2026年辽宁中考数学二轮复习 热点03 次函数与反比例函数(热点专练)

这是一份2026年辽宁中考数学二轮复习 热点03 次函数与反比例函数(热点专练)，共60页。试卷主要包含了2B．4，4，等内容，欢迎下载使用。
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 一次函数的性质与图像题型
题型02 一次函数的解析式求解题型
题型03 反比例函数的性质与图像题型
题型04 反比例函数的解析式求解题型
题型05 一次函数与反比例函数的综合应用
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 一次函数的性质与图象题型
例1. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解．
【详解】解：过点B作轴，垂足为点D，
∵顶点在直线上，点的横坐标是8，
∴，即，
∴，
∵轴，
∴由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴轴，
∴将点B向左平移10个单位得到点C，
∴点，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
例2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答．
【详解】解：令则，
∴，
即，
令，则，
即，
∵沿轴翻折，
∴沿轴翻折得
设的解析式为，
把，代入
得，
∴，
则，
∴沿轴翻折不过点，
∴①不符合题意；
②令则，
解得，
即经过点，
令，则
即经过点，
连接，如图所示：
∵，，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴与关于直线对称，
故沿函数的图像翻折过点，
∴②符合题意；
③
依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，
当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点；
当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点；
过程如下：
∴，
此时点，
把代入，
得
∴不在，
即绕原点按顺时针方向旋转不经过点，
故③不符合题意；
∵绕点按顺时针方向旋转，且，
∴记为T点，连接，
∴，
∴，
则，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，
故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，
∴④符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式1】．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵，
∴，
当时，，，与矛盾，
当时，， ，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【变式2】．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）．
【答案】2（答案不唯一，满足即可）
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，平移后的解析式为：，
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限，
∴，
∴；
∴的值可以是2；
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
题型02 一次函数的解析式求解题型
例1．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴与成正比例，即是的正比例函数，
∴，
故选：．
例2．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表：
研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题．
【详解】解：满足公式，
由表格数据可得，
解得，
即，
当温度t为时，，
故选：B．
【变式1】．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)求k，b的值；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，
∴，
解得；
（2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，
当时，则，
当时，则，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，
∴，且，
∴，
当，时，和恒成立，故符合题意；
当时，则且，
当时，则，
解不等式得，解不等式，
∴；
当时，则，
解不等式得，解不等式得，此时不符合题意；
综上所述，．
【变式2】．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．
(1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式；
(2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键．
（1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积；
（2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答．
【详解】（1）解：如图1，当时，，
如图2，当时，；
综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：；
（2）解：，
当时，，
，
当时，（不符合题意），
答：播放结束时展开的画面面积是．
题型03 反比例函数的性质与图象题型
例1．（2025·辽宁本溪·一模）如图，点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．设，根据，得到，求得，，再根据，列式计算即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数图象上，
∴设，
∴，，
∵，
∴点的纵坐标为，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：6．
例2．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：
①与的面积一定相等；
②与的面积可能相等；
③一定是锐角三角形；
④可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴，
∴
∴，即与的面积一定相等；故①正确，
由①可得
当与的面积相等时，如图，连接，
∴
∴在直线上，则重合，
∴与的面积不可能相等，故②不正确，
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确,
如图
当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误
综上，①④正确、②③错误.
