2026年辽宁中考数学二轮复习 热点04 二次函数(热点专练)

这是一份2026年辽宁中考数学二轮复习 热点04 二次函数(热点专练)，共60页。
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 二次函数的性质与图象
题型02 求二次函数解析式
题型03 二次函数的最值问题
题型04 二次函数与方程、不等式的综合
题型05 二次函数的实际应用
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 二次函数性质与图象
例1（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键．
根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值．
【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比，
得 , ，
∴ 顶点坐标为 ，
故选： A．
【变式1】．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标是B．当时，函数取得最大值
C．图象与轴两个交点之间的距离为D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键．
先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项．
【详解】解：A选项，二次函数，
令，解得，
∴原二次函数与轴的交点坐标为，
翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误；
B选项，二次函数，
对称轴为，
将代入函数解析式可得，
∴原二次函数顶点坐标为，
翻折后新函数图象的对称轴不变，为，
在处，函数没有最大值，B选项错误；
C选项，二次函数，
令，则有，
即，解得，，
∴原二次函数与轴的交点坐标为，，
翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，
∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确；
D选项，新函数图象的对称轴为，
由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，
当时，的值随值的增大而增大，D选项错误．
故选：C ．
题型02 求二次函数解析式
例1．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解．
【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位，
∴平移后的新函数的解析式为；
故答案为：．
【变式1】．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点．
（1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解；
（2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，；
（2）解：存在，理由如下：
对于抛物线，
当，，
解得：，
当，
∴，，
∵，
∴，
过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，

∴，
∴，
过点作平行线与抛物线交点即为点，
∵，，
∴，
设直线，
则，
∴，
∴直线，
∵∥，
∴设直线，
代入得：，
解得：，
∴直线，
与抛物线解析联立得：，
整理得：
解得： 或，
∴点P的横坐标为或．
题型03 二次函数的最值问题
例1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
(1)若点为该二次函数的顶点，
求二次函数的表达式；
求线段长度的最大值；
(2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解；
（2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点，
∴，
解得，
∴二次函数表达式为；
因为正比例函数经过点，
∴，
∴，
∴正比例函数表达式为，
设，则，，
∴
，
∴当时，线段的长度取得最大值；
（2）解：∵二次函数经过点，
∴，即，
令，
解得，，
∵二次函数与轴的一个交点为，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴的取值范围是．
【变式1】. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接．
（1）求证：；
（2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）见解析 （2）四边形面积的最大值为．
【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立；
（2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：对于直线，
令，则；令，则，
∴，，
∴，，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵点的坐标为，
∴，，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形面积
∵，
∴当，四边形面积有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键．
题型04 二次函数与方程、不等式的综合
例1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______．

【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解．
【详解】解：把点，点代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式1】（2025·辽宁营口·二模）已知函数，定义新函数．
(1)若新函数的解析式为，求函数与的解析式；
(2)在（1）条件下，点在函数上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，且当时．
①若点重合，求的值；
②过点作轴的平行线交函数图象于点，函数，求函数关于的解析式（写出自变量的取值范围）；的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出面积的最大值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①或2
②；存在，面积的最大，最大值为
【分析】（1）根据求得，再根据，比较即可求得a、b值，从而求解；
（2）①把代入和代入，从而得到，再解方程即可求解；
②先求出点A、B、C的坐标，从而求得、长，代入，即可求解；再根据，分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：①∵点重合，，
∴，
把代入，得，
把代入，得，
∴，
化简整理，得，
解得：，．
∴m的值为或2，
②把代入，得，
∴，
∵轴交函数的图象于点，
∴，
∵轴交函数图象于点，
∴点纵坐标为，
把代入，得，
∴，
∴，
∴当时，
，
当时，
，
∴
∵，
∴当时，
，，
∵，，
∴当时，，取得最大值，最大值为，最大值为，
此时，面积的最大，最大值；
当时，
，
，
∵，，对称轴为直线，
∴，有最小值，当时，，都随着m的增大而增大，
∵，
∴，
∴，
∴当时，，都取得最大值，
最大值为2，最大值为6，
∴此时，面积的最大，最大值，
∵，
∴存在，面积的最大，最大值为．
【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查二次函数与一次函数交点，二次函数的图象性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型05 二次函数的实际应用
例1．（2025·辽宁鞍山·二模）投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分.某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是米，水平距离米时达到最大高度，最大高度为米.
(1)如图，以该学生所在直线为y轴，球落地的水平距离所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）；
(2)若实心球落地后距离投掷点米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分.
【答案】(1)
(2)这名同学实心球成绩不能得满分，计算见解析
【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可；
（2）令，解得x，与比较即可；
【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为，
设抛物线的表达式为，
将代入，得，
解得．
∴该实心球运动时符合的抛物线解析式为；
（2）解：令，
解得（负值已舍去），
∴实心球出手点与着陆点的水平距离为．
∴这名同学实心球成绩不能得满分．
【变式1】. 为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
【答案】（1）
（2）这根材料的长度够用
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
由题意，可知：，
∴关于轴对称，
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
故这根材料的长度够用．

