：根据实际情境中的数量关系（如利润 = 单价 × 销量、面积 = 长 × 宽），列出含 x 的代数式表示相关量；
③ 建表达式：根据代数式列出二次函数表达式（优先整理为一般式 y=ax²+bx+c 或顶点式 y=a (x-h)²+k）；
④ 定范围：结合实际情境确定自变量 x 的取值范围（如单价不能为负、边长不能超过实际长度）；
3.核心应用类型与技巧：
① 利润最值问题： - 关键关系：利润 =（售价 - 进价）× 销量，销量常与售价成一次函数关系（如售价每涨 1 元，销量减 n 件）； - 技巧：先设售价为 x，推导销量表达式，再建立利润函数，利用顶点式求最值（注意 x 需符合售价范围）；
② 面积最值问题： - 关键关系：根据图形形状（矩形、三角形、组合图形）列出面积表达式，自变量多为边长、底或高； - 技巧：利用图形周长 / 边长限制确定自变量范围，若表达式为一般式，通过配方法或顶点公式求最值（注意图形边长为正）；
③ 高度 / 行程问题（如抛物线型物体运动、建筑框架）： - 关键关系：以水平距离为 x 轴，高度为 y 轴建立坐标系，利用已知点坐标求函数表达式； - 技巧：优先用顶点式（已知顶点 / 最值）或交点式（已知与 x 轴交点），求 “最大高度”“落地点距离” 等核心量；
4.最值求解注意事项：
① 若顶点横坐标 h 在自变量取值范围内，最值为顶点纵坐标 k（a＞0 取最小值，a＜0 取最大值）；
② 若 h 不在取值范围内，最值在自变量端点处取得（代入 x 的最大值或最小值计算）；
③ 实际问题中，结果需符合实际意义（如利润为正、边长为整数）；
5.易错提醒：
- 数量关系错误（如混淆 “销量与售价的增减关系”，导致表达式列错）；
- 忽略自变量取值范围，直接用顶点纵坐标作为最值（如售价不能超过成本 + 合理利润）；
- 单位不统一（如长度单位混用米和厘米，导致计算失误）；
- 二次项系数符号判断错误（如利润函数开口方向搞反，误把最小值当最大值）。
活动主题
为校门上方抛物线形框架结构增加立柱
活动准备
1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；
2．准备皮尺等测量工具．
采集数据
图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：
1．大门形状为矩形（矩形）；
2．底部跨度（的长）为；
3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案
考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路
小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．