故选：B．
【变式1】．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，
∵点都在反比例函数的图象上，且，
∴；
故选D．
【变式2】．（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限D．y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
【详解】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误．
当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误．
故选：C．
题型04 反比例函数的解析式求解题型
例1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可．
【详解】解：延长交于点E，
设，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，，
∵反比例函数经过、两点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选：D．
例2．（2025·辽宁·中考真题）在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设电流与电阻之间的函数表达式为，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设电流与电阻之间的函数表达式为，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1】．（2025·山东青岛·中考真题）如图，正八边形的顶点，，，在坐标轴上，顶点，，，在第一象限．点在反比例函数的图象上，若，则的值为________．
【答案】/
【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰直角三角形的性质以及反比例函数解析式的求解，求解出点F的纵坐标是解决本题的关键．
先根据正八边形的内角和可求解每个内角度数，可得为等腰直角三角形，根据正八边形的边长可求解的长度，同理可求与的长度，即可得到点F的坐标，代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：过点F作轴交y轴于点M，如图，
正八边形的内角和为，
∴每个内角为，
∴，
则为等腰直角三角形，
又∵正八边形的边长为，
∴，即，
可得，
同理可得为等腰直角三角形，
即，
∴可得，
∴点，
又∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得．
故答案为： ．
【变式2】．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得，当时，有最小值；
，当时，有最小值；
，当时，有最小值；
；
，当时，有最小值；
故答案为：．
题型05 一次函数与反比例题型
例1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键；
过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可．
【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示：
则，
∴四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
，
，
把代入反比例函数的解析式得，
，
双曲线图象在第二象限，
，
，，
，，，
，
，，
，
，
双曲线经过B，则,
，
解得：（舍），，
故选D．
例2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．联立求得点的坐标为，由点E为中点，求得点E的坐标为，由平移的性质求得点C的坐标为，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：联立得，解得（舍去负值），
∴，则，
∴点的坐标为，
∵点E为中点，
∴点E的坐标为，
由题意得，，
∴，
∴点C的坐标为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
故选：C．
【变式1】．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值．
【详解】解：当时，，解得，
∴点B的坐标为，
∵点C坐标为，
∴，
设点A坐标为，
∴
∵，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去）
∴，
∴点A坐标为，
∴，
解得，
故答案为：
【变式2】．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接，请直接写出四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)10
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标；
（2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解．
【详解】（1）解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上，
∴，即，
∴反比例函数的解析式为；
设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得：
，解得：，
即直线的解析式为；
上式中，令，，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，
∴，
解得：；
由题意知，，
∴
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键．

（20分钟限时练）
1．（19-20九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（ ）
A．4.2B．4.8C．5.4D．6
【答案】B
【分析】由直线的解析式可求出点B、A的坐标，进而可求出OA、OB的长，再利用勾股定理即可求出AB的长，由菱形的性质可得OE⊥AB，OE=DE，再根据直角三角形的面积可求出OE的长，进而可求出OD的长.
【详解】解：∵直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴点A（3,0）、点B（0,4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=，
∵四边形OADC是菱形,
∴OE⊥AB，OE=DE，
由直角三角形的面积得，
即3×4=5×OE.
解得：OE=2.4，
∴OD=2OE=4.8.
故选B.
【点睛】本题考查了菱形的性质和一次函数与坐标轴的交点问题，难度不大，题目设计新颖，解题的关键是把求OD的长转化为求直角△AOB斜边上的高OE的长的2倍.
2．（2025·辽宁沈阳·一模）反比例函数图象上三个点的坐标分别是，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．由反比例函数解析式得反比例函数图象分布在一，三象限，在每个象限内，的值随着的增大而减小，且时时，据此解答即可求解．
【详解】解：∵反比例函数，
∴反比例函数图象分布在第一，三象限，在每个象限内，的值随着的增大而减小，且时，时，
∵点在反比例函数的图象上，
，
，
故选：A．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线交轴负半轴于点，且，则直线的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作轴，轴，易证，进而得到，等角的余角相等，得到，进而得到，设，则：，设，则：，根据点在反比例函数上求出的值，进而求出点坐标，点坐标，待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】解：作轴，轴，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴设，则：，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∵点，点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
当时，，
∴，
∴，即：，
设直线的解析式为直线，
则：，解得：，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握相关知识点，求出点的坐标是解题的关键．
4．（23-24八年级下·山西太原·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用图象可找到图象在轴上方，此时，进而得到关于的不等式的解集．