（60分钟限时练）
1．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．点C的纵坐标为240D．点在该函数图象上
【答案】D
【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可．
【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，故选项A错误；
∴，，
当时，点运动到点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项B错误；
∴当，即点在点时，
∴；
∴点的纵坐标为；故选项C错误；
当时，点运动到点，则：，
∴，
∴，
∴点在该函数图象上，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键．
2．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
把代入，
得，
即顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴，
整理得，
则，
∴，
∴
故答案为：或．
3．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
【答案】该抛物线的表达式为
【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为，，即，
设该抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
该抛物线的表达式为．
4．（2025·辽宁沈阳·二模）已知分别是关于自变量x的函数，点在的图象上，点在的图象上．定义：我们把称为与的“m界距离”．
例如：若函数，当时，时，，则把2称为与的“2界距离”．
(1)若，求与的“界距离”；
(2)在平面直角坐标系中，的图象如图所示；
①设与，的“m界距离”为d，求d与m的表达式，并写出m的取值范围；
②连接，以为边作正方形（点按逆时针顺序排列），当与有交点时，求m的取值范围．
【答案】(1)3
(2)①当或时，，当时，；②或
【分析】（1）分别求出两个函数自变量为的函数值即可得到答案；
（2）①先求出，则当或时，，当时，，分别求出时，两个函数的函数值，再根据定义求解即可；②分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种情形，分别求出临界情形下m的值即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
在中，当时，，
∴与的“界距离”为；
（2）解：①联立，解得或，
∴，
由函数图象可得，当或时，，当时，，
在中，当时，
在中，当时，，
∴当或时，，
当时，；
②如图2-1所示，当时，则，此时与一定没有交点，不符合题意；
如图2-2所示，当，且点M恰好在抛物线的图象上时，
∴此时点Q和点M关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线，
∴倍的点Q到对称轴的距离，
∴，
解得或（舍去）；
如图2-3所示，当，且点N恰好在抛物线的图象上时，
同理可得点N的坐标为，即，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵当和时，点P和点Q重合，
∴，
∴当时，与有交点；
如图2-4，当时，且点M恰好在抛物线的图象上时，
同理可得倍的点Q到对称轴的距离，
∴，
解得或（舍去）；
∴当时，与有交点；
综上所述，当或时，与有交点．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，正方形的性质，求一次函数和反比例函数值等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
5．（2025·新疆喀什·模拟预测）某工厂计划投资生产、两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图①所示：产品的利润（万元）与投资量（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示．
(1)请直接写出利润与关于投资量的函数关系式______，______；
(2)如果工厂以9万元资金投入生产、两种产品，要求产品的投资金额不超过产品的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)投资A产品3万元，投资B产品6万元时，该工厂能获得最大利润，最大利润是33万元
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、不等式在实际问题中的应用以及二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设，，分别利用待定系数法求得解析式即可；
（2）设投资产品万元，则投资产品万元，根据题意得关于的不等式组，解得的取值范围，根据（1）中的两个函数关系式得出关于的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设，
点在该函数的图象上，
，
，
，
设，
点在该函数图象上，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：设投资产品万元，则投资产品万元，
由题意可得：
，
解得：，
该工厂能获得的利润为：
，
∵对称轴为，当时，利润随着的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值是，
投资产品3万元，则投资产品6万元时，该工厂能获取最大利润，最大利润为33万元．
6．（2025·辽宁营口·二模）某公司研发了一款成本为11元的新型玩具，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个）与销售单价（元）（x为正整数）满足一次函数关系，如图所示．
(1)根据图象，写出与的函数关系式；
(2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元?
【答案】(1)
(2)销售单价为20或21元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）设该公司每天获得的利润为w元，根据“利润（销售单价成本单价）销售量”可得，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
把和代入得：，
解得，
∴与的函数关系式为．
（2）解：设每天获得的利润为w，
则，
∵二次函数的对称轴为直线，且，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，
∵x为正整数，
∴当或21时，w取得最大值，最大值为或
答：销售单价为20或21元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元．
7．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点．
(1)求c的值，并用含a的式子表示b；
(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．
①若，，求的长；
②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】(1)0，
(2)①4；②且
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
（1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案；
（2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，抛物线，
可得，
∴该抛物线解析式为，
将点代入，抛物线，
可得，解得；
（2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，，
当时，可有点，
如下图，
∵轴，
∴，
将代入，可得，即，
将代入，可得，即，
∴；
②当点P从点O运动到点的过程中，
∵轴，，
∴，
将代入，可得，即，
将代入，可得，即，
∴，
令，即，解得或，
若，可有，即点在轴右侧，如下图，
当时，可有，其图像开口向下，对称轴为，
若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大，
则，解得，
当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意；
若，可有，即点在轴左侧，如下图，
当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，
若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大，
则，解得，
∴．
综上所述，a的取值范围为且．
8．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可；
（3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
解得：；
（2）由（1）知：，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵点B为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时，
为直线与抛物线的交点，
∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又∵直线之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图：
∴当时，解得：，
即：，
∴的最大值为：．
近三年：二次函数是辽宁省中考数学代数压轴模块，每年考查分值约 18-25 分，覆盖选择、填空、解答全题型。核心考查二次函数的图像性质（a、b、c 的符号影响）、解析式求解（一般式、顶点式、交点式）、最值计算、与一元二次方程 / 不等式的关联，以及实际应用（利润、面积、行程最值）。解答题多为压轴题，侧重数形结合、分类讨论思想的应用，难度中等偏上。
预测2026年：该模块命题将保持 “综合性强、情境新颖” 的特点，可能融入动态情境（如点的移动、图形旋转）或实际场景（如项目投资、建筑设计）。二次函数的最值问题、与方程 / 不等式的综合仍为核心考点，需熟练掌握三种解析式的转化与应用，强化分类讨论意识（如对称轴位置、自变量取值范围），避免因漏解或计算失误丢分。
解｜题｜策｜略
a、b、c 的符号判断：a 看开口方向，b 看对称轴（左同右异），c 看与 y 轴交点。
对称轴与顶点：熟练掌握公式，快速定位对称轴和顶点坐标。
与 x 轴交点：Δ>0 有 2 个交点，Δ=0 有 1 个交点，Δ0 最小，a0 最小，a0，a>0（a