【详解】一次函数中，要使关于的不等式
即：时，图象在轴上方
由图可知：，则关于的不等式的解集是
故选：C．
5．（2024·吉林长春·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连结，取的中点D，连结，则的面积为（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键．
根据反比例函数值的几何意义进行解答即可．
【详解】解：连接，
∵点在反比例函数的图象上，
，
∵点在反比例函数的图象上，
，
，
∵是的中点，
，
故选：D．
6．（2025·黑龙江大庆·中考真题）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
设一次函数解析式，根据题意可得，即可写出符合题意的一次函数解析式．
【详解】解：设一次函数解析式，
当时，，
∴与y轴交点为，
∵图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大，
∴，
∴解析式可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
7．（2025·河北邯郸·一模）如图，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，交轴于点，若，则的值为_____．
【答案】3
【分析】本题考查了反比例函数的k的几何意义的应用，三角形相似的判定及性质，解题的关键是求得．
过点作轴于点，根据，得出，证明，得出，求出，再求出，根据反比例函数中的几何意义，得，结合，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点，
，
，，
，
，
，
∵轴，
∴ ，
∴，
∴，
，
根据反比例函数中 的几何意义，得 ，
．
又 ∵，
．
故答案为：3．
8．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，函数和函数的图象相交于点，若，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是结合函数图象解题．
先求出、的值，再根据函数图象即可求解．
【详解】∵在函数和函数上，
，
即，，
∵，即，
的范围如图中实线所示：即或．
故答案为：或．
9．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．
（1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案；
（2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案．
【详解】（1）解：令，则，
解得，
点A的坐标为，
令，则，
点B的坐标为；
（2）解：如图，过点C作，垂足为E，
，，
，
令，则，
，
点D的坐标为，
点C的坐标为，
点C在一次函数的图象上，
，
解得．
10．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数、一次函数的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
(2)8
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键．
（1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得；
（2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得．
【详解】（1）解：由题意得：将点代入得：，
所以反比例函数的表达式为；
将点代入可得：，
∴，
将点，代入得：，解得，
所以一次函数的表达式为．
（2）解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点，
将代入一次函数得：，解得，
∴，
∴，
由（1）已得：，，
∴的边上的高为，的边上的高为，
∴的面积为．
11．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接．
(1)求证：；
(2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)见解析
(2)四边形面积的最大值为．
【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立；
（2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）证明：对于直线，
令，则；令，则，
∴，，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵点的坐标为，
∴，，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形面积
∵，
∴当，四边形面积有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键．
12．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标及的面积；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D的坐标为，
(3)点Q的坐标为或
【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可．
【详解】（1）解：作轴于点，
∵为等边三角形，，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C，
∴点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为，
∵，
∴点A的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），经检验，是原方程的解，
∴点D的坐标为，
∴；
（3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称，
∴，，
∴，
∴，
当轴时，
，，
∴，
∵点D的坐标为，
∴点Q的坐标为；
当时，
，，
∴，
∵点D的坐标为，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键．
近三年：一次函数与反比例函数是辽宁省中考数学代数核心模块，每年考查分值约 15-20 分，覆盖选择、填空、解答全题型。核心考查一次函数的图像性质（k、b 的符号影响）、解析式求解，反比例函数的图像性质（k 的几何意义）、解析式求解，以及两者的综合应用（交点坐标、面积计算、不等式求解）。常结合实际情境（如行程、计费、利润）命题，难度中等，解答题侧重数形结合思想的应用。
预测2026年：该模块命题将强化 “数形结合” 与 “实际应用”，可能融入动态情境（如点的移动）或辽宁地方特色场景（如物流运输计费）。一次函数与反比例函数的交点问题、k 的几何意义仍为高频考点，需熟练掌握函数图像与性质的对应关系，提升从图像中提取信息的能力，避免因解析式求解错误或图像解读偏差丢分。
解｜题｜策｜略
k 的作用：决定函数增减性和直线倾斜方向；b 的作用：决定直线与 y 轴的交点位置（上正下负）。2、图象判断：先根据 k 的符号定增减性，再根据 b 的符号定截距（与y 轴交点的纵坐标），排除不符合的选项。
3、易错提醒：混淆 k、b 的符号对图象的影响，或忽略 “k≠0” 的前提。
解｜题｜策｜略
1、待定系数法：已知 1 个点坐标 + k（或 b），代入求 b（或 k）；已知 2 个点坐标，列方程组求 k、b。
实际情境：根据题意找等量关系（如斜率 k 为速度、单价，截距 b 为初始量）。
3、易错提醒：代入点坐标时符号错误，或方程组求解失误。
水的质量
氢气的质量
温度
0
10
30
声音传播的速度
324
330
336
348
解｜题｜策｜略
k 的符号：决定双曲线所在象限和增减性，注意 “在每个象限内” 的前提（跨象限不满足增减性）。2、几何意义：核心是 “面积与 k 的绝对值关联”，快速求 k 或面积。
3、易错提醒：忽略 “每个象限内” 的增减性限制，或几何意义中面积与 | k | 的关系混淆。
解｜题｜策｜略
待定系数法：只需知道双曲线上 1 个点的坐标，代入 即可求 k，进而得到解析式。
2、结合几何意义：先通过面积求 | k|，再根据象限定 k 的符号。
3、易错提醒：代入点坐标时计算错误，或忽略 k 的符号判断。
解｜题｜策｜略
交点坐标：联立两函数解析式，解方程组即可（注意检验解是否在函数定义域内）。
2、面积计算：结合交点坐标、坐标轴构造直角三角形或矩形，利用坐标差求边长。
3、不等式求解：观察图像，找出一次函数图像在反比例函数图像上方（或下方）时 x 的取值范围。
4、易错提醒：联立方程求解时计算错误，或面积计算时漏算、多算部分图